2023届新高考复习多选题与双空题 专题14解析几何多选题

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【多选题与双空题满分训练】专题14 解析几何多选题
2022年高考冲刺和2023届高考复习满分训练
新高考地区专用

1．（2022·江苏南京·三模）在平面直角坐标系中，已知圆：，则下列说法正确的是（       ）
A．若，则点在圆外
B．圆与轴相切
C．若圆截轴所得弦长为，则
D．点到圆上一点的最大距离和最小距离的乘积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】
选项A，根据点与圆的位置关系判断即可；选项B，根据直线与圆相切的定义判断即可；选项C，根据圆的弦长公式求解即可；选项D，根据分和两种情况即可判断.
【详解】
对于A，因为时，将原点代入圆方程可得，故点在圆外，故A正确；
对于B，圆化为标准方程即为，则圆心，，
显然圆心到轴距离为等于半径，所以相切，故B正确；
对于C，对根据题意，，解得，解得所以圆截轴所得弦长为，
则，故C不正确；
对于D，当时，圆：，所以点在圆上，显然最小值为，最大值为，
故乘积且等于；当时，由选项A知，点在圆外，，
所以最大值为，最小值为，乘积为，故D正确.
故选：ABD.
2．（2022·重庆八中模拟预测）已知点，直线，圆，圆．下列命题中的真命题是（       ）
A．若l与圆C相切，则A在圆O上 B．若l与圆O相切，则A在圆C上
C．若l与圆C相离，则A在圆O外 D．若l与圆O相交，则A在圆C外
【答案】ABD
【解析】
【分析】
利用直线与圆的位置关系及点到直线距离公式，得到方程或不等式，判断出点与圆的位置关系.
【详解】
选项A：若l与圆C相切，则，，所以A在圆O上，A正确；
选项B：若l与圆O相切，则，，所以A在圆C上，B正确；
选项C：若l与圆C相离，则，，所以A在圆O内，C错误；
选项D：若l与圆O相交，则，，所以A在圆C外，D正确．
故选：ABD
3．（2022·重庆八中模拟预测）已知点，，若某直线上存在点P，使得，则称该直线为“好直线”，下列直线是“好直线”的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
由题意，点P应该是在双曲线 上，即“好直线”就是与双曲线有交点的直线.
【详解】
由题意， ，双曲线的方程为，
“好直线”就是与双曲线有交点的直线，
对于A，联立方程 ，解得 无解，故A不是“好直线”；
对于B，联立方程 ，解得 ， ，故B是“好直线”；
对于C，联立方程 ，解得 ，无解，故C不是“好直线”；
对于D，联立方程 ，解得 ，   ，即直线 与双曲线有交点，
故D是“好直线”；
故选BD.
4．（2022·江苏·海安高级中学二模）已知直线l过点，点，到l的距离相等，则l的方程可能是(       )
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
分直线l斜率存在和不存在进行讨论﹒当l斜率存在时，设其方程为，根据点到直线的距离公式列出关于k的方程，解方程即可求直线l的方程．
【详解】
当直线的斜率不存在时，直线l的方程为，此时点到直线的距离为5，点到直线的距离为1，此时不成立；
当直线l的斜率存在时，设直线的方程为，即，
∵点到直线的距离相等，
，解得，或，
当时，直线的方程为，整理得，
当时，直线的方程为，整理得
综上，直线的方程可能为或
故选：BC．
5．（2022·广东佛山·三模）已知曲线的方程为，下列说法正确的是（       ）
A．若曲线为焦点在轴上的椭圆，则 B．曲线可能是圆
C．若，则曲线一定是双曲线 D．若为双曲线，则渐近线方程为
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据各选项及曲线的特征一一判断即可；
【详解】
解：因为曲线的方程为，
对于A：曲线为焦点在轴上的椭圆，则，即，故A错误；
对于B：当时曲线表示圆，故B正确；
对于C：若，满足，曲线为，表示圆，故C错误；
对于D：若为双曲线，则，
当时，表示焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为，
当时，表示焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为，故D正确；
故选：BD
6．（2022·河北保定·二模）已知O为坐标原点，椭圆C：的左､右焦点分别为，，两点都在上，且，则（       ）
A．的最小值为4 B．为定值
C．存在点，使得 D．C的焦距是短轴长的倍
【答案】BCD
【解析】
【分析】
由题知关于原点对称，，，，进而判断AD；再根据椭圆的对称性可判断B正确；根据当在轴上时，为钝角判断C正确.
【详解】
解：因为，，，所以，，，
所以,C的焦距是短轴长的倍，D正确.
因为，故关于原点对称，
所以，最小值为，故A错误；
所以，由椭圆的对称性知，，所以B正确.
当在轴上时，，则为钝角，所以存在点A，使得，故C正确.
故选：BCD
7．（2022·福建泉州·模拟预测）已知A（a，0），M（3，-2），点P在抛物线上，则（       ）
A．当时，最小值为1
B．当时，的最小值为3
C．当时，的最小值为4
D．当时，的最大值为2
【答案】ACD
【解析】
【分析】
当时，得到为抛物线焦点，利用焦半径求出，从而判断A选项；作辅助线，得到当N，P，M三点共线时，取得最小值，求出最小值，判断C选项；延长AM交抛物线于点，此时为的最大值，求出最大值，判断D选项；当时，利用两点间距离公式和配方求出最小值，判断B选项.
【详解】
当时，为抛物线的焦点，设，
则，故的最小值为1，A正确；
设抛物线的准线为，过点P作PN⊥l于点N，
此时，
故当N，P，M三点共线时，取得最小值，
此时，C正确；

当时，，
连接AM，并延长AM交抛物线于点，

此时为的最大值，
当在其他位置时，根据三角形两边之差小于第三边，可知均小于，
因为，故D正确；
此时
当时，，B错误.
故选：ACD
8．（2022·湖北·模拟预测）已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点，在y轴上，短轴长等于，离心率为，过焦点为作轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是（       ）
A．椭圆C的方程为 B．椭圆C的方程为
C． D．的周长为
【答案】AC
【解析】
【分析】
解方程组求出即可选项AB的真假，再利用通径公式判断选项C的真假，再利用椭圆的定义判断选项D的真假.
【详解】
解：由题意得：，所以，因为，故，因为焦点，在y轴上，所以椭圆C的方程为，所以选项A正确，选项B错误；
由通径长可得，，所以选项C正确；
的周长为，所以选项D错误.
故选：AC．
9．（2022·江苏连云港·模拟预测）过点作两条直线分别交抛物线于和，其中直线AB垂直于轴（其中 ，位于轴上方），直线，交于点．则（       ）
A． B． C．QP平分 D．的最小值是
【答案】ABD
【解析】
【分析】
设点 ，将直线的方程 代入抛物线方程 ，通过韦达定理，判断A项，求出直线的方程，直线的方程，推出点的横坐标，判断B项，通过 ，但，判断C项，通过两点间的距离公式表示出 ，
通过判断函数的单调性求出的最小值，判断D项
【详解】
设点

设直线 的方程为：
将直线方程与抛物线方程联系方程组得：
，故A正确
由题意可知：
则 ，
直线的方程为： ,直线的方程为：
消去得：
将 代入上式得： ，所以 ，故B正确
，但 ，故C错误

当 时，此时 ，故D正确
故选：ABD
10．（2022·江苏盐城·三模）设直线l：，交圆C：于A，B两点，则下列说法正确的有（       ）
A．直线l恒过定点
B．弦AB长的最小值为4
C．当时，圆C关于直线l对称的圆的方程为：
D．过坐标原点O作直线l的垂线，垂足为点M，则线段MC长的最小值为
【答案】BC
【解析】
【分析】
A.由直线过定点求解；B.由CP垂直l求解； C.求得点关于直线的对称点求解；D.由垂足为时，线段MC长最小求解.
【详解】
直线的方程可化为，过定点，即A错误；
设，则圆心到直线的距离，且半径，
所以最小弦长为，即B正确；
时，直线方程为，则点关于直线对称的点为，即C正确；
当垂足为时，，即D错误．
故选：BC
11．（2022·福建厦门·模拟预测）已知F为双曲线的右焦点，过F的直线l与圆相切于点M，l与C及其渐近线在第二象限的交点分别为P，Q，则（       ）
A．
B．直线与C相交
C．若，则C的渐近线方程为
D．若，则C的离心率为
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据给定条件，计算切线长判断A；由直线斜率与的大小说明判断B；求出出点Q，P的坐标计算判断C，D作答.
【详解】
令双曲线的半焦距为c，有，，依题意，，如图，

对于A，，A正确；
直线的斜率，直线是双曲线C过第一三象限的渐近线，直线与C不相交，B不正确；
对于C，由选项A可得点，设点，依题意，，
即，解得，即，
又点Q在直线上，则有，解得，有，
C的渐近线方程为，C不正确；
对于D，由选项C同理得点，因此，即，解得，D正确.
故选：AD
12．（2022·山东临沂·二模）如图，已知椭圆，，分别为左、右顶点，，分别为上、下顶点，，分别为左、右焦点，点P在椭圆C上，则下列条件中能使C的离心率为的是（       ）

A．
B．
C．轴，且
D．四边形的内切圆过焦点，
【答案】ABD
【解析】
【分析】
由椭圆方程依次写出顶点及焦点坐标，A选项直接计算即可判断；B选项由即可判断；C选项由即可判断；D选项由即可判断.
【详解】
由题意知：，设椭圆离心率为，
对于A，，
即，同除整理得，解得，又，故，A正确；
对于B，，即，即，即，由上知，B正确；
对于C，轴，由，解得，故，，即，
即，解得，则，故离心率，C错误；
对于D，易得内切圆半径为斜边上的高，即，若内切圆过焦点，，则，
整理得，同除得，解得，又，则，
故，D正确.
故选：ABD.
13．（2022·山东泰安·三模）已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（       ）
A．的最大值为 B．的最小值为0
C．的最大值为 D．的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据的几何意义，结合图形可求得的最值，由此判断A，B，根据的几何意义求其最值，判断C，再利用三角换元，结合正弦函数性质判断D.
【详解】
由实数x，y满足方程可得点在圆上，作其图象如下，

因为表示点与坐标原点连线的斜率，
设过坐标原点的圆的切线方程为，则，解得：或，
，，，A，B正确；
表示圆上的点到坐标原点的距离的平方，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为，
所以最大值为，又，
所以的最大值为，C错，
因为可化为，
故可设，，
所以，
所以当时，即时取最大值，最大值为，D对，
故选：ABD.
14．（2022·福建南平·三模）已知双曲线的方程为，，分别为双曲线的左､右焦点，过且与x轴垂直的直线交双曲线于M，N两点，又，则（       ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．双曲线的顶点到两渐近线距离的积的5倍等于焦点到渐近线距离的平方
C．双曲线的实轴长､虚轴长､焦距成等比数列
D．双曲线上存在点，满足
【答案】AB
【解析】
【分析】
先由求得，即可求出渐近线判断A选项，由点到直线的距离公式即可判断B选项，由实轴长､虚轴长､焦距结合等比中项即可判断C选项，由双曲线定义结合的范围即可判断D选项.
【详解】
易知双曲线的方程为，令得，故，解得，双曲线的渐近线方程为，即，故A正确；
双曲线的渐近线方程为，由双曲线的对称性，不妨取右顶点，右焦点，则顶点到两渐近线距离的积为，
焦点到渐近线距离的平方为，又，，故，B正确；
，，显然，C错误；
若，又由双曲线定义，解得，
故不存在点，满足，D错误.
故选：AB.
15．（2022·湖北·荆门市龙泉中学一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上，现有四个条件：①；②；③PO平分；④点P关于原点对称的点为Q，且，能使双曲线Ｃ的离心率为的条件组合可以是（       ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【答案】AD
【解析】
【分析】
对各个选项进行分析，利用双曲线的定义找到a,c的等量关系，从而确定离心率.
【详解】
③PO平分且PO为中线，可得，点P在双曲线的右支上，所以不成立；
若选①②：，，可得，，
所以，即离心率为，成立；
若选②④：，点P关于原点对称的点为Q，且，可得四边形为矩形，即，可得，，
所以，即离心率为，成立；
故选：AD
16．（2022·全国·河源市河源中学模拟预测）双曲线C：的左､右焦点分别为，，若在双曲线C上存在一点M使得为直角三角形，且该三角形某个锐角的正切值为，那么该双曲线的离心率可能为（       ）
A． B． C． D．5
【答案】ABC
【解析】
【分析】
设焦点的坐标为，由于双曲线是对称图形，故只需要考虑点M在第一象限的情况，此时可分为三类，分别是为直角时，的正切值为，为直角时，的正切值为，为直角，，三种情况结合双曲线的性质和定义求解即可.
【详解】
设焦点的坐标为，由于双曲线是对称图形，故只需要考虑点M在第一象限的情况，此时可分为三类：
①为直角，的正切值为，
此时为通径长度的一半，而，
由正切函数的定义知，双曲线满足，离心率，将三式联立，
可以得到，由于，可以求解得到；
②为直角，的正切值为，此时，，
由正切函数的定义知，同理可得，可以求解得到；
③∵点M在右支，，∴，
∵，∴，
∴，∴，，，
又，∴，∴.
故选：ABC.
17．（2022·山东泰安·二模）已知双曲线C：的离心率为，且其右顶点为，左，右焦点分别为，，点P在双曲线C上，则下列结论正确的是（       ）
A．双曲线C的方程为
B．点A到双曲线C的渐近线的距离为
C．若，则
D．若，则的外接圆半径为
【答案】ABD
【解析】
【分析】
由离心率为，右顶点为求出双曲线方程，再利用点到直线的距离，双曲线的定义及性质依次判断4个选项即可.
【详解】
由离心率为，右顶点为可得，，故双曲线C的方程为，A正确；
双曲线的渐近线为，故点A到双曲线C的渐近线的距离为，B正确；
由双曲线的定义，，则或10，C错误；
，则，的外接圆半径为，D正确.
故选：ABD.
18．（2022·山东淄博·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，，左右顶点分别为，．P是椭圆上异于，的点，则下列说法正确的是（       ）
A．周长为4 B．面积的最大值为
C．的最小值为 D．若面积为2，则点P横坐标为
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据椭圆的定义判断A，利用椭圆的性质可得面积最大值判断B，由可判断C，由三角形面积求得点坐标后可判断D．
【详解】
由题意，，，短轴一个端点，

对于A，由题知，故周长为，故A错误；
对于B，利用椭圆的性质可知面积最大值为，故B正确；
对于C，，设，从而,所以，故C正确；
对于D，因为，，
则，，故D错误．
故选：BC．
19．（2022·江苏南通·模拟预测）已知Р是圆上的动点，直线与交于点Q，则（       ）
A．
B．直线与圆O相切
C．直线与圆O截得弦长为
D．长最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】
由两直线垂直的条件判断A，由圆心到直线的距离判断B，由到直线的距离结合勾股定理求弦长判断C，求出到圆心的距离的最大值加圆半径判断D．
【详解】
圆半径为2，
，所以，A正确；
圆心到的距离为，与圆相离，B错误；
圆心到直线的距离为，所以弦长为，C正确；
由，得，即，
所以，
所以长最大值为，D正确
故选：ACD．
20．（2022·山东济宁·二模）设椭圆C：的左､右焦点分别为､，上､下顶点分别为､，点P是C上异于､的一点，则下列结论正确的是（       ）
A．若C的离心率为，则直线与的斜率之积为
B．若，则的面积为
C．若C上存在四个点P使得，则C的离心率的范围是
D．若恒成立，则C的离心率的范围是
【答案】BD
【解析】
【分析】
A. 设，，所以该选项错误；
B. 求出的面积为所以该选项正确；
C. 求出，所以该选项错误；
D. 若恒成立，所以，所以该选项正确.
【详解】
解：A. 设，所以，因为，
所以.所以，所以该选项错误；
B. 若，则所以则的面积为所以该选项正确；
C. 若C上存在四个点P使得，即C上存在四个点P使得的面积为，所以，所以该选项错误；
D. 若恒成立，所以，所以，所以该选项正确.
故选：BD
21．（2022·山东聊城·二模）已知抛物线：（）的焦点到准线的距离为2，过的直线交抛物线于两点，，则（       ）
A．的准线方程为
B．若，则
C．若，则的斜率为
D．过点作准线的垂线，垂足为，若轴平分，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据抛物线的几何意义求出，即可得到抛物线的方程，再根据抛物线的定义判断A、B、D，设，，，，直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元列出韦达定理，根据焦半径公式计算即可判断C；
【详解】
解：因为抛物线：（）的焦点到准线的距离为2，所以，
所以抛物线方程为，则焦点，准线为，故A错误；
若，则，所以，所以，故B正确；
可设，，，，
直线的方程为，与抛物线联立，
消去，可得，
可得，，
由抛物线的定义可得
即，即，
解得，则直线的斜率为，故C正确；
对于D，若轴平分，则，又轴，
所以，所以，
所以，即，所以，故D正确；

故选：BCD
22．（2022·江苏·新沂市第一中学模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，M为OA的中点，P为双曲线C右支上一点且，且，则(       )
A．C的离心率为2 B．C的渐近线方程为
C．PM平分 D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
在直角三角形中，利用列出关于a、b、c的齐次式求出离心率，从而判断A；根据离心率求出渐近线方程，从而判断B；根据是否相等即可判断PM是否平分，从而判断C；根据、的比例关系，利用平面向量的线性运算即可表示用表示，从而判断D.
【详解】
由可知，
由得，，
即，即，即，∴，故A正确；
由，∴双曲线渐近线为，故B错误；
由，﹒
则，，
∴；
∵，，∴，
∴，∴根据角平分线的性质可知PM平分，故C正确；
，，
，故D正确；
故选：ACD．

【点睛】
本题主要考察与双曲线的焦半径和焦点三角形有关的性质，考察构造关于a、b、c的齐次式求离心率的方法，考察利用角平分线的性质，考察了向量的线性运算，解题时需数形结合，合理运用图形的几何关系.
23．（2022·山东菏泽·二模）已知椭圆的左右焦点分别为，，直线与椭圆E交于A，B两点，C，D分别为椭圆的左右顶点，则下列命题正确的有（       ）
A．若直线CA的斜率为，BD的斜率，则
B．存在唯一的实数m使得为等腰直角三角形
C．取值范围为
D．周长的最大值为
【答案】BD
【解析】
【分析】
A选项，求出A，B两点坐标，表达出；B选项，验证出，是直角顶点时，不满足等腰性，故不成立，当A是直角顶点时满足题意，得出结论；C选项，设出，求出；D选项，作出辅助线，利用椭圆定义得到直线经过焦点时，此时的周长最大.
【详解】
将代入椭圆方程，求出，其中，
则，A错误；
由题意得：，当时，，此时，
所以当，是直角顶点时，不满足等腰性，故不成立，
当点A是直角顶点时，由对称性可知：此时A在上顶点或下顶点，由于，故满足题意，所以存在唯一的实数m使得为等腰直角三角形，B正确；
不妨设，则，
因为，所以，C错误；
如图，当直线经过焦点时，此时的周长最大，

等于，其他位置都比小，
例如当直线与椭圆相交于，与x轴交于C点时，
连接，由椭圆定义可知：，显然，
同理可知：，
故周长的最大值为，D正确
故选：BD
24．（2022·河北·模拟预测）设抛物线的焦点为F，准线为l，为C上一动点，，则下列结论正确的是（       ）
A．当时，抛物线C在点P处的切线方程为
B．当时，的值为6
C．的最小值为3
D．的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】
A选项，求导，求出在的导函数值，即切线斜率，进而用点斜式求出切线方程；B选项，由焦半径求出的值；C选项，利用抛物线定义得到，当三点共线时和最小，求出最小值；D选项，作出辅助线，找到.
【详解】
当时，，又，所以，
所以抛物线C在点P处的切线方程为，整理得：，A错误；
当时，，故，B正确；
如图，过点P作PB⊥准线于点B，则由抛物线定义可知：，则，当A、P、B三点共线时，和最小，最小值为1+2=3，C正确；


由题意得：，连接AF并延长，交抛物线于点P，此点即为取最大值的点，此时，其他位置的点，由三角形两边之差小于第三边得：，故的最大值为，D正确.


故选：BCD
25．（2022·福建福州·三模）已知抛物线的准线为，点在抛物线上，以为圆心的圆与相切于点，点与抛物线的焦点不重合，且，，则（       ）
A．圆的半径是4
B．圆与直线相切
C．抛物线上的点到点的距离的最小值为4
D．抛物线上的点到点，的距离之和的最小值为4
【答案】AC
【解析】
【分析】
由抛物线的定义，得，又，，易得是等边三角形，结合图像得到，即可求解；求得的坐标，则判断出A和B选项；对于C选项，设，利用两点间的距离公式得到，结合二次函数的图象性质，得到的最小值；设交于点，通过抛物线的定义结合三点共线得，，当且仅当、、三点共线时取得最小值，即可判断D选项.
【详解】
由抛物线的定义，得，，准线
以为圆心的圆与相切于点，所以，即轴，
又，所以；因为，所以是等边三角形，即；

设点在第一象限，作的中点，连接，
，，则，即，
解得：，则抛物线的方程为：，则=3，
对于A选项，有，故A选项正确；
对于B选项，，所以，易得圆与直线不相切，故B选项错误；
对于C选项，设抛物线上的点，则
化简，得，当且仅当时等号成立，故C选项正确；
对于D选项，设过点作准线的垂线交于点，
由抛物线的定义，知，则，当且仅当、、三点共线时取得最小值，所以，故D选项错误；
故选：AC.