重庆市第十一中学校2023-2024学年高三第九次质量检测数学试题（原卷版+解析版）

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2024.5
注意事项：
1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上.
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，且是定义在R上的奇函数，，则（ ）
A. 是奇函数B. 是偶函数
C. 既是奇函数又是偶函数D. 既不是奇函数也不是偶函数
3. 已知等差数列的前项和为，，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，现有棱长为的正方体玉石缺失了一个角，缺失部分为正三棱锥，且分别为棱靠近的四等分点，若将该玉石打磨成一个球形饰品，则该球形饰品的体积的最大值为（ ）
A B. C. D.
5. 袋子中装有3个红球和4个蓝球，甲先从袋子中随机摸一个球，摸出的球不再放回，然后乙从袋子中随机摸一个球，若甲､乙两人摸到红球的概率分别为，则（ ）
A. B.
C. D. 或
6. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知平面向量均为单位向量，且夹角为，若向量共面，且满足，则（ ）
A. B. C. D. 2
8 已知，则（ ）
A. 9B. 10
C. 19D. 29
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知，若，则
B. 样本数据与样本数据满足，则两组样本数据的方差相同
C. 若随机事件满足：，，则相互独立
D. 若，且函数为偶函数，则
10. 如图，在正三棱柱中，为空间一动点，若，则（ ）

A. 若，则点的轨迹为线段
B. 若，则点的轨迹为线段
C. 存在，使得
D. 存在，使得平面
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，函数有无数个零点
B. 当时，函数在上无极值
C. ，都有，则
D. 若在区间上最小值是0，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. =______
13. 向量对应的复数为，把绕点按逆时针方向旋转，得到，则对应的复数为______（用代数形式表示）．
14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的左、右两支分别相交于两点，直线与双曲线的另一交点为，若为等腰三角形，且的面积是的面积的3倍，则双曲线的离心率为______．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数的最小正周期为.
（1）求在上的单调递增区间；
（2）在锐角三角形中，内角的对边分别为且求的取值范围.
16. 在三棱柱中，四边形是边长为的菱形，，四边形是正方形，．
（1）求三棱锥的体积；
（2）若是棱上一点且，求平面与平面所成二面角的余弦值．
17. 某景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双程上下山票．为提高服务水平，现对当日购票的120人征集意见，当日购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为36、60和24．
（1）若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率．
（2）记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买回程票的m（且）人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人的购票类型相同，则该组标为A，否则该组标为B，记询问的某组被标为B的概率为p．
（i）试用含m的代数式表示p；
（ii）若一共询问了5组，用表示恰有3组被标为B的概率，试求的最大值及此时m的值．
18. 已知O为坐标原点，椭圆C：上、下顶点为A、B，椭圆上的点P位于第二象限，直线PA、PB、PO的斜率分别为，且.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过原点O分别作直线PA、PB平行线与椭圆相交，得到四个交点，将这四个交点依次连接构成一个四边形，则此四边形的面积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请求出其取值范围.
19. 表示正整数a，b的最大公约数，若，且，，则将k的最大值记为，例如：，.
（1）求，，；
（2）已知时，.
（i）求；
（ii）设，数列的前n项和为，证明：.