2019届二轮复习离散型随机变量的均值与方差学案（全国通用）

【考纲解读】

【知识清单】

离散型随机变量的均值与方差

1．均值

若离散型随机变量X的分布列为

称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．．

若，其中为常数，则也是随机变量，且.

若服从两点分布，则；

若，则.

2.方差

若离散型随机变量X的分布列为

则描述了 ()相对于均值的偏离程度，而为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度．称为随机变量的方差，其算术平方根为随机变量的标准差．

若，其中为常数，则也是随机变量，且．

若服从两点分布，则．

若，则．

【重点难点突破】

考点  离散型随机变量的均值与方差

【1-1】【2018年浙江省高考模拟】已知随机变量的分布列如表所示：

若，则（   ）

A．     B．

C．     D．

【答案】D

【解析】

故选D.

【1-2】【2018年浙江卷】设0<p<1，随机变量ξ的分布列是

则当p在（0，1）内增大时，

A. D（ξ）减小    B. D（ξ）增大  C. D（ξ）先减小后增大    D. D（ξ）先增大后减小

【答案】D

【1-3】【2018届浙江省源清中学高三9月月考】已知一个袋子中装有4个红球和2个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的，若从袋子中摸出3个球，记摸到的白球的个数为，则的概率是       ；随机变量期望是       .

【答案】    1   

【1-4】【2018年理北京卷】电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：

好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．

假设所有电影是否获得好评相互独立．

（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；

（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；

（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“”表示第k类电影得到人们喜欢，“”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差，，，，，的大小关系．

【答案】(1) 概率为0.025(2) 概率估计为0.35(3) >>=>>

【1-5】【2018年理新课标I卷】某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．

（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为,求的最大值点．

（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．

（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求;

（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

【答案】(1).(2) （i）490.（ii）应该对余下的产品作检验.

【解析】（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为.因此

.

令，得.当时，；当时，.

所以的最大值点为.

（2）由（1）知，.

（i）令表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知，，即.所以.

（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.

由于，故应该对余下的产品作检验.

【领悟技法】

1. 求离散型随机变量均值、方差的基本方法

(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；

(2)已知随机变量的均值、方差，求的线性函数的均值、方差和标准差，可直接用的均值、方差的性质求解；

(3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．

2. 求离散型随机变量均值的步骤

(1)理解随机变量的意义，写出可能取得的全部值；

(2)求的每个值的概率；

(3)写出的分布列；

(4)由均值定义求出．

3. 六条性质

(1) (为常数)

(2) (为常数)

(3)

(4)如果相互独立，则

(5)

(6)

4. 均值与方差性质的应用若是随机变量，则一般仍是随机变量，在求的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求的分布列带来的繁琐运算．

【触类旁通】

【变式一】【浙江省台州中学2018届高三模拟】已知某个数的期望为，方差为，现又加入一个新数据，此时这个数的期望记为，方差记为，则（   ）

A．     B．

C．     D．

【答案】B

【解析】分析：首先利用离散型随机变量的期望和方程的计算公式，结合题中所给的条件，列出相应的式子，从而求得的值，进而得到正确的选项.

详解：根据题意可知，，

，故选B.

【变式二】【浙江省杭州市学军中学2018年5月模拟】已知两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个．盒中有个红球与个白球，盒中有个红球与个白球，若从盒中各取一个球，表示所取的个球中红球的个数，则当取到最大值时，的值为（   ）

A．     B．     C．     D．

【答案】B

【解析】

所以ξ的分布列为：

所以Eξ=1×+2×=1，

所以Dξ=+=，并且1≤m≤9，

所以当m=5时，Dξ取最大值．

故答案为：B

【变式三】【2017湖南】2016年8月21日第31届夏季奥运会在巴西里约闭幕，中国以26金18银26铜的成绩名称金牌榜第三、奖牌榜第二，某校体育爱好者协会在高三年级一班至六班进行了“本届奥运会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），从被调查的学生中随机抽取了50人，具体的调查结果如下

表：学+ + ]

（Ⅰ）在高三年级全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率；

（Ⅱ）若从一班至二班的调查对象中随机选取2人进行追踪调查，记选中的4人中对“本届奥运会中国队

表现”不满意的人数为，求随机变量的分布列及其数学期望．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列见解析，.   

（Ⅱ）的所有可能取值为0，1，2，3，

，

．

．

，

所以的分布列为：

所以的期望值为：．

【易错试题常警惕】

易错典例：某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满400元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就继续摸球．规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励．

（1）求1名顾客摸球2次停止摸奖的概率；

（2）记为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量的分布律和数学期望．

易错分析：随机变量的取值错误导致出错，计算概率出错．

所以，随机变量的分布列为:

．

温馨提醒：(1) 求离散型随机变量的期望关键是写出离散型随机变量的分布列，然后利用公式计算．理解均值易失误，均值是一个实数，由的分布列唯一确定，即作为随机变量是可变的，而是不变的，它描述值的取值平均状态．注意，易错．

【学 素养提升之思想方法篇】

对立统一，峰回路转——正难则反

正难则反原则是解题学中的一个重要的思维方法，就其意义来说，就是当从问题的正面去思考问题，遇到阻力难于下手时，可通过逆向思维，从问题的反面出发，逆向地应用某些知识去解决问题.说得更具体一些，就是当我们拿到一个题目，经仔细地审题后，如感觉顺推有困难就要尝试去进行逆推，这就俗话所说的“不要一条路跑到黑”，许多事实都说明：对问题正向进行探索使问题陷入困境时，反向思维往往能使人茅塞顿开，获得意想不到效果.

具体在数学解题中，分析法、反证法、逆推法、排除法、同一法、补集法等方法技巧，都是正难则反策略的应用，往往通过逆转结构、逆转运算、逆转主元、逆转角度等，实现化难为易、化繁为简.

【典例】【2018届云南省玉溪市玉溪一中高三上第二次月考】现有四枚不同的金属纪念币，投掷时，两枚正面向上的概率均为，另两枚正面向上的概率均为，这四枚纪念币同时投掷一次，设表示出现正面向上的枚数.

(1)若出现一正一反与出现两正的概率相等，求的值；

(2)求的分布列及数学期望(用字母表示)；

(3)若有两枚纪念币出现正面向上的概率最大，求实数的取值范围．

【答案】(1)；(2)答案见解析；(3).

【解析】