圆的基本性质 专题：四点共圆

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学员编号：                    年    级：九年级                课 时 数：1.5学员姓名：             辅导科目：数学                  学科教师：黄  祥 授课类型B（课本同步）C（专题讲解）  A （能力提升） 授课日期及时段2020.10 10：00-11:30教学内容圆相关综合应用问题 专题：四点共圆如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为"四点共圆"。四点共圆有三个性质:(1)  共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等;(2)圆内接四边形的对角互补;(3)圆内接四边形的外角等于内对角。以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证明。1.如图，在四边形ABCD中，AC、BD为对角线，点M、E、N、F分别为AD、AB、BC、CD边的中点，下列说法：
①当AC=BD时，M、E、N、F四点共圆．
②当AC⊥BD时，M、E、N、F四点共圆．
③当AC=BD且AC⊥BD时，M、E、N、F四点共圆．
其中正确的是（　　）
A. ①②   B. ①③   C. ②③    D. ①②③2.  如图，四边形ABCD内接于半圆O，已知∠ADC=140°，则∠AOC的大小是（　　）
A. 40°  B. 60°  C. 70°  D. 80°3.  如图，已知四边形ABEC内接于⊙O，点D在AC的延长线上，CE平分∠BCD交⊙O于点E，则下列结论中一定正确的是（　　）
A. AB=AE   B. AB=BE  C. AE=BE   D. AB=AC4.  如图，以△ABC的一边AB为直径的圆交AC边于D，交BC边于E，连接DE，BD与AE交于点F．则sin∠CAE的值为（      ）

A．  B．  C．  D．5.  如图，AB是⊙O的直径，C，D在⊙O上，且BC=CD，过点C作CE⊥AD，交AD延长线于E，交AB延长线于F点．若AB=4ED，则cos∠ABC的值是（　　）
A.   B.   C.   D. 6.  如图，在△ABC中，∠B=75°，∠C=45°，BC=6-2，点P是BC上一动点，PE⊥AB于E，PD⊥AC于D．无论P的位置如何变化，线段DE的最小值为（　　）
A. 3-3  B.   C. 4-6  D. 27. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB：BC=2：3，AD=DC，点P在对角线BD上，已知△ABP的面积等于6cm2，则△BCP的面积等于（　　）cm2．
A. 8  B. 9  C. 10  D. 128.四边形ABCD内接于圆，且CD=1，AB=√2，BC=2，∠ABC=45°，则四边形ABCD的面积是（　　）
A. B.   C.    D. 9.  在圆内接四边形ABCD中，∠BAD、∠ADC的角平分线交于点E，过E作直线MN平行于BC，与AB、CD交于M、N，则总有MN=（　　）
A. BM+DN  B. AM+CN  C. BM+CN   D. AM+DN10.  如图，已知∠A的平分线分别与边BC、△ABC的外接圆交于点D、M，过D任作一条与直线BC不重合的直线l，直线l分别与直线MB、MC交于点P、Q，下列判断错误的是（　　）
A. 无论直线l的位置如何，总有直线PM与△ABD的外接圆相切
B. 无论直线l的位置如何，总有∠PAQ＞∠BAC
C. 直线l选取适当的位置，可使A、P、M、Q四点共圆
D. 直线l选取适当的位置，可使S△APQ＜S△ABC11.如图，一副直角三角板满足∠ACB=∠EDF=90°，AC=BC，AB=DF，∠EFD=30°，将三角板DEF的直角顶点D放置于三角板ABC的斜边AB上，再将三角板DEF绕点D旋转，并使边DE与边AC交于点M，边DF与边BC于点N．当∠EDF在△ABC内绕顶点D旋转时有以下结论：
①点C，M，D，N四点共圆；
②连接CD，若AD=DB，则△ADM∽△CDN；
③若AD=DB，则DN•CM=BN•DM；
④若AD=DB，则CM+CN=AD；
⑤若DB=2AD，AB=6，则2≤S△DMN≤4．
其中正确结论的个数是（　　）
A. 2  B. 3  C. 4  D. 512.  如图，已知等腰三角形ABC，∠ACB=120°且AC=BC=4，在平面内任作∠APB=60°，BP最大值为_____．13. 如图，ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径.过点D的切线交BA的延长线于点E.若∠ADE＝25°，则∠C＝  ______  .14.  如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，若∠CAD=76°，则∠CBD=______度．
 15.  如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD交BD于点E，⊙O的半径为4，∠BAD=60°，∠BCA=15°，则AE=______．16.  如图，ABCD、CEFG是正方形，E在CD上，且BE平分∠DBC，O是BD中点，直线BE、DG交于H．BD，AH交于M，连接OH，则OH=______，BM=______．17.  如图，在⊙O内接四边形ABCD中，∠ABC=60°，AB=BC=6，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为11，则△BEF的面积为____．18.    如图，正方形ABCD的中心为O，面积为1 989    ，P为正方形内一点，且∠OPB＝45°，PA:PB＝5:14，则PB＝  ______  .  19.  已知△ABC为等腰直角三角形,∠C为直角,延长CA至D,以AD为直径作圆,连BD与圆O交于点E,连CE,CE的延长线交圆O于另一点F,那么 的值等于       ．20.  如图，在等腰△ABC中，∠ABC=90°，点D为BC的中点，点E在AC边上，以DE为腰作等腰Rt△DEF，连接CF，BF．若CE=1，△CDF的面积为7.5，则BF的长为____．21.  （1）已知：如图1，△ABC为等边三角形，CE平分△ABC的外角∠ACM，点在BC上，连接AD、DE，如果∠ADE=60°，求证：AD=DE．
（2）如果△ABC为任意三角形，且∠ACB=60°，其他条件不变，这个结论还成立吗？说明你的理由．
      22.  如图,已知点P是⊙O外一点,PS,PT是⊙O的两条切线,过点P作⊙O的割线PAB,交⊙O于A,B两点,并交ST于点C．
求证： ．    23.  如图，A、B、C、D四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于点F，∠AED的平分线EX与∠AFB的平分线FX交于点X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．     24.  如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD的延长线与BC的延长线相交于点E，DC=DE．
(1) 求证：∠A=∠AEB；
(2) 如果DC⊥OE，求证：△ABE是等边三角形．    25.  如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠D=90°，P为上一动点（不与点C，D重合）.（1）若∠BPC=30°，BC=3，求⊙O的半径；（2）若∠A=90°，=.求证：PB-PD=PC.     26.  如图，BD，CE是△ABC的两条高，F和G分别是DE和BC的中点，O是△ABC的外心．求证：AO∥FG．    27.  如图，在锐角三角形ABC中，AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H，以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点，FG与AH相交于点K，已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK的长．    28.  如图,O是Rt△ABC斜边AB的中点,CH⊥AB于H,延长CH至D,使得CH=DH,F为CO上任意一点,过B作BE⊥AF于E,连接DE交BC于G．
(1)求证：∠CAF=∠CDE;
(2)求证：CF=GF．    29.  已知：AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC交⊙O于G，∠ACB的平分线交⊙O于D，E在AC上，BE交AD于F，∠CBD=∠EBD．求证：DF=DG．
     30.  如图，AB是半圆圆O的直径，C是弧AB的中点，M是弦AC的中点，CH⊥BM，垂足为H．求证：CH2=AH•OH．    31.  如图，在△ABC中，已知AD⊥BC，BE⊥AC，AD与BE相交于点H，P为边AB的中点，过点C作CQ⊥PH，垂足为Q，求证：PE2=PH•PQ．
参考答案1. C．  2. D．  3.C．  4. D．  5.A．  6. B.  7. B．  8. D．  9.D．  10.C．  11.D． 12. 8．  13. 115° 14. 38°．  15.2．  16. ，AB．  17. ；  18.42cm．  19.． 20. ． （1）证明：如图1中，∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，∠ACM=120°，
∴CE平分∠ACM，
∴∠ACE=∠ECM=60°，
∵∠ADE=60°，∠ACE=60°，
∴∠ADE=∠ACE，
∴A、D、C、E四点共圆，
∴∠ECM=∠DAE=60°，∠AED=∠ACB=60°，
∴∠DAE=∠DEA，
∴AD=DE．
（2）结论成立．DA=DE．
理由：如图2中，连接AE，
∵∠ACB=60°，
∴∠ACM=180°-∠ACB=120°，
∴CE平分∠ACM，
∴∠ACE=∠ECM=60°，
∵∠ADE=60°，∠ACE=60°，
∴∠ADE=∠ACE，
∴A、D、C、E四点共圆，
∴∠ECM=∠DAE=60°，∠AED=∠ACB=60°，
∴∠DAE=∠DEA，
∴AD=DE．22.证明：连PO交ST于点D,则PO⊥ST;
连SO,作OE⊥PB于E,则E为AB中点,
于是
因为C,E,O,D四点共圆,
所以PC•PE=PD•PO
又因为Rt△SPD∽Rt△OPS
所以
即PS 2=PD•PO
而由切割线定理知PS 2=PA•PB
所以
即 23. 证明：（1）连接AX.由图知：∠FDC是△ACD的一个外角，则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①同理，得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②∵四边形ABCD是圆的内接四边形，∴∠FDC=∠ABC.又∵∠ABC+∠EBC=180°，即：∠FDC+∠EBC=180°，③①+②，得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB），由③，得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；∵FX、EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线，∴∠AFB=2∠AFX，∠AED=2∠AEX，代入上式得：2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°，即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°.由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX，故FXE=90°，即FX⊥EX．（2）连接MF、FN，ME、NE.∵∠FAC=∠FBD，∠DFB=∠CFA，∴△FCA∽△FDB，∴.∵AC=2AM，BD=2BN，∴.又∵∠FAM=∠FBN，∴△FAM∽△FBNA，得∠AFM=∠BFN.又∵∠AFX=∠BFX，∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN，即∠MFX=∠NFX.同理可证得∠NEX=∠MEX，故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．24. (1)证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A=∠DCE，∵DC=DE，∴∠DCE=∠DEC，∴∠A=∠AEB
(2)证明：∵DC⊥OE， ∴DF=CF，∴OE是CD的垂直平分线，∴ED=EC，又DE=DC，∴△DEC为等边三角形，∴∠AEB=60°，又∠A=∠AEB，∴△ABE是等边三角形．
25. 解：（1）连接AC.∵∠D=90°，∴AC是⊙O的直径,∴∠ABC=90°.∵∠BAC=∠BPC=30°，∴AC=2BC=6，所以⊙O的半径为3；（2）∵∠BAD=90°，∴∠BCD=90°.∵AC为⊙O直径，∴∠ADC=∠ABC=90°，∴四边形ABCD为矩形.∵=，∴AB=AD，∴矩形ABCD为正方形，∴BC=DC.在BP上截取BE=DP，连接CE，DP.∵BE=DP，∠CBP=∠PDC，BC=DC，∴△BCE≌△DCP，∴∠BCE=∠DCP，PC=CE，又∵∠BCE+∠ECD=∠BCD=90°，∴∠DCP+∠ECD=∠ECP=90°，∴△CPE为等腰直角三角形，∴PE=PC，∴PB-BE=PB-PD=PE=PC.26. 【解答】证明：如图，连接GD和GE．
∵∠BDC=∠BEC=90°，BG=GC，
∴，
又∵DF=EF，
∴GF⊥DE，
延长OA交DE于H．
∵∠BDC=∠BEC=90°
∴B，C，E，D四点共圆，，
即，
又∵OA=OB，
∴，∠EAH+∠AEH=90°，
∴AD⊥DE，
即OA⊥DE
∴AO∥FG．27. 解：延长AH交BC于P，连接DF，如图．
由题知∠ADB=∠CDB=∠CEB=∠AEC=90°，
∵BC=25，BD=20，BE=7，
∴CD=15，CE=24．
又∵∠DAB=∠EAC，∠ADB=∠AEC，
∴△ADB∽△AEC，
∴==，①
由①得：，
解得，
∵∠AEC=90°，AD=CD=15，
∴DE=AC=15．
∵点F在以DE为直径的圆上，
∴∠DFE=90°，
∵DA=DE，
∴AF=EF=AE=9．
∵∠CDB=∠CEB=90°，
∴D、E、B、C四点共圆，
∴∠ADE=∠ABC．
∵G、F、E、D四点共圆，
∴∠AFG=∠ADE，
∴∠AFG=∠ABC，
∴GF∥BC．
∴=．②
∵H是△ABC的垂心，∴AP⊥BC，
∴S△ABC=AB•CE=BC•AP，
∵BA=BC=25，
∴AP=CE=24，
由②得AK===8.64．28. 证明：(1)连接BD,
∵△ABC是Rt△,BE⊥AF
∴∠BEA=∠ACB=90°,
∴A,B,C,E四点共圆,且AB是此圆直径,
又∵CH⊥AB,CH=DH,
∴D在此圆上,
∴A,B,C,D,E五点共圆,
∴∠CAF=∠CDE;

(2)由(1)得：∠CDB=∠CAO,∠BCD=∠ACO,
∴△AOC∽△DCB,
同理可证：△AOF∽△DBG,△ACF∽△DCG,
∴ = , = , = ,
∴ = ,
∴ = ,
∴GF∥BO,
又∵O是AB的中点,
∴CF=GF．证明：∵CB是⊙O的切线，
∴∠CBD=∠BAD．
∵BD平分∠EBC，
∴∠CBD=∠EBD．
Rt△ABD中，∠EBD+∠BFD=90°，∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠BFD=∠ABD．
又∵四边形AGDB内接于⊙O，
∴∠CGD=∠ABD=∠BFD．
过D作DM⊥BE于M，DN⊥AC于N，
∵点D是∠EBC和∠ECB角平分线的交点，
∴点D是△EBC的内心，则DM=DN．
又∵∠DMF=∠DNG=90°，∠BFD=∠CGD，
∴△DMF≌△DNG．
∴DF=DG．30. 解：连接OC、BC，
∵C是弧AB的中点，M是弦AC的中点，
∴∠BOC=∠BHC=90°，
则点O、B、C、H四点共圆，
∴∠OHB=∠OCB=45°，
∵∠BCM=90°，CH⊥BM，M为AC的中点，
∴AM2=CM2=MH•MB，
即=，
∴△AMH∽△BMA，
则∠MAH=∠MBA，∠AHN=∠BAM=45°，
∴∠AHM=∠BHO，
∴△AMH∽△BOH，
∴=，
则AH•OH=MH•BH，
∵CH2=MH•HB，
∴CH2=AH•OH．31. 证明：连接CH并延长交AB于K，连接EQ，
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴H是△ABC的垂心，
∴CK⊥AB，
∵∠CEH=∠BKH，∠EHC=∠KHB，
∴∠3=∠4，
∵∠AEB=Rt∠，P是AB的中点，
∴EP=BP，∴∠1=∠4，
∴∠1=∠3，
∵∠CQH=∠CEH=Rt∠，
∴C、H、E、Q四点共圆，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∵∠EPH=∠QPE，
∴△EPH∽△QPE，
∴，
∴PE2=PH•PQ．