高中物理鲁科版 (2019)选择性必修 第一册第4节 弹性碰撞与非弹性碰撞导学案及答案

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◎题组一 碰撞过程的特点
1．如图所示，甲、乙两物体在光滑水平面上沿同一直线相向运动，甲、乙物体的速度大小分别为3 m/s和1 m/s；碰撞后甲、乙两物体都反向运动，速度大小均为2 m/s，则甲、乙两物体质量之比为( )
A．2∶3 B．2∶5 C．3∶5 D．5∶3
C [选取碰撞前甲物体的速度方向为正方向，根据动量守恒定律有m甲v1－m乙v2＝－m甲v′1＋m乙v′2，代入数据，可得m甲∶m乙＝3∶5，选项C正确．]
2．A、B两物体发生正碰，碰撞前后物体A、B都在同一直线上运动，其位移－时间图像如图所示．由图可知，物体A、B的质量之比为( )
A．1∶1B．1∶2
C．1∶3D．3∶1
C [由题图知：碰前vA＝4 m/s，vB＝0．碰后vA′＝vB′＝1 m/s，由动量守恒可知mAvA＋0＝mAvA′＋mBvB′，解得mB＝3mA．故选项C正确．]
3．如图所示，光滑水平面上P物体与一个连着弹簧的Q物体正碰，正碰后P物体静止，Q物体以P物体碰前的速度v离开．已知P与Q质量相等，弹簧质量忽略不计，那么当弹簧被压缩至最短时，下列说法正确的是( )
A．P的速度恰好为零B．P与Q具有相同的速度
C．Q刚开始运动D．Q的速度等于v
B [P物体接触弹簧后，在弹簧弹力的作用下，P做减速运动，Q做加速运动，P、Q间的距离减小，当P、Q两物体速度相等时，弹簧被压缩到最短，所以B正确，A、C错误；由于作用过程中动量守恒，设速度相等时速度为v′，则mv＝(m＋m)v′，所以弹簧被压缩至最短时，P、Q的速度v′＝eq \f(v,2)，故D错误．]
◎题组二 碰撞的判断和常见碰撞模型
4．(多选)质量为m的小球A，沿光滑水平面以速度v0与质量为2m的静止小球B发生正碰，碰撞后，小球A的动能变为原来的eq \f(1,9)，那么小球B的速度可能是( )
A．eq \f(1,3)v0 B．eq \f(2,3)v0 C．eq \f(4,9)v0 D．eq \f(5,9)v0
AB [要注意的是，两球的碰撞不一定是弹性碰撞，A球碰后动能变为原来的eq \f(1,9)，则其速度大小仅为原来的eq \f(1,3)．两球在光滑水平面上正碰，碰后A球的运动有两种可能，继续沿原方向运动或被反弹．当以A球原来的速度方向为正方向时，则v′A＝±eq \f(1,3)v0，根据两球碰撞前、后的总动量守恒，有
mv0＋0＝m×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)v0))＋2mv′B，
mv0＋0＝m×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)v0))＋2mv″B，
解得v′B＝eq \f(1,3)v0，v″B＝eq \f(2,3)v0．]
5．冰壶运动深受观众喜爱，图1为运动员投掷冰壶的镜头．在某次投掷中，冰壶甲运动一段时间后与对方静止的冰壶乙发生正碰，如图2．若两冰壶质量相等，则碰后两冰壶最终停止的位置，可能是图中的( )
图1 图2
A B
C D
B [两冰壶碰撞过程动量守恒，两冰壶发生正碰，由动量守恒定律可知，碰撞前后系统动量不变，两冰壶的动量方向即速度方向不会偏离甲原来的方向，由图示可知，A图示情况是不可能的，故选项A错误；如果两冰壶发生弹性碰撞，碰撞过程动量守恒、机械能守恒，两冰壶质量相等，碰撞后两冰壶交换速度，甲静止，乙的速度等于甲的速度，碰后乙做减速运动，最后停止，最终两冰壶的位置如图B所示，故选项B正确；两冰壶碰撞后，甲的速度不可能大于乙的速度，所以碰后乙在前，甲在后，如图C所示是不可能的，故选项C错误；碰撞过程机械能不可能增大，两冰壶质量相等，碰撞后甲的速度不可能大于乙的速度，碰撞后甲的位移不可能大于乙的位移，故选项D错误．故正确答案为选项B．]
6．质量为ma＝1 kg，mb＝2 kg的小球在光滑的水平面上发生碰撞，碰撞前后两球的位移—时间图像如图所示，则可知碰撞属于( )
A．弹性碰撞B．非弹性碰撞
C．完全非弹性碰撞D．条件不足，不能判断
A [由x­t图像知，碰撞前va＝3 m/s，vb＝0，碰撞后va′＝－1 m/s，vb′＝2 m/s，碰撞前动能为eq \f(1,2)maveq \\al(2,a)＋eq \f(1,2)mbveq \\al(2,b)＝eq \f(9,2) J，碰撞后动能为eq \f(1,2)mava′2＋eq \f(1,2)mbvb′2＝eq \f(9,2) J，故动能守恒，碰撞前动量mava＋mbvb＝3 kg·m/s，碰撞后动量mava′＋mbvb′＝3 kg·m/s，故动量守恒，所以碰撞属于弹性碰撞．]
7．(多选)质量为M的物块以速度v运动，与质量为m的静止物块发生正碰，碰撞后二者的动量正好相等．二者质量之比eq \f(M,m)可能为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
AB [设碰撞后两物块的动量都为p，则系统的总动量为2p．根据p2＝2mEk可得碰撞前的总动能为Ek1＝eq \f(2p2,2M)，碰撞后的总动能为Ek2＝eq \f(p2,2m)＋eq \f(p2,2M)．根据碰撞前后的动能关系可得eq \f(4p2,2M)≥eq \f(p2,2m)＋eq \f(p2,2M)，所以eq \f(M,m)≤3．故选项A、B正确．]
◎题组三 碰撞综合应用
8．质量为M的小车静止于光滑的水平面上，小车的上表面和eq \f(1,4)圆弧的轨道均光滑，如图所示，一个质量为m的小球以速度v0水平冲上小车，当小球返回左端脱离小车时，下列说法错误的是( )
A．小球一定沿水平方向向左做平抛运动
B．小球可能沿水平方向向左做平抛运动
C．小球可能沿水平方向向右做平抛运动
D．小球可能做自由落体运动
A [小球水平冲上小车，又返回左端，到离开小车的整个过程中，系统水平方向动量守恒，机械能守恒，相当于小球与小车发生弹性碰撞的过程，如果mM，小球离开小车向右做平抛运动，所以A错误，B、C、D正确．]
9．如图所示，一个质量为m的物块A与另一个质量为2m的静止的物块B发生正碰，碰后B物块刚好能落入正前方的沙坑中．假如碰撞过程中无机械能损失，已知物块B与地面间的动摩擦因数为0.1，与沙坑的距离为0.5 m，g取10 m/s2．物块可视为质点．则A碰撞前瞬间的速度为( )
A．0.5 m/sB．1.0 m/s
C．1.5 m/sD．2.0 m/s
C [碰撞后B做匀减速运动，由动能定理得－μ·2mgx＝0－eq \f(1,2)·2mv2，代入数据得v＝1 m/s，A与B碰撞的过程中A与B组成的系统动量守恒，选取水平向右为正方向，则有mv0＝mv1＋2mv，由于没有机械能的损失，则有eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)＋eq \f(1,2)·2mv2，联立解得v0＝1.5 m/s，选项C正确．]
1．甲、乙两球在光滑水平轨道上同向运动，已知它们的动量分别是p甲＝5 kg·m/s，p乙＝7 kg·m/s，甲追上乙并发生碰撞，碰撞后乙球的动量变为p′乙＝10 kg·m/s，则两球质量m甲与m乙的关系可能是( )
A．m乙＝m甲B．m乙＝2m甲
C．m乙＝4m甲D．m乙＝6m甲
C [设碰撞后甲球的动量为p′甲，由动量守恒定律有
p甲＋p乙＝p′甲＋p′乙
代入数据得p′甲＝2 kg·m/s
甲追上乙应有eq \f(5 kg·m/s,m甲)>eq \f(7 kg·m/s,m乙)，得m乙>eq \f(7,5)m甲
碰后p′甲、p′乙均大于零，表明甲、乙两球同向运动，应有v′乙≥v′甲，即eq \f(p′甲,m甲)≤eq \f(p′乙,m乙)，解得m乙≤5m甲
碰撞过程中，动能不会增加，则根据Ek＝eq \f(p2,2m)有
eq \f(p\\al(2,甲),2m甲)＋eq \f(p\\al(2,乙),2m乙)≥eq \f(p′\\al(2,甲),2m甲)＋eq \f(p′\\al(2,乙),2m乙)
解得m乙≥eq \f(17,7)m甲
综上可得m甲与m乙的关系为eq \f(17,7)m甲≤m乙≤5m甲．故选项C正确．]
2．用一个半球形容器和三个小球可以进行碰撞实验．已知容器内侧面光滑，半径为R．三个质量分别为m1、m2、m3的小球1、2、3，半径相同且可视为质点，自左向右依次静置于容器底部的同一直线上且彼此相互接触．若将小球1移至左侧离容器底高heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(h＝\f(4,9)R))处由静止释放，如图所示．各小球间的碰撞时间极短且碰撞时无机械能损失．小球1与2、2与3碰后，球1停在O点正下方，球2上升的最大高度为eq \f(1,9)R，球3恰能滑出容器，则三个小球的质量之比为( )
A．2∶2∶1B．3∶3∶1
C．4∶4∶1D．3∶2∶1
B [碰撞前对球1的下滑过程，由机械能守恒定律得m1gh＝eq \f(1,2)m1veq \\al(2,1)，对于碰撞过程，取向右为正方向，由动量守恒定律得m1v1＝m2v2＋m3v3，由机械能守恒定律得eq \f(1,2)m1veq \\al(2,1)＝eq \f(1,2)m2veq \\al(2,2)＋eq \f(1,2)m3veq \\al(2,3)，碰撞后，对球2，根据机械能守恒定律有m2g·eq \f(1,9)R＝eq \f(1,2)m2veq \\al(2,2)，对球3，根据机械能守恒定律有m3gR＝eq \f(1,2)m3veq \\al(2,3)，联立解得m1∶m2∶m3＝3∶3∶1，选项B正确．]
3．两物块A、B用轻弹簧相连，质量均为2 kg，初始时弹簧处于原长，A、B两物块都以v＝6 m/s的速度在光滑的水平地面上运动，质量4 kg的物块C静止在前方，如图所示．B与C碰撞后二者会粘在一起运动，则在以后的运动中：
(1)当弹簧的弹性势能最大时，物块A的速度为多大？
(2)系统中弹性势能的最大值是多少？
[解析] (1)当A、B、C三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大．由A、B、C三者组成的系统动量守恒有
(mA＋mB)v＝(mA＋mB＋mC)·vABC
解得vABC＝eq \f(2＋2×6,2＋2＋4) m/s＝3 m/s．
(2)B、C碰撞时B、C组成的系统动量守恒，设碰后瞬间B、C两者速度为vBC，
则mBv＝(mB＋mC)vBC，vBC＝eq \f(2×6,2＋4) m/s＝2 m/s
设物块A、B、C速度相同时弹簧的弹性势能最大为Ep，根据能量守恒Ep＝eq \f(1,2)(mB＋mC)veq \\al(2,BC)＋eq \f(1,2)mAv2－eq \f(1,2)(mA＋mB＋mC)veq \\al(2,ABC)＝eq \f(1,2)×(2＋4)×22 J＋eq \f(1,2)×2×62 J－eq \f(1,2)×(2＋2＋4)×32 J＝12 J．
[答案] (1)3 m/s (2)12 J
4．如图所示，质量为3m的木板静止在光滑的水平面上，一个质量为2m的物块(可视为质点)，静止在木板上的A端，已知物块与木板间的动摩擦因数为μ．现有一质量为m的子弹(可视为质点)以初速度v0水平向右射入物块并穿出，已知子弹穿出物块时的速度为eq \f(v0,2)，子弹穿过物块的时间极短，不计空气阻力，重力加速度为g．求：
(1)子弹穿出物块时，物块的速度大小；
(2)子弹穿出物块后，为了保证物块不从木板的B端滑出，木板的长度至少多大？
[解析] (1)设子弹穿过物块时物块的速度为v1，对子弹和物块组成的系统，由动量守恒定律得
mv0＝meq \f(v0,2)＋2mv1
解得v1＝eq \f(v0,4)．
(2)物块和木板达到的共同速度为v2时，物块刚好到达木板右端，这样板的长度最小为L，对物块和木板组成的系统，由动量守恒得2mv1＝5mv2
此过程系统摩擦生热Q＝2μmgL
由能量守恒定律得2μmgL＝eq \f(1,2)·2mveq \\al(2,1)－eq \f(1,2)·5mveq \\al(2,2)
代入数据解得L＝eq \f(3v\\al(2,0),160μg)．
[答案] (1)eq \f(v0,4) (2)eq \f(3v\\al(2,0),160μg)