山东省济南市市中区2020-2021学年八年级下学期期末数学试题（word版 含答案）

这是一份山东省济南市市中区2020-2021学年八年级下学期期末数学试题（word版 含答案），共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

山东省济南市市中区2020-2021学年八年级下学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．如果，那么下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．民族图案是数学文化中的一块瑰宝．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．若分式有意义，则x满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
5．矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线平分一组对角
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
6．已知长方形的长和宽分别为a和b，其周长为4，则的值为（  ）
A．2 B．4 C．8 D．16
7．如图，函数和的图象相交于点A，则不等式的解集为（ ）

A． B．
C． D．
8．如图，平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转，得到平行四边形（点与点B是对应点，点与点C是对应点，点与点D是对应点），点恰好落在BC边上，则的度数等于（ ）

A． B． C． D．
9．关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B．且
C． D．
10．若关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上四个小正方形之后，折成如图2那样的无盖纸盒，若纸盒的底面积是，设纸盒的高为，那么x满足的方程是（ ）

A． B．
C． D．
12．如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=12．将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，折痕为EF，点E、F分别在边AD和边BC上．连接BG，交CD于点K,FG交CD于点H．给出以下结论：①EF⊥BG；②GE=GF；③△GDK和△GKH的面积相等；④当点F与点C重合时，∠DEF=75°．其中正确的结论共有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题
13．因式分解：____.
14．计算：______．
15．一个正多边形的每个内角度数均为135°，则它的边数为____．
16．已知关于的方程的解不小于，则的取值范围是________．
17．如图，点的坐标为，点在轴上，把沿轴向右平移到，若四边形的面积为9，则点的坐标为_______．

18．如图，平行四边形ABCD中，，，，E是边AD上且，F是边AB上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转，得到EG，连接BG、CG，则的最小值__________．


三、解答题
19．（1）因式分解：．
（2）先化简，再求值：，其中．
20．（1）解一元二次方程：．
（2）解方程：
21．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且．求证：．

22．解不等式组：．
23．如图，在平面直角坐标系内，的顶点坐标分别为，，．

（1）平移，使点C移到点，画出平移后的并直接写出的坐标；
（2）将绕点（0，0）旋转，得到，画出旋转后的；
（3）连接，，求四边形的面积．
24．为了弘扬我国书法艺术，培养学生良好的书写能力．某校举办了书法比赛，学校准备为获奖同学颁奖，在购买奖品时发现，种奖品的单价比种奖品的单价多10元，用300元购买种奖品的件数与用240元购买种奖品的件数相同．
（1）求，两种奖品的单价各是多少元；
（2）学校为获奖的15名学生购买奖品（每人一件种奖品或一件种奖品），且购买的总费用不超过700元，求最多可以购买多少件种奖品？
25．先阅读下列材料，再解答下列问题
分解因式：
将：将看成整体，设，则原式
再将M换原，得原式
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你仿照上面的方法将下列式子进行因式分解：
（1）
（2）
26．如图，正方形ABCD和正方形DEFG共顶点D．

（1）如图1，连接AG和CE，真接写出AG和CE的关系______________
（2）如图2，连接AE，M为AE中点，连接DM、CG，探究DM、CG的关系，并说明理由；
（3）如图3，若AB=4，DE=2，直线AG与直线CE交于点P，请直接写出AP的的取值范围：_____________
27．如图1，直线（b为常数）交x轴的正半轴于点A（2，0）．交y轴正半轴于点B．
（1）求直线AB的解析式：
（2）点C是线段AB中点，点P是x轴上一点，点Q是y轴上一点，若以A、C、P、Q为顶点的四边形恰好是平行四边形，请直接写出点P的坐标；
（3）如图2，若点P是x轴负半轴上一点，设点P的横坐标为，以AP为底作等腰（点M在x轴下方），过点A作直线．过点O作于E，延长EO交直线l于点F，连接PF、OM，若，求的面积．



参考答案
1．A
【分析】
根据不等式的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
解：A、由x＜y可得：，故选项成立；
B、由x＜y可得：，故选项不成立；
C、由x＜y可得：，故选项不成立；
D、由x＜y可得：，故选项不成立；
故选A.
【点睛】
本题考查了不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
2．C
【分析】
根据因式分解的定义逐个判断即可．
【详解】
解：A．从左边到右边的变形是整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D．从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了因式分解的定义，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
3．D
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
A．不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
D．是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4．B
【分析】
本题主要考查分式有意义的条件：分母不能为0．
【详解】
由题意得：，
解得：．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
5．A
【详解】
解：菱形的对角线互相平分、垂直、对角线平分一组对角，
矩形的对角线互相平分、相等，
∴矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等，
故选A．
考点：1．菱形的性质；2．矩形的性质．
6．B
【分析】
由题意可以得到a+b的值，再利用完全平方公式可以得到答案．
【详解】
解：由题意可得：2(a+b)=4,∴a+b=2，
∴,
故选B．
【点睛】
本题考查长方形周长与完全平方公式的综合应用，灵活应用有关知识求解是解题关键 ．
7．B
【分析】
利用函数图象，找出直线y=bx不在直线y=ax+4的下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】
解：根据函数图象，当x≥2时，ax+4≤bx．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
8．B
【分析】
根据旋转的性质得出AB=AB′，∠BAB′=30°，进而得出∠B的度数，再利用平行四边形的性质得出∠C的度数即可．
【详解】
解：∵平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），
∴AB=AB′，∠BAB′=30°，
∴∠B=∠AB′B=（180°-30°）÷2=75°，
∴∠C=180°-75°=105°．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了旋转的性质以及平行四边形的性质，根据已知得出∠B=∠AB′B=75°是解题关键．
9．B
【分析】
方程有两个不相等的实数根，显然原方程应该是关于x的一元二次方程，因此得到二次项系数不为0即当a-3≠0时，且判别式即可得到答案．
【详解】
∵关于的方程有两个不相等的实数根
∴a-3≠0，且
解得：且a≠3
故选B．
【点睛】
本题主要考查方程的解，一元二次方程的根的判别式，根据判别式，列出关于参数a的不等式，是解题的关键．
10．B
【分析】
先去分母，化成整式方程，根据分式方程有增根可得x=5，代入整数方程，求出m的值即可．
【详解】
，
方程两边同时乘以x-5得3-x+m=0，
∵分式方程有增根，
∴x-5=0，即x=5，
当x=5时，3-5+m=0，
解得：m=2．
故选：B．
【点睛】
本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
11．D
【分析】
设纸盒的高是x，根据长方形的面积公式列出算式，再进行求解即可．
【详解】
解：设纸盒的高是x，
根据题意得：（80-2x）（50-2x）=2800．
故选：D．
【点睛】
此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握长方形的面积计算公式是解决问题的关键．
12．C
【分析】
由折叠的性质可得四边形EBFG是菱形从而判断①②正确;由角平分线定理即可判断DG≠GH,由此推出③错误;根据F、C重合时的性质,可得∠AEB=30°,进而算出④正确．
【详解】

连接BE,由折叠可知BO=GO，
∵EG//BF，
∴∠EGO=∠FBO，
又∵∠EOG=∠FOB，
∴△EOG≌△FOB(ASA) ，
∴EG=BF，
∴四边形EBFG是平行四边形，
由折叠可知BE=EG，
则四边形EBFG为菱形，
故EF⊥BG，GE=GF，
∴①②正确；
∵四边形EBFG为菱形，
∴KG平分∠DGH，
∴,DG≠GH，
∴ S△GDK≠S△GKH,故③错误；
当点F与点C重合时，BE=BF=BC=12=2AB，
∴∠AEB＝30°，，故④正确．
综合，正确的为①②④．
故选C．
【点睛】
本题考查矩形的性质,菱形的判断,折叠的性质,关键在于结合图形对线段和角度进行转换．
13．
【分析】
公因式是x，故提取公因式即可．
【详解】
m2-3m=m（m-3）．
故答案是：m（m-3）
【点睛】
考查因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式，再看剩下的因式是否还能分解．
14．2
【分析】
按照同分母分式的加法法则计算即可.
【详解】
解：原式=.

故答案为：2.
【点睛】
熟记“同分母分式的加法法则”是解答本题的关键.
15．8
【分析】
试题分析：多边形的每一个内角的度数=，根据公式就可以求出边数.
【详解】
设该正多边形的边数为n
由题意得：=135°
解得：n=8
故答案为8.
【点睛】
考点：多边形的内角和
16．m≤-2
【分析】
先解一元一次方程求得x的值，再根据x≥3，即可求出m的取值范围.
【详解】
解：解方程：8-5(m+x)=x，即8-5m-5x=x
整理得：-6x=5m-8，解得：.
又x≥3，
∴，
去分母，解该不等式得：8-5m≥18，
∴m≤-2.
故答案为：m≤-2.
【点睛】
本题考查一元一次方程和一元一次不等式，题目中不小于的含义就是大于或等于，准确理解题意再建立不等式求解.
17．(4，3)
【分析】
过点A作AH⊥x轴于点H，得到AH=3，根据平移的性质证明四边形ABDC是平行四边形，得到AC=BD，根据平行四边形的面积是9得到，求出BD即可得到答案.
【详解】
过点A作AH⊥x轴于点H，
∵A（1,3），
∴AH=3，
由平移得AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴AC=BD，
∵，
∴BD=3，
∴AC=3，
∴C(4，3)
故答案为：(4，3).

【点睛】
此题考查平移的性质，平行四边形的判定及性质，直角坐标系中点到坐标轴的距离与点坐标的关系.
18．
【分析】
如图，取AB的中点N．连接EN，EC，GN，作EH⊥CD交CD的延长线于H．利用全等三角形的性质证明∠GNB=60°，点G的运动轨迹是射线NG，由“SAS”可证△EGN≌△BGN，可得GB=GE，推出GB+GC=GE+GC≥EC，求出EC即可解决问题．
【详解】
解：如图，取AB的中点N．连接EN，EC，GN，作EH⊥CD交CD的延长线于H，

∵AE=2DE，
∴AE=4，DE=2，
∵点N是AB的中点，
∴AN=NB=4，
∴AE=AN，
∵∠A=60°，
∴△AEN是等边三角形，
∴∠AEN=∠FEG=60°，
∴∠AEF=∠NEG，
∵EA=EN，EF=EG，
∴△AEF≌△NEG（SAS），
∴∠ENG=∠A=60°，
∵∠ANE=60°，
∴∠GNB=180°-60°-60°=60°，
∴点G的运动轨迹是射线NG，
∵BN=EN，∠BNG=∠ENG=60°，NG=NG
∴△EGN≌△BGN（SAS），
∴GB=GE，
∴GB+GC=GE+GC≥EC，
在Rt△DEH中，∵∠H=90°，DE=2，∠EDH=60°，
∴DH=DE=1，EH=，
在Rt△ECH中，EC=，
∴GB+GC≥，
∴GB+GC的最小值为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查旋转变换，轨迹，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
19．（1）；（2），．
【分析】
（1）利用提公因式法和公式法进行因式分解；
（2）先利用分式的混合运算法则进行化简，再将代入即可求值．
【详解】
（1）解：原式=
=
（2）解：原式=
=
=
=
将代入原式得：，即原式=
【点睛】
本题考查因式分解和分式的化简求值．因式分解常用的方法是提公因式法和公式法．分式的化简要遵循分式混合运算法则．
20．（1）x1=1，x2=3；（2）x=-3
【分析】
（1）方程利用因式分解法求出解即可；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
解：（1）方程x2-4x+3=0，
分解因式得：（x-1）（x-3）=0，
可得x-1=0或x-3=0，
解得：x1=1，x2=3；
（2）去分母得：（x+1）2+4=x2-1，
解得：x=-3，
检验：当x=-3时，（x+1）（x-1）≠0，
∴分式方程的解为x=-3．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程-因式分解法，以及解分式方程，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
21．见解析
【分析】
平行四边形的对边相等，对角相等，即∠B=∠D，AB=CD，根据已知给出的∠BAE=∠DCF，可证明两个三角形全等．
【详解】
解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AB=CD，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA）．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定方法，解题的关键是了解平行四边形的对边平行且相等，对角相等，难度不大．
22．
【分析】
先解出每个不等式的解集，然后即可得到不等式组的解集．
【详解】
解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
故原不等式组的解集是．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．
23．（1）作图见解析，A1坐标（0，5），B1（2，6）；（2）见解析；（3）6
【分析】
（1）根据平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）根据中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
（3）利用分割法把平行四边形的面积看成矩形面积-4个三角形面积-两个矩形面积可得结论．
【详解】
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，A1坐标（0，5），B1（2，6）．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
（3）四边形A1C2A2C1的面积=4×9-2××2×3-2××2×6-2×2×3=6．

【点睛】
本题考查作图-平移变换，中心对称，坐标与图形变化-平移等知识，解题的关键是正确寻找图形，属于中考常考题型．
24．（1）种奖品的单价为50元，种奖品的单价为40元；（2）10件
【分析】
（1）设种奖品的单价为元，则种奖品的单价为元，利用数量总价单价，结合用300元购买种奖品的件数与用240元购买种奖品的件数相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买件种奖品，则购买件种奖品，利用总价单价数量，结合购买的总费用不超过700元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【详解】
解：（1）设种奖品的单价为元，则种奖品的单价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：种奖品的单价为50元，种奖品的单价为40元．
（2）设购买件种奖品，则购买件种奖品，
依题意得：，
解得：．
答：最多可以购买10件种奖品．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25．（1）；（2）．
【分析】
（1）将“”和“”看成整体，令，，则原式，利用平方差公式分解后，再将“A”、“B”还原，化简即可；
（2）将“” 看成整体，令，利用完全平方公式分解后，再将“M”还原，即可．
【详解】
（1）令，，
原式
，
将“A”、“B”还原，得：
原式

；
（2）令，
则原式=，
将“M”还原，得：原式=．
【点睛】
本题考查了因式分解－公式法，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握换元和整体思想解决问题的方法．
26．（1）；（2），理由见解析 ；（3）
【分析】
（1）根据正方形ABCD和正方形DEFG共顶点D，得，，，，从而得，通过证明，推导得；
（2）延长AD，使,并连接EQ；根据，，得；结合正方形ABCD和正方形DEFG性质，推导得；通过证明得；结合M为AE中点，，根据中位线的性质计算，即可得到答案；
（3）连接AC，O为AC的中点，以O的圆心，为半径作⊙O；以点D为圆心，2为半径作⊙D；AP和CD相交于点H；由（1）的结论得：，从而得；通过证明，得到；结合三角形和圆的性质，当时，结合勾股定理，分两种情况计算，即可得到答案．
【详解】
（1）∵正方形ABCD和正方形DEFG共顶点D
∴，，，
∴
∴
∴
∵ ∠ADC=∠GDE=90°




故答案为：且；

（2）
如图，延长AD，使,并连接EQ

∵，
∴
∵，
∴，
∴
∵
∴
∴
∵M为AE中点，
∴；
∵∠GDE=∠CDH=90°，
∴△DGC绕点逆时针旋转90°到△DEH，
∴CG⊥EH，
∴DM⊥CG；
（3）如下图，连接AC，O为AC的中点，以O的圆心，为半径作⊙O；以点D为圆心，2为半径作⊙D；AP和CD相交于点H；

由（1）得：
∴
∵
∴
∴ ，即
∴点P在上
∴随着增大而增大
∵正方形ABCD和正方形DEFG共顶点D，DE=2
∴
∴点G和点E在⊙D上
如下图，当，且点E在点D右侧时，取最大值

∴，且点P和点F重合
∴
∵正方形DEFG，
∴,
又∵，
∴四边形为正方形
∴
∴最大值
如下图，当，且点E在点D左侧时，取最小值

同理，，点P和点F重合
∴
最小值
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了正方形、全等三角形、相似三角形、三角形中位线、圆、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握正方形、全等三角形、相似三角形、圆、勾股定理的性质，从而完成其解．
27．（1）y=-2x+4；（2）（1，0）或（-1，0）或（3，0）；（3）4
【分析】
（1）将点A代入解析式可求b的值，即可求解；
（2）分AC为边和对角线两种情况讨论，利用平行四边形的性质和中点坐标公式，可求解；
（3）利用角的数量关系可求∠FPA=45°，由“ASA”可证△NFP≌△OFP，可得NP=OP，通过证明四边形NPMT是平行四边形，可得NP=MT，可得PN=MT=2MQ=2QT，由三角形的面积公式可求解．
【详解】
解：（1）∵直线y=-2x+b（b为常数）交x轴的正半轴于点A（2，0），
∴0=-4+b，
∴b=4，
∴直线AB解析式为：y=-2x+4；
（2）∵直线y=-2x+4（b为常数）交y轴正半轴于点B，
∴点B（0，4），
∵点C是线段AB中点，
∴点C（1，2），
∵点P是x轴上一点，点Q是y轴上一点，
∴设点P（x，0），点Q（0，y），
当AC为边时，若四边形ACQP是平行四边形时，
∴CQ∥AP，CQ=AP，
∴y=2，
∴CQ=1=AP，
∴点P（1，0），
若四边形ACPQ是平行四边形时，
∴AP与CQ互相平分，
∴，
∴x=-1，
∴点P（-1，0），
当AC为对角线时，若四边形APCQ是平行四边形时，
∴AC与PQ互相平分，
∴，
∴x=3，
∴点P（3，0）；
综上所述：点P坐标为（1，0）或（-1，0）或（3，0）；
（3）过点P作PN⊥x轴于点P，交直线l于点N，过点M作MQ⊥x轴于点Q，交直线l于点T，如图2，

∵△AMP是等腰三角形，MP=MA，
∴∠MAP=∠MPA，
设∠MAP=α，
∵直线l∥MP，
∴∠FAP=∠MPA=α，
∴∠FAE=2α，
∵FE⊥AM，
∴∠FEA=90°，
∴∠AFE=90°-2α，
又∵∠NFP+∠PFO+∠AFE=180°，2∠PFO+∠AFE=180°，
∴∠NFP=∠PFO=（180°-∠AFE）=[180°-（90°-2α）]=45°+α，
又∵∠NFP=∠FPA+∠FAP，
∴45°+α=∠FPA+α，
∴∠FPA=45°，
∵∠NPA=90°，
∴∠FPN=45°，
在△NFP和△OFP中，
，
∴△NFP≌△OFP（ASA）
∴NP=OP，
∵PN∥MT，MP∥直线l，
∴四边形NPMT是平行四边形，
∴NP=MT，
又∵∠TAQ=∠MAQ，AQ=AQ，∠AQT=∠AQM=90°，
∴PN=MT=2MQ=2QT=OP，
∵点P的横坐标为-4，点P是x轴负半轴上一点，
∴OP=4，QM=2，
∴△PMO的面积=×4×2=4．
【点睛】
本题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，等腰三角形和直角三角形的性质，三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．