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专题9.8 离散型随机变量的均值与方差、正态分布-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案
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这是一份专题9.8 离散型随机变量的均值与方差、正态分布-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案，文件包含专题98离散型随机变量的均值与方差正态分布解析版doc、专题98离散型随机变量的均值与方差正态分布原卷版doc等2份学案配套教学资源，其中学案共35页， 欢迎下载使用。
第九篇 计数原理、概率与随机变量及其分布列
专题9.08离散型随机变量的均值与方差、正态分布
【考纲要求】
1.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念．能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．
2.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【命题趋势】
1.正态分布主要通过正态分布的密度函数图象及性质进行考查．
2.离散型随机变量的分布列、均值、方差一般与排列、组合及古典概型、几何概型、二项分布及几何分布相结合，以实际问题为背景进行考查.
【核心素养】
本讲内容突出对数学抽象，数学建模，数据分析核心素养的考查.
【素养清单•基础知识】
1．离散型随机变量的均值与方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
(1)均值
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)方差
称D(X)＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差．
2．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a，b为常数)．
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．
3．两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
4．正态分布
(1)正态曲线：函数φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ为参数(σ>0，μ∈R)．我们称函数φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
(2)正态曲线的性质
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值；
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化沿x轴平移，如图甲所示；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．
(3)正态分布的定义及表示
一般地，如果对于任何实数a，b(a
①P(μ－σ
1.【2019年高考浙江卷】设0＜a＜1，则随机变量X的分布列是
则当a在（0，1）内增大时，
A．增大 B．减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
【答案】D
【分析】研究方差随变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为的二次函数，二次函数的图象和性质解题．题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查．
【解析】方法1：由分布列得，
则，
则当在内增大时，先减小后增大．故选D．
方法2：则，
则当在内增大时，先减小后增大．故选D．
【名师点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式．
2.【2019年高考江苏卷】已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是______________．
【答案】
【解析】由题意，该组数据的平均数为，
所以该组数据的方差是．
3．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
ξ
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
已知ξ的均值E(ξ)＝8.9，则y的值为( )
A．0.4 B．0.6
C．0.7 D．0.9
【答案】A
【解析】因为所以
4．(2018·全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，
P(X＝4)
C．0.4 D．0.3
【答案】B
【解析】根据题意可知，X服从二项分布，即X～B(10，p)，因为D(X)＝np(1－p)，所以10p(1－p)＝2.4，解得p＝0.4或p＝0.6.又因为P(X＝4)＝Cp4(1－p)6，P(X＝6)＝Cp6(1－p)4，P(X＝4)0.5，即p＝0.6，故选B.
5．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝__________.
【答案】
【解析】 设P(ξ＝1)＝x，P(ξ＝2)＝y，则＋x＋y＝1，①
E(ξ)＝0×＋x＋2y＝1，②
由①②可知x＝，y＝，所以D(ξ)＝(1－0)2＋(1－1)2＋(1－2)2＝.
6．投掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为__________．
【答案】
【解析】 在投掷两枚骰子中，不含5或6的次数为4×4，故试验成功的概率P＝1－＝＝，则在10次试验中成功次数的均值E(ξ)＝10×＝.
7..【2017年高考全国Ⅰ卷理数】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，．
用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）．
附：若随机变量服从正态分布，则，
，．
【答案】（1），；（2）（ⅰ）见解析，（ⅱ）的估计值为10.02，的估计值为．
【分析】（1）根据题设条件知一个零件的尺寸在之内的概率为0.9974，则零件的尺寸在之外的概率为0.0026，而，进而可以求出的数学期望．（2）（i）判断监控生产过程的方法的合理性，重点是考虑一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率是大还是小，若小即合理；（ii）根据题设条件算出的估计值和的估计值，剔除之外的数据9.22，算出剩下数据的平均数，即为的估计值，剔除之外的数据9.22，剩下数据的样本方差，即为的估计值．
【解析】（1）抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为0.9974，
从而零件的尺寸在之外的概率为0.0026，故．
因此．
的数学期望为．
（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．
（ii）由，得的估计值为，的估计值为，
由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外，
因此需对当天的生产过程进行检查．
剔除之外的数据9.22，剩下数据的平均数为，
因此的估计值为10.02．
，剔除之外的数据9.22，
剩下数据的样本方差为，
因此的估计值为．
【名师点睛】数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念，反映随机变量取值的平均水平．求解离散型随机变量的分布列、数学期望时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的所有取值，然后根据概率类型选择公式，计算每个变量取每个值的概率，列出对应的分布列，最后求出数学期望．正态分布是一种重要的分布，之前考过一次，尤其是正态分布的原则．
【考法拓展•题型解码】
考法一 离散型随机变量的均值、方差
解题技巧
离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略
(1)求离散型随机变量的均值与方差．可依题设条件求出离散型随机变量的概率分布列，然后利用均值、方差公式直接求解．
(2)由已知均值或方差求参数值．可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程，解方程即可求出参数值．
(3)由已知条件，作出对两种方案的判断．可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断．
【例1】 (2019·湖北部分中学质检)随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化．某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店．
(1)若从10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率；
(2)若从这10名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求X的分布列和数学期望．
【答案】见解析
【解析】(1)设“随机抽取2名，其中男、女各一名，至少1名倾向于选择实体店”为事件A，则表示事件“随机抽取2名(其中男、女各一名)都倾向于选择网购”，
则P(A)＝1－P()＝1－ ＝.
(2)X所有可能的取值为0,1,2,3，且P(X＝k)＝，
则P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，
P(X＝3)＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
【例2】 (2019·泉州一模)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．
(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；
(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E(η)＝，D(η)＝，求a∶b∶c.
【答案】见解析
【解析】 (1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6.
故P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝5)＝＝，
P(ξ＝6)＝＝.所以ξ的分布列为
ξ
2
3
4
5
6
P
(2)由题意知η的分布列为
η
1
2
3
P
所以E(η)＝＋＋＝，
D(η)＝2·＋2·＋2·＝.
化简得解得a＝3c，b＝2c，
故a∶b∶c＝3∶2∶1.
考法二 均值与方差的实际应用
归纳总结
随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．
【例3】 (2019·苏州模拟)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站．过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米)都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．
(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；
(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系.
年入流量X
40
X>120
发电机最多可运行台数
1
2
3
若某台发电机运行，则该台年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
【答案】见解析
【解析】 (1)依题意，得p1＝P(40＜X＜80)＝＝0.2，p2＝P(80≤X≤120)＝＝0.7，p3＝P(X＞120)＝＝0.1.
由二项分布，在未来4年中，至多有1年的年入流量超过120概率为p＝C(1－p3)4＋C(1－p3)3p3＝4＋4×3×＝0.947 7.
(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)．
①安装1台发电机的情形．
由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y＝5 000，E(Y)＝5 000×1＝5 000.
②安装2台发电机的情形．
依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，
此时Y＝5 000－800＝4 200，
因此P(Y＝4 200)＝P(40＜X＜80)＝p1＝0.2；当X≥80时，两台发电机运行，此时Y＝5 000×2＝10 000，因此P(Y＝10 000)＝P(X≥80)＝p2＋p3＝0.8.由此得Y的分布列如下：
Y
4 200
10 000
P
0.2
0.8
所以E(Y)＝4 200×0.2＋10 000×0.8＝8 840.
③安装3台发电机的情形．
依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y＝5 000－1 600＝3 400，因此P(Y＝3 400)＝P(40＜X＜80)＝p1＝0.2；当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y＝5 000×2－800＝9 200，
因此P(Y＝9 200)＝P(80≤X≤120)＝p2＝0.7；当X＞120时，三台发电机运行，此时Y＝5 000×3＝15 000，因此P(Y＝15 000)＝P(X＞120)＝p3＝0.1，由此得Y的分布列如下：
Y
3 400
9 200
15 000
P
0.2
0.7
0.1
所以E(Y)＝3 400×0.2＋9 200×0.7＋15 000×0.1＝8 620.
综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．
考法三 正态分布的应用
归纳总结
解决正态分布问题有三个关键点：对称轴x＝μ，标准差σ，分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有标准正态分布的对称轴才为x＝0.
【例4】 (2017·全国卷Ⅰ改编)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2)．
(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；
(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
①试说明上述监控生产过程方法的合理性；
②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经计算得＝i＝9.97，s＝＝≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1,2，…，16.
用样本平均数 作为μ的估计值 ，用样本标准差s作为σ的估计值 ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？
附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σ
【解析】 (1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.997 4，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002 6，故X～B(16,0.002 6)．
因而P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997 416≈0.040 8.
X的数学期望为E(X)＝16×0.002 6＝0.041 6.
(2)①如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小．因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．
②由＝9.97，s≈0.212，得μ的估计值为＝9.97，σ的估计值为＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(－3，＋3)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．
【易错警示】
易错点 误用正态曲线的性质
【典例】 设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是( )
A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)
D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)
【错解】：A或B或D (误用正态曲线的性质)
【错因分析】：错解中由给定的正态曲线的图象错误地判断μ1，μ2，σ1，σ2的大小关系而致错．
【答案】C
【正解】：由题图可知μ1<0<μ2，σ1<σ2，所以P(Y≥μ2)P(X≤σ1)，故B项错；当t为任意正数时，由题图可知P(X≤t)≥P(Y≤t)，故C项正确；而P(X≤t)＝1－P(X≥t)，P(Y≤t)＝1－P(Y≥t)，所以P(X≥t)≤P(Y≥t)，故D项错．
误区防范
常结合正态曲线的对称性和曲线与x轴围成的面积为1来求概率．P(x>μ)＝P(x<μ)＝，P(－∞
【答案】0.7
【解析】因为P(X>m)＝0.3，X～N(3，σ2)，所以m>3，P(X<6－m)＝P(X<3－(m－3))＝P(X>m)＝0.3，所以P(X>6－m)＝1－P(X<6－m)＝0.7.
【递进题组】
1．甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有m个球，乙袋中共有2m个球，从甲袋中摸出1个球为红球的概率为，从乙袋中摸出1个球为红球的概率为P2.
(1)若m＝10，求甲袋中红球的个数；
(2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是，求P2的值；
(3)设P2＝，若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1个球，并且从甲袋中摸1次，从乙袋中摸2次．设ξ表示摸出红球的总次数，求ξ的分布列和均值．
【答案】见解析
【解析】(1)设甲袋中红球的个数为x，依题意得x＝10×＝4.
(2)由已知，得＝，解得P2＝.
(3)ξ的所有可能值为0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝××＝，
P(ξ＝1)＝××＋×C××＝，
P(ξ＝2)＝×C××＋×2＝，
P(ξ＝3)＝×2＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
2．(2019·昆明一中一模)某校为了解本校2万名学生的汉字书写水平，在全校范围内进行了汉字听写考试，发现其成绩服从正态分布N(69,49)，现从该校随机抽取了50名学生，将所得成绩整理后，绘制出如图所示的频率分布直方图．
(1)估算该校50名学生成绩的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)求这50名学生成绩在[80,100]内的人数；
(3)现从该校50名考生成绩在[80,100]的学生中随机抽取两人，该两人成绩排名(从高到低)在全市前26名的人数记为X，求X的分布列和数学期望．
参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ
【解析】(1)＝45×0.08＋55×0.2＋65×0.32＋75×0.2＋85×0.12＋95×0.08＝68.2.
(2)(0.008＋0.012)×10×50＝10(名)．
(3)因为P(μ－3σ
上述50名考生成绩中90分以上的有0.08×50＝4(人)．
随机变量X＝0,1,2.于是P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
3．(2019·夷陵中学质检)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销量的频率分布直方图，如图所示．
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，均值E(X)及方差D(X)．
【答案】见解析
【解析】(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”．
因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，
P(A2)＝0.003×50＝0.15，
P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.
(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为
P(X＝0)＝C(1－0.6)3＝0.064，
P(X＝1)＝C×0.6×(1－0.6)2＝0.288，
P(X＝2)＝C×0.62×(1－0.6)＝0.432，
P(X＝3)＝C×0.63＝0.216，
可得随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.064
0.288
0.432
0.216
X～B(3,0.6)，E(X)＝3×0.6＝1.8，
D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.
4．(2019·唐山一模)某投资公司在2018年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车，据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．
【答案】见解析
【解析】若按“项目一”投资，设获利为X1万元，则X1的分布列为
X1
300
－150
P
所以E(X1)＝300×＋(－150)×＝200.
若按“项目二”投资，设获利X2万元，则X2的分布列为
X2
500
－300
0
P
所以E(X2)＝500×＋(－300)×＋0×＝200.
又D(X1)＝(300－200)2×＋(－150－200)2×＝35 000，
D(X2)＝(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×＝140 000.
所以E(X1)＝E(X2)，D(X1)＜D(X2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．
综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．
【考卷送检】
一、选择题
1．(2019·瑞安中学一模)某种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为( )
A．100 B．200
C．300 D．400
【答案】B
【解析】将“没有发芽的种子数”记为ξ，则ξ＝0,1,2,3，…，1 000，由题意可知ξ～B(1 000,0.1)，所以E(ξ)＝1 000×0.1＝100，又因为X＝2ξ，所以E(X)＝2E(ξ)＝200，故选B.
2．某运动员投篮命中率为0.6，他重复投篮5次，若他命中一次得10分，没命中不得分；命中次数为X，得分为Y，则E(X)，D(Y)分别为( )
A．0.6,60 B．3,12
C．3,120 D．3,1.2
【答案】C
【解析】X～B(5,0.6)，Y＝10X，所以E(X)＝5×0.6＝3，D(X)＝5×0.6×0.4＝1.2，D(Y)＝100D(X)＝120.
3．若离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
P
则X的数学期望E(X)＝( )
A．2 B．2或
C. D．1
【答案】C
【解析】 因为分布列中概率和为1，所以＋＝1，即a2＋a－2＝0，解得a＝－2(舍去)或a＝1，所以E(X)＝.
4．(2019·山东潍坊质检)已知随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，且P(X<5)＝0.8，则P(1
C．0.3 D．0.2
【答案】C
【解析】由正态曲线的对称性可知，P(X<3)＝P(X>3)＝0.5，故P(X>1)＝P(X<5)＝0.8，所以P(X≤1)＝1－P(X>1)＝0.2，P(1D(ξ2)
C．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)
【答案】A
【解析】根据题意得，E(ξi)＝pi，D(ξi)＝pi(1－pi)，i＝1,2，因为0
A．1 B．2
C．4 D．不能确定
【答案】C
【解析】 因为方程x2＋4x＋X＝0无实数根的概率为，
由Δ＝16－4X<0，得X>4，即P(X>4)＝＝1－P(X≤4)，
故P(X≤4)＝，所以μ＝4.
二、填空题
7．设随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，若P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，则a的值为________．
【答案】
【解析】 由正态分布的性质知，若P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，则＝3，解得a＝.
8．(2019·邯郸一中期末)某种品牌摄像头的使用寿命(单位：年)服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该种品牌的摄像头，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为________．
【答案】
【解析】 由题意知P(ξ≥2)＝0.8，P(ξ≥6)＝0.2，所以P(ξ<2)＝P(ξ>6)＝0.2.所以正态分布曲线的对称轴为ξ＝4，
即P(ξ≤4)＝，即一个摄像头在4年内能正常工作的概率为.所以两个该品牌的摄像头在4年内都能正常工作的概率为×＝.
9．(2019·贵州七校第一次联考)在某校2015年高三11月月考中理科数学成绩X～N(90，σ2)(σ>0)，统计结果显示P(60≤X≤120)＝0.8，假设该校参加此次考试的有780人，那么试估计此次考试中，该校成绩高于120分的有________人．
【答案】 78
【解析】因为成绩X～N(90，σ2)，所以其正态曲线关于直线x＝90对称．又P(60≤X≤120)＝0.8，由对称性知成绩在120分以上的人数约为总人数的×(1－0.8)＝0.1，所以估计成绩高于120分的有0.1×780＝78人．
三、解答题
10．某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如表所示.
版本
人教A版
人教B版
苏教版
北师大版
人数
20
15
5
10
(1)从这50名教师中随机选出2名，求2人所使用版本相同的概率；
(2)若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A版的教师人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．
【答案】见解析
【解析】 (1)从50名教师中随机选出2名的方法数为C＝1 225.
选出2人使用版本相同的方法数为C＋C＋C＋C＝350.
故2人使用版本相同的概率为P＝＝.
(2)ξ的所有可能取值为0,1,2.
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝＝.
11．(2019·广州五校联考)PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．某市环保局从市区今年9月每天的PM2.5监测数据中，按系统抽样方法抽取了某6天的数据作为样本，其监测值如茎叶图所示.
(1)根据样本数据估计今年9月份该市区每天PM2.5的平均值和方差；
(2)从所抽样的6天中任意抽取3天，记ξ表示抽取的3天中空气质量为二级的天数，求ξ的分布列和数学期望．
【答案】见解析
【解析】 (1)＝＝41，
s2＝×[(26－41)2＋(30－41)2＋(36－41)2＋(44－41)2＋(50－41)2＋(60－41)2]＝137.
根据样本估计今年9月份该市区每天PM 2.5的平均值为41，方差为137.
(2)由茎叶图知，所抽样的6天中有2天空气质量为一级，有4天空气质量为二级，则ξ的可能取值为1,2,3，
其中P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ
1
2
3
P
所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝2.
12．(2019·郑州一中月考)2016年河南多地遭遇“跨年霾”，很多学校调整元旦放假时间，提前放假让学生在家躲霾．郑州市根据《郑州市人民政府办公厅关于将重污染天气黄色预警升级为红色预警的通知》(郑政办明电[2016]421号)，自12月29日12时将黄色预警升级为红色预警，12月30日零时启动1级响应，明确要求“幼儿园、中小学等教育机构停课，停课不停学”．学生和家长对停课这一举措褒贬不一，有为了健康赞成的，有怕耽误学习不赞成的．某调查机构为了了解学生和家长对这项举措的态度，随机调查采访了50人，将调查情况整理汇总成下表：
年龄/岁
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
[65,75]
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
4
6
9
6
3
4
(1)请在图中完成被调查人员年龄的频率分布直方图；
(2)若从年龄在[25,35)，[65,75]两组的采访对象中各随机选取2人进行深度跟踪调查，选取的4人中不赞成这项举措的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
【答案】见解析
【解析】(1)补全的频率分布直方图如图所示．
(2)由题意知，X所有可能的取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝·＝＝，
P(X＝1)＝·＋·＝＝，
P(X＝2)＝·＋·＝＝，
P(X＝3)＝·＝＝，
则随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
所以随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.2.
第九篇 计数原理、概率与随机变量及其分布列
专题9.08离散型随机变量的均值与方差、正态分布
【考纲要求】
1.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念．能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．
2.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【命题趋势】
1.正态分布主要通过正态分布的密度函数图象及性质进行考查．
2.离散型随机变量的分布列、均值、方差一般与排列、组合及古典概型、几何概型、二项分布及几何分布相结合，以实际问题为背景进行考查.
【核心素养】
本讲内容突出对数学抽象，数学建模，数据分析核心素养的考查.
【素养清单•基础知识】
1．离散型随机变量的均值与方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
(1)均值
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)方差
称D(X)＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差．
2．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a，b为常数)．
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．
3．两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
4．正态分布
(1)正态曲线：函数φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ为参数(σ>0，μ∈R)．我们称函数φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
(2)正态曲线的性质
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值；
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化沿x轴平移，如图甲所示；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．
(3)正态分布的定义及表示
一般地，如果对于任何实数a，b(a
①P(μ－σ
1.【2019年高考浙江卷】设0＜a＜1，则随机变量X的分布列是
则当a在（0，1）内增大时，
A．增大 B．减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
【答案】D
【分析】研究方差随变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为的二次函数，二次函数的图象和性质解题．题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查．
【解析】方法1：由分布列得，
则，
则当在内增大时，先减小后增大．故选D．
方法2：则，
则当在内增大时，先减小后增大．故选D．
【名师点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式．
2.【2019年高考江苏卷】已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是______________．
【答案】
【解析】由题意，该组数据的平均数为，
所以该组数据的方差是．
3．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
ξ
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
已知ξ的均值E(ξ)＝8.9，则y的值为( )
A．0.4 B．0.6
C．0.7 D．0.9
【答案】A
【解析】因为所以
4．(2018·全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，
P(X＝4)
C．0.4 D．0.3
【答案】B
【解析】根据题意可知，X服从二项分布，即X～B(10，p)，因为D(X)＝np(1－p)，所以10p(1－p)＝2.4，解得p＝0.4或p＝0.6.又因为P(X＝4)＝Cp4(1－p)6，P(X＝6)＝Cp6(1－p)4，P(X＝4)
5．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝__________.
【答案】
【解析】 设P(ξ＝1)＝x，P(ξ＝2)＝y，则＋x＋y＝1，①
E(ξ)＝0×＋x＋2y＝1，②
由①②可知x＝，y＝，所以D(ξ)＝(1－0)2＋(1－1)2＋(1－2)2＝.
6．投掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为__________．
【答案】
【解析】 在投掷两枚骰子中，不含5或6的次数为4×4，故试验成功的概率P＝1－＝＝，则在10次试验中成功次数的均值E(ξ)＝10×＝.
7..【2017年高考全国Ⅰ卷理数】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，．
用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）．
附：若随机变量服从正态分布，则，
，．
【答案】（1），；（2）（ⅰ）见解析，（ⅱ）的估计值为10.02，的估计值为．
【分析】（1）根据题设条件知一个零件的尺寸在之内的概率为0.9974，则零件的尺寸在之外的概率为0.0026，而，进而可以求出的数学期望．（2）（i）判断监控生产过程的方法的合理性，重点是考虑一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率是大还是小，若小即合理；（ii）根据题设条件算出的估计值和的估计值，剔除之外的数据9.22，算出剩下数据的平均数，即为的估计值，剔除之外的数据9.22，剩下数据的样本方差，即为的估计值．
【解析】（1）抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为0.9974，
从而零件的尺寸在之外的概率为0.0026，故．
因此．
的数学期望为．
（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．
（ii）由，得的估计值为，的估计值为，
由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外，
因此需对当天的生产过程进行检查．
剔除之外的数据9.22，剩下数据的平均数为，
因此的估计值为10.02．
，剔除之外的数据9.22，
剩下数据的样本方差为，
因此的估计值为．
【名师点睛】数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念，反映随机变量取值的平均水平．求解离散型随机变量的分布列、数学期望时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的所有取值，然后根据概率类型选择公式，计算每个变量取每个值的概率，列出对应的分布列，最后求出数学期望．正态分布是一种重要的分布，之前考过一次，尤其是正态分布的原则．
【考法拓展•题型解码】
考法一 离散型随机变量的均值、方差
解题技巧
离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略
(1)求离散型随机变量的均值与方差．可依题设条件求出离散型随机变量的概率分布列，然后利用均值、方差公式直接求解．
(2)由已知均值或方差求参数值．可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程，解方程即可求出参数值．
(3)由已知条件，作出对两种方案的判断．可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断．
【例1】 (2019·湖北部分中学质检)随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化．某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店．
(1)若从10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率；
(2)若从这10名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求X的分布列和数学期望．
【答案】见解析
【解析】(1)设“随机抽取2名，其中男、女各一名，至少1名倾向于选择实体店”为事件A，则表示事件“随机抽取2名(其中男、女各一名)都倾向于选择网购”，
则P(A)＝1－P()＝1－ ＝.
(2)X所有可能的取值为0,1,2,3，且P(X＝k)＝，
则P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，
P(X＝3)＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
【例2】 (2019·泉州一模)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．
(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；
(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E(η)＝，D(η)＝，求a∶b∶c.
【答案】见解析
【解析】 (1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6.
故P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝5)＝＝，
P(ξ＝6)＝＝.所以ξ的分布列为
ξ
2
3
4
5
6
P
(2)由题意知η的分布列为
η
1
2
3
P
所以E(η)＝＋＋＝，
D(η)＝2·＋2·＋2·＝.
化简得解得a＝3c，b＝2c，
故a∶b∶c＝3∶2∶1.
考法二 均值与方差的实际应用
归纳总结
随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．
【例3】 (2019·苏州模拟)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站．过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米)都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．
(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；
(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系.
年入流量X
40
X>120
发电机最多可运行台数
1
2
3
若某台发电机运行，则该台年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
【答案】见解析
【解析】 (1)依题意，得p1＝P(40＜X＜80)＝＝0.2，p2＝P(80≤X≤120)＝＝0.7，p3＝P(X＞120)＝＝0.1.
由二项分布，在未来4年中，至多有1年的年入流量超过120概率为p＝C(1－p3)4＋C(1－p3)3p3＝4＋4×3×＝0.947 7.
(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)．
①安装1台发电机的情形．
由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y＝5 000，E(Y)＝5 000×1＝5 000.
②安装2台发电机的情形．
依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，
此时Y＝5 000－800＝4 200，
因此P(Y＝4 200)＝P(40＜X＜80)＝p1＝0.2；当X≥80时，两台发电机运行，此时Y＝5 000×2＝10 000，因此P(Y＝10 000)＝P(X≥80)＝p2＋p3＝0.8.由此得Y的分布列如下：
Y
4 200
10 000
P
0.2
0.8
所以E(Y)＝4 200×0.2＋10 000×0.8＝8 840.
③安装3台发电机的情形．
依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y＝5 000－1 600＝3 400，因此P(Y＝3 400)＝P(40＜X＜80)＝p1＝0.2；当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y＝5 000×2－800＝9 200，
因此P(Y＝9 200)＝P(80≤X≤120)＝p2＝0.7；当X＞120时，三台发电机运行，此时Y＝5 000×3＝15 000，因此P(Y＝15 000)＝P(X＞120)＝p3＝0.1，由此得Y的分布列如下：
Y
3 400
9 200
15 000
P
0.2
0.7
0.1
所以E(Y)＝3 400×0.2＋9 200×0.7＋15 000×0.1＝8 620.
综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．
考法三 正态分布的应用
归纳总结
解决正态分布问题有三个关键点：对称轴x＝μ，标准差σ，分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有标准正态分布的对称轴才为x＝0.
【例4】 (2017·全国卷Ⅰ改编)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2)．
(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；
(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
①试说明上述监控生产过程方法的合理性；
②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经计算得＝i＝9.97，s＝＝≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1,2，…，16.
用样本平均数 作为μ的估计值 ，用样本标准差s作为σ的估计值 ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？
附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σ
【解析】 (1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.997 4，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002 6，故X～B(16,0.002 6)．
因而P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997 416≈0.040 8.
X的数学期望为E(X)＝16×0.002 6＝0.041 6.
(2)①如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小．因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．
②由＝9.97，s≈0.212，得μ的估计值为＝9.97，σ的估计值为＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(－3，＋3)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．
【易错警示】
易错点 误用正态曲线的性质
【典例】 设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是( )
A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)
D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)
【错解】：A或B或D (误用正态曲线的性质)
【错因分析】：错解中由给定的正态曲线的图象错误地判断μ1，μ2，σ1，σ2的大小关系而致错．
【答案】C
【正解】：由题图可知μ1<0<μ2，σ1<σ2，所以P(Y≥μ2)
误区防范
常结合正态曲线的对称性和曲线与x轴围成的面积为1来求概率．P(x>μ)＝P(x<μ)＝，P(－∞
【答案】0.7
【解析】因为P(X>m)＝0.3，X～N(3，σ2)，所以m>3，P(X<6－m)＝P(X<3－(m－3))＝P(X>m)＝0.3，所以P(X>6－m)＝1－P(X<6－m)＝0.7.
【递进题组】
1．甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有m个球，乙袋中共有2m个球，从甲袋中摸出1个球为红球的概率为，从乙袋中摸出1个球为红球的概率为P2.
(1)若m＝10，求甲袋中红球的个数；
(2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是，求P2的值；
(3)设P2＝，若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1个球，并且从甲袋中摸1次，从乙袋中摸2次．设ξ表示摸出红球的总次数，求ξ的分布列和均值．
【答案】见解析
【解析】(1)设甲袋中红球的个数为x，依题意得x＝10×＝4.
(2)由已知，得＝，解得P2＝.
(3)ξ的所有可能值为0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝××＝，
P(ξ＝1)＝××＋×C××＝，
P(ξ＝2)＝×C××＋×2＝，
P(ξ＝3)＝×2＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
2．(2019·昆明一中一模)某校为了解本校2万名学生的汉字书写水平，在全校范围内进行了汉字听写考试，发现其成绩服从正态分布N(69,49)，现从该校随机抽取了50名学生，将所得成绩整理后，绘制出如图所示的频率分布直方图．
(1)估算该校50名学生成绩的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)求这50名学生成绩在[80,100]内的人数；
(3)现从该校50名考生成绩在[80,100]的学生中随机抽取两人，该两人成绩排名(从高到低)在全市前26名的人数记为X，求X的分布列和数学期望．
参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ
【解析】(1)＝45×0.08＋55×0.2＋65×0.32＋75×0.2＋85×0.12＋95×0.08＝68.2.
(2)(0.008＋0.012)×10×50＝10(名)．
(3)因为P(μ－3σ
上述50名考生成绩中90分以上的有0.08×50＝4(人)．
随机变量X＝0,1,2.于是P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
3．(2019·夷陵中学质检)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销量的频率分布直方图，如图所示．
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，均值E(X)及方差D(X)．
【答案】见解析
【解析】(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”．
因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，
P(A2)＝0.003×50＝0.15，
P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.
(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为
P(X＝0)＝C(1－0.6)3＝0.064，
P(X＝1)＝C×0.6×(1－0.6)2＝0.288，
P(X＝2)＝C×0.62×(1－0.6)＝0.432，
P(X＝3)＝C×0.63＝0.216，
可得随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.064
0.288
0.432
0.216
X～B(3,0.6)，E(X)＝3×0.6＝1.8，
D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.
4．(2019·唐山一模)某投资公司在2018年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车，据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．
【答案】见解析
【解析】若按“项目一”投资，设获利为X1万元，则X1的分布列为
X1
300
－150
P
所以E(X1)＝300×＋(－150)×＝200.
若按“项目二”投资，设获利X2万元，则X2的分布列为
X2
500
－300
0
P
所以E(X2)＝500×＋(－300)×＋0×＝200.
又D(X1)＝(300－200)2×＋(－150－200)2×＝35 000，
D(X2)＝(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×＝140 000.
所以E(X1)＝E(X2)，D(X1)＜D(X2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．
综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．
【考卷送检】
一、选择题
1．(2019·瑞安中学一模)某种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为( )
A．100 B．200
C．300 D．400
【答案】B
【解析】将“没有发芽的种子数”记为ξ，则ξ＝0,1,2,3，…，1 000，由题意可知ξ～B(1 000,0.1)，所以E(ξ)＝1 000×0.1＝100，又因为X＝2ξ，所以E(X)＝2E(ξ)＝200，故选B.
2．某运动员投篮命中率为0.6，他重复投篮5次，若他命中一次得10分，没命中不得分；命中次数为X，得分为Y，则E(X)，D(Y)分别为( )
A．0.6,60 B．3,12
C．3,120 D．3,1.2
【答案】C
【解析】X～B(5,0.6)，Y＝10X，所以E(X)＝5×0.6＝3，D(X)＝5×0.6×0.4＝1.2，D(Y)＝100D(X)＝120.
3．若离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
P
则X的数学期望E(X)＝( )
A．2 B．2或
C. D．1
【答案】C
【解析】 因为分布列中概率和为1，所以＋＝1，即a2＋a－2＝0，解得a＝－2(舍去)或a＝1，所以E(X)＝.
4．(2019·山东潍坊质检)已知随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，且P(X<5)＝0.8，则P(1
C．0.3 D．0.2
【答案】C
【解析】由正态曲线的对称性可知，P(X<3)＝P(X>3)＝0.5，故P(X>1)＝P(X<5)＝0.8，所以P(X≤1)＝1－P(X>1)＝0.2，P(1
C．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)
【答案】A
【解析】根据题意得，E(ξi)＝pi，D(ξi)＝pi(1－pi)，i＝1,2，因为0
A．1 B．2
C．4 D．不能确定
【答案】C
【解析】 因为方程x2＋4x＋X＝0无实数根的概率为，
由Δ＝16－4X<0，得X>4，即P(X>4)＝＝1－P(X≤4)，
故P(X≤4)＝，所以μ＝4.
二、填空题
7．设随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，若P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，则a的值为________．
【答案】
【解析】 由正态分布的性质知，若P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，则＝3，解得a＝.
8．(2019·邯郸一中期末)某种品牌摄像头的使用寿命(单位：年)服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该种品牌的摄像头，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为________．
【答案】
【解析】 由题意知P(ξ≥2)＝0.8，P(ξ≥6)＝0.2，所以P(ξ<2)＝P(ξ>6)＝0.2.所以正态分布曲线的对称轴为ξ＝4，
即P(ξ≤4)＝，即一个摄像头在4年内能正常工作的概率为.所以两个该品牌的摄像头在4年内都能正常工作的概率为×＝.
9．(2019·贵州七校第一次联考)在某校2015年高三11月月考中理科数学成绩X～N(90，σ2)(σ>0)，统计结果显示P(60≤X≤120)＝0.8，假设该校参加此次考试的有780人，那么试估计此次考试中，该校成绩高于120分的有________人．
【答案】 78
【解析】因为成绩X～N(90，σ2)，所以其正态曲线关于直线x＝90对称．又P(60≤X≤120)＝0.8，由对称性知成绩在120分以上的人数约为总人数的×(1－0.8)＝0.1，所以估计成绩高于120分的有0.1×780＝78人．
三、解答题
10．某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如表所示.
版本
人教A版
人教B版
苏教版
北师大版
人数
20
15
5
10
(1)从这50名教师中随机选出2名，求2人所使用版本相同的概率；
(2)若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A版的教师人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．
【答案】见解析
【解析】 (1)从50名教师中随机选出2名的方法数为C＝1 225.
选出2人使用版本相同的方法数为C＋C＋C＋C＝350.
故2人使用版本相同的概率为P＝＝.
(2)ξ的所有可能取值为0,1,2.
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝＝.
11．(2019·广州五校联考)PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．某市环保局从市区今年9月每天的PM2.5监测数据中，按系统抽样方法抽取了某6天的数据作为样本，其监测值如茎叶图所示.
(1)根据样本数据估计今年9月份该市区每天PM2.5的平均值和方差；
(2)从所抽样的6天中任意抽取3天，记ξ表示抽取的3天中空气质量为二级的天数，求ξ的分布列和数学期望．
【答案】见解析
【解析】 (1)＝＝41，
s2＝×[(26－41)2＋(30－41)2＋(36－41)2＋(44－41)2＋(50－41)2＋(60－41)2]＝137.
根据样本估计今年9月份该市区每天PM 2.5的平均值为41，方差为137.
(2)由茎叶图知，所抽样的6天中有2天空气质量为一级，有4天空气质量为二级，则ξ的可能取值为1,2,3，
其中P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ
1
2
3
P
所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝2.
12．(2019·郑州一中月考)2016年河南多地遭遇“跨年霾”，很多学校调整元旦放假时间，提前放假让学生在家躲霾．郑州市根据《郑州市人民政府办公厅关于将重污染天气黄色预警升级为红色预警的通知》(郑政办明电[2016]421号)，自12月29日12时将黄色预警升级为红色预警，12月30日零时启动1级响应，明确要求“幼儿园、中小学等教育机构停课，停课不停学”．学生和家长对停课这一举措褒贬不一，有为了健康赞成的，有怕耽误学习不赞成的．某调查机构为了了解学生和家长对这项举措的态度，随机调查采访了50人，将调查情况整理汇总成下表：
年龄/岁
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
[65,75]
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
4
6
9
6
3
4
(1)请在图中完成被调查人员年龄的频率分布直方图；
(2)若从年龄在[25,35)，[65,75]两组的采访对象中各随机选取2人进行深度跟踪调查，选取的4人中不赞成这项举措的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
【答案】见解析
【解析】(1)补全的频率分布直方图如图所示．
(2)由题意知，X所有可能的取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝·＝＝，
P(X＝1)＝·＋·＝＝，
P(X＝2)＝·＋·＝＝，
P(X＝3)＝·＝＝，
则随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
所以随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.2.
相关学案
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