重庆市第十一中学校2024届高三下学期第九次质量检测数学试卷(含答案)

这是一份重庆市第十一中学校2024届高三下学期第九次质量检测数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．已知,且是定义在R上的奇函数,,则( )
A.是奇函数B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数
3．已知等差数列前项和为,,,则( )
A.B.C.D.
4．如图,现有棱长为的正方体玉石缺失了一个角,缺失部分为正三棱锥,且E,F,G分别为棱,,靠近的四等分点,若将该玉石打磨成一个球形饰品,则该球形饰品的体积的最大值为( )
A.B.C.D.
5．袋子中装有3个红球和4个蓝球,甲先从袋子中随机摸一个球,摸出的球不再放回,然后乙从袋子中随机摸一个球,若甲､乙两人摸到红球的概率分别为,,则( )
A.B.
C.D.或
6．已知,,则( )
A.B.C.D.
7．已知平面向量,均为单位向量,且夹角为,若向量,,共面,且满足,则( )
A.B.C.D.2
8．已知,则( )
A.9B.10C.19D.29
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.已知,,若,则
B.样本数据与样本数据满足,则两组样本数据的方差相同
C.若随机事件A,B满足:,,则A,B相互独立
D.若,且函数为偶函数,则
10．如图,在正三棱柱中,P为空间一动点,若,则( )
A.若,则点P的轨迹为线段
B.若,则点P的轨迹为线段
C.存在,,使得
D.存在,,使得平面
11．已知函数,则下列说法正确的是( )
A.当时,函数有无数个零点
B.当时,函数在上无极值
C.,都有,则
D.若在区间上的最小值是0,则
三、填空题
12．______
13．向量对应的复数为,把绕点O按逆时针方向旋转,得到,则对应的复数为______(用代数形式表示).
14．已知双曲线的左,右焦点分别为,,过的直线与双曲线的左,右两支分别相交于M,N两点,直线与双曲线的另一交点为P,若为等腰三角形,且的面积是的面积的3倍,则双曲线C的离心率为______.
四、解答题
15．已知函数的最小正周期为.
（1）求在上的单调递增区间；
（2）在锐角三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且，求的取值范围.
16．在三棱柱中,四边形是边长为2的菱形,,四边形是正方形,.
（1）求三棱锥的体积;
（2）若是棱上一点且,求平面与平面所成二面角的余弦值.
17．某景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双程上下山票.为提高服务水平，现对当日购票的120人征集意见，当日购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为36、60和24.
（1）若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率.
（2）记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买回程票的m（且）人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人的购票类型相同，则该组标为A，否则该组标为B，记询问的某组被标为B的概率为p.
（i）试用含m的代数式表示p；
（ii）若一共询问了5组，用表示恰有3组被标为B的概率，试求的最大值及此时m的值.
18．已知O为坐标原点,椭圆C:的上,下顶点为A,B,椭圆上的点P位于第二象限,直线PA,PB,PO的斜率分别为,,,且.
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）过原点O分别作直线PA,PB的平行线与椭圆相交,得到四个交点,将这四个交点依次连接构成一个四边形,则此四边形的面积是否为定值?若为定值,请求出该定值;否则,请求出其取值范围.
19．表示正整数a,b的最大公约数,若,且,,则将k的最大值记为,例如:,.
（1）求,,;
（2）已知时,.
(i)求;
(ii)设,数列的前n项和为,证明:.
参考答案
1．答案：C
解析：因为,解得或,
所以集合或,
所以,
故选:C.
2．答案：B
解析：由已知的定义域为R,
因为是定义在R上的奇函数,所以,
所以,
所以为偶函数,
又,,又,
所以,所以不为奇函数,
故选:B.
3．答案：D
解析：由等差数列可知,,,
解得,,
所以.
故选:D
4．答案：D
解析：由题意可得,设点到平面EFG的距离为d,
而,,
由,得,解得,
棱长为2的正方体的内切球的半径为1,
又棱长为2的正方体的体对角线的长度为,
因,
所以所求球形饰品的体积最大,即为棱长为2的正方体的内切球的体积,
则该球形饰品的体积的最大值为.
故选:D.
5．答案：A
解析：由题意可知,甲摸到红球的概率,
乙摸到红球的概率,
所以,
故选：A.
6．答案：A
解析：因为,所以,
又,所以,
所以,
故选:A.
7．答案：A
解析：设,
因为,
又,即,
解得,
所以,
所以,
故选:A.
8．答案：C
解析：因为,
所以
分别对两边进行求导得,
令,得,
所以,
故选:C
9．答案：ABC
解析：对于A,已知,,若,
即,即,
所以,故A正确;
对于B,因为,所以两组样本数据的方差相同,故B正确;
对于C,若随机事件A,B满足,,,
则,
所以,所以A,B相互独立,故C正确;
对于D,若,且函数为偶函数,
即,
又由对称性知,
故,即,故D错误.
故选:ABC.
10．答案：ABC
解析：对于A:由,,,得点P在侧面内(含边界),
若,则,故点P的轨迹为线段,故A正确;
对于B:若,则,所以,即,
又,故点P的轨迹为线段,故B正确;
对于C:分别取棱BC,的中点,连接,由题意易证平面,
当点P在线段上时,,故存在,,使得,故C正确;
对于D:若使平面,则点P必在棱上,此时,故不存在,,
使得平面,故D错误.
故选:ABC.
11．答案：BD
解析：引理:,,
令,则,在上单调递增,
所以,即.
因为,
又,所以为偶函数,
对于A:当时,,令,即,
因为,,当且仅当时取等号,
所以方程仅有一个根,
即函数只有一个零点,A错误;
对于B:当时,,则,
当时,恒成立,函数在上无极值,B正确;
对于C:,即,当时,不等式成立;
当时,,
当时,,不满足,都有,C错误;
对于D:若在区间上的最小值是0,
则对,,当时,明显成立,
当时,,
设,,
所以,令,,
,
所以,即,
所以在上单调递增,所以,D正确.
故选:BD.
12．答案：
解析：原式
.
故答案为:.
13．答案：
解析：因为向量对应的复数为,则在复平面内复数对应的点为,
设角的终边过点,则,,
所以,
由,所以,
,
将把绕点O按逆时针方向旋转得到,则,
所以对应的复数为.故答案为:
14．答案： 2或
解析：设,,
由双曲线的定义可得,,
由的面积是的面积的倍,可得,
又为等腰三角形,可得,或,或,
若,则只能N,P关于x轴对称,此时与矛盾,不符题意;
当,即,可得,,,,
在中,,
在中,,
化为,即;
当,即,可得,,,,
在中,,
在中,,
化为,即.
故答案为:或.
15．答案：（1）；
（2）
解析：（1）
.
因为，所以，
故.
由，
解得，，
当时，，
又，所以在上的单调递增区间为.
（2）由
得（
所以.
因为，所以
又，所以
所以.
因为，所以，
所以，
所以的取值范围为.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）取的中点O,连接.
,.
四边形是正方形,.
又,,平面,
平面.
平面,.
四边形是边长为的菱形,,
是正三角形,,.
又,AB,平面,平面.
.
（2）以AB,所在直线分别为x轴,y轴,过点A作OC的平行线为z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,
,,.
设平面的法向量为,
由得,令,得.
设平面的法向量为,
由得,令,得
设平面与平面所成二面角为,
则,
所以平面与平面所成二面角的余弦值为.
17．答案：（1）
（2）（i）；（ii）
解析：（1）因为购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数之比为，所以这10人中，购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为：，，，
故随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率.
（2）（i）从人中任选2人，有种选法，其中购票类型相同的有种选法，则询问的某组被标为B的概率.
（ii）由题意，5组中恰有3组被标为B的概率，
所以，，
所以当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，取得最大值，且最大值为.
由，且，得.
当时，5组中恰有3组被标为B的概率最大，且的最大值为.
18．答案： （1）
（2）是定值,
解析：（1）由题意可得,,
设,,则,,,
,,
化简得:①,
又在椭圆上,②,
由①②得,
又,,
故椭圆C的标准方程;
（2）设直线PA的平行线与椭圆相交于点E,F(在上方),
直线PB的平行线与椭圆相交于点G,H(在上方),
直线EF的方程为,直线GH的方程为,
又,,
联立,解得,
,
联立,解得,
,
设直线EF的倾斜角为,直线GH的倾斜角为,,,
,,
则,
,
四边形面积为:
,
故该四边形的面积为定值.
19．答案：（1）;;
（2）(i);
(ii)证明见解析
解析：（1）依题可得表示所有不超过正整数m,且与m互质的正整数的个数,
因为与2互质的数为1,所以;
因为与3互质的数为1,2,所以;
因为与6互质的数为1,5,所以.
（2）(i)因为中与互质的正整数只有奇数,
所以中与互质的正整数个数为,所以,
又因为中与互质的正整数只有与两个,
所以中与互质的正整数个数为,
所以,所以,
(ii)解法一:因为,
所以,所以,
令,因,
所以数列是以为首项,为公比的等比数列,
所以数列的前n项和,
所以,
又因为,所以,
解法二:因为,所以,
又因为,
所以,
所以,
所以,所以
因为,所以.