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    重庆市第十一中学校2023-2024学年高三第九次质量检测数学试题(原卷版+解析版)

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    重庆市第十一中学校2023-2024学年高三第九次质量检测数学试题(原卷版+解析版)

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    2024.5
    注意事项:
    1.本试卷满分为150分,考试时间为120分钟.
    2.答卷前,考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上.
    3.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.
    4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
    一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1. 已知集合,,则( )
    A. B. C. D.
    2. 已知,且是定义在R上的奇函数,,则( )
    A. 是奇函数B. 是偶函数
    C. 既是奇函数又是偶函数D. 既不是奇函数也不是偶函数
    3. 已知等差数列的前项和为,,,则( )
    A. B. C. D.
    4. 如图,现有棱长为的正方体玉石缺失了一个角,缺失部分为正三棱锥,且分别为棱靠近的四等分点,若将该玉石打磨成一个球形饰品,则该球形饰品的体积的最大值为( )
    A B. C. D.
    5. 袋子中装有3个红球和4个蓝球,甲先从袋子中随机摸一个球,摸出的球不再放回,然后乙从袋子中随机摸一个球,若甲、乙两人摸到红球的概率分别为,则( )
    A. B.
    C. D. 或
    6. 已知,,则( )
    A. B. C. D.
    7. 已知平面向量均为单位向量,且夹角为,若向量共面,且满足,则( )
    A. B. C. D. 2
    8 已知,则( )
    A. 9B. 10
    C. 19D. 29
    二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
    9. 下列说法正确的是( )
    A. 已知,若,则
    B. 样本数据与样本数据满足,则两组样本数据的方差相同
    C. 若随机事件满足:,,则相互独立
    D. 若,且函数为偶函数,则
    10. 如图,在正三棱柱中,为空间一动点,若,则( )

    A. 若,则点的轨迹为线段
    B. 若,则点的轨迹为线段
    C. 存在,使得
    D. 存在,使得平面
    11. 已知函数,则下列说法正确的是( )
    A. 当时,函数有无数个零点
    B. 当时,函数在上无极值
    C. ,都有,则
    D. 若在区间上最小值是0,则
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
    12. =______
    13. 向量对应的复数为,把绕点按逆时针方向旋转,得到,则对应的复数为______(用代数形式表示).
    14. 已知双曲线的左、右焦点分别为,过的直线与双曲线的左、右两支分别相交于两点,直线与双曲线的另一交点为,若为等腰三角形,且的面积是的面积的3倍,则双曲线的离心率为______.
    四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    15. 已知函数的最小正周期为.
    (1)求在上的单调递增区间;
    (2)在锐角三角形中,内角的对边分别为且求的取值范围.
    16. 在三棱柱中,四边形是边长为的菱形,,四边形是正方形,.
    (1)求三棱锥的体积;
    (2)若是棱上一点且,求平面与平面所成二面角的余弦值.
    17. 某景区的索道共有三种购票类型,分别为单程上山票、单程下山票、双程上下山票.为提高服务水平,现对当日购票的120人征集意见,当日购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为36、60和24.
    (1)若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人,再从这10人中随机抽取4人,求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率.
    (2)记单程下山票和双程票为回程票,若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买回程票的m(且)人组成一组,负责人从某组中任选2人进行询问,若选出的2人的购票类型相同,则该组标为A,否则该组标为B,记询问的某组被标为B的概率为p.
    (i)试用含m的代数式表示p;
    (ii)若一共询问了5组,用表示恰有3组被标为B的概率,试求的最大值及此时m的值.
    18. 已知O为坐标原点,椭圆C:上、下顶点为A、B,椭圆上的点P位于第二象限,直线PA、PB、PO的斜率分别为,且.
    (1)求椭圆C的标准方程;
    (2)过原点O分别作直线PA、PB平行线与椭圆相交,得到四个交点,将这四个交点依次连接构成一个四边形,则此四边形的面积是否为定值?若为定值,请求出该定值;否则,请求出其取值范围.
    19. 表示正整数a,b的最大公约数,若,且,,则将k的最大值记为,例如:,.
    (1)求,,;
    (2)已知时,.
    (i)求;
    (ii)设,数列的前n项和为,证明:.

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