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2022步步高大一轮复习--物理 第二章 相互作用 第3讲 力的合成与分解学案
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这是一份2022步步高大一轮复习--物理 第二章 相互作用 第3讲 力的合成与分解学案，共16页。学案主要包含了力的合成，力的分解，矢量和标量等内容，欢迎下载使用。
一、力的合成
1．合力与分力
(1)定义：如果几个力共同作用产生的效果与一个力的作用效果相同，这一个力就叫做那几个力的合力，那几个力叫做这一个力的分力．
(2)关系：合力与分力是等效替代关系．
判断正误 (1)合力的作用效果跟原来几个力共同作用产生的效果相同．( √ )
(2)合力与原来那几个力同时作用在物体上．( × )
2．共点力
作用在物体的同一点，或作用线交于一点的几个力．如图1均为共点力．
图1
3．力的合成
(1)定义：求几个力的合力的过程．
(2)运算法则
①平行四边形定则：求两个互成角度的分力的合力，可以用表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向．如图2甲所示，F1、F2为分力，F为合力．
图2
②三角形定则：把两个矢量的首尾顺次连接起来，第一个矢量的首到第二个矢量的尾的有向线段为合矢量．如图乙，F1、F2为分力，F为合力．
自测1 (多选)两个共点力F1、F2大小不同，它们的合力大小为F(不为零)，则( )
A．F1、F2同时增大一倍，F也增大一倍
B．F1、F2同时增加10 N，F也增加10 N
C．F1增加10 N，F2减少10 N，F一定不变
D．若F1、F2中的一个增大，F不一定增大
答案 AD
解析 根据平行四边形定则，F1、F2同时增大一倍，F也增大一倍，故A正确；若F1、F2方向相反，F1、F2同时增加10 N，F不变，故B错误；若F1、F2方向相反，F1增加10 N，F2减少10 N，则F增加20 N，故C错误；若F1、F2方向相反，F1、F2中的一个增大，F不一定增大，故D正确．
二、力的分解
1．定义：求一个力的分力的过程．
力的分解是力的合成的逆运算．
2．遵循的原则
(1)平行四边形定则．(2)三角形定则．
3．分解方法
(1)效果分解法．如图3所示，物体重力G的两个作用效果，一是使物体沿斜面下滑，二是使物体压紧斜面，这两个分力与合力间遵循平行四边形定则，其大小分别为G1＝Gsin θ，G2＝Gcs θ.
图3
(2)正交分解法．
自测2 已知两个共点力的合力为50 N，分力F1的方向与合力F的方向成30°角，分力F2的大小为30 N．则( )
A．F1的大小是唯一的 B．F2的方向是唯一的
C．F2有两个可能的方向 D．F2可取任意方向
答案 C
解析 由F1、F2和F的矢量三角形图可以看出：
因F2＝30 N＞F20＝Fsin 30°＝25 N，且F2＜F，所以F1的大小有两种，即F1′和F1″，F2的方向有两种，即F2′的方向和F2″的方向，故选项A、B、D错误，C正确．
三、矢量和标量
1．矢量：既有大小又有方向的物理量，叠加时遵循平行四边形定则，如速度、力等．
2．标量：只有大小没有方向的物理量，求和时按代数法则相加，如路程、速率等．
自测3 下列各组物理量中全部是矢量的是( )
A．位移、速度、加速度、力
B．位移、时间、速度、路程
C．力、位移、速率、加速度
D．速度、加速度、力、路程
答案 A
1．两个共点力的合成
|F1－F2|≤F合≤F1＋F2，即两个力大小不变时，其合力随夹角的增大而减小，当两力反向时，合力最小；当两力同向时，合力最大．
2．三个共点力的合成
(1)最大值：三个力共线且同向时，其合力最大，为F1＋F2＋F3.
(2)最小值：任取两个力，求出其合力的范围，如果第三个力在这个范围之内，则三个力的合力的最小值为零，如果第三个力不在这个范围内，则合力的最小值为最大的一个力减去另外两个较小的力的大小之和．
3．几种特殊情况的共点力的合成
4.力合成的方法
(1)作图法
(2)计算法
若两个力F1、F2的夹角为θ，如图4所示，合力的大小可由余弦定理得到：
F＝eq \r(F12＋F22＋2F1F2cs θ)
图4
tan α＝eq \f(F2sin θ,F1＋F2cs θ).
题型1 基本规律的理解
例1 (多选)5个共点力的情况如图5所示，已知F1＝F2＝F3＝F4＝F，且这四个力恰好构成一个正方形，F5是其对角线．下列说法正确的是( )
图5
A．F1和F5的合力与F3大小相等，方向相反
B．这5个共点力能合成大小为2F、相互垂直的两个力
C．除F5以外的4个力的合力的大小为eq \r(2)F
D．这5个共点力的合力恰好为eq \r(2)F，方向与F1和F3的合力方向相同
答案 AD
解析 力的合成遵从平行四边形定则，根据这五个力的特点，F1和F3的合力与F5大小相等，方向相反，可得F1和F5的合力与F3大小相等，方向相反，A正确；F2和F4的合力与F5大小相等，方向相反，又F1、F2、F3、F4恰好构成一个正方形，所以F5为eq \r(2)F，可得除F5以外的4个力的合力的大小为2eq \r(2)F，C错误；这5个共点力的合力大小等于eq \r(2)F，方向与F5相反，D正确，B错误．
变式1 (多选)一物体静止于水平桌面上，两者之间的最大静摩擦力为5 N，现将水平面内的三个力同时作用于物体的同一点，三个力的大小分别为2 N、2 N、3 N．下列关于物体的受力情况和运动情况判断正确的是( )
A．物体所受静摩擦力可能为2 N
B．物体所受静摩擦力可能为4 N
C．物体可能仍保持静止
D．物体一定被拉动
答案 ABC
解析 两个2 N的力的合力范围为0～4 N，然后与3 N的力合成，则三力的合力范围为0～
7 N，由于最大静摩擦力为5 N，因此可判定A、B、C正确，D错误．
题型2 力的合成法的应用
例2 (2019·广东深圳市4月第二次调研)如图6所示，用缆绳将沉在海底的球形钢件先从a处竖直吊起到b，再水平移到c，最后竖直下移到d.全过程钢件受到水的阻力大小不变，方向与运动方向相反，所受浮力恒定．则上升、平移、下降过程中的匀速运动阶段，缆绳对钢件拉力F1、F2、F3的大小关系是( )
图6
A．F1>F2>F3 B．F1>F3>F2
C．F2>F1>F3 D．F3>F2>F1
答案 A
解析 钢件从a到b，对钢件受力分析，有F1＋F浮＝mg＋F阻
因F浮恒定，令F0＝mg－F浮，则有F1＝F0＋F阻
从b到c，有F2＝eq \r(F阻2＋F02)＝eq \r(F阻＋F02－2F0F阻)＝eq \r(F0－F阻2＋2F0F阻)
从c到d，有F3＝F0－F阻
故F1>F2>F3，A正确，B、C、D错误．
变式2 (2020·山东淄博市模拟)如图7所示，a、b两个小球穿在一根光滑的固定杆上，并且通过一条细绳跨过定滑轮连接．已知b球质量为m，杆与水平面的夹角为30°，不计所有摩擦．当两球静止时，Oa段绳与杆的夹角也为30°，Ob段绳沿竖直方向，则a球的质量为( )
图7
A.eq \r(3)m B.eq \f(\r(3),3)m C.eq \f(\r(3),2)m D．2m
答案 A
解析 分别对a、b两球受力分析如图：
根据共点力平衡条件得：FT＝mbg；eq \f(FT,sin 30°)＝eq \f(mag,sin 120°)(根据正弦定理列式)，故mb∶ma＝1∶eq \r(3)，则ma＝eq \r(3)m，故B、C、D错误，A正确．
方法1 效果分解法
按力的作用效果分解(思路图)
例3 如图8所示的四种情况(甲、乙、丙图中的球表面光滑)，请把物体的重力G按力的作用效果进行分解，画出分解的示意图．
图8
答案 如图所示
解析 按重力的作用效果，找出两个分力的方向，以重力为对角线，作平行四边形．
变式3 (2020·山东日照市质检)减速带是交叉路口常见的一种交通设施，车辆驶过减速带时要减速，以保障行人的安全．当汽车前轮刚爬上减速带时，减速带对车轮的弹力为F，下图中弹力F画法正确且分解合理的是( )
答案 B
解析 减速带对车轮的弹力方向垂直车轮和减速带的接触面，指向受力物体，故A、C错误；按照力的作用效果分解，将F分解为水平方向和竖直方向，水平方向的分力产生的效果减慢汽车的速度，竖直方向的分力产生使汽车向上运动的作用效果，故B正确，D错误．
方法2 正交分解法
1．定义：将已知力按互相垂直的两个方向进行分解的方法．
2．建立坐标轴的原则：一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(使尽量多的力分布在坐标轴上)；在动力学中，往往以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系．
3．方法：物体受到多个力F1、F2、F3…作用，求合力F时，可把各力向相互垂直的x轴、y轴分解．
x轴上的合力Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…
y轴上的合力Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…
合力大小F＝eq \r(Fx2＋Fy2)
若合力方向与x轴夹角为θ，则tan θ＝eq \f(Fy,Fx).
例4 (多选)(2016·全国卷Ⅰ·19)如图9，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b.外力F向右上方拉b，整个系统处于静止状态．若F方向不变，大小在一定范围内变化，物块b仍始终保持静止，则( )
图9
A．绳OO′的张力也在一定范围内变化
B．物块b所受到的支持力也在一定范围内变化
C．连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化
D．物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化
答案 BD
解析 由于物块a、b均保持静止，各绳角度保持不变，对a受力分析得，绳的拉力FT′＝mag，所以物块a受到的绳的拉力保持不变，滑轮两侧绳的拉力大小相等，所以b受到绳的拉力大小、方向均保持不变，C选项错误；a、b受到绳的拉力大小、方向均不变，所以OO′的张力不变，A选项错误；对b进行受力分析，如图所示，由平衡条件得：FTcs β＋Ff＝Fcs α，Fsin α＋FN＋FTsin β＝mbg，其中FT和mbg始终不变，当F大小在一定范围内变化时，支持力在一定范围内变化，B选项正确；摩擦力也在一定范围内发生变化，D选项正确．
变式4 (2019·江苏卷·2)如图10所示，一只气球在风中处于静止状态，风对气球的作用力水平向右．细绳与竖直方向的夹角为α，绳的拉力为T，则风对气球作用力的大小为( )
图10
A.eq \f(T,sin α) B.eq \f(T,cs α)
C．Tsin α D．Tcs α
答案 C
解析 以气球为研究对象，受力分析如图所示，则由力的平衡条件可知，气球在水平方向的合力为零，即风对气球作用力的大小为F＝Tsin α，C正确，A、B、D错误．
例5 (2019·广西钦州市4月综测)日常生活中，我们在门下缝隙处塞紧一个木楔(侧面如图11所示)，往往就可以把门卡住(最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计门与木楔之间的摩擦)．有关此现象的分析，下列说法正确的是( )
图11
A．木楔对门的作用力大于门对木楔的作用力，因而能将门卡住
B．门对木楔作用力的水平分量等于地面对木楔静摩擦力的大小
C．只要木楔的厚度合适都能将门卡住，与顶角θ的大小无关
D．只要木楔对门的压力足够大就能将门卡住，与各接触面的粗糙程度无关
答案 B
解析 木楔对门的作用力和门对木楔的作用力是一对作用力和反作用力，大小相等、方向相反，故A错误；
对木楔受力分析如图所示：
水平方向：Ff＝Fsin θ，门对木楔作用力的水平分量与地面对木楔的静摩擦力大小相等，故B正确；
对木楔，竖直方向：FN＝Fcs θ＋mg
则Ffmax＝μFN＝μ(Fcs θ＋mg)
要把门卡住，则有：不管多大的力F均满足Ffmax≥Ff，即μ(Fcs θ＋mg)≥Fsin θ，则忽略木楔的质量，只要μ≥tan θ，就可把门卡住，故能否把门卡住与顶角θ以及接触面的粗糙程度有关，故C、D错误．
变式5 (多选)(2018·天津卷·7)明朝谢肇淛的《五杂组》中记载：“明姑苏虎丘寺塔倾侧，议欲正之，非万缗不可．一游僧见之曰：无烦也，我能正之．”游僧每天将木楔从塔身倾斜一侧的砖缝间敲进去，经月余扶正了塔身．假设所用的木楔为等腰三角形，木楔的顶角为θ，现在木楔背上加一力F，方向如图12所示，木楔两侧产生推力FN，则( )
图12
A．若F一定，θ大时FN大
B．若F一定，θ小时FN大
C．若θ一定，F大时FN大
D．若θ一定，F小时FN大
答案 BC
解析 根据力F的作用效果将F分解为垂直于木楔两侧的力FN，如图所示
则eq \f(\f(F,2),FN)＝sin eq \f(θ,2)
故FN＝eq \f(F,2sin \f(θ,2))，
所以当F一定时，θ越小，FN越大；当θ一定时，F越大，FN越大，故选项B、C正确，A、D错误．
1．(合力与分力的关系)关于合力与其两个分力的关系，正确的是( )
A．合力的大小一定大于小的分力、小于大的分力
B．合力的大小随两分力夹角的增大而增大
C．合力的大小一定大于任意一个分力
D．合力的大小可能大于大的分力，也可能小于小的分力
答案 D
解析 合力的大小不一定大于小的分力(如图甲)，也不一定小于大的分力(如图乙)，故A、C错误，D正确；合力的大小可能随两分力夹角的增大而减小(如图丙)，故B错误．
2．(分解法的应用)如图13所示，墙上有两个钉子a和b，它们的连线与水平方向的夹角为45°，两者的高度差为l.一条不可伸长的轻质细绳一端固定于a点，另一端跨过光滑钉子b悬挂一质量为m1的重物．在绳上距a端eq \f(l,2)的c点有一固定绳圈．若绳圈上悬挂质量为m2的钩码(未画出)，平衡后绳的ac段正好水平，则重物和钩码的质量比eq \f(m1,m2)为( )
图13
A.eq \r(5) B．2 C.eq \f(\r(5),2) D.eq \r(2)
答案 C
解析 解法一(力的效果分解法，如图甲)：
钩码的拉力F等于钩码重力m2g，将F沿ac和bc方向分解，两个分力分别为Fa、Fb，如图甲所示，其中Fb＝m1g，由几何关系可得cs θ＝eq \f(F,Fb)＝eq \f(m2g,m1g)，又由几何关系得cs θ＝eq \f(l,\r(l2＋\f(l,2)2))，联立解得eq \f(m1,m2)＝eq \f(\r(5),2).
解法二(正交分解法，如图乙)：
绳圈受到Fa、Fb、F三个力作用，如图乙所示，将Fb沿水平方向和竖直方向正交分解，由竖直方向受力平衡得m1gcs θ＝m2g；由几何关系得cs θ＝eq \f(l,\r(l2＋\f(l,2)2))，联立解得eq \f(m1,m2)＝eq \f(\r(5),2).
3．(木楔问题)刀、斧、凿等切削工具的刃部叫做劈，如图14是斧头劈木柴的情景．劈的纵截面是一个等腰三角形，使用劈的时候，垂直劈背加一个力F，这个力产生两个作用效果，使劈的两个侧面推压木柴，把木柴劈开．设劈背的宽度为d，劈的侧面长为l，不计斧头自身的重力，则劈的侧面推压木柴的力约为( )
图14
A.eq \f(d,l)F B.eq \f(l,d)F C.eq \f(l,2d)F D.eq \f(d,2l)F
答案 B
解析 斧头劈木柴时，设两侧面推压木柴的力分别为F1、F2且F1＝F2，则F＝2F1sin α，又sin α＝eq \f(\f(d,2),l)，故F1＝F2＝eq \f(l,d)F，所以B正确，A、C、D错误．
4.(正交分解法的应用)如图15所示，细绳CO与竖直方向成30°角，A、B两物体用跨过轻质滑轮(可看成质点)的细绳相连，整个系统保持静止．已知物体B的重力mBg＝100 N，地面对物体B的支持力FN＝80 N．求：
图15
(1)物体A的重力大小；
(2)物体B与地面间的摩擦力大小；
(3)细绳CO受到的拉力大小．
答案 (1)40 N (2)20eq \r(3) N (3)40eq \r(3) N
解析 画出定滑轮的轴心O的受力分析示意图，选取直角坐标系，如图甲所示，根据平衡条件得FT1sin α－FT2sin 30°＝0，FT2cs 30°－FT1cs α－FT3＝0，其中FT1＝FT3＝mAg，联立解得α＝60°，画出物体B的受力分析示意图，选取直角坐标系，如图乙所示，根据平衡条件得Ff－FT1sin α＝0，FN＋FT1cs α－mBg＝0，联立并代入数据解得FT1＝40 N，FT2＝40eq \r(3) N，Ff＝20eq \r(3) N，mAg＝FT1＝40 N.
1．三个共点力大小分别是F1、F2、F3，关于它们合力F的大小，下列说法中正确的是( )
A．F大小的取值范围一定是0≤F≤F1＋F2＋F3
B．F至少比F1、F2、F3中的某一个大
C．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶8，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
D．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶2，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
答案 C
解析 当三个力构成一个矢量三角形或共线时，较小的两力的矢量和与第三个力等大反向时，合力可为0.
2.(多选)一件行李重为G，被绳OA和OB吊在空中，OA绳和OB绳的拉力分别为F1、F2，如图1所示，则( )
图1
A．F1、F2的合力是G
B．F1、F2的合力是F
C．行李对绳OA的拉力方向与F1方向相反、大小相等
D．行李受到重力G、OA绳的拉力F1、OB绳的拉力F2，还有F共四个力作用
答案 BC
3.(2019·天津卷·2)2018年10月23日，港珠澳跨海大桥正式开通．为保持以往船行习惯，在航道外建造了单面索(所有钢索均处在同一竖直面内)斜拉桥，其索塔与钢索如图2所示．下列说法正确的是( )
图2
A．增加钢索的数量可减小索塔受到的向下的压力
B．为了减小钢索承受的拉力，可以适当降低索塔的高度
C．索塔两侧钢索对称且拉力大小相同时，钢索对索塔的合力竖直向下
D．为了使索塔受到钢索的合力竖直向下，索塔两侧的钢索必须对称分布
答案 C
解析 增加钢索的数量不能减小索塔受到的向下的压力，A错误；当索塔受到的力F一定时，降低索塔的高度，钢索与水平方向的夹角α减小，则钢索受到的拉力将增大，B错误；如果索塔两侧的钢索对称且拉力大小相同，则两侧拉力在水平方向的合力为零，钢索的合力一定竖直向下，C正确；索塔受到钢索的拉力合力竖直向下，当两侧钢索的拉力大小不等时，由图可知，两侧的钢索不一定对称，D错误．
4.如图3所示，一根不可伸长的轻绳穿过轻滑轮，两端系在高度相等的A、B两点，滑轮下挂一物体，不计绳和滑轮之间的摩擦．现让B缓慢向右移动，则下列说法正确的是( )
图3
A．随着B向右缓慢移动，绳子的张力减小
B．随着B向右缓慢移动，绳子的张力不变
C．随着B向右缓慢移动，滑轮受绳AB的合力变小
D．随着B向右缓慢移动，滑轮受绳AB的合力不变
答案 D
解析 随着B向右移动，两绳间夹角变大，而合力不变，两绳拉力变大．
5．如图4所示，质量为m的重物悬挂在轻质支架上，斜梁OB与竖直方向的夹角为θ，重力加速度为g.设水平横梁OA和斜梁OB作用于O点的弹力分别为F1和F2，以下结果正确的是( )
图4
A．F2＝eq \f(mg,cs θ)
B．F1＝eq \f(mg,sin θ)
C．F2＝mgcs θ
D．F1＝mgsin θ
答案 A
解析 对O点受力分析如图，
F1＝F2sin θ，F2cs θ＝mg，
解得F1＝mgtan θ，F2＝eq \f(mg,cs θ)，A正确．
6.(2020·福建泉州市质检)如图5所示，总重为G的吊灯用三条长度相同的轻绳悬挂在天花板上，每条轻绳与竖直方向的夹角均为θ，则每条轻绳对吊灯的拉力大小为( )
图5
A.eq \f(G,3cs θ)
B.eq \f(G,3sin θ)
C.eq \f(1,3)Gcs θ
D.eq \f(1,3)Gsin θ
答案 A
解析 由平衡知识可知：3FTcs θ＝G，解得FT＝eq \f(G,3cs θ)，故选A.
7．(2019·山东枣庄市上学期期末)如图6所示，静止在水平地面上的木块受到两个拉力F1、F2的作用．开始时，两拉力沿同一水平线方向相反，且F1>F2；现保持F1不变，让F2的大小不变、F2的方向缓慢顺时针转过180°，在此过程中木块始终静止．下列说法正确的是( )
图6
A．木块受到所有外力的合力逐渐变大
B．木块对地面的压力可能为零
C．木块受到的摩擦力先变小后变大
D．木块受到的摩擦力逐渐变大
答案 D
解析 由于木块始终处于平衡状态，受到所有外力的合力始终为零，故A错误；水平方向，物块受F1、F2和摩擦力而平衡，根据摩擦力产生的条件可知，木块在整个过程中必定一直受到地面的支持力，由牛顿第三定律可知，木块对地面的压力不可能为0，故B错误；F1、F2大小不变，夹角从180°逐渐减小到零，F1和F2的水平分力的合力逐渐增大，木块受到的摩擦力逐渐变大，故C错误，D正确．
8.(2019·四川南充市第三次适应性考试)如图7所示，截面为等腰直角三角形的斜面体A放在光滑水平面上，光滑球B的重力为G，放在斜面体和竖直墙壁之间，要使A和B都处于静止状态，作用在斜面体上的水平力F的大小为( )
图7
A．G B.eq \r(2)G C．1.5G D．2G
答案 A
解析 对处于平衡的A和B的整体受力分析如图甲，对B球受力分析如图乙：
由整体法可得：F＝FN墙
对B球由合成法可得：FN墙＝Gtan θ，A为等腰直角三角形，由几何关系可知θ＝45°，联立各式可得F＝G，故A正确，B、C、D错误．
类型
作图
合力的计算
互相垂直
F＝eq \r(F12＋F22)
tan θ＝eq \f(F1,F2)
两力等大，夹角为θ
F＝2F1cs eq \f(θ,2)
F与F1夹角为eq \f(θ,2)
两力等大，夹角为120°
合力与分力等大
F′与F夹角为60°
一、力的合成
1．合力与分力
(1)定义：如果几个力共同作用产生的效果与一个力的作用效果相同，这一个力就叫做那几个力的合力，那几个力叫做这一个力的分力．
(2)关系：合力与分力是等效替代关系．
判断正误 (1)合力的作用效果跟原来几个力共同作用产生的效果相同．( √ )
(2)合力与原来那几个力同时作用在物体上．( × )
2．共点力
作用在物体的同一点，或作用线交于一点的几个力．如图1均为共点力．
图1
3．力的合成
(1)定义：求几个力的合力的过程．
(2)运算法则
①平行四边形定则：求两个互成角度的分力的合力，可以用表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向．如图2甲所示，F1、F2为分力，F为合力．
图2
②三角形定则：把两个矢量的首尾顺次连接起来，第一个矢量的首到第二个矢量的尾的有向线段为合矢量．如图乙，F1、F2为分力，F为合力．
自测1 (多选)两个共点力F1、F2大小不同，它们的合力大小为F(不为零)，则( )
A．F1、F2同时增大一倍，F也增大一倍
B．F1、F2同时增加10 N，F也增加10 N
C．F1增加10 N，F2减少10 N，F一定不变
D．若F1、F2中的一个增大，F不一定增大
答案 AD
解析 根据平行四边形定则，F1、F2同时增大一倍，F也增大一倍，故A正确；若F1、F2方向相反，F1、F2同时增加10 N，F不变，故B错误；若F1、F2方向相反，F1增加10 N，F2减少10 N，则F增加20 N，故C错误；若F1、F2方向相反，F1、F2中的一个增大，F不一定增大，故D正确．
二、力的分解
1．定义：求一个力的分力的过程．
力的分解是力的合成的逆运算．
2．遵循的原则
(1)平行四边形定则．(2)三角形定则．
3．分解方法
(1)效果分解法．如图3所示，物体重力G的两个作用效果，一是使物体沿斜面下滑，二是使物体压紧斜面，这两个分力与合力间遵循平行四边形定则，其大小分别为G1＝Gsin θ，G2＝Gcs θ.
图3
(2)正交分解法．
自测2 已知两个共点力的合力为50 N，分力F1的方向与合力F的方向成30°角，分力F2的大小为30 N．则( )
A．F1的大小是唯一的 B．F2的方向是唯一的
C．F2有两个可能的方向 D．F2可取任意方向
答案 C
解析 由F1、F2和F的矢量三角形图可以看出：
因F2＝30 N＞F20＝Fsin 30°＝25 N，且F2＜F，所以F1的大小有两种，即F1′和F1″，F2的方向有两种，即F2′的方向和F2″的方向，故选项A、B、D错误，C正确．
三、矢量和标量
1．矢量：既有大小又有方向的物理量，叠加时遵循平行四边形定则，如速度、力等．
2．标量：只有大小没有方向的物理量，求和时按代数法则相加，如路程、速率等．
自测3 下列各组物理量中全部是矢量的是( )
A．位移、速度、加速度、力
B．位移、时间、速度、路程
C．力、位移、速率、加速度
D．速度、加速度、力、路程
答案 A
1．两个共点力的合成
|F1－F2|≤F合≤F1＋F2，即两个力大小不变时，其合力随夹角的增大而减小，当两力反向时，合力最小；当两力同向时，合力最大．
2．三个共点力的合成
(1)最大值：三个力共线且同向时，其合力最大，为F1＋F2＋F3.
(2)最小值：任取两个力，求出其合力的范围，如果第三个力在这个范围之内，则三个力的合力的最小值为零，如果第三个力不在这个范围内，则合力的最小值为最大的一个力减去另外两个较小的力的大小之和．
3．几种特殊情况的共点力的合成
4.力合成的方法
(1)作图法
(2)计算法
若两个力F1、F2的夹角为θ，如图4所示，合力的大小可由余弦定理得到：
F＝eq \r(F12＋F22＋2F1F2cs θ)
图4
tan α＝eq \f(F2sin θ,F1＋F2cs θ).
题型1 基本规律的理解
例1 (多选)5个共点力的情况如图5所示，已知F1＝F2＝F3＝F4＝F，且这四个力恰好构成一个正方形，F5是其对角线．下列说法正确的是( )
图5
A．F1和F5的合力与F3大小相等，方向相反
B．这5个共点力能合成大小为2F、相互垂直的两个力
C．除F5以外的4个力的合力的大小为eq \r(2)F
D．这5个共点力的合力恰好为eq \r(2)F，方向与F1和F3的合力方向相同
答案 AD
解析 力的合成遵从平行四边形定则，根据这五个力的特点，F1和F3的合力与F5大小相等，方向相反，可得F1和F5的合力与F3大小相等，方向相反，A正确；F2和F4的合力与F5大小相等，方向相反，又F1、F2、F3、F4恰好构成一个正方形，所以F5为eq \r(2)F，可得除F5以外的4个力的合力的大小为2eq \r(2)F，C错误；这5个共点力的合力大小等于eq \r(2)F，方向与F5相反，D正确，B错误．
变式1 (多选)一物体静止于水平桌面上，两者之间的最大静摩擦力为5 N，现将水平面内的三个力同时作用于物体的同一点，三个力的大小分别为2 N、2 N、3 N．下列关于物体的受力情况和运动情况判断正确的是( )
A．物体所受静摩擦力可能为2 N
B．物体所受静摩擦力可能为4 N
C．物体可能仍保持静止
D．物体一定被拉动
答案 ABC
解析 两个2 N的力的合力范围为0～4 N，然后与3 N的力合成，则三力的合力范围为0～
7 N，由于最大静摩擦力为5 N，因此可判定A、B、C正确，D错误．
题型2 力的合成法的应用
例2 (2019·广东深圳市4月第二次调研)如图6所示，用缆绳将沉在海底的球形钢件先从a处竖直吊起到b，再水平移到c，最后竖直下移到d.全过程钢件受到水的阻力大小不变，方向与运动方向相反，所受浮力恒定．则上升、平移、下降过程中的匀速运动阶段，缆绳对钢件拉力F1、F2、F3的大小关系是( )
图6
A．F1>F2>F3 B．F1>F3>F2
C．F2>F1>F3 D．F3>F2>F1
答案 A
解析 钢件从a到b，对钢件受力分析，有F1＋F浮＝mg＋F阻
因F浮恒定，令F0＝mg－F浮，则有F1＝F0＋F阻
从b到c，有F2＝eq \r(F阻2＋F02)＝eq \r(F阻＋F02－2F0F阻)＝eq \r(F0－F阻2＋2F0F阻)
从c到d，有F3＝F0－F阻
故F1>F2>F3，A正确，B、C、D错误．
变式2 (2020·山东淄博市模拟)如图7所示，a、b两个小球穿在一根光滑的固定杆上，并且通过一条细绳跨过定滑轮连接．已知b球质量为m，杆与水平面的夹角为30°，不计所有摩擦．当两球静止时，Oa段绳与杆的夹角也为30°，Ob段绳沿竖直方向，则a球的质量为( )
图7
A.eq \r(3)m B.eq \f(\r(3),3)m C.eq \f(\r(3),2)m D．2m
答案 A
解析 分别对a、b两球受力分析如图：
根据共点力平衡条件得：FT＝mbg；eq \f(FT,sin 30°)＝eq \f(mag,sin 120°)(根据正弦定理列式)，故mb∶ma＝1∶eq \r(3)，则ma＝eq \r(3)m，故B、C、D错误，A正确．
方法1 效果分解法
按力的作用效果分解(思路图)
例3 如图8所示的四种情况(甲、乙、丙图中的球表面光滑)，请把物体的重力G按力的作用效果进行分解，画出分解的示意图．
图8
答案 如图所示
解析 按重力的作用效果，找出两个分力的方向，以重力为对角线，作平行四边形．
变式3 (2020·山东日照市质检)减速带是交叉路口常见的一种交通设施，车辆驶过减速带时要减速，以保障行人的安全．当汽车前轮刚爬上减速带时，减速带对车轮的弹力为F，下图中弹力F画法正确且分解合理的是( )
答案 B
解析 减速带对车轮的弹力方向垂直车轮和减速带的接触面，指向受力物体，故A、C错误；按照力的作用效果分解，将F分解为水平方向和竖直方向，水平方向的分力产生的效果减慢汽车的速度，竖直方向的分力产生使汽车向上运动的作用效果，故B正确，D错误．
方法2 正交分解法
1．定义：将已知力按互相垂直的两个方向进行分解的方法．
2．建立坐标轴的原则：一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(使尽量多的力分布在坐标轴上)；在动力学中，往往以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系．
3．方法：物体受到多个力F1、F2、F3…作用，求合力F时，可把各力向相互垂直的x轴、y轴分解．
x轴上的合力Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…
y轴上的合力Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…
合力大小F＝eq \r(Fx2＋Fy2)
若合力方向与x轴夹角为θ，则tan θ＝eq \f(Fy,Fx).
例4 (多选)(2016·全国卷Ⅰ·19)如图9，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b.外力F向右上方拉b，整个系统处于静止状态．若F方向不变，大小在一定范围内变化，物块b仍始终保持静止，则( )
图9
A．绳OO′的张力也在一定范围内变化
B．物块b所受到的支持力也在一定范围内变化
C．连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化
D．物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化
答案 BD
解析 由于物块a、b均保持静止，各绳角度保持不变，对a受力分析得，绳的拉力FT′＝mag，所以物块a受到的绳的拉力保持不变，滑轮两侧绳的拉力大小相等，所以b受到绳的拉力大小、方向均保持不变，C选项错误；a、b受到绳的拉力大小、方向均不变，所以OO′的张力不变，A选项错误；对b进行受力分析，如图所示，由平衡条件得：FTcs β＋Ff＝Fcs α，Fsin α＋FN＋FTsin β＝mbg，其中FT和mbg始终不变，当F大小在一定范围内变化时，支持力在一定范围内变化，B选项正确；摩擦力也在一定范围内发生变化，D选项正确．
变式4 (2019·江苏卷·2)如图10所示，一只气球在风中处于静止状态，风对气球的作用力水平向右．细绳与竖直方向的夹角为α，绳的拉力为T，则风对气球作用力的大小为( )
图10
A.eq \f(T,sin α) B.eq \f(T,cs α)
C．Tsin α D．Tcs α
答案 C
解析 以气球为研究对象，受力分析如图所示，则由力的平衡条件可知，气球在水平方向的合力为零，即风对气球作用力的大小为F＝Tsin α，C正确，A、B、D错误．
例5 (2019·广西钦州市4月综测)日常生活中，我们在门下缝隙处塞紧一个木楔(侧面如图11所示)，往往就可以把门卡住(最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计门与木楔之间的摩擦)．有关此现象的分析，下列说法正确的是( )
图11
A．木楔对门的作用力大于门对木楔的作用力，因而能将门卡住
B．门对木楔作用力的水平分量等于地面对木楔静摩擦力的大小
C．只要木楔的厚度合适都能将门卡住，与顶角θ的大小无关
D．只要木楔对门的压力足够大就能将门卡住，与各接触面的粗糙程度无关
答案 B
解析 木楔对门的作用力和门对木楔的作用力是一对作用力和反作用力，大小相等、方向相反，故A错误；
对木楔受力分析如图所示：
水平方向：Ff＝Fsin θ，门对木楔作用力的水平分量与地面对木楔的静摩擦力大小相等，故B正确；
对木楔，竖直方向：FN＝Fcs θ＋mg
则Ffmax＝μFN＝μ(Fcs θ＋mg)
要把门卡住，则有：不管多大的力F均满足Ffmax≥Ff，即μ(Fcs θ＋mg)≥Fsin θ，则忽略木楔的质量，只要μ≥tan θ，就可把门卡住，故能否把门卡住与顶角θ以及接触面的粗糙程度有关，故C、D错误．
变式5 (多选)(2018·天津卷·7)明朝谢肇淛的《五杂组》中记载：“明姑苏虎丘寺塔倾侧，议欲正之，非万缗不可．一游僧见之曰：无烦也，我能正之．”游僧每天将木楔从塔身倾斜一侧的砖缝间敲进去，经月余扶正了塔身．假设所用的木楔为等腰三角形，木楔的顶角为θ，现在木楔背上加一力F，方向如图12所示，木楔两侧产生推力FN，则( )
图12
A．若F一定，θ大时FN大
B．若F一定，θ小时FN大
C．若θ一定，F大时FN大
D．若θ一定，F小时FN大
答案 BC
解析 根据力F的作用效果将F分解为垂直于木楔两侧的力FN，如图所示
则eq \f(\f(F,2),FN)＝sin eq \f(θ,2)
故FN＝eq \f(F,2sin \f(θ,2))，
所以当F一定时，θ越小，FN越大；当θ一定时，F越大，FN越大，故选项B、C正确，A、D错误．
1．(合力与分力的关系)关于合力与其两个分力的关系，正确的是( )
A．合力的大小一定大于小的分力、小于大的分力
B．合力的大小随两分力夹角的增大而增大
C．合力的大小一定大于任意一个分力
D．合力的大小可能大于大的分力，也可能小于小的分力
答案 D
解析 合力的大小不一定大于小的分力(如图甲)，也不一定小于大的分力(如图乙)，故A、C错误，D正确；合力的大小可能随两分力夹角的增大而减小(如图丙)，故B错误．
2．(分解法的应用)如图13所示，墙上有两个钉子a和b，它们的连线与水平方向的夹角为45°，两者的高度差为l.一条不可伸长的轻质细绳一端固定于a点，另一端跨过光滑钉子b悬挂一质量为m1的重物．在绳上距a端eq \f(l,2)的c点有一固定绳圈．若绳圈上悬挂质量为m2的钩码(未画出)，平衡后绳的ac段正好水平，则重物和钩码的质量比eq \f(m1,m2)为( )
图13
A.eq \r(5) B．2 C.eq \f(\r(5),2) D.eq \r(2)
答案 C
解析 解法一(力的效果分解法，如图甲)：
钩码的拉力F等于钩码重力m2g，将F沿ac和bc方向分解，两个分力分别为Fa、Fb，如图甲所示，其中Fb＝m1g，由几何关系可得cs θ＝eq \f(F,Fb)＝eq \f(m2g,m1g)，又由几何关系得cs θ＝eq \f(l,\r(l2＋\f(l,2)2))，联立解得eq \f(m1,m2)＝eq \f(\r(5),2).
解法二(正交分解法，如图乙)：
绳圈受到Fa、Fb、F三个力作用，如图乙所示，将Fb沿水平方向和竖直方向正交分解，由竖直方向受力平衡得m1gcs θ＝m2g；由几何关系得cs θ＝eq \f(l,\r(l2＋\f(l,2)2))，联立解得eq \f(m1,m2)＝eq \f(\r(5),2).
3．(木楔问题)刀、斧、凿等切削工具的刃部叫做劈，如图14是斧头劈木柴的情景．劈的纵截面是一个等腰三角形，使用劈的时候，垂直劈背加一个力F，这个力产生两个作用效果，使劈的两个侧面推压木柴，把木柴劈开．设劈背的宽度为d，劈的侧面长为l，不计斧头自身的重力，则劈的侧面推压木柴的力约为( )
图14
A.eq \f(d,l)F B.eq \f(l,d)F C.eq \f(l,2d)F D.eq \f(d,2l)F
答案 B
解析 斧头劈木柴时，设两侧面推压木柴的力分别为F1、F2且F1＝F2，则F＝2F1sin α，又sin α＝eq \f(\f(d,2),l)，故F1＝F2＝eq \f(l,d)F，所以B正确，A、C、D错误．
4.(正交分解法的应用)如图15所示，细绳CO与竖直方向成30°角，A、B两物体用跨过轻质滑轮(可看成质点)的细绳相连，整个系统保持静止．已知物体B的重力mBg＝100 N，地面对物体B的支持力FN＝80 N．求：
图15
(1)物体A的重力大小；
(2)物体B与地面间的摩擦力大小；
(3)细绳CO受到的拉力大小．
答案 (1)40 N (2)20eq \r(3) N (3)40eq \r(3) N
解析 画出定滑轮的轴心O的受力分析示意图，选取直角坐标系，如图甲所示，根据平衡条件得FT1sin α－FT2sin 30°＝0，FT2cs 30°－FT1cs α－FT3＝0，其中FT1＝FT3＝mAg，联立解得α＝60°，画出物体B的受力分析示意图，选取直角坐标系，如图乙所示，根据平衡条件得Ff－FT1sin α＝0，FN＋FT1cs α－mBg＝0，联立并代入数据解得FT1＝40 N，FT2＝40eq \r(3) N，Ff＝20eq \r(3) N，mAg＝FT1＝40 N.
1．三个共点力大小分别是F1、F2、F3，关于它们合力F的大小，下列说法中正确的是( )
A．F大小的取值范围一定是0≤F≤F1＋F2＋F3
B．F至少比F1、F2、F3中的某一个大
C．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶8，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
D．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶2，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
答案 C
解析 当三个力构成一个矢量三角形或共线时，较小的两力的矢量和与第三个力等大反向时，合力可为0.
2.(多选)一件行李重为G，被绳OA和OB吊在空中，OA绳和OB绳的拉力分别为F1、F2，如图1所示，则( )
图1
A．F1、F2的合力是G
B．F1、F2的合力是F
C．行李对绳OA的拉力方向与F1方向相反、大小相等
D．行李受到重力G、OA绳的拉力F1、OB绳的拉力F2，还有F共四个力作用
答案 BC
3.(2019·天津卷·2)2018年10月23日，港珠澳跨海大桥正式开通．为保持以往船行习惯，在航道外建造了单面索(所有钢索均处在同一竖直面内)斜拉桥，其索塔与钢索如图2所示．下列说法正确的是( )
图2
A．增加钢索的数量可减小索塔受到的向下的压力
B．为了减小钢索承受的拉力，可以适当降低索塔的高度
C．索塔两侧钢索对称且拉力大小相同时，钢索对索塔的合力竖直向下
D．为了使索塔受到钢索的合力竖直向下，索塔两侧的钢索必须对称分布
答案 C
解析 增加钢索的数量不能减小索塔受到的向下的压力，A错误；当索塔受到的力F一定时，降低索塔的高度，钢索与水平方向的夹角α减小，则钢索受到的拉力将增大，B错误；如果索塔两侧的钢索对称且拉力大小相同，则两侧拉力在水平方向的合力为零，钢索的合力一定竖直向下，C正确；索塔受到钢索的拉力合力竖直向下，当两侧钢索的拉力大小不等时，由图可知，两侧的钢索不一定对称，D错误．
4.如图3所示，一根不可伸长的轻绳穿过轻滑轮，两端系在高度相等的A、B两点，滑轮下挂一物体，不计绳和滑轮之间的摩擦．现让B缓慢向右移动，则下列说法正确的是( )
图3
A．随着B向右缓慢移动，绳子的张力减小
B．随着B向右缓慢移动，绳子的张力不变
C．随着B向右缓慢移动，滑轮受绳AB的合力变小
D．随着B向右缓慢移动，滑轮受绳AB的合力不变
答案 D
解析 随着B向右移动，两绳间夹角变大，而合力不变，两绳拉力变大．
5．如图4所示，质量为m的重物悬挂在轻质支架上，斜梁OB与竖直方向的夹角为θ，重力加速度为g.设水平横梁OA和斜梁OB作用于O点的弹力分别为F1和F2，以下结果正确的是( )
图4
A．F2＝eq \f(mg,cs θ)
B．F1＝eq \f(mg,sin θ)
C．F2＝mgcs θ
D．F1＝mgsin θ
答案 A
解析 对O点受力分析如图，
F1＝F2sin θ，F2cs θ＝mg，
解得F1＝mgtan θ，F2＝eq \f(mg,cs θ)，A正确．
6.(2020·福建泉州市质检)如图5所示，总重为G的吊灯用三条长度相同的轻绳悬挂在天花板上，每条轻绳与竖直方向的夹角均为θ，则每条轻绳对吊灯的拉力大小为( )
图5
A.eq \f(G,3cs θ)
B.eq \f(G,3sin θ)
C.eq \f(1,3)Gcs θ
D.eq \f(1,3)Gsin θ
答案 A
解析 由平衡知识可知：3FTcs θ＝G，解得FT＝eq \f(G,3cs θ)，故选A.
7．(2019·山东枣庄市上学期期末)如图6所示，静止在水平地面上的木块受到两个拉力F1、F2的作用．开始时，两拉力沿同一水平线方向相反，且F1>F2；现保持F1不变，让F2的大小不变、F2的方向缓慢顺时针转过180°，在此过程中木块始终静止．下列说法正确的是( )
图6
A．木块受到所有外力的合力逐渐变大
B．木块对地面的压力可能为零
C．木块受到的摩擦力先变小后变大
D．木块受到的摩擦力逐渐变大
答案 D
解析 由于木块始终处于平衡状态，受到所有外力的合力始终为零，故A错误；水平方向，物块受F1、F2和摩擦力而平衡，根据摩擦力产生的条件可知，木块在整个过程中必定一直受到地面的支持力，由牛顿第三定律可知，木块对地面的压力不可能为0，故B错误；F1、F2大小不变，夹角从180°逐渐减小到零，F1和F2的水平分力的合力逐渐增大，木块受到的摩擦力逐渐变大，故C错误，D正确．
8.(2019·四川南充市第三次适应性考试)如图7所示，截面为等腰直角三角形的斜面体A放在光滑水平面上，光滑球B的重力为G，放在斜面体和竖直墙壁之间，要使A和B都处于静止状态，作用在斜面体上的水平力F的大小为( )
图7
A．G B.eq \r(2)G C．1.5G D．2G
答案 A
解析 对处于平衡的A和B的整体受力分析如图甲，对B球受力分析如图乙：
由整体法可得：F＝FN墙
对B球由合成法可得：FN墙＝Gtan θ，A为等腰直角三角形，由几何关系可知θ＝45°，联立各式可得F＝G，故A正确，B、C、D错误．
类型
作图
合力的计算
互相垂直
F＝eq \r(F12＋F22)
tan θ＝eq \f(F1,F2)
两力等大，夹角为θ
F＝2F1cs eq \f(θ,2)
F与F1夹角为eq \f(θ,2)
两力等大，夹角为120°
合力与分力等大
F′与F夹角为60°
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