高三数学一轮复习试卷 专题5：解析几何多选题64页

这是一份高三数学一轮复习试卷 专题5：解析几何多选题64页，共64页。试卷主要包含了泰戈尔说过一句话，瑞士数学家欧拉等内容，欢迎下载使用。
解析几何多选题
1．已知抛物线，焦点为，过焦点的直线抛物线相交于，两点，则下列说法一定正确的是（ ）
A．的最小值为2
B．线段为直径的圆与直线相切
C．为定值
D．若，则
2．已知点是双曲线的右支上一点，双曲线的左、右焦点，的面积为20，则下列说法正确的有( )
A．点的横坐标为 B．的周长为
C．小于 D．的内切圆半径为
3．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅．已知点，直线l：，若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（ ）
A．点P的轨迹曲线是一条线段
B．点P的轨迹与直线：是没有交会的轨迹即两个轨迹没有交点
C．不是“最远距离直线”
D．是“最远距离直线”

4．已知椭圆的左、右两个焦点分别为，直线与交于A，B两点，轴，垂足为，直线BE与的另一个交点为，则下列结论正确的是（ ）
A．四边形为平行四边形 B．
C．直线BE的斜率为 D．
5．已知、分别为双曲线的左、右焦点，且，点P为双曲线右支一点，I为的内心，若成立，则下列结论正确的有（ ）
A．当轴时， B．离心率
C． D．点I的横坐标为定值a
6．把方程表示的曲线作为函数的图象，则下列结论正确的有（ ）
A．函数的图象不经过第三象限
B．函数在R上单调递增
C．函数的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1
D．函数不存在零点
7．已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）
A．点的坐标为
B．若，，三点共线，则
C．若直线与的斜率之积为，则直线过点
D．若，则的中点到轴距离的最小值为2
8．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆在平面直角坐标系中,点.设点的轨迹为,下列结论正确的是（ ）
A．的方程为
B．在轴上存在异于的两定点,使得
C．当三点不共线时,射线是的平分线
D．在上存在点,使得
9．动点分别到两定点连线的斜率的乘积为，设的轨迹为曲线，分别为曲线的左、右焦点，则下列命题中正确的有（ ）
A．曲线的焦点坐标为；
B．若，则；
C．的内切圆的面积的面积的最大值为；
D．设，则的最小值为．
10．瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．

11．太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种互相转化，相对统一的和谐美. 定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆的一个“太极函数”.则下列有关说法中，正确的是（ ）

A．对于圆：的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数
B．函数是圆：的一个太极函数
C．存在圆，使得是圆的一个太极函数
D．直线所对应的函数一定是圆：的太极函数
12．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，C，D分别为A，B在l上的射影，且，M为AB中点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．为等腰直角三角形
C．直线AB的斜率为 D．的面积为4
13．已知为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，则下面四个结论正确的是（ ）
A．的最大值大于3
B．的最大值为4
C．的最大值为60°
D．若动直线垂直于轴，且交椭圆于两点，为上满足的点，则点的轨迹方程为或
14．已知P是双曲线C：上任意一点，A，B是双曲线的两个顶点，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2(k1k2≠0)，若|k1|+|k2|≥t恒成立，且实数t的最大值为1，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的方程为
B．双曲线的离心率为
C．函数(a＞0，a≠1)的图象恒过双曲线C的一个焦点
D．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若△PF1F2的面积为，则∠PF1F2=
15．已知双曲线的左、右焦点分别为，P是双曲线的右支上异于顶点的一个点，的内切圆的圆心为I，过作直线的垂线，垂足为M，O为坐标原点，则以下结论正确的是（ ）
A．的内切圆的园心I在直线上
B．
C．若，则的面积为
D．的内切圆与x轴的切点为


16．关于下列命题，正确的是（ ）
A．若点在圆外，则或
B．已知圆：与直线，对于任意的，总存在使直线与圆恒相切
C．已知圆：与直线，对于任意的，总存在使直线与圆恒相切
D．已知点是直线上一动点，､是圆：的两条切线，､是切点，则四边形的面积的最小值为
17．设，分别为双曲线：的左、右焦点,若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则（ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．双曲线的离心率为
C．双曲线的渐近线与抛物线的准线围成的三角形的面积为
D．双曲线的渐近线与抛物线的交点构成的三角形的面积为
18．设，是抛物线上的两个不同的点，是坐标原点．若直线与的斜率之积为，则（ ）．
A．
B．以为直径的圆的面积大于
C．直线过定点
D．点到直线的距离不大于2
19．已知双曲线，不与轴垂直的直线与双曲线右支交于点，，（在轴上方，在轴下方），与双曲线渐近线交于点，（在轴上方），为坐标原点，下列选项中正确的为（ ）
A．恒成立
B．若，则
C．面积的最小值为1
D．对每一个确定的，若，则的面积为定值
20．已知直线与抛物线相交于两点，点是抛物线的准线与以为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．的面积为
21．在平面直角坐标系中，已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过点F且斜率大于0的直线交抛物线C于A，B两点（其中A在B的上方），过线段的中点M且与x轴平行的直线依次交直线，，l于点P，Q，N.则（ ）
A．
B．若P，Q是线段的三等分点，则直线的斜率为
C．若P，Q不是线段的三等分点，则一定有
D．若P，Q不是线段的三等分点，则一定有


22．抛物线的焦点为F，P为其上一动点，设直线l与抛物线C相交于A，B两点，点下列结论正确的是（ ）
A．|PM| +|PF|的最小值为3
B．抛物线C上的动点到点的距离最小值为3
C．存在直线l，使得A，B两点关于对称
D．若过A、B的抛物线的两条切线交准线于点T，则A、B两点的纵坐标之和最小值为2
23．已知抛物线上三点，，，为抛物线的焦点，则（ ）
A．抛物线的准线方程为
B．，则，，成等差数列
C．若，，三点共线，则
D．若，则的中点到轴距离的最小值为2
24．某同学在研究函数的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递减，上单调递增
B．函数的最小值为，没有最大值
C．存在实数，使得函数的图象关于直线对称
D．方程的实根个数为2
25．在棱长为1的正方体中，已知点P为侧面上的一动点，则下列结论正确的是（ ）
A．若点P总保持，则动点P的轨迹是一条线段；
B．若点P到点A的距离为，则动点P的轨迹是一段圆弧；
C．若P到直线与直线的距离相等，则动点P的轨迹是一段抛物线；
D．若P到直线与直线的距离比为，则动点P的轨迹是一段双曲线.
26．已知双曲线C的方程是：（，），则下列说法正确的是（ ）
A．当时，双曲线的离心率为
B．过双曲线C右焦点F的直线与双曲线只有一个交点的直线有且只有2条；
C．过双曲线C右焦点F的直线与双曲线右支交于M，N两点，则此时线段长度有最小值；
D．双曲线C与双曲线：（，）渐近线相同.
27．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，椭圆的上顶点为，且曲线和椭圆有相同焦点，且双曲线的离心率为，为曲线与的一个公共点，若，则（ ）
A． B． C． D．
28．双曲线C：的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法正确的是( )
A．双曲线C的离心率为
B．双曲线与双曲线C的渐近线相同
C．若，则的面积为
D．的最小值为2
29．已知分别为双曲线的左右焦点,且,点为双曲线右支上一点,为的内心 ,若成立,过原点作的平行线交于则下列结论正确的有( )
A． B．
C．点的横坐标为 D．
30．已知圆M: ，直线l：，下面五个命题，其中正确的是（ ）
A．对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点；
B．对任意实数k与θ，直线l与圆M都相离；
C．存在实数k与θ，直线l和圆M相离；
D．对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l与圆M相切：
E.对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l与圆M相切；
31．若方程所表示的曲线为，则下面四个选项中错误的是（ ）
A．若为椭圆，则
B．若是双曲线，则其离心率有
C．若为双曲线，则或
D．若为椭圆，且长轴在轴上，则
32．已知分别是双曲线的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点，若且的最小内角为，则（ ）
A．双曲线的离心率
B．双曲线的渐近线方程为
C．
D．直线与双曲线有两个公共点
33．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，，点满足.设点的轨迹为，下列结论正确的是（ ）
A．的方程为
B．在上存在点，使得
C．当，，三点不共线时，射线是的平分线
D．在三棱锥中，面，且，，，该三棱锥体积最大值为12
34．已知点F是抛物线的焦点，AB,CD是经过点F的弦且AB⊥CD，AB的斜率为k，且k>0，C,A两点在x轴上方.则下列结论中一定成立的是（ ）
A．
B．四边形ACBD面积最小值为
C．
D．若，则直线CD的斜率为
35．已知双曲线的左、右两个顶点分别是A1,A2,左、右两个焦点分别是F1,F2,P是双曲线上异于A1,A2的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有（ ）
A．
B．直线的斜率之积等于定值
C．使得为等腰三角形的点有且仅有8个
D．的面积为
36．如图，已知椭圆：，过抛物线：焦点的直线交抛物线于，两点，连接，并延长分别交于，两点，连接，与的面积分别记为，，则在下列命题中，正确的为（ ）

A．若记直线，的斜率分别为，，则的大小是定值为
B．的面积是定值1
C．线段，长度的平方和是定值5
D．设，则

参考答案，仅供参考
1．BCD
【分析】根据抛物线和过焦点的直线位置关系，结合抛物线的定义和性质，结合韦达定理，逐个判断即可得解.
【解析】抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
过焦点的弦中通径最短，所以最小值为，故A不正确；
如图，设线段中点为，过点，，作准线的垂线，垂足分别为，，，

由抛物线定义可知，，
所以，
所以以线段为直径的圆与直线相切，故B正确；
设所在直线的方程为，由，消去，得，
所以，，故C正确；
又，
，故D正确．
故选：BCD.
【点评】本题考查了抛物线的定义和通径的概念，以及直线和抛物线的位置关系，考查了利用韦达定理搭桥，建立各个量之间的联系，考查了转化思想和数形结合思想，计算量相对较大，属于难题.
2．ABCD
【分析】在焦点三角形中利用三种表达形式，可判定ACD选项正确，由两点间的距离公式表示，利用双曲线的定义表示，从而表示的周长，即可判定B选项正确.
【解析】因为双曲线，所以
又因为，所以
将其代入得，即，所以选项A正确；
所以P的坐标为，由对称性可知,
由双曲线定义可知
所以，所以选项B正确；
因为，所以，
即，所以，所以选项C正确；
因为，所以，所以选项D正确.

故选：ABCD
【点评】本题考查双曲线的焦点三角形问题，主要涉及面积公式的变形应用和双曲线的定义使用，属于难题.
3．BCD
【分析】先根据题意与抛物线的概念，可以得到点P的轨迹方程，再根据“最远距离直线”逐一判断即可．
【解析】由题意可得，点P到点M的距离比到直线l的距离小1，
即等价于“点P到点M的距离等于到直线：的距离”
故P点轨迹是以为焦点，直线：为准线的抛物线，
其方程是，故A错误
点P的轨迹方程是抛物线，它与直线没交点，
即两者是没有交会的轨迹，故B正确
要满足“最远距离直线”则必须满足与上述抛物线有交点，
把代入抛物线，
消去y并整理得
因为，无解，
所以不是“最远距离直线”，故C正确；
把代入抛物线，
消去y并整理得，
因为，有解，
所以是“最远距离直线”，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线的概念以及圆锥曲线的轨迹问题，还考查了分析问题与解决问题的能力，属于较难题．
4．ABC
【分析】由对称性可证，即可判断四边形是否为平行四边形；△中应用余弦定理，结合直线斜率的存在性即可判断是否正确；由对称性设，则，，即知直线BE的斜率；联立直线与椭圆方程，即可求得点坐标，进而有直线的斜率即可判断.
【解析】
A选项：根据对称性，如上图有，所以，即，则，，所以四边形为平行四边形；A正确.

B选项：由余弦定理，，，由直线中存在故，
∴，令，则，所以，， ，即；B正确.

C选项：若，则，，所以直线BE的斜率为；C正确.

D选项：由上可设，联立椭圆方程，整理得：，若，则，即，，所以直线的斜率为，故，即，故D错误.
故选：ABC．
【点评】本题考查了椭圆方程，根据直线与椭圆的位置关系，判断交点与焦点构成图形的形状，动点与焦点所成角的范围、两直线的位置关系等，属于难题.
5．BCD
【分析】当轴时，由，得；由可得求出离心率；设的内切圆半径为，由，，用的边长和表示出等式中的三角形的面积，解此等式求出；由切线的性质面积和双曲线的定义可得I的横坐标．
【解析】当轴时，，
此时，所以A错误；
∵，∴，
整理得（为双曲线的离心率），
∵，∴，所以B正确.
设的内切圆半径为r，
由双曲线的定义得，，
，，，
∵，
∴，
故，所以C正确.
设内切圆与、、的切点分别为M、N、T，
可得，.
由，
，
可得，可得T的坐标为，
即Ⅰ的横坐标为a，故D正确；
故选BCD.

【点评】本题考查双曲线的定义和简单性质，利用待定系数法求出参数的值，考查圆的切线的性质，化简运算能力和推理能力，属于中档题．
6．ACD
【分析】根据函数的解析式，分类讨论作出函数的图象，结合图象可判定A准确，B不正确，根据两点间的距离公式和椭圆的方程，可判定C正确，根据双曲线的几何性质和函数的零点的定义，可判定D正确.
【解析】由题意，方程，
当时，，表示椭圆在第一象限的部分；
当时，，表示双曲线在第四象限的部分；
当时，，表示双曲线在第二象限的部分；
当时，，此时不成立，舍去，
其图像如图所示，可得该函数的图象不经过第三象限，所以A是正确的；
由函数的图象可得，该函数在为单调递减函数，所以B不正确；
由图象可得，函数的图象上的点到原点的距离的最小的点在的图象上，
设点，则点满足时，，即
则，当时，，所以C正确；
令，可得，即，
则函数的零点，即为函数与的交点，
又由直线为双曲线和渐近线，
所以直线与函数没有交点，即函数不存在零点，
所以D是正确的.
故选：ACD.

【点评】本题主要考查了命题的真假判定，函数的单调性、函数的零点个数的判定，以及椭圆和双曲线的几何性质的综合应用，试题综合性强，属于中档试题.
7．BCD
【分析】根据抛物线的标准方程，求得焦点的坐标，可判定A错误；设直线的方程为，根据韦达定理和向量的运算，可判定B正确；设直线的方程为，根据直线的斜率公式、弦长公式等，可判定C、D正确.
【解析】由抛物线，可得，则焦点坐标为，故A错误；
设直线的方程为，
联立方程组，可得，所以，
所以，
所以，故B正确；
设直线的方程为，
联立方程组，可得，所以，
所以，
因为直线与的斜率之积为，即，可得，解得，
所以直线的方程为，即直线过点，故C正确；
因为，
所以，所以，
因为，
所以的中点到轴的距离：
，当且仅当时等号成立，
所以的中点到轴的距离的最小值为2，故D正确，
综上所述，正确命题为BCD.
故选：BCD.
【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程及几何性质，以及直线与抛物线的位置关系的应用，解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．
8．BC
【分析】通过设出点P坐标，利用即可得到轨迹方程，找出两点即可判断B的正误，设出点坐标，利用与圆的方程表达式解出就存在，解不出就不存在.
【解析】设点，则，化简整理得，即，故A错误；根据对称性可知，当时，，故B正确；对于C选项，，,要证PO为角平分线，只需证明，即证，化简整理即证，设，则，
，则证
，故C正确；对于D选项，设,由可得，整理得，而点M在圆上，故满足，联立解得，无实数解，于是D错误.故答案为BC.
【点评】本题主要考查阿氏圆的相关应用，轨迹方程的求解，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度较大.
9．ACD
【分析】根据动点到两个定点连线斜率的乘积为定值可求得曲线的方程，可得到椭圆的焦点坐标，根据椭圆焦点三角形的面积公式可得焦点三角形面积，当焦点三角形内切圆半径最大时面积最大，根据动点在椭圆上方运动的特点可知半径变化是由小到大再变小，当动点在上顶点处内切圆半径最大，利用等面积法可求得内切圆半径；利用椭圆定义将动点到左焦点的距离转化为动点到右焦点的距离的差，当点M在A的上方时有最大值.
【解析】由题意可知:化解得，
A项：，，即曲线C的焦点坐标为，故A项正确；
B项：先推导焦点三角形面积公式：
在中，设，，，由余弦定理得



∴,即，
∴=．
故B项错误；
C项：在三角形中，设内切圆的半径为r ，由椭圆形定义， ，，解得（），当M在上顶点时，，内切圆半径r取最大值，内切圆最大面积为，故C正确；
D项：在三角形中,,则，当 三点共线，并且M在A的上方时，有最小值，即 ，故D项正确.
故选：ACD
【点评】本题考查了圆锥曲线方程的求解、圆锥曲线焦点三角形的性质、椭圆第一定义的应用、数形结合的思想，属于较难题目，解题中首先对椭圆性质要准确掌握，可以简化计算，其次对字母运算能力要求较高.
10．AD
【分析】设，依题意可确定的外心为，可得出一个关系式，求出重心坐标，代入欧拉直线方程，又可得出另一个关系式，解方程组，即可得出结论.
【解析】设的垂直平分线为，
的外心为欧拉线方程为
与直线的交点为，
，①
由，，重心为，
代入欧拉线方程，得，②
由 ①②可得或 .
故选:AD
【点评】本题以数学文化为背景，考查圆的性质和三角形重心，属于较难题.
11．BCD
【分析】利用“太极函数”的定义逐个判断函数是否满足新定义即可.
【解析】对于A，如下图所示，若太极函数为偶函数，且，所以该函数平分圆的周长和面积，故A错误；

对于B，也关于圆心 对称，平分圆的周长和面积，所以函数是圆的一个太极函数；故B正确；
对于C，，.
，该函数为奇函数，图象关于原点对称.
所以存在圆：使得是圆的一个太极函数，如下图所示，故C正确；

对于D，对于直线的方程，变形为，
令，得，直线经过圆的圆心，可以平分圆周长和面积，故D正确.
故选：BCD.
【点评】本题考查函数对称性的判定与应用，将新定义理解为函数的对称性为解题的关键，考查推理能力，属于较难题.
12．AC
【分析】A．根据抛物线性质，结合角度之间的关系，求解出的度数；B．利用抛物线的焦半径结合，判断为等腰直角三角形的可能性；C．根据，设出直线方程完成直线斜率的求解；D．取直线的方程，联立抛物线方程求解出的值，根据求解出三角形面积.
【解析】过点向准线作垂线，垂足为，，设，
如下图所示：

A．因为，所以，
又因为，所以，所以平分，
同理可知平分，所以，故结论正确；
B．假设为等腰直角三角形，所以，
所以四点共圆且圆的半径为，
又因为，所以，
所以，所以，所以，显然不成立，故结论错误；
C．设直线的方程为，所以，所以，所以，
又因为，所以，所以，
所以，所以，所以直线的斜率为，故结论正确；
D．取，由上可知，所以，
所以，故结论错误.
故选：AC.
【点评】本题考查抛物线焦点弦的性质的综合应用，对于图形分析和计算能力要求较高，难度较难.抛物线焦点弦的性质的另一种表示形式：过抛物线焦点的直线的倾斜角为，焦点弦与抛物线的交点为(在轴的上方，在轴的下方)，此时，.
13．BCD
【分析】由椭圆，可得，，，左、右焦点分别为，．
对于A，，即可判断出正误；
对于B，由，即可判断出正误．
对于C，当点取短轴的一个端点时，取得最大值，取，则，求出即可判断出正误．
对于D，设，，，，，由，可得，即，又，代入即可判断出正误．
【解析】由椭圆方程得，
因此．
选项A中，，A错误；
选项B中，，当且仅当时取等号，B正确；
选项C中，当点为短轴的端点时，取得最大值，取，则，
的最大值为60°，C正确；
选项D中，设．
，
，即或．
又由题意知，
或，
化简得或，D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
14．AC
【分析】可设，代入双曲线的方程，结合不等式恒成立思想，以及基本不等式求得，进而得到双曲线的方程和离心率，以及焦点，可判断，，，再由焦点三角形面积及双曲线的对称性，即可判断．
【解析】可设，可得，
即有，
由，，可得，
即，
若恒成立，且实数的最大值为1，
可得的最小值为1，
由，当时等号成立，
则，解得，
可得双曲线的方程为，
则，故正确，错误；
由双曲线的焦点为，，
函数，的图象恒过双曲线的焦点，，故正确；
由△PF1F2的面积为及双曲线的对称性可知，P点可在左支，也可在右支上，
所以∠PF1F2=错误，故错误．
故选：AC
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查不等式恒成立问题解法和函数的图象的特点、以及直线和双曲线的关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
15．ABC
【分析】设内切圆与边的切点为，与边的切点为，与轴的切点为，运用圆的切线长定理和双曲线的定义可得
，可判断A；延长交于，运用等腰三角形的三线合一以及中位线定理，双曲线的定义，可判断B；由三角形的面积公式和余弦定理，结合双曲线的定义和三角函数的恒等变换可判断C；由A的判断过程可判断D．
【解析】解：设内切圆与边的切点为，与边的切点为，
与轴的切点为，
由切线长定理可得，，
，
又，
解得，则，即的横坐标为，即在直线上，故A正确；
延长交于，
可得为的垂直平分线，可得，且为的中点，
可得，而，可得，故B正确；
若，则，，
设，，，
△的面积为，
又，
可得，则，故C正确；
△的内切圆与轴的交点为，故D不正确．
故选：ABC．

【点评】本题考查双曲线的定义和性质，以及圆的切线长定理，以及三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．
16．ACD
【分析】对于A，根据点到圆心的距离大于半径解不等式即可；求出到直线的距离，可判断B与C；求出圆心C到直线的距离，即可求出，从而四边形的面积的最小值可求.
【解析】解：的圆心，半径，则，所以或，故A正确；
已知圆：的圆心，半径，
圆心到直线的距离，
当时，即此时不存在使直线与圆相切，因此B错误；
对于任意的，令，则，即对于任意的，总存在使直线与圆相切，故C正确.
，半径，圆心到直线的距离，即的最小值，由，所以，
四边形的面积最小值，
故D正确.
故选：ACD.
【点评】考查点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系的应用，难题.
17．AC
【分析】利用题设条件和双曲线的定义在三角形中寻找等量关系，得到三角形是等腰三角形，再利用双曲线定义得到的等量关系，求出渐近线方程，再找到离心率和三角形的面积.
【解析】因为，所以是一个等腰三角形，所以在直线上的射影是线段的中点，由勾股定理得．根据双曲线定义有，整理得，代入，整理得，所以，则双曲线的离心率，故错误；
所以双曲线的渐近线方程为，即，故正确；
所以渐近线与抛物线的准线的交点坐标为和，所以它们围成三角形的面积，故正确；
设双曲线的渐近与抛物线的交点分别为A，B，C，由得或或
由抛物线和双曲线的渐近线的对称性可设，，，所以的面积为，故错误．
故选：.
【点评】本题考查了双曲线的的定义和渐近线、几何性质，直线与双曲线的位置关系.
18．CD
【分析】通过轴时的特殊情况，判断A、B选项不正确；当直线与轴不垂直时，设直线方程，通过推理论证，得出直线过定点，进而得出点到直线的距离最大值即为O、Q两点间的距离，进而得出CD正确.
【解析】不妨设为第一象限内的点，
①当直线轴时，，由，
得，，
所以直线，的方程分别为：和．
与抛物线方程联立，得，，
所以直线的方程为，此时，
以为直径的圆的面积，故A、B不正确．
②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，
与抛物线方程联立消去，得，则．
设，，则．
因为，所以，
则，则，
所以，即，
所以直线的方程为，即．
综上可知，直线为恒过定点的动直线，故C正确；
易知当时，原点到直线的距离最大，最大距离为2，
即原点到直线的距离不大于2．故D正确．
故选：CD
【点评】本题考查了直线与抛物线的关系，考查了运算求解能力，逻辑推理能力，分类讨论和数形结合思想，属于难题.
19．ABD
【分析】对于A选项，设直线方程为，分别与双曲线方程以及双曲线的渐近线方程联立，求出中点坐标，并判断是否相等即可；对于B选项，由，得到，结合A选项的结果，即可判断选项B是否正确；对于C选项，设直线方程为，，直线分别与渐近线方程联立，求出坐标，进而求出的面积，根据的范围，求出的面积的范围即可；对于D选项，由已知可得，利用选项A的方程，得到关系，求出的面积即可.
【解析】设，代入得，①
显然，，即，
设，，则，是方程①的两个根，
有，，
设，，由得，
由，得；
所以，所以和的中点重合，
所以，所以恒成立．故A正确．

因为和的中点重合为，所以，
又，所以，
所以，故B正确．
设直线方程为，，
由得，由得，
，，，
，故C错误.

因为，所以，得
，即，
所以，，又，，，
所以是定值．故D正确．
故选：ABD.
【点评】本题考查双曲线的性质、直线与双曲线的位置关系，应用根与系数关系是解题的关键，考查逻辑推理、计算求解能力，属于中档题.
20．ABC
【分析】由题意可知，抛物线的准线为，利用抛物线的几何性质求出和抛物线的方程和焦点坐标，结合直线的方程可知，直线经过焦点，利用抛物线的定义表示出以为直径的圆的半径和圆心,由得到关于的方程，解方程求出，利用抛物线的定义和点到直线的距离分别求出的长度和的面积，据此即可判断.
【解析】由题意知，抛物线的准线为，即，解得，故选项A正确；
因为，所以抛物线的方程为：，其焦点为，
又直线，即，所以直线恒过抛物线的焦点，
设点，因为两点在抛物线上，
联立方程，两式相减可得，，
设的中点为，则，因为点在直线上，
解得可得，所以点是以为直径的圆的圆心，
由抛物线的定义知，圆的半径，
因为，所以，
解得，故选项B正确；
因为，所以弦长，故选项C正确；
因为，所以直线为，由点到直线的距离公式可得，
点到直线的距离为，所以，
故选项D错误；
故选：ABC
【点评】本题考查抛物线的标准方程及其几何性质、圆的性质、直线与抛物线的位置关系、弦长公式、点到直线的距离公式；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握直线与抛物线的位置关系和抛物线的几何性质、圆的性质是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题.
21．AB
【分析】设直线方程为，，直线方程代入抛物线方程应用韦达定理得，从而可表示出点坐标，然后求出点坐标，判断各选项．
【解析】抛物线的焦点为，设直线方程为，，，
由得，，，
∴，，直线方程为，
∵共线，∴，，同理，
，，
∴，即，A正确；
若P，Q不是线段的三等分点，则，，
，又，，
∴，∴，解得（∵），B正确；

由得，，
∴，，又，
∴，
，
∴，
当时，，C错；
由图可知，而，只要，就有，D错．
故选：AB．
【点评】本题考查抛物线的焦点弦的性质，通过确定直线与抛物线中的线段长考查学生的运算求解能力，逻辑推理能力．
22．AD
【解析】
【分析】

根据抛物线的性质对每个命题进行判断．
【解析】
A．设是抛物线的准线，过 作于，则 ，当且仅当三点共线时等号成立．所以 最小值是3，A正确；

B．设 是抛物线上任一点，即， ，时， ，B错误；
C．假设存在直线，使得A， B两点关于 对称，设方程为 ，由 得 ，
所以， ，设 ，则， 中点为 ，则 ， ，必在直线 上，
所以， ，这与直线 抛物线相交于两个点矛盾，故不存在，C错误；
D．设 ，由即，得 ，则切线方程为 ，
即 ，同理方程是 ，
由 ，解得 ，由题意在准线 上，
所以 ，，
所以 ，
所以时， 为最小值．D 正确．
故选：AD．
【点评】
本题考查抛物线的性质，涉及抛物线的定义，抛物线上的点到定点距离的最值，抛物线上的点关于定直线的对称性，抛物线的切线问题，难度较大．
23．ABD
【解析】
【分析】

把点代入抛物线 即可得到本题答案；根据抛物线的定义，以及 ，可得，从而可证得 ；由A，F，C三点共线，得 ，结合 ，化简即可得到本题答案；设AC的中点为 ，由 ，结合 ，即可得到本题答案.
【解析】
把点代入抛物线 ，得，所以抛物线的准线方程为，故 A 正确；
因为 ，所以 ， ， ，又由 ，得，
所以 ，即 ， ， 成等差数列，故B正确；
因为A，F，C三点共线，所以直线斜率 ，即 ，所以 ，化简得，，故C 不正确；
设AC的中点为 ，因为 ， ，所以，得 ，
即的中点到轴距离的最小值为2 ，故 D正确.
故选：ABD
【点评】
本题主要考查抛物线定义的应用以及抛物线与直线的相关问题，考查学生的分析问题能力和转化能力.
24．ABD
【分析】设点，，函数表示x轴上的点到A、B两点的距离之和，让点P在x轴上移动，可观察出的变化情况，从而判断出各选项的正确性.
【解析】
设点，，函数表示x轴上的点到A、B两点的距离之和，
由图可知，当点P由x的负半轴方向向原点O移动时，的和逐渐变小，即函数区间上单调递减，
当点P由点A向x的正半轴方向移动时，的和逐渐变大，即函数在区间上单调递增，故A正确；
当点P移动到点A时，的和最小，最小值为，没有最大值，即函数的最小值为，没有最大值，故B正确；
，而，
显然，故不存在存在实数，使得函数的图象关于直线对称，故C错误；
方程即，由选项A可知，函数在区间上单调递减，上单调递增，当时，，当时，，所以存在唯一的，使得，当时，故等价于，解得，舍去，综上，方程的实根个数为2，D正确.
故选：ABD.
【点评】本题主要考查函数的性质，解题关键是将函数转化为x轴上的点到A、B两点的距离之和，这样通过点的移动可以直观地得到函数的性质，考查逻辑思维能力和计算能力，考数形结合思想和转化思想，属于中档题.
25．ABD
【分析】由平面且平面平面，即可判断A；根据球的性质及与正方体的截面性质即可判断B；作，，连接，作.建立空间直角坐标系，由即可求得动点P的轨迹方程，即可判断C；根据题意，由距离比即可求得轨迹方程，进而判断D.
【解析】对于A，，且，所以平面，平面平面，故动点P的轨迹为线段，所以A正确；
对于B，点P的轨迹为以A为球心、半径为的球面与面的交线，即为一段圆弧，所以B正确；
对于C，作，，连接；作.由，在面内，以C为原点、以直线、、为x，y，z轴建立平面直角坐标系，如下图所示：

设，则，化简得，P点轨迹所在曲线是一段双曲线，所以C错误.
对于D，由题意可知点P到点的距离与点P到直线的距离之比为，结合C中所建立空间直角坐标系，可得，所以，代入可得，化简可得，故点P的轨迹为双曲线，所以D正确.
综上可知，正确的为ABD.
故选：ABD.
【点评】本题考查了空间几何体中截面的形状判断，空间直角坐标系的综合应用，轨迹方程的求法，属于难题.
26．ABCD
【分析】由双曲线的性质分别判断．
【解析】A．时，，，A正确；
B．过双曲线的右焦点的直线，当直线与渐近线平行时，与双曲线只有一个交点，这样的直线有两条，当直线与渐近线不平行时，它与双曲线有两个交点，一种是两个交点分在左右两支上，一种是两个交点都在右支上．B正确；
C．过双曲线C右焦点F的直线与双曲线右支交于M，N两点，当是通径（即轴）时，的长度最小，C正确．
简略证明如下：
如图所示，设双曲线方程为，，
，，又∵，
∴，，
同理：，，又∵，
∴，，
∴，
易知当时，．

D．双曲线的渐近线方程是，双曲线的标准方程是，渐近线方程是，渐近线相同，D正确．
故选：ABCD．
【点评】本题考查双曲线的性质，掌握双曲线的标准方程与几何性质是解题关键．
27．BD
【分析】如图所示，设双曲线的标准方程为：，半焦距为.根据椭圆的上顶点为，且.可得，可得，设，.利用定义可得：.可得.在中，由余弦定理可得：，代入化简利用离心率计算公式即可得出.
【解析】解：如图所示，设双曲线的标准方程为：，半焦距为.

∵椭圆的上顶点为，且.
∴，
∴，∴.
∴.
不妨设点在第一象限，设，.
∴，.
∴.
在中，由余弦定理可得：
∴.
两边同除以，得，解得：.
∴,.
故选：BD.
【点评】本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程及其性质、余弦定理、方程思想，考查了推理能力与计算能力，属于难题.
28．ABC
【分析】【解析】对于选项A，因为所以，则离心率为，所以选项A正确；对于选项B，它们的渐近线都是，渐近线相同，选项B正确，对于选项C，结合，又点P在双曲线C的一条渐近线上，不妨设在上，则直线PF的方程为，即，联立方程组，解得，故点，所以的面积为，故选项C正确；对于选项D，因为点，其中一条渐近线的方程为，所以的最小值就是点F到渐近线的距离，因为该距离为，所以选项D错误，综上，只有选项ABC正确，故选ABC．
29．ACD
【分析】根据所给条件,结合抛物线知识和正弦定理,逐项判断,即可求得答案.
【解析】对于A,分别为双曲线的左右焦点
根据,即①
又②
由①②可得:
即:,
解得:
又


设的内切圆半径为
由
得
即
,即
,故A正确;
对于B,由A求解可知, ,故B错误;
对于C,延长交轴于,过点分别向,交点分别为
为的内心


可得:
即
故:①
又②
由①②解得:

,故C正确;
对于D,在,设,则
在和,根据正弦定理可得:
③
④
由③④可得:
,解得
∥

即
故D正确.
综上所述,正确的是ACD.
故答案为: ACD.
【点评】本题考查双曲线中的三角形问题,解题关键是掌握双曲线的定义和三角形内心特征,考查了分析能力和计算能力,属于难题.
30．AD
【分析】圆M的圆心为点，半径为r=1，直线过定点，由点A在圆上，数形结合可判断直线与圆的位置关系；由题意知直线AM与直线l垂直，分与两种情况讨论对任意实数k，是否存在实数θ，使得直线l与圆M相切；令，分类讨论可得圆心到直线l的距离恒成立，推出直线l与圆M必相交，此时不存在实数k，使得直线l与圆M相切.
【解析】AB选项，由题意知圆M的圆心为点，半径为r=1，
直线l的方程可写作，过定点，因为点A在圆上，
所以直线l与圆M相切或相交，任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点，A正确B错误；
C选项，由以上分析知不存在实数k与θ，直线l和圆M相离，C错误；
D选项，当直线l与圆M相切时，点A恰好为直线l与圆M的切点，故直线AM与直线l垂直，
①当时，直线AM与x轴垂直，则，
即，解得，存在，使得直线l与圆M相切；
②当时，若直线AM与直线l垂直，则，
直线AM的斜率为，
所以，即，
此时对任意的，均存在实数θ，使得，则直线AM与直线l垂直.
综上所述，对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l与圆M相切.D正确.
E选项，点到直线l的距离为，
令，当时，d=0，；当时，，
即此时恒成立，直线l与圆M必相交，
故此时不存在实数k，使得直线l与圆M相切.E错误.
故选：AD
【点评】本题考查直线与圆的位置关系、直线的方程及圆的方程，属于较难题.
31．AD
【分析】依次判断每个选项：时表示圆，错误；变形，讨论和得到答案；讨论和得到双曲线；时表示焦点在轴上的椭圆，错误；得到答案.
【解析】若，方程即为，它表示圆，A错；
对于选项B，若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线；，
若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线；
，，故正确；
对于选项C，若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线；
若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线，故正确；
对于选项D，若，则，故方程表示焦点在轴上的椭圆；
若，则，故表示焦点在轴上的椭圆，则错；
故选：
【点评】本题考查了根据圆锥曲线的类型求参数，离心率的取值范围，意在考查学生的综合应用能力.
32．ABD
【分析】A．根据以及对应的余弦定理计算出离心率的值；B．根据离心率的值，计算出的值，即可求解出双曲线的渐近线方程；C．根据的大小关系判断出三角形的形状，再根据长度关系判断是否成立；D．联立直线与双曲线，利用一元二次方程的，判断出直线与双曲线的交点个数.
【解析】A．因为，，所以，，
又因为，所以，
所以，所以，所以，故结论正确；
B．，所以，所以，所以渐近线方程为，故结论正确；
C．因为，所以，所以，
又因为，所以，所以，所以结论不成立；
D．因为，所以，所以，
所以，
所以直线与双曲线有两个公共点，所以结论正确.
故选：ABD.
【点评】本题考查双曲线性质的综合运用，对分析与计算能力要求较高，难度较难.(1)双曲线渐近线的斜率与离心率之间的关系：；(2)平行于双曲线渐近线的直线(不重合)与双曲线仅有一个交点，斜率绝对值小于渐近线斜率的绝对值的直线，其与双曲线有两个交点.
33．ACD
【分析】A．代入坐标表示出线段长度，根据线段长度比值得到的方程；
B．根据长度关系列出方程，并判断方程是否有解；
C．利用已知条件，以及的比值，根据角平分线定理的逆定理作出判断；
D．结合题设定义建立合适坐标系，可得的轨迹是圆，据此分析出三棱锥底面积最大值，由此可得三棱锥体积的最大值.
【解析】A．设，因为，所以，所以，
所以，故正确；
B．设存在满足，因为，所以，
所以，所以，
又因为，所以，又因为不满足，
所以不存在满足条件，故错误；
C．当，，三点不共线时，因为，，
所以，所以，由角平分线定理的逆定理可知：射线是的平分线，故正确；
D．因为三棱锥的高为，所以当底面的面积最大值时，此时三棱锥的体积最大，
因为，，取靠近的一个三等分点为坐标原点，为轴建立平面直角坐标系，
所以不妨取，，由题设定义可知的轨迹方程为：，
所以，此时在圆的最高点处，
所以，故正确.
【点评】本题考查阿波罗尼斯圆的定义及应用，属于新定义问题，难度较难.(1)证明角平分线除了可以通过线段的长度比来证明，还可以通过点到线段两边的距离相等来证明；(2)和圆有关的线段长度问题，可以利用坐标法来解决问题.
34．ACD
【分析】利用抛物线的极坐标方程求出，然后即可计算求解，判断出各选项的真假．
【解析】设AB的倾斜角为，则有，所以，C正确；
，若，则，，
直线CD的斜率为，D正确；
，所以B不正确；
设 ，由抛物线过焦点弦的性质可知，，
，所以A正确．
故选：ACD．

【点评】本题主要考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的简单性质应用，抛物线的极坐标方程的应用，考查学生的数学运算能力，属于较难题．
35．BC
【分析】结合双曲线的几何性质和常见二级结论推导即可得解.
【解析】在中，两边之差小于第三边，即，所以A不是真命题；
设点，有，，
直线的斜率之积
，所以B是真命题；
根据双曲线对称性分析：要使为等腰三角形，则必为腰，在第一象限双曲线上有且仅有一个点使，此时为等腰三角形，
也且仅有一个点使，此时为等腰三角形，同理可得第二三四象限每个象限也有且仅有两个点，一共八个，
所以C是真命题；
，根据焦点三角形面积的二级结论，所以D不是真命题.
故选：BC
【点评】此题考查双曲线的几何性质和相关计算，对基础知识的掌握和代数式化简运算能力要求较高，解题中若能记住常见的二级结论，可以简化计算.
36．ABCD
【分析】，设直线方程为，，联立方程得到，再计算每个选项的值，得到答案.
【解析】，设直线方程为，，不妨设在第一象限.
则，故.恒成立，，
.
：，则，解得，
同理，即.
点到直线的距离.
.
.
，故.
故，.
故选：.
【点评】本题考查了椭圆和抛物线的综合问题，涉及斜率，面积，定值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.