2020-2021学年湖北省武汉一中八年级（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年湖北省武汉一中八年级（下）期末数学试卷，共32页。试卷主要包含了选择题，第四象限D．第一，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣2B．x＜﹣2C．x≠﹣2D．x≥﹣2
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）下列边长的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．1，，B．3，4，C．5，12，13D．，，
4．（3分）下列式子中，能表示y是x的函数的是（ ）
A．y＝±xB．|y|＝xC．y＝x2D．y2＝x
5．（3分）中南商场对上周女装的销售情况进行了统计，销售情况如表：
经理决定本周进女装时多进一些红色的，可用来解释这一现象的统计知识是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
6．（3分）下列命题错误的是（ ）
A．平行四边形的对角相等
B．矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形
C．正方形有四条对称轴
D．菱形的面积等于对角线的乘积
7．（3分）如图是一个容器的截面图，均匀地向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，下面大致能反映水面高度h和时间t之间的变化的函数图象为（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，BE⊥CF于点G，若BC＝4，AF＝1，则GF的长为（ ）
A．3B．C．D．
9．（3分）一次函数y＝kx+k的图象一定经过（ ）
A．第一、第二象限B．第二、第三象限
C．第三、第四象限D．第一、第四象限
10．（3分）如图，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，则下列判断：
①四边形AEDF一定是平行四边形；
②若AD平分∠A，则四边形AEDF是正方形；
③若AD⊥BC，则四边形AEDF是菱形；
④若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形．
正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）的值是 ．
12．（3分）若一组数据x1，x2，x3，x4的平均数是6，则数据x1+4，x2+4，x3+4，x4+4的平均数是 ．
13．（3分）将直线y＝2x向左平移1个单位长度，则平移后的直线解析式为 ．
14．（3分）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，如果图2和图3每个图形中间的正方形面积分别为9和1，则图1中菱形的面积为 ．
15．（3分）如图，是正比例函数y1＝x与函数y2＝|2x﹣4|﹣1在同一平面直角坐标系中的图象，则不等式：y1＞y2的解集是 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，CF平分∠ACB，交DE于点F，若BC＝10，AC＝4，则DF的长为 ．
三、解答题（共5小题，共52分）
17．（10分）计算下列各题：
（1）﹣+；
（2）（+2）（﹣5）．
18．（10分）为转变教育管理方式并为学校教育教学提供参考，某区随机抽取八年级若干名学生参加2021年国家义务教育质量检测，并将测试中的数学成绩a（分数）分成A，B，C，D，E五个等级（A：90≤a≤100，B：80≤a＜90，C：70≤a＜80，D：60≤a＜70，E：a＜60），绘制出了如图两幅不完整的统计图，根据以上信息，回答下列问题：
（1）直接写出抽查的学生人数 ，及m＝ ；
（2）请补全条形统计图，该组数据的中位数在 等级；
（3）若该区八年级共有学生8000人，数学成绩a≥80为优秀，请估计该区八年级数学成绩达到优秀的约有多少人？
19．（10分）如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE＝CF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若正方形边长为，AE＝1，直接写出菱形BEDF的面积 ．
20．（10分）如图，在8×10的正方形网格中，请用无刻度直尺按要求作图．
（1）作平行四边形ACBD；
（2）在BA的延长线上找点E，连AE，使AE＝AC，再作矩形CEFG，使矩形CEFG面积为40平方单位；
（3）在图中找格点P，连AP，使AP平分∠CAB，若AP交BC于M，则＝ ．
21．（12分）已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象过点（3，2）和（0，﹣4）．交x轴于A，交y轴于B．
（1）求这个函数的解析式；
（2）若点（a﹣5，3a）在函数图象上，求a的值；
（3）规定横、纵坐标都为整数的点为整点，若此一次函数图象与y＝x的图象及y轴围成的区域（不含边界）称为区域W，则：
①区域W中整点的个数有 个；
②把这个一次函数图象至少向上平移 个单位，则使得区域W中的整点个数为0．
四．填空题（共4小题，每小题4分，共16分）
22．（4分）若函数y＝kx﹣b的图象如图所示，下列结论：①b＜0；②b＝2k；③若（﹣1，y1），（﹣2，y2）是图象上两点，则y1＜y2；④关于x的不等式k（x﹣2）﹣b＞0的解集为x＜4．其中正确的结论是 （填写正确答案的序号）．
23．（4分）如图，矩形ABCD中，AD＝10，AB＝8，点P在边AD上，且BP＝BC，点M在线段BP上，点N在线段BC的延长线上，且PM＝CN，连接MN交CP于点F，过点M作ME⊥CP于E，则EF＝ ．
24．（4分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y1），给出如下定义：若y1＝，则称点Q为点P的“可控变点”．①点（﹣2，1）的“可控变点”的坐标为 ；
②若点N（m，3）是函数y＝x﹣1图象上点M的“可控变点”，则点M的坐标为 ．
25．（4分）如图，平面内三点A、B、C，AB＝4，AC＝3，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是 ．
五、解答题（共3小题，共34分）
26．（10分）某商业集团新进了40台空调机，60台电冰箱，计划调配给下属的甲、乙两个连锁点销售，其中70台给甲连锁店，30台给乙连锁店，两个连锁店销售这两种电器，每台的利润（单元：元）如表：
设集团调配给甲连锁店x台空调机，集团卖出这100台电器的总利润为y（元）．
（1）求y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；
（2）为了促销，集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利a元销售，其他的销售利润都不变，并且让利后甲连锁店每台空调机的利润比该店销售每台电冰箱的利润至少高出15元，问该集团应该如何设计调配方案，能使总利润达到最大．
27．（12分）如图，P是正方形ABCD内一点，CP＝CD．
（1）如图1，连接AP并延长交BC于E，若DP⊥AE，求证：E为BC的中点；
（2）如图2，连接BP并延长，作DF⊥BP于F，连AF，CF，则AF，CF，DF之间有何数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，若AB＝4，∠PCD＝30°，过P作EF⊥CP分别交AB，AD于E，F，直接写出EF的值 ．
28．（12分）在平面直角坐标系中，经过点A（0，3）且与平行的直线，交x轴于点B．
（1）如图1，试求△ABO的面积；
（2）在图1中，过M（2，0）的直线与AB成45°夹角，试求该直线与AB交点的横坐标；
（3）如图2，现有点C（m，n）在线段AB上运动，点D（﹣3m+2，0）在x轴上，N为线段CD的中点．
①试求点N的纵坐标y关于横坐标x的函数关系式；
②直接写出N点的运动轨迹长度为 ．
2020-2021学年湖北省武汉一中八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣2B．x＜﹣2C．x≠﹣2D．x≥﹣2
【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，即可求解．
【解答】解：根据题意得：x+2≥0，解得x≥﹣2．
故选：D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据同类二次根式的定义和二次根式的性质逐一计算可得．
【解答】解：A、＝2、＝2，2与2不是同类二次根式，不能合并；
B、与不是同类二次根式，不能合并；
C、＝，此选项正确；
D、（2）2＝12，此选项错误；
故选：C．
3．（3分）下列边长的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．1，，B．3，4，C．5，12，13D．，，
【分析】根据勾股定理的逆定理，若两条短边的平方和等于最长边的平方，那么就能够成直角三角形来判断．
【解答】解：A、12+（）2＝（）2，能构成直角三角形，故此选项不合题意；
B、32+（）2＝42，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、52+122＝132，能构成直角三角形，故此选项不合题意；
D、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
4．（3分）下列式子中，能表示y是x的函数的是（ ）
A．y＝±xB．|y|＝xC．y＝x2D．y2＝x
【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应．
【解答】解：根据函数的定义可知：
只有函数y＝x2，当x取值时，y有唯一的值与之对应；
故选：C．
5．（3分）中南商场对上周女装的销售情况进行了统计，销售情况如表：
经理决定本周进女装时多进一些红色的，可用来解释这一现象的统计知识是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
【分析】商场经理最值得关注的应该是爱买哪种颜色女装的人数最多，即众数．
【解答】解：在决定本周进女装时多进一些红色的，主要考虑的是各色女装的销售的数量，而红色上周销售量最大．由于众数是数据中出现次数最多的数，故考虑的是各色女装的销售数量的众数．
故选：C．
6．（3分）下列命题错误的是（ ）
A．平行四边形的对角相等
B．矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形
C．正方形有四条对称轴
D．菱形的面积等于对角线的乘积
【分析】利用平行四边形的性质、矩形的性质、正方形的性质及菱形的面积计算方法分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、平行四边形的对角相等，正确，不符合题意；
B、矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形，正确，不符合题意；
C、正方形有四条对称轴，正确，不符合题意；
D、菱形的面积等于对角线乘积的一半，故原命题错误，符合题意，
故选：D．
7．（3分）如图是一个容器的截面图，均匀地向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，下面大致能反映水面高度h和时间t之间的变化的函数图象为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由于三个容器的高度相同，粗细不同，那么水面高度h随时间t变化而分三个阶段．
【解答】解：最下面的容器较粗，第二个容器最粗，那么第二个阶段的函数图象水面高度h随时间t的增大而增长缓慢，用时较长，最上面容器最小，那么用时最短，
故选：A．
8．（3分）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，BE⊥CF于点G，若BC＝4，AF＝1，则GF的长为（ ）
A．3B．C．D．
【分析】先根据∠BCF的余角相等得∠CBE＝∠DCF，再证明△BCE≌△CDF，得CE＝DF＝AD﹣AF＝3，BE＝CF＝5，再在△BCE中用等面积法求出CG，由FG＝CF﹣CG便可求得结果．
【解答】解：∵正方形ABCD的边BC＝4，
∴BC＝CD＝AD＝4，∠BCE＝∠CDF＝90°，
∵BE⊥CF于点G，
∴∠CBG+∠BCG＝∠BCG+∠DCF＝90°，
∴∠CBE＝∠DCF，
在△BCE和△CDF中，
，
∴△BCE≌△CDF（ASA），
∴CE＝DF，BE＝CF，
∵DF＝AD﹣AF＝4﹣1＝3，
∴CE＝3，
∴＝5，
∴BE＝5，
∵，
∴CG＝，
∴FG＝CF﹣CG＝．
故选：C．
9．（3分）一次函数y＝kx+k的图象一定经过（ ）
A．第一、第二象限B．第二、第三象限
C．第三、第四象限D．第一、第四象限
【分析】分类讨论k为正负两种情况求解．
【解答】解：当k＞0时，直线y＝kx+k经过一、二、三象限．
当k＜0时，直线y＝kx+k经过二、三、四象限．
∴y＝kx+b的图象一定经过二、三象限．
故选：B．
10．（3分）如图，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，则下列判断：
①四边形AEDF一定是平行四边形；
②若AD平分∠A，则四边形AEDF是正方形；
③若AD⊥BC，则四边形AEDF是菱形；
④若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形．
正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】①由三角形的中位线定理可以判定结论正确；
②利用AD平分∠A可以判定四边形AEDF是菱形而非正方形，可得②的结论错误；
③利用斜边上的中线等于斜边的一半可得出DE＝DF，从而得出四边形AEDF是菱形；
④∠A＝90°，则根据①的结论可得四边形AEDF是矩形．
【解答】解：①∵D是BC的中点，E是AB的中点，
∴DE∥AC．
∵D是BC的中点，F是AC的中点，
∴DF∥AB．
∴四边形AEDF是平行四边形．
∴①正确；
②如图，
由①知：AE∥DF，
∴∠EAD＝∠ADF．
若AD平分∠BAC，
则∠EAD＝∠FAD．
∴∠FAD＝∠ADF，
∴AF＝FD，
∵四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是菱形．
∴②不正确；
③如图，
若AD⊥BC，
∵D是BC的中点，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AB＝AC．
∵AD⊥BC，E是AB的中点，
∴DE＝AB．
同理：DF＝AC，
∴DE＝DF．
由①知：四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是菱形．
∴③正确；
④若∠A＝90°，如图，
由①知：四边形AEDF是平行四边形，
∵∠A＝90°，
∴四边形AEDF是矩形，
∴④正确；
综上可得，正确的结论有：①③④，
故选：C．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）的值是 3 ．
【分析】根据二次根式的性质，可得答案．
【解答】解：＝＝3，
故答案为：3．
12．（3分）若一组数据x1，x2，x3，x4的平均数是6，则数据x1+4，x2+4，x3+4，x4+4的平均数是 10 ．
【分析】根据数据x1，x2，x3的平均数和数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数即可求出平均数．
【解答】解：∵数据x1，x2，x3，x4的平均数是6，
∴数据x1+4，x2+4，x3+4，x4+4的平均数是6+4＝10．
故答案为：10．
13．（3分）将直线y＝2x向左平移1个单位长度，则平移后的直线解析式为 y＝2x+2 ．
【分析】根据“左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将直线y＝2x向左平移1个单位所得的直线的解析式是y＝2（x+1）＝2x+2．即y＝2x+2，
故答案为：y＝2x+2．
14．（3分）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，如果图2和图3每个图形中间的正方形面积分别为9和1，则图1中菱形的面积为 8 ．
【分析】将菱形中的直角三角形的直角边设出来，列出关于直角边的方程组，求出直角边，即可求出面积．
【解答】解：设菱形中的直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，
则：，
化简得：ab＝4，
∴菱形的面积为，
故答案为8．
15．（3分）如图，是正比例函数y1＝x与函数y2＝|2x﹣4|﹣1在同一平面直角坐标系中的图象，则不等式：y1＞y2的解集是 1＜x＜5 ．
【分析】直接根据两函数图象的交点坐标即可得出结论．
【解答】解：∵由函数图象可知，当1＜x＜5时，直线y1＝x在函数y2＝|2x﹣4|﹣1图象的上方，
∴不等式：y1＞y2的解集是1＜x＜5．
故答案为1＜x＜5．
16．（3分）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，CF平分∠ACB，交DE于点F，若BC＝10，AC＝4，则DF的长为 3 ．
【分析】根据三角形中位线定理得到DE＝BC，DE∥BC，根据平行线的性质、角平分线的定义得到∠EFC＝∠ECF，根据等腰三角形的判定定理得到EF＝EC，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：∵D、E分别为AB、AC的中点，BC＝10，AC＝4，
∴DE＝BC＝5，DE∥BC，EC＝AC＝2，
∴∠EFC＝∠BCF，
∵CF平分∠ACB，
∴∠ECF＝∠BCF，
∴∠EFC＝∠ECF，
∴EF＝EC＝2，
∴DF＝DE﹣EF＝5﹣2＝3，
故答案为：3．
三、解答题（共5小题，共52分）
17．（10分）计算下列各题：
（1）﹣+；
（2）（+2）（﹣5）．
【分析】（1）先把二次根式为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先利用多项式乘以多项式展开，然后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝3﹣2+
＝2；
（2）原式＝3﹣5+2﹣10
＝﹣7﹣3．
18．（10分）为转变教育管理方式并为学校教育教学提供参考，某区随机抽取八年级若干名学生参加2021年国家义务教育质量检测，并将测试中的数学成绩a（分数）分成A，B，C，D，E五个等级（A：90≤a≤100，B：80≤a＜90，C：70≤a＜80，D：60≤a＜70，E：a＜60），绘制出了如图两幅不完整的统计图，根据以上信息，回答下列问题：
（1）直接写出抽查的学生人数 200 ，及m＝ 15 ；
（2）请补全条形统计图，该组数据的中位数在 等级；
（3）若该区八年级共有学生8000人，数学成绩a≥80为优秀，请估计该区八年级数学成绩达到优秀的约有多少人？
【分析】（1）由D等级人数及其所占百分比可得被抽查的学生人数，用A等级的人数除以总人数即可得出m的值；
（2）用总人数分别乘以B、C等级所占百分比可得其人数，再补全统计图；根据中位数的定义即可得出答案案；
（3）用总人数乘以样本中A、B等级人数和所占百分比可得答案．
【解答】解：（1）抽查的学生人数为20÷10%＝200（人）；
m%＝×100%＝15%，即m＝15．
故答案为：200，15；
（2）B等级人数为200×45%＝90（人），C等级人数为200×27.5%＝55（人），
补全图形如下：
∵共有200人，中位数是第100、101个数的平均数，
∴该组数据的中位数在B等级；
故答案为：B；
（3）估计该区八年级数学成绩达到优秀的约有8000×＝4800（人）．
19．（10分）如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE＝CF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若正方形边长为，AE＝1，直接写出菱形BEDF的面积 4 ．
【分析】（1）连接BD，根据对角线互相平分证出四边形BEDF为平行四边形，再根据对角线互相垂直证出四边形BEDF是菱形；
（2）根据勾股定理求出正方形对角线的长，再求出菱形的对角线EF的长，根据菱形的面积公式＝对角线乘积的一半，求出菱形的面积．
【解答】（1）证明：连接BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，
又∵AE＝CF，
∴AO﹣AE＝CO﹣CF，
∴OE＝OF，
∵OB＝OD，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形；
（2）解∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝AC＝2，
∴AC＝BD＝＝＝4，
∵AE＝1，
∴CF＝AE＝1，
∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝4﹣1﹣1＝2，
∴菱形BEDF的面积＝×EF×BD＝×2×4＝4，
故答案为：4．
20．（10分）如图，在8×10的正方形网格中，请用无刻度直尺按要求作图．
（1）作平行四边形ACBD；
（2）在BA的延长线上找点E，连AE，使AE＝AC，再作矩形CEFG，使矩形CEFG面积为40平方单位；
（3）在图中找格点P，连AP，使AP平分∠CAB，若AP交BC于M，则＝ ．
【分析】（1）根据平行四边形的定义画出图形即可．
（2）根据矩形的定义以及题目条件作出图形即可．
（3）取CG的中点P，连接AP交BC于M，利用面积法求解即可．
【解答】解：（1）如图，平行四边形ACBD即为所求．
（2）如图，矩形CEFG即为所求．
（3）如图，点P，点M即为所求．
过点M作MH⊥AC于H．
∵PA平分∠CAB，MH⊥AC，MB⊥AB，
∴MH＝MB，
∴＝＝＝＝，
∴＝，
故答案为：．
21．（12分）已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象过点（3，2）和（0，﹣4）．交x轴于A，交y轴于B．
（1）求这个函数的解析式；
（2）若点（a﹣5，3a）在函数图象上，求a的值；
（3）规定横、纵坐标都为整数的点为整点，若此一次函数图象与y＝x的图象及y轴围成的区域（不含边界）称为区域W，则：
①区域W中整点的个数有 3 个；
②把这个一次函数图象至少向上平移 2 个单位，则使得区域W中的整点个数为0．
【分析】（1）根据待定系数法可以求得该函数的表达式；
（2）将点C坐标代入（1）中的解析式可以求得a的值；
（2）①画图可得整点的个数；
②设平移后的直线解析式为y＝2x+n，把（1，0）代入得解得n＝﹣2，求得平移的距离．
【解答】解：（1）根据题意得：，
解得：，
∴函数解析式为y＝2x﹣4；
（2）∵点（a﹣5，3a）在该函数图象上，
∴3a＝2（a﹣5）﹣4，
∴a＝﹣14；
（3）①由得，
∴交点为（4，4），
如图所示，区域W内的整点有（1，﹣1）、（1，0）、（2，1）三个；
故答案为3；
②当直线经过点（1，0）时，区域W内有0个整点，
设平移后的直线解析式为y＝2x+n，
把（1，0）代入得，0＝2+n，解得n＝﹣2，
﹣2﹣（﹣4）＝2，
∴把这个一次函数图象至少向上平移2个单位，则使得区域W中的整点个数为0，
故答案为2．
四．填空题（共4小题，每小题4分，共16分）
22．（4分）若函数y＝kx﹣b的图象如图所示，下列结论：①b＜0；②b＝2k；③若（﹣1，y1），（﹣2，y2）是图象上两点，则y1＜y2；④关于x的不等式k（x﹣2）﹣b＞0的解集为x＜4．其中正确的结论是 ①②③④ （填写正确答案的序号）．
【分析】根据一次函数的性质即可判断①③；由图象经过点（2，0）即可判断②；根据平移的规律即可判断④．
【解答】解：①∵函数y＝kx﹣b的图象经过点一、二、四象限，
∴﹣b＞0，
∴b＜0，故①正确；
②∵y2＝kx﹣b的图象与x轴的交点为（2，0），
∴2k﹣b＝0，
∴b＝2k，故②正确；
③由图象可知，函数y随x的增大而减小，
∵（﹣1，y1），（﹣2，y2）是图象上两点，且﹣1＞﹣2，
∴y1＜y2，故③正确；
④∵函数y＝kx﹣b的图象向右平移2个单位得到y＝k（x﹣2）﹣b，
∵y＝kx﹣b图象与x轴交点的横坐标为2，
∴函数y＝k（x﹣2）﹣b图象与x轴交点的横坐标为4，
∴关于x的不等式k（x﹣2）﹣b＞0的解集为x＜4，故④正确；
故答案为①②③④．
23．（4分）如图，矩形ABCD中，AD＝10，AB＝8，点P在边AD上，且BP＝BC，点M在线段BP上，点N在线段BC的延长线上，且PM＝CN，连接MN交CP于点F，过点M作ME⊥CP于E，则EF＝ 2 ．
【分析】过点M作MH∥BC交CP于H，根据两直线平行，同位角相等可得∠MHP＝∠BCP，两直线平行，内错角相等可得∠NCF＝∠MHF，根据等边对等角可得∠BCP＝∠BPC，然后求出∠BPC＝∠MHP，根据等角对等边可得PM＝MH，根据等腰三角形三线合一的性质可得PE＝EH，利用“角边角”证明△NCF和△MHF全等，根据全等三角形对应边相等可得CF＝FH，从而求出EF＝CP，根据矩形的对边相等可得BC＝AD＝10，再利用勾股定理列式求出AP，然后求出PD，再次利用勾股定理列式计算即可求出CP，从而得解．
【解答】解：如图，过点M作MH∥BC交CP于H，
则∠MHP＝∠BCP，∠NCF＝∠MHF，
∵BP＝BC，
∴∠BCP＝∠BPC，
∴∠BPC＝∠MHP，
∴PM＝MH，
∵PM＝CN，
∴CN＝MH，
∵ME⊥CP，
∴PE＝EH，
在△NCF和△MHF中，
，
∴△NCF≌△MHF（AAS），
∴CF＝FH，
∴EF＝EH+FH＝CP，
∵矩形ABCD中，AD＝10，
∴BC＝AD＝10，
∴BP＝BC＝10，
在Rt△ABP中，AP＝＝＝6，
∴PD＝AD﹣AP＝10﹣6＝4，
在Rt△CPD中，CP＝＝＝4，
∴EF＝CP＝×4＝2．
故答案为：2．
24．（4分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y1），给出如下定义：若y1＝，则称点Q为点P的“可控变点”．①点（﹣2，1）的“可控变点”的坐标为 （﹣2，1） ；
②若点N（m，3）是函数y＝x﹣1图象上点M的“可控变点”，则点M的坐标为 （2，1），（﹣1，﹣2）． ．
【分析】（1）将点（﹣2，1）代入对应解析式求出y'．
（2）讨论m≥0及m＜0两种情况求解．
【解答】解：（1）∵﹣2＜0，
∴y'＝﹣y＝﹣1，
∴点（﹣2，1）的“可控变点”的坐标为（﹣2，﹣1）．
故答案为：（﹣2，﹣1）．
（2）点M的“可控变点”N所在函数解析式为：，
∴当m≥0时，将（m，3）代入y＝x﹣1得m＝4，
当m＜0时，将（m，3）代入y＝﹣x+1得m＝﹣2．
把m＝2代入M点所在解析式y＝x﹣1，得y＝1，即M点坐标为（2，1），
把m＝﹣1代入M点解析式y＝x﹣1，得y＝﹣2，及M点坐标为（﹣1，﹣2）．
故答案为：（2，1），（﹣1，﹣2）．
25．（4分）如图，平面内三点A、B、C，AB＝4，AC＝3，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是 ．
【分析】将△ABD绕点D顺时针旋转90°得到△CDM．由旋转不变性可知：AB＝CM＝4，DA＝DM．∠ADM＝90°，推出△ADM是等腰直角三角形，推出AD＝AM，推出当AM的值最大时，AD的值最大，利用三角形的三边关系求出AM的最大值即可解决问题．
【解答】解：将△ABD绕点D顺时针旋转90°，得△MCD，如图：
由旋转不变性可得：CM＝AB＝4，AD＝MD，
且∠ADM＝90°，
∴△ADM是等腰直角三角形，
∴AD＝AM，
AD最大，只需AM最大，而在△ACM中，AM＜AC+CM，
∴当且仅当A、C、M在一条直线上，即不能构成△ACM时，AM最大，且最大值为AC+CM＝AC+AB＝7，
此时AD＝AM＝，
故答案为：．
五、解答题（共3小题，共34分）
26．（10分）某商业集团新进了40台空调机，60台电冰箱，计划调配给下属的甲、乙两个连锁点销售，其中70台给甲连锁店，30台给乙连锁店，两个连锁店销售这两种电器，每台的利润（单元：元）如表：
设集团调配给甲连锁店x台空调机，集团卖出这100台电器的总利润为y（元）．
（1）求y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；
（2）为了促销，集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利a元销售，其他的销售利润都不变，并且让利后甲连锁店每台空调机的利润比该店销售每台电冰箱的利润至少高出15元，问该集团应该如何设计调配方案，能使总利润达到最大．
【分析】（1）首先设调配给甲连锁店电冰箱（70﹣x）台，调配给乙连锁店空调机（40﹣x）台，电冰箱60﹣（70﹣x）＝（x﹣10）台，列出不等式组求解即可；
（2）由（1）可得几种不同的分配方案；依题意得出y与a的关系式，解出不等式方程后可得出使利润达到最大的分配方案．
【解答】解：（1）由题意可知，调配给甲连锁店电冰箱（70﹣x）台，
调配给乙连锁店空调机（40﹣x）台，电冰箱为60﹣（70﹣x）＝（x﹣10）台，
则y＝200x+170（70﹣x）+160（40﹣x）+150（x﹣10），
即y＝20x+16800．
，
∴10≤x≤40．
∴y＝20x+16800（10≤x≤40）；
（2）由题意得：y＝（200﹣a）x+170（70﹣x）+160（40﹣x）+150（x﹣15），
即y＝（20﹣a）x+16800．
∵200﹣a≥170+15，
∴a≤15．
当0＜a＜15时，20﹣a＞0，函数y随x的增大而增大，
故当x＝40时，总利润最大，即调配给甲连锁店空调机40台，电冰箱30台，乙连锁店空调0台，电冰箱30台．
27．（12分）如图，P是正方形ABCD内一点，CP＝CD．
（1）如图1，连接AP并延长交BC于E，若DP⊥AE，求证：E为BC的中点；
（2）如图2，连接BP并延长，作DF⊥BP于F，连AF，CF，则AF，CF，DF之间有何数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，若AB＝4，∠PCD＝30°，过P作EF⊥CP分别交AB，AD于E，F，直接写出EF的值 8﹣ ．
【分析】（1）过点C作CH⊥PD，由等腰三角形的性质可得CH是PD的垂直平分线，可证PH＝HD＝AH，可证四边形AECH是平行四边形，可得AH＝EC＝AD＝BC，可得结论；
（2）过点D作DN⊥DF交FC于N，由“ASA”可证△ADF≌△CDN，可证AF＝CN，DF＝DN，可得∠DFN＝∠DNF＝45°，由等腰直角三角形的性质可得FN＝FD，可得结论；
（3）由“HL”可证Rt△PCF≌Rt△DCF，可得∠PCF＝∠DCF＝15°，利用直角三角形的性质分别求出EP，FP，即可求解．
【解答】证明：（1）如图1，过点C作CH⊥PD，交AD于H，连接PH，
∵CP＝CD，CH⊥PD，
∴CH是PD的垂直平分线，
∴PH＝HD，
∴∠HPD＝∠HDP，
∵DP⊥AE，CH⊥PD，
∴AE∥CH，∠APD＝90°，
∴∠HAP＝∠HPA，
∴AH＝PH，
∴AH＝PH＝HD＝AD，
∵AH∥EC，AE∥CH，
∴四边形AECH是平行四边形，
∴AH＝EC＝AD＝BC，
∴E为BC的中点；
（2）CF＝DF+AF，理由如下：
如图2，过点D作DN⊥DF交FC于N，连接AC，BD交于点O，连接OF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝BO＝CO＝DO，
又∵BF⊥DF，
∴OF＝OB＝OD，
∴OA＝OC＝OF，
∴∠AFC＝90°，
∴∠ABC＝∠AFC＝90°，
∴∠FAB+∠BCF＝180°，
∴∠BCF+∠BAD+∠DAF＝180°，
∴∠DAF+∠BCF＝90°，
∵∠BCF+∠FCD＝90°，
∴∠DAF＝∠DCF，
∵DF⊥DN，
∴∠FDN＝∠ADC＝90°，
∴∠ADF＝∠NDC，
又∵CD＝AD，
∴△ADF≌△CDN（ASA），
∴AF＝CN，DF＝DN，
∴∠DFN＝∠DNF＝45°，
∴FN＝FD，
∴CF＝CN+FN＝DF+AF；
（3）如图3，连接CF，CE，作∠CFM＝∠FCM，交PC于M，
∵AB＝4，∠PCD＝30°，
∴BC＝CD＝PC＝4，∠BCP＝60°，
∵CF＝CF，PC＝CD，
∴Rt△PCF≌Rt△DCF（HL），
∴∠PCF＝∠DCF＝15°，
同理可求∠BCE＝∠PCE＝30°，
又∵EF⊥CP，
∴CE＝2EP，
∵CE2＝EP2+CP2，
∴EP＝，
∵∠MCF＝∠MFC＝15°，
∴∠FMP＝30°，MF＝CM，
又∵EF⊥CP，
∴FM＝2PF＝CM，PM＝PF，
∴CP＝2PF+PF＝4，
∴PF＝8﹣4，
∴EF＝PF+PE＝8﹣，
故答案为：8﹣．
28．（12分）在平面直角坐标系中，经过点A（0，3）且与平行的直线，交x轴于点B．
（1）如图1，试求△ABO的面积；
（2）在图1中，过M（2，0）的直线与AB成45°夹角，试求该直线与AB交点的横坐标；
（3）如图2，现有点C（m，n）在线段AB上运动，点D（﹣3m+2，0）在x轴上，N为线段CD的中点．
①试求点N的纵坐标y关于横坐标x的函数关系式；
②直接写出N点的运动轨迹长度为 ．
【分析】（1）通过解析式求出点B坐标然后求解．
（2）直线MC，MD与直线AB夹角为45°，作CE，DF⊥x轴于点E，F，通过一线三垂直证明三角形全等，DF＝EM＝a，用含a代数式表示点C然后求解．
（3）分别求出点C与点A，B重合时点N坐标，然后通过两点距离公式求解．
【解答】解：（1）∵直线AB与直线y＝﹣x平行且经过点A（0，3），
∴AB所在直线解析式为y＝﹣x+3，
把y＝0代入y＝﹣x+3得0＝﹣x+3，
解得x＝6，
∴点B坐标为（6，0），
∴S△ABO＝AO•BO＝×3×6＝9．
（2）∵如图直线MC，MD与直线AB夹角为45°，作CE，DF⊥x轴于点E，F，
∵∠DCM＝∠CDM＝45°，
∴△CMD为等腰直角三角形，MC＝MD，
∵∠CME+∠MCE＝∠CME+∠DMF＝90°，
∴∠MCE＝∠DMF，
在Rt△CME和Rt△MDF中，
，
∴Rt△CME≌Rt△MDF（AAS）．
∴EM＝FD，CE＝MF，
设DF＝EM＝a，
把y＝a代入y＝﹣x+3得a＝﹣x+3，
解得x＝6﹣2a，
∴FM＝CE＝6﹣2a﹣2＝4﹣2a，
∵点C横坐标为OM﹣ME＝2﹣a，
∴点C坐标为（2﹣a，4﹣2a），
把点C（2﹣a，4﹣2a）代入y＝﹣x+3得4﹣2a＝﹣（2﹣a）+3，
解得a＝．
∴点C横坐标为2﹣a＝，点D横坐标为6﹣2a＝．
（3）把C（m，n）代入y＝﹣x+3得n＝﹣m+3，
∴点C坐标为（m，﹣m+3），
因为点D坐标为（﹣3m+2，0），点N为CD中点，
∴点N横坐标为＝1﹣m，点N纵坐标为＝﹣m+，
∵﹣m+＝（1﹣m）+，
设点N横坐标1﹣m＝x，纵坐标﹣m+＝y，
则y＝x+．
（3）当点C与点A重合时，m＝0，点N坐标为（1，），
当点C与点B重合时，m＝6，点N坐标为（﹣5，0），
∴点N运动轨迹长度为＝．
故答案为：．
颜色
黄色
绿色
白色
紫色
红色
数量（件）
100
180
220
80
550
空调机
电冰箱
甲连锁店
200
170
乙连锁店
160
150
颜色
黄色
绿色
白色
紫色
红色
数量（件）
100
180
220
80
550
空调机
电冰箱
甲连锁店
200
170
乙连锁店
160
150