甘肃省金昌市金川总校第五中学2019-2020学年九年级上学期期中1-6班数学试题（解析版） (1)

这是一份甘肃省金昌市金川总校第五中学2019-2020学年九年级上学期期中1-6班数学试题（解析版） (1)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空，解答题等内容，欢迎下载使用。

金川总校五中2019-2020学年度
第一学期期中考试九年级1-6班数学试卷
一、选择题（每空3分，共30分）
1. 观察下列每组图形，相似图形是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据相似图形的定义，形状相同，可得出答案．
【详解】解：A、两图形形状不同，故不是相似图形；
B、两图形形状不同，故不是相似图形；
C、两图形形状不同，故不是相似图形；
D、两图形形状相同，故是相似图形；
故选D．
【点睛】本题主要考查相似图形的定义，掌握相似图形形状相同是解题的关键．
2. 下列事件中，属于随机事件的有（ ）
①任意画一个三角形，其内角和为360°；
②投一枚骰子得到的点数是奇数；
③经过有交通信号灯的路口，遇到红灯；
④从日历本上任选一天为星期天．
A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④
【答案】B
【解析】
【详解】解：①是不可能事件，②③④是随机事件
故选：B
3. 某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是0-9这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全相同，才能将锁打开，如果仅忘记了所设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：根据题意可知总共有10种等可能的结果，一次就能打开该密码的结果只有1种，所以P（一次就能打该密码）＝，故答案选A.
考点：概率.
4. 如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据勾股定理求出△ABC的各边长，进而可得三边之比，再利用三边成比例的两个三角形相似逐项判断即可．
【详解】解：根据题意，得AB=2，， ，
∴BC：AB：AC=；
A、图中阴影三角形的三边之比为，与△ABC相似，故本选项符合题意；
B、图中阴影三角形的三边之比为，与△ABC不相似，故本选项不符合题意；
C、图中阴影三角形的三边之比为，与△ABC不相似，故本选项不符合题意；
D、图中阴影三角形的三边之比为，与△ABC不相似，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，属于常考题型，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．

5. 若反比例函数y=，当x＜0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ）
A. k＞-2 B. k＜-2 C. k＞2 D. k＜2
【答案】B
【解析】
【详解】解：根据反比例函数的性质，
∵当x＜0时，y随x的增大而增大，
∴k+2＜0．
∴k＜-2
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的性质．
6. 点，，均在函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A. y3＜y1＜y2 B. y1＜y2＜y3 C. y2＜y1＜y3 D. y3＜y2＜y1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据得出在每个象限内y随x的增大而减小，图象在第一、三象限，根据增减性即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴函数，在每个象限内y随x的增大而减小，
由，，可知y3＜y2＜y1，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征的应用，熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键．
7. 如图，已知，那么下列结论正确的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
已知AB∥CD∥EF，根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可．
【详解】∵AB∥CD∥EF，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选其他答案．
8. 如图，在4×4的方格中（共有16个小方格），每个小方格都是边长为1的正方形，O，A，B分别是小正方形的顶点，则扇形OAB的弧长等于（　　）

A 2π B. π C. 2π D. π
【答案】B
【解析】
【分析】
略
【详解】∵由图可得：∠AOB=90°，OA=，
∴.
故选B.
【点睛】略
9. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）

A. 3：4 B. 9：16 C. 9：1 D. 3：1
【答案】B
【解析】
【分析】
可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．
【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC=3：1，
∴DE：DC=3：4，
∴DE：AB=3：4，
∴S△DFE：S△BFA=9：16．
故选B．
10. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
①点P在AB上时，点D到AP的距离为AD的长度，②点P在BC上时，根据同角的余角相等求出∠APB=∠PAD，再利用相似三角形的列出比例式整理得到y与x的关系式，从而得解．
【详解】①点P在AB上时，0≤x≤3，点D到AP的距离为AD的长度，是定值4；
②点P在BC上时，3＜x≤5，

∵∠APB+∠BAP=90°，
∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠APB=∠PAD，
又∵∠B=∠DEA=90°，
∴△ABP∽△DEA，
∴= ，
即，
∴y=，
纵观各选项，只有B选项图形符合，
故选B．
二、填空（每空4分，共32分）
11. 如图，点P在反比例函数y=（x＜0）的图象上，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点A、B，已知矩形PAOB的面积为8，则k=______．

【答案】-8
【解析】
【分析】
根据反比例函数k的几何意义可得|k|=-8，再根据图象在二、四象限可确定k＜0，进而得到解析式．
【详解】解：∵S矩形PAOB=8，
∴|k|=8，
∵图象在二、四象限，
∴k＜0，
∴k=-8，
故答案为-8．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
12. 如图，PA，PB分别切⊙O于A，B，并与⊙O的切线，分别相交于C，D，已知△PCD的周长等于10cm，则PA=__________ cm．

【答案】5
【解析】
如图，设DC与⊙O的切点为E；
∵PA、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B；
∴PA=PB；
同理，可得：DE=DA，CE=CB；
则△PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=10（cm）；
∴PA=PB=5cm，
故答案为5．
13. 圆锥的底面半径为7cm，母线长为14cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为____°．
【答案】180
【解析】
【分析】
根据弧长公式计算．
【详解】试题解析：圆锥的底面半径为7cm，底面周长为：

解得：
故答案为180.
【点睛】圆锥的底面周长等于侧面展开图扇形的弧长.
14. 如图，DE∥BC，分别交△ABC的边AB、AC于点D、E，，若AE=5，则EC的长度为（　　）

A 10 B. 15 C. 20 D. 25
【答案】A
【解析】
【详解】∵DE∥BC，
∴根据平行线分线段成比例定理可得，
又∵AE=5，
∴AC=15
∴EC=AC-AE=15-5=10
故选：A
15. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OB、OC，若OB=BC，则∠BAC的度数是_____．

【答案】30°．
【解析】
【分析】
由OB=BC，OA=OB，可得△BOC是等边三角形，则可求得∠BOC的度数，然后由圆周角定理，求得∠BAC的度数．
【详解】解：∵OA=OB=BC，
∴∠BOC=60°，
∴∠BAC=∠BOC=30°．
故答案为：30°．
【点睛】本题考查圆周角定理；等边三角形的判定与性质．
16. 如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的直径为分米，若在这个圆面上随意抛一粒豆子，则豆子落在正方形ABCD内的概率是_________．

【答案】
【解析】
【分析】
在这个圆面上随意抛一粒豆子，落在圆内每一个地方是均等的，因此计算出正方形和圆的面积，利用几何概率的计算方法解答即可．
【详解】解：∵⊙O的直径为分米，则半径为分米，⊙O的面积为，
正方形的边长为分米，面积为1平方分米，
∵豆子落在圆内每一个地方是均等的，
∴豆子落在正方形ABCD内的概率为，
故答案为．
【点睛】此题主要考查几何概率的意义：一般地，对于古典概型，如果试验的基本事件为n，随机事件A所包含的基本事件数为m，我们就用来描述事件A出现的可能性大小，称它为事件A的概率，记作P(A)，即有P(A)=．
17. 如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么该古城墙的高度CD是 米．

【答案】8．
【解析】
试题分析：根据题目中的条件易证△ABP∽△CDP，由相似三角形对应边的比相等可得，即，解得CD=8m．
考点：相似三角形的应用．
18. 如图，在函数y=(x＞0)的图象上有点P1、P2、P3…、Pn、Pn+1，点P1的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P1、P2、P3…、Pn、Pn+1分别作x轴、y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S1、S2、S3…、Sn，则Sn=______．(用含n的代数式表示)

【答案】
【解析】
【分析】
根据反比例函数图象上点的坐标特征得到P1（2，），P2（4，），P3（6，），则利用矩形的面积公式得到S1=2×（-），S2=2×（-），S3=2×（-），根据此规律得Sn=2×[-]，然后化简即可．
【详解】解：∵P1（2，），P2（4，），P3（6，），
∴S1=2×（-），S2=2×（-），S3=2×（-），
所以Sn=2×[-]=-=.
故答案.
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了正方形的性质．
三、解答题（共88分）
19. 已知y与x－1成反比例，且当x＝－5时，y＝2．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当x＝5时，求y的值．
【答案】(1)y=- ；(2)-3
【解析】
【分析】
（1）设函数关系式为，把x=-5，y=2代入函数关系式中便可求出k的值，进而得到函数关系式；
（2）将x=5代入得到的函数关系式中即可得出y的值．
【详解】解：(1)设y与x的函数关系式为，
由题意得2＝，解得k＝－12
∴y与x的函数关系式为y＝－
(2)当x＝5时，y＝－＝－＝－3
20. 如图，已知．求证：△BOD∽△COE．

【答案】见解析
【解析】
【分析】
此题是相似三角形的证明问题，由AD•AB＝AE•AC，可判定△ABE∽△ACD，得出∠B＝∠C，进一步即可证明相似．
【详解】∵AD•AB＝AE•AC，∠A为公共角，
∴△ABE∽△ACD，
∴∠B＝∠C，
又∠BOD＝∠COE，
∴△BOD∽△COE．
【点睛】此题主要考查相似三角形判定与性质，解题的关键是能够熟练掌握相似三角形的性质及判定定理．
21. 如图，实验中学某班学生在学习完《利用相似三角形测高》后，利用标杆BE测量学校体育馆的高度．若标杆BE的高为1.5米，测得AB=2米，BC=14米，求学校体育馆CD的高度．

【答案】CD=12．
【解析】
【分析】
根据同一时刻同一地点物高与影长成正比列式求得CD的长即可．
【详解】解：
依题意得 ，又 ，
∴△AEB∽△ADC，
∴，即，
则CD=12．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形．
22. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内的气压p(kpa)是气体体积v(m3)的反比例函数，其图象如图所示．
（1）写出这一函数的表达式；
（2）当气球体积1.5m3为时，气压是多少？
（3）当气球内的气压大于144kpa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少？

【答案】（1）；（2）气压为64kpa；（3）为了安全起见，气球的体积应不小于立方米
【解析】
【分析】
（1）由图像知反比例函数图像过点（0.8,120），设出P与V的函数关系式为，代入点（0.8,120），求出k的值，即可得函数表达式；
（2）把代入（1）求得的函数关系式，即可求出当气球体积1.5m3时的气压值；
（3）由题意可知，气压越大，气球体积就越大，为了避免气球爆炸，应该使P≤144，即≤144，求出所对应的体积即可．
【详解】解：(1)设P与V的函数关系式为，
则，
解得，
∴函数关系式为；
(2)当气球内气体的体积是1.5m3时，
（kPa），
∴气球内气体的气压是64kPa.
(3)当P > 144kPa时，气球将爆炸，
∴P≤144，即≤144，
解得v≥1.5(m3). .
故为了安全起见，气体的体积应不小于1.5m3．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，具体考查了求反比例函数解释式，求函数值，及反比例函数的图形变化规律的有关知识．
23. 一个不透明的口袋中装有4个分别标有数1，2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同，小红先从口袋里随机摸出一个小球记下数为x，小颖在剩下的3个球中随机摸出一个小球记下数为y，这样确定了点P的坐标．
（1）小红摸出标有数3的小球的概率是_______；
（2）请你用列表法或画树状图法表示出由x，y确定的点所有可能的结果．并求点在函数图象上的概率．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由题意直接根据概率公式求解即可得到小红摸出标有数3的小球的概率；
（2）根据题意首先利用树状图展示所有12种等可能的结果数，再利用反比例函数图象上点的坐标特征得到在函数的图象上的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：（1）小红摸出标有数3的小球的概率是；
故答案为：;
（2）画树状图为：

由列表或画树状图可知，P点的坐标可能是（1，2）（1，3）（1，4）（2，1）（2，3），（2，4）（3，1）（3，2）（3，4）（4，1）（4，2）（4，3）共12种情况，其中在函数的图象上的有2种，即（1，4），（4，1），
所以点P（x，y）在函数图象上的概率是.
【点睛】本题考查列表法与树状图法，注意掌握通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．同时也考查反比例函数图象上点的坐标特征．
24. 如图，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上．若，AC＝3，求CD的长．

【答案】2
【解析】
【分析】
利用CD是⊙O的切线以及直径所对的圆周角为直角推导出∠CAD=∠BDC，进而证明△CDB ∽ △CAD得到边之间的比例关系，即可得到CD长．
【详解】解：连接OD
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°
∴∠OBD +∠CAD = 90°
∵CD是切线
∴∠CBD +∠BDO = 90°
∵OB=OD
∴∠OBD=∠BDO
∴∠CAD=∠BDC
∵∠C=∠C，∠CAD=∠BDC
∴△CDB ∽ △CAD
∴
∵
∴
∵ AC=3
∴ CD=2．

【点睛】本题主要考查切线的性质、直径所对的圆周角、相似三角形的判定与性质综合应用，解题关键在于利用圆的有关性质找到对应角相等，进而证明相似进行求解．
25. 如图，Rt△ABO的顶点A是反比例函数的图象与一次函数的图象在第二象限的交点，AB⊥x轴于点B，且S△ABO＝．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOC的面积；
（3）当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值．

【答案】（1）反比例函数解析式：，一次函数解析式：；（2）4；（3）或
【解析】
【分析】
（1）根据S△AOB＝|k|，可求k的值，再求出一次函数解析式；
（2）两个解析式构成方程组可求点A，点C坐标，即可△AOC的面积；
（3）由图象可得当一次函数图象在反比例函数图象上面的x的取值范围．
【详解】解：(1)∵AB⊥x轴于点B，且S△ABO＝，
∴|k|＝，∴k＝±3.
∵反比例函数图象在第二、四象限，∴k<0，
∴k＝－3.
∴反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为y＝－x＋2.
(2)设一次函数y＝－x＋2的图象与x轴的交点为D.
令y＝0，得x＝2.
∴点D的坐标为(2，0)．
由解得或
∴A(－1，3)，C(3，－1)，
∴S△AOC＝S△AOD＋S△ODC＝×2×3＋×2×1＝4.
(3) 由图象可得：当x＜−1或0＜x＜3时，一次函数的值大于反比例函数的值．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，反比例函数系数k的几何意义，利用方程组求交点坐标是本题的关键．
26. 如图，在△ABC中，AB＝10cm，BC＝20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似．

【答案】t=1或t=2.5
【解析】
【分析】
设经过t秒后，△PBQ与△ABC相似，根据路程公式可得，，，然后利用相似三角形的性质对应边的比相等列方程求解即可；
【详解】设经过t秒后，△PBQ与△ABC相似，则有，，，
当时，，
即，
解得秒；
当时，，
即，
解得秒．
∴经过2.5秒或1秒时，△PBQ与△ABC相似．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和一元一次方程的应用，准确计算是解题的关键．
27. 如图，已知反比例函数（x＞0，k是常数）的图象经过点，在双曲线上有一动点B，作AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C．
（1）写出反比例函数解析式；
（2）求证：△ACB∽△NOM；
（3）若△ACB与△NOM的相似比为3:1，求AB所在直线的解析式；
（4）在（3）的条件下，在x轴上找一个点P，使得△BOP是等腰三角形，并求出点P的坐标．

【答案】（1）反比例函数解析式：；（2）见解析；（3）AB所在直线的解析式：；（4）点P的坐标是，，，
【解析】
【分析】
（1）把A点代入即可求出k的值；
（2）设点B（m,n），根据A、B两点坐标可得AC=4-n，BC=m-1,ON=n，OM=1，则，再根据反比例函数解析式可得，则，而,可得,再由∠ACB=∠NOM=90°，可得△ACB∽△NOM；
（3）根据△ACB与△NOM的相似比为3:1，可得m-1=3,进而得到m的值，然后可得B点坐标，再根据待定系数法即可求解直线解析式；
（4）根据等腰三角形的性质分BO=PO,BO=BP,PO=BP三种情况分别求解即可．
【详解】（1）∵反比例函数（x＞0，k是常数）的图象经过点，
∴k=1×4=4
∴反比例函数解析式：；
（2）∵点A（1,4），设点B（m,n），
∴AC=4-n，BC=m-1,ON=n，OM=1，
∴= ，
∵B（m,n）上
∴
∴，而
∴
∵∠ACB=∠NOM=90°，
∴△ACB∽△NOM；
（3）∵△ACB与△NOM的相似比为3:1，
∴m-1=3
∴m=4
∴B（4,1）
设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0)
把A,B坐标代入得
解得
∴直线AB的解析式为；
（4）①当BO=PO时，∵B（4,1）
∴OB=
∵点P在x轴上，
∴P，；
②当BO=BP时，如图
作BH⊥x轴
H（4,0）
故O,P关于H点对称，
∴P；
③PO=BP时，设P’（x,0）
∴x2=（4-x）2+12
解得x=
∴P’
综上，点P的坐标是，，，．

【点睛】此题主要考查反比例函数与几何综合，解题的关键是熟知反比例函数的图像与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质．