2021高三数学第一轮复习 导学案 第43讲 空间点、直线、平面之间的位置关系

第四十三讲：空间点、直线、平面之间的位置关系

【学习目标】

1. 理解空间直线、平面位置关系的定义；
2. 了解可以作出推理依据的公理和定理；
3. 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。

【重点、难点】

重点：理解空间中直线、平面位置关系的定义；

难点：运用公理、定理证明一些简单命题。

【知识梳理】 

1、四个公理

（1）公理1：如果一条直线上的       在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

用符号语言表述为：                               

（2）公理2：经过                     的三点，有且只有一个平面。

推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们             过该点的公共直线。

用符号语言表述为：                              

（4）公理4：平行于同一条直线的两条直线        .

用符号语言表述为：                          

2、直线与直线的位置关系

（1）位置关系的分类

（2）异面直线所成的角

①定义：设，是两条异面直线，经过空间任一点作直线，，把与所成的                叫做异面直线与所成的角（或夹角）

②范围：               

3、空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

（1）空间中直线与平面的位置关系

（2）空间中平面与平面的位置关系

4、等角定理

空间中如果两个角的                                ，那么这两个角相等或互补.

【常用结论】

（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.

（2）过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.

（3）过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.

（4）过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.

【典题分析】  

题型1：判断空间两直线的位置关系

例1 如图,正方体，分别是，的中点，有以下结论：

①直线与是相交直线；

②直线与是相交直线；

③直线与是平行直线；

④直线BN与是异面直线；

⑤直线与所成的角为；

其中正确的结论为                  。

【方法规律】 在直线判断不好处理的情况下，反证法、模型法（如构造几何体：正方体、空间四边形等）和特例排除法等式解决此类问题的三种常用便捷方法.

【题组练习】

1、下列命题中，正确的是 (　　)

A．经过正方体任意两条面对角线，有且只有一个平面

B．经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面

C．经过正方体任意两条棱，有且只有一个平面

D．经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线，有且只有一个平面

2、在下列四个图中，分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线是异面直线的图形有           .（填序号）

          ①                  ②                 ③                     ④

3、在三棱锥的边、、、上分别取、、、四点，如果，则点（    ）

A．一定在直线上 B．一定在直线上

C．在直线或上 D．不在直线上，也不在直线上

4、给出下列命题：

①若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；

②若两条直线与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行；

③若两条直线与第三条直线平行，这两条直线互相平行；

④若两条直线均与一个平面平行，则这两条直线互相平行.

其中正确的命题的个数是（      ）

A．1 B．2 C．3 D．4

题型2：异面直线所成的角

例2 在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ）

1.        B.      C.      D.

【方法规律】 （1）求异面直线所成角的基本步骤：

①作出角； ②把作出的角放入到某一个三角形中；③解三角形；④检验角的范围。

（2）作出异面直线所成角的方法主要有：①平移线段法：中点平移与顶点平移；②补形法。

（3）注意异面直线所成的角的范围，异面直线所成的角是锐角或直角，即设异面直线所成的角为，则

【题组练习】

1、将边长为的正方形沿对角线折起，使得，则异面直线和所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

2、四棱锥的底面是一个正方形，平面是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 （    ）

A． B． 

C． D．

3、如图，在长方体中，，，异面直线与所成角的余弦值为，则该长方体外接球的表面积为（    ）

A． B． 

C． D．

4、在四面体中，分别是的中点，若所成的角为，且，则的长为              .

5、在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑。如图，在鳖臑中，平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为（     ）

    A.       B.       C.      D.