还剩23页未读，
继续阅读
2021年四川省雅安市中考数学真题试卷 含答案
展开
这是一份2021年四川省雅安市中考数学真题试卷 含答案，共26页。
2021年四川省雅安市中考数学试卷
一、选择题(本大题共12个小题,每题3分,共36分)每题的四个选项中,有且仅有一个是正确的
1．﹣2021的绝对值是〔 〕
A．﹣2021 B．2021 C． D．﹣
2．我国在2021年10月开展了第七次人口普查，普查数据显示，我国2021年总人口到达14.1亿，将14.1亿用科学记数法表示为〔 〕
×107 ×108 ×109 ×1010
3．在平面直角坐标系中，点A〔﹣3，﹣1〕关于y轴的对称点的坐标是〔 〕
A．〔﹣3，1〕 B．〔3，1〕 C．〔3，﹣1〕 D．〔﹣1，﹣3〕
4．以下运算正确的选项是〔 〕
A．〔x2〕3＝x6 B．3x2﹣2x＝x
C．〔﹣2x〕3＝﹣6x3 D．x6÷x2＝x3
5．假设分式的值等于0，那么x的值为〔 〕
A．﹣1 B．0 C．1 D．±1
6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BF是AC边上的中线，DE是△ABC的中位线，假设DE＝6，那么BF的长为〔 〕
A．6 B．4 C．3 D．5
7．甲和乙两个几何体都是由大小相同的小立方块搭成，它们的俯视图如图，小正方形中数字表示该位置上的小立方块个数，那么以下说法中正确的选项是〔 〕
A．甲和乙左视图相同，主视图相同
B．甲和乙左视图不相同，主视图不相同
C．甲和乙左视图相同，主视图不相同
D．甲和乙左视图不相同，主视图相同
8．以下说法正确的选项是〔 〕
A．一个不透明的口袋中有3个白球和2个红球〔每个球除颜色外都相同〕，那么从中任意摸出一个球是红球的概率为
B．一个抽奖活动的中奖概率为，那么抽奖2次就必有1次中奖
C．统计甲，乙两名同学在假设干次检测中的数学成绩发现：＝，S甲2＞S乙2，说明甲的数学成绩比乙的数学成绩稳定
D．要了解一个班有多少同学知道“杂交水稻之父〞袁隆平的事迹，宜采用普查的调查方式
9．假设直角三角形的两边长分别是方程x2﹣7x+12＝0的两根，那么该直角三角形的面积是〔 〕
A．6 B．12 C．12或 D．6或
10．如图，将△ABC沿BC边向右平移得到△DEF，DE交AC于点G．假设BC：EC＝3：1．S△ADG＝16．那么S△CEG的值为〔 〕
A．2 B．4 C．6 D．8
11．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，假设四边形OBCD为菱形，那么∠BAD的度数为〔 〕
A．45° B．60° C．72° D．36°
12．定义：min{a，b}＝，假设函数y＝min〔x+1，﹣x2+2x+3〕，那么该函数的最大值为〔 〕
A．0 B．2 C．3 D．4
二、填空题(本大题共5个小题,每题3分,共15分)将答案直接填写在答题卡相应的横线上
13．从﹣1，，2中任取两个不同的数作积，那么所得积的中位数是 ．
14．一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两根分别为m，n，那么+的值为 ．
15．如图，ABCDEF为正六边形，ABGH为正方形，那么图中∠BCG的度数为 ．
16．假设关于x的分式方程2﹣＝的解是正数，那么k的取值范围是 ．
17．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC于点M，交CD于点F，过点D作DE∥BF交AC于点N．交AB于点E，连接FN，EM．有以下结论：①四边形NEMF为平行四边形；②DN2＝MC•NC；③△DNF为等边三角形；④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形．其中，正确结论的序号 ．
三、解答题(本大题共7个小题,共69分)解答要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程
18．〔12分〕〔1〕计算：〔〕﹣2﹣π〕0+|3﹣|﹣4sin60°．
〔2〕先化简，再求值：〔﹣x+1〕÷，其中x＝﹣1．
19．〔8分〕为庆祝中国共产党成立100周年，某中学组织全校学生参加党史知识竞赛，从中任取20名学生的竞赛成绩进行统计，绘制了不完整的统计图表：
组别
成绩范围
频数
A
60～70
2
B
70～80
m
C
80～90
9
D
90～100
n
〔1〕分别求m，n的值；
〔2〕假设把每组中各学生的成绩用这组数据的中间值代替〔如60～70的中间值为65〕估计全校学生的平均成绩；
〔3〕从A组和D组的学生中随机抽取2名学生，用树状图或列表法求这2名学生都在D组的概率．
20．〔9分〕某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶10元，在销售过程中发现，每天销售量y〔瓶〕与每瓶售价x〔元〕之间存在一次函数关系〔其中10≤x≤21，且x为整数〕．当每瓶消毒液售价为12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶消毒液售价为15元时，每天销售量为75瓶．
〔1〕求y与x之间的函数关系式；
〔2〕设该药店销售该消毒液每天的销售利润为w元，当每瓶消毒液售价为多少元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大利润是多少元？
21．〔8分〕如图，△OAD为等腰直角三角形，延长OA至点B使OB＝OD，ABCD是矩形，其对角线AC，BD交于点E，连接OE交AD于点F．
〔1〕求证：△OAF≌△DAB；
〔2〕求的值．
22．〔10分〕反比例函数y＝的图象经过点A〔2，3〕．
〔1〕求该反比例函数的表达式；
〔2〕如图，在反比例函数y＝的图象上点A的右侧取点C，过点C作x轴的垂线交x轴于点H，过点A作y轴的垂线交直线CH于点D．
①过点A，点C分别作x轴，y轴的垂线，两线相交于点B，求证：O，B，D三点共线；
②假设AC＝2OA，求证：∠AOD＝2∠DOH．
23．〔10分〕如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为P，过点D的⊙O的切线与AB延长线交于点E，连接CE．
〔1〕求证：CE为⊙O的切线；
〔2〕假设⊙O半径为3，CE＝4，求sin∠DEC．
24．〔12分〕二次函数y＝x2+2bx﹣3b．
〔1〕当该二次函数的图象经过点A〔1，0〕时，求该二次函数的表达式；
〔2〕在〔1〕的条件下，二次函数图象与x轴的另一个交点为点B，与y轴的交点为点C，点P从点A出发在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ面积的最大值；
〔3〕假设对满足x≥1的任意实数x，都使得y≥0成立，求实数b的取值范围．
2021年四川省雅安市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共12个小题,每题3分,共36分)每题的四个选项中,有且仅有一个是正确的
1．﹣2021的绝对值是〔 〕
A．﹣2021 B．2021 C． D．﹣
【分析】根据绝对值的定义即可得出答案．
【解答】解：﹣2021的绝对值为2021，
应选：B．
2．我国在2021年10月开展了第七次人口普查，普查数据显示，我国2021年总人口到达14.1亿，将14.1亿用科学记数法表示为〔 〕
×107 ×108 ×109 ×1010
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】×109．
应选：C．
3．在平面直角坐标系中，点A〔﹣3，﹣1〕关于y轴的对称点的坐标是〔 〕
A．〔﹣3，1〕 B．〔3，1〕 C．〔3，﹣1〕 D．〔﹣1，﹣3〕
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
【解答】解：点A〔﹣3，﹣1〕关于y轴的对称点A'的坐标是〔3，﹣1〕，
应选：C．
4．以下运算正确的选项是〔 〕
A．〔x2〕3＝x6 B．3x2﹣2x＝x
C．〔﹣2x〕3＝﹣6x3 D．x6÷x2＝x3
【分析】根据幂的乘方，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法法那么进行计算，从而作出判断．
【解答】解：A．〔x2〕3＝x6，正确，故此选项符合题意；
B．3x2与2x不是同类项，不能进行合并计算，故此选项不符合题意；
C．〔﹣2x〕3＝﹣8x3，故此选项不符合题意；
D．x6÷x2＝x4，故此选项不符合题意；
应选：A．
5．假设分式的值等于0，那么x的值为〔 〕
A．﹣1 B．0 C．1 D．±1
【分析】根据分式值为零的条件可得：|x|﹣1＝0，且x﹣1≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：|x|﹣1＝0，且x﹣1≠0，
解得：x＝﹣1，
应选：A．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BF是AC边上的中线，DE是△ABC的中位线，假设DE＝6，那么BF的长为〔 〕
A．6 B．4 C．3 D．5
【分析】根据三角形中位线定理求出AC，根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，假设DE＝6，
∴AC＝2DE＝12，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BF是AC边上的中线，
∴BF＝AC＝6，
应选：A．
7．甲和乙两个几何体都是由大小相同的小立方块搭成，它们的俯视图如图，小正方形中数字表示该位置上的小立方块个数，那么以下说法中正确的选项是〔 〕
A．甲和乙左视图相同，主视图相同
B．甲和乙左视图不相同，主视图不相同
C．甲和乙左视图相同，主视图不相同
D．甲和乙左视图不相同，主视图相同
【分析】直接利用俯视图以及小立方体的个数得出左视图与主视图即可得出答案．
【解答】解：∵甲、乙都是由5个大小相同的小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，
∴甲和乙的主视图均为3列，立方体的个数从左到右分别是1，2，1，
∴主视图相同，
甲的左视图是有两列，正方体的个数分别是2，1，
乙的左视图也是两列，但正方体的个数分别为1，2，
故主视图相同、左视图不同．
应选：D．
8．以下说法正确的选项是〔 〕
A．一个不透明的口袋中有3个白球和2个红球〔每个球除颜色外都相同〕，那么从中任意摸出一个球是红球的概率为
B．一个抽奖活动的中奖概率为，那么抽奖2次就必有1次中奖
C．统计甲，乙两名同学在假设干次检测中的数学成绩发现：＝，S甲2＞S乙2，说明甲的数学成绩比乙的数学成绩稳定
D．要了解一个班有多少同学知道“杂交水稻之父〞袁隆平的事迹，宜采用普查的调查方式
【分析】根据概率的求法、调查方式的选择、方差的意义及概率的意义分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、一个不透明的口袋中有3个白球和2个红球〔每个球除颜色外都相同〕，那么从中任意摸出一个球是红球的概率为，故原命题错误，不符合题意；
B、一个抽奖活动的中奖概率为，那么抽奖2次可能有1次中奖，也可能不中奖或全中奖，故原命题错误，不符合题意；
C、统计甲，乙两名同学在假设干次检测中的数学成绩发现：＝，S甲2＞S乙2，说明甲的数学成绩不如乙的数学成绩稳定，故原命题错误，不符合题意；
D、要了解一个班有多少同学知道“杂交水稻之父〞袁隆平的事迹，宜采用普查的调查方式，正确，符合题意，
应选：D．
9．假设直角三角形的两边长分别是方程x2﹣7x+12＝0的两根，那么该直角三角形的面积是〔 〕
A．6 B．12 C．12或 D．6或
【分析】先解出方程x2﹣7x+12＝0的两个根为3和4，再分长是4的边是直角边和斜边两种情况进行讨论，然后根据直角三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：∵x2﹣7x+12＝0，
∴x＝3或x＝4．
①当长是4的边是直角边时，该直角三角形的面积是×3×4＝6；
②当长是4的边是斜边时，第三边是＝，该直角三角形的面积是×3×＝．
应选：D．
10．如图，将△ABC沿BC边向右平移得到△DEF，DE交AC于点G．假设BC：EC＝3：1．S△ADG＝16．那么S△CEG的值为〔 〕
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】根据平移的性质得出AD＝BE，进而得出BE：EC＝2：1，利用三角形面积之比解答即可．
【解答】解：由平移性质可得，AD∥BE，AD＝BE，
∴△ADG∽△ECG，
∵BC：EC＝3：1，
∴BE：EC＝2：1，
∴AD：EC＝2：1，
∴＝4，
∵S△ADG＝16，
∴S△CEG＝4，
应选：B．
11．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，假设四边形OBCD为菱形，那么∠BAD的度数为〔 〕
A．45° B．60° C．72° D．36°
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠BAD+∠BCD＝180°，根据圆周角定理得到∠BOD＝2∠BAD，根据菱形的性质得到∠BOD＝∠BCD，计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
由圆周角定理得：∠BOD＝2∠BAD，
∵四边形OBCD为菱形，
∴∠BOD＝∠BCD，
∴∠BAD+2∠BAD＝180°，
解得：∠BAD＝60°，
应选：B．
12．定义：min{a，b}＝，假设函数y＝min〔x+1，﹣x2+2x+3〕，那么该函数的最大值为〔 〕
A．0 B．2 C．3 D．4
【分析】根据题意画出函数图象，通过数形结合求解．
【解答】解：x+1＝﹣x2+2x+3，
解得x＝﹣1或x＝2．
∴y＝，
把x＝2代入y＝x+1得y＝3，
∴函数最大值为y＝3．
应选：C．
二、填空题(本大题共5个小题,每题3分,共15分)将答案直接填写在答题卡相应的横线上
13．从﹣1，，2中任取两个不同的数作积，那么所得积的中位数是 ﹣ ．
【分析】分别列出从﹣1，，2中任取两个不同的数作积，将所得的积从小到大排列，根据中位数的意义求解即可．
【解答】解：从﹣1，，2中任取两个不同的数作积，有以下几种情况：
﹣1×＝﹣，﹣1×2＝﹣2，×2＝1，
将所得的积将从小到大排列为﹣2，﹣，1，
处在中间位置的数是﹣，因此中位数是﹣，
故答案为：﹣．
14．一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两根分别为m，n，那么+的值为 ．
【分析】由根与系数的关系可求得m+n和mn的值，代入求值即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两根分别为m，n，
∴m+n＝﹣1，mn＝﹣2021，
∴+＝＝＝，
故答案为：．
15．如图，ABCDEF为正六边形，ABGH为正方形，那么图中∠BCG的度数为 15° ．
【分析】分别求出正六边形和正方形的一个内角度数，再求出∠FAH的大小，即可求解．
【解答】解：∵ABCDEF为正六边形，ABGH为正方形，
∴AB＝BC＝BG，
∴∠BCG＝∠BGC，
∵正六边形ABCDEF的每一个内角是4×180°÷6＝120°，
正方形ABGH的每个内角是90°，
∴∠CBG＝360°﹣120°﹣90°＝150°，
∴∠BCG+∠BGC＝180°﹣150°＝30°，
∴∠BCG＝15°．
故答案为：15°．
16．假设关于x的分式方程2﹣＝的解是正数，那么k的取值范围是 k＜4且k≠0 ．
【分析】解分式方程，然后根据分式方程解的情况确定k的取值范围．
【解答】解：原方程去分母，得：2〔x﹣2〕﹣〔1﹣k〕＝﹣1，
解得：x＝，
∵分式方程的解为正数，且x≠2，
∴，且，
解得：k＜4且k≠0，
故答案为：k＜4且k≠0．
17．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC于点M，交CD于点F，过点D作DE∥BF交AC于点N．交AB于点E，连接FN，EM．有以下结论：①四边形NEMF为平行四边形；②DN2＝MC•NC；③△DNF为等边三角形；④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形．其中，正确结论的序号 ①②④ ．
【分析】①正确．想方法证明EN＝FM，EN∥FM，可得结论．
②正确．证明△AMB∽△BMC，推出＝，再证明DN＝BM，AM＝CN，可得结论．
③错误．用反证法证明即可．
④正确．证明DE＝BE，可得结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，CD∥AB
∴∠DAN＝∠BCM，
∵BF⊥AC，DE∥BF，
∴DE⊥AC，
∴∠DNA＝∠BMC＝90°，
在△ADN和△CBM中，
，
∴△ADN≌△CBM〔AAS〕，
∴DN＝BM，
∵DF∥BE，DE∥BF，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∴DE＝BF，
∴EN＝FM，
∵NE∥FM，
∴四边形NEMF是平行四边形，故①正确，
∵△ADN≌△CBM，
∴AN＝CM，
∴CN＝AM，
∵∠AMB＝∠BMC＝∠ABC＝90°，
∴∠ABM+∠CBM＝90°，∠CBM+∠BCM＝90°，
∴∠ABM＝∠BCM，
∴△AMB∽△BMC，
∴＝，
∵DN＝BM，AM＝CN，
∴DN2＝CM•CN，故②正确，
假设△DNF是等边三角形，那么∠CDN＝60°，∠ACD＝30°，
这个与题目条件不符合，故③错误，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OD，
∵AO＝AD，
∴AO＝AD＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠ADO＝∠DAN＝60°，
∴∠ABD＝90°﹣∠ADO＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADN＝ODN＝30°，
∴∠ODN＝∠ABD，
∴DE＝BE，
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴四边形DEBF是菱形；故④正确．
故答案为：①②④．
三、解答题(本大题共7个小题,共69分)解答要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程
18．〔12分〕〔1〕计算：〔〕﹣2﹣π〕0+|3﹣|﹣4sin60°．
〔2〕先化简，再求值：〔﹣x+1〕÷，其中x＝﹣1．
【分析】〔1〕根据负整数指数幂的意义、零指数幂的意义，特殊角的锐角三角函数的值以及绝对值的性质即可求出答案；
〔2〕根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式＝4+1+﹣3﹣4×
＝5+2﹣3﹣2
＝2．
〔2〕原式＝[﹣]•
＝•
＝•
＝﹣x〔x+1〕，
当x＝﹣1时，
∴x+1＝，
∴原式＝﹣〔﹣1〕
＝﹣2+．
19．〔8分〕为庆祝中国共产党成立100周年，某中学组织全校学生参加党史知识竞赛，从中任取20名学生的竞赛成绩进行统计，绘制了不完整的统计图表：
组别
成绩范围
频数
A
60～70
2
B
70～80
m
C
80～90
9
D
90～100
n
〔1〕分别求m，n的值；
〔2〕假设把每组中各学生的成绩用这组数据的中间值代替〔如60～70的中间值为65〕估计全校学生的平均成绩；
〔3〕从A组和D组的学生中随机抽取2名学生，用树状图或列表法求这2名学生都在D组的概率．
【分析】〔1〕由抽取的人数乘以D所占的百分比求出n＝4，即可求出m的值；
〔2〕求出样本平均数，即可得出答案；
〔3〕画树状图，共有30种等可能的结果，抽取的2名学生都在D组的结果有12种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：〔1〕由题意得：n＝20×20%＝4，
那么m＝20﹣2﹣9﹣4＝5，
〔2〕〔65×2+75×5+85×9+95×4〕＝82.5〔分〕，
即估计全校学生的平均成绩为82.5分；
〔3〕A组有2名学生，D组有4名学生，
画树状图如图：
共有30种等可能的结果，抽取的2名学生都在D组的结果有12种，
∴抽取的2名学生都在D组的概率为＝．
20．〔9分〕某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶10元，在销售过程中发现，每天销售量y〔瓶〕与每瓶售价x〔元〕之间存在一次函数关系〔其中10≤x≤21，且x为整数〕．当每瓶消毒液售价为12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶消毒液售价为15元时，每天销售量为75瓶．
〔1〕求y与x之间的函数关系式；
〔2〕设该药店销售该消毒液每天的销售利润为w元，当每瓶消毒液售价为多少元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大利润是多少元？
【分析】〔1〕根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；
〔2〕利用销售该消毒液每天的销售利润＝每瓶的销售利润×每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：〔1〕设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b〔k≠0〕，
将〔12，90〕，〔15，75〕代入y＝kx+b，
，解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣5x+150〔10≤x≤21，且x为整数〕．
〔2〕依题意得：w＝〔x﹣10〕〔﹣5x+150〕＝﹣5x2+200x﹣1500＝﹣5〔x﹣20〕2+500．
∵﹣5＜0，
∴当x＝20时，w取得最大值，最大值为500．
答：当每瓶消毒液售价为20元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大利润是500元．
21．〔8分〕如图，△OAD为等腰直角三角形，延长OA至点B使OB＝OD，ABCD是矩形，其对角线AC，BD交于点E，连接OE交AD于点F．
〔1〕求证：△OAF≌△DAB；
〔2〕求的值．
【分析】〔1〕根据矩形的性质和等腰直角三角形的性质得到∠BOE＝∠BDA，AO＝AD，∠OAD＝∠BAD，进而可以判定；
〔2〕由△OAF≌△DAB得到AF＝AB，得到AF与BF的关系，利用矩形的性质得到DF＝AF，进而可得．
【解答】解：〔1〕证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴BE＝DE，∠BAD＝90°，
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∵OB＝OD，BE＝DE，
∴OE⊥BD，
∴∠OEB＝90°，
∴∠BOE+∠OBE＝90°，
∴∠BOE＝∠BDA，
∵△OAD为等腰直角三角形，
∴AO＝AD，∠OAD＝90°，
∴∠OAD＝∠BAD，
在△AOF和△ABD中，
，
∴△OAF≌△DAB〔ASA〕，
〔2〕由〔1〕得，△OAF≌△DAB，
∴AF＝AB，
连接BF，如图，
∴BF＝AF，
∵BE＝DE，OE⊥BD，
∴DF＝BF，
∴DF＝AF，
∴＝．
22．〔10分〕反比例函数y＝的图象经过点A〔2，3〕．
〔1〕求该反比例函数的表达式；
〔2〕如图，在反比例函数y＝的图象上点A的右侧取点C，过点C作x轴的垂线交x轴于点H，过点A作y轴的垂线交直线CH于点D．
①过点A，点C分别作x轴，y轴的垂线，两线相交于点B，求证：O，B，D三点共线；
②假设AC＝2OA，求证：∠AOD＝2∠DOH．
【分析】〔1〕利用待定系数法求出m即可．
〔2〕①过点A作AM⊥x轴于M，过点C作CN⊥y轴于N，AM交CN于点B，连接OB，证明tan∠BOM＝tan∠DOH，推出∠BOM＝∠DOH，可得结论．
②证明四边形ABCD是矩形，推出AJ＝JC＝JD＝JB，由AC＝2OA，推出AO＝AJ，可得∠AOJ＝∠AJO，再证明∠AJO＝2∠DOH，可得结论．
【解答】〔1〕解：∵反比例函数y＝的图象经过点A〔2，3〕，
∴3＝，
∴m＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝．
〔2〕证明：①过点A作AM⊥x轴于M，过点C作CN⊥y轴于N，AM交CN于点B，连接OB．
∵A〔2，3〕，点C在y＝的图象上，
∴可以设C〔m，〕，那么B〔2，〕，D〔m，3〕，
∴tan∠BOM＝＝＝，tan∠DOH＝＝，
∴tan∠BOM＝tan∠DOH，
∴∠BOM＝∠DOH，
∴O，B，D共线．
②设AC交BD于J．
∵AD⊥y轴，CB⊥y轴，
∴AD∥CB，
∵AM⊥x轴，DH⊥x轴，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AJ＝JC＝JD＝JB，
∵AC＝2OA，
∴AO＝AJ，
∴∠AOJ＝∠AJO，
∵∠AJO＝∠JAD+∠JDA，
∵AD∥OB，
∴∠DOH＝∠ADJ，
∵JA＝JD，
∴∠JAD＝∠ADJ，
∴∠AOD＝2∠ADJ＝∠DOH．
23．〔10分〕如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为P，过点D的⊙O的切线与AB延长线交于点E，连接CE．
〔1〕求证：CE为⊙O的切线；
〔2〕假设⊙O半径为3，CE＝4，求sin∠DEC．
【分析】〔1〕连接OC，OD，由等腰三角形的性质证得∠COE＝∠DOE，根据全等三角形判定证得△COE≌△DOE，得到∠OCE＝∠ODE，即可证得CE为⊙O的切线；
〔2〕过D作DF⊥CE于F，由〔1〕知，∠OCE＝90°，根据勾股定理得到OE＝＝＝5，根据三角形的面积公式得到CP＝，求得CD＝2CP＝，根据勾股定理得到PE＝＝＝，根据切线的性质得到DE＝CE＝4，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】证明：〔1〕连接OC，OD，
∵OC＝OD，AB⊥CD，
∴∠COE＝∠DOE，
在△COE和△DOE中，
，
∴△COE≌△DOE〔SAS〕，
∴∠OCE＝∠ODE，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
∴∠OCE＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴CE为⊙O的切线；
〔2〕解：过D作DF⊥CE于F，
由〔1〕知，∠OCE＝90°，
在Rt△OCE中，∵CE＝4，OC＝3，
∴OE＝＝＝5，
∵AB⊥CD，
∴S△OCE＝OC•CE＝CP•OE，
∴3×4＝5CP，
∴CP＝，
∵OC＝OD，AB⊥CD，
∴CP＝DP，
∴CD＝2CP＝，
在Rt△CPE中，PE＝＝＝，
∵CE，DE是⊙O的切线，
∴DE＝CE＝4，
∵S△CDE＝CE•DF＝CD•PE，
∴4DF＝×，
∴DF＝，
在Rt△DEF中，sin∠DEC＝＝＝．
24．〔12分〕二次函数y＝x2+2bx﹣3b．
〔1〕当该二次函数的图象经过点A〔1，0〕时，求该二次函数的表达式；
〔2〕在〔1〕的条件下，二次函数图象与x轴的另一个交点为点B，与y轴的交点为点C，点P从点A出发在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ面积的最大值；
〔3〕假设对满足x≥1的任意实数x，都使得y≥0成立，求实数b的取值范围．
【分析】〔1〕把点A〔1，0〕代入解析式，求出b，得到解析式；
〔2〕过点Q作QN⊥AB于点N，利用相似表达出△BPQ的高，然后表示出△BPQ的面积，利用二次函数的性质求出最大面积；
〔3〕分类讨论，函数图象与x轴有一个交点和没有交点时，x≥1的任意实数x，都有y≥0成立，假设函数图象与x轴有两个交点，那么需满足两交点的横坐标均不大于1，列出不等式即可求b的取值范围．
【解答】解：〔1〕把点A〔1，0〕代入y＝x2+2bx﹣3b得：1+2b﹣3b＝0，
解得：b＝1，
∴二次函数的表达式为：y＝x2+2x﹣3．
〔2〕如图1，对函数y＝x2+2x﹣3，
当x＝0时，y＝﹣3，当y＝0时，x1＝﹣3，x2＝1，
∴C〔0，﹣3〕，B〔﹣3，0〕，A〔1，0〕，
∴AB＝4，OB＝OC＝3，BC＝3，
过点Q作QN⊥AB于点N，
∴sin∠NBQ＝sin∠OBC，
∴，
设运动时间为t，那么：BQ＝t，AP＝2t，
∴BP＝4﹣2t，，
∴NQ＝，
∴S△BPQ＝，
∴当t＝1时，△BPQ面积的最大值为．
〔3〕①∵二次函数y＝x2+2bx﹣3b的图象开口向上，
∴当二次函数y＝x2+2bx﹣3b的图象与x轴没有交点或只有1个交点时，x≥1总有y≥0成立〔如图2〕；
此时△≤0，即〔2b〕2﹣4〔﹣3b〕≤0，
解得﹣3≤b≤0；
②当二次函数y＝x2+2bx﹣3b的图象与x轴有2个交点时，
Δ＝〔2b〕2﹣4〔﹣3b〕＞0，可得b＞0或b＜﹣3，
设此时两交点为〔x1，0〕，〔x2，0〕，那么x1+x2＝﹣2b，x1•x2＝﹣3b，
要使x≥1的任意实数x，都有y≥0，需x1≤1，x2≤1，即x1﹣1≤0，x2﹣1≤0〔如图3〕，
∴〔x1﹣1〕+〔x2﹣1〕≤0且〔x1﹣1〕•〔x2﹣1〕≥0，
∴﹣2b﹣2≤0且﹣3b﹣〔﹣2b〕+1≥0，
解得﹣1≤b≤1，
∴此时0＜b≤1，
总上所述，对满足x≥1的任意实数x，都使得y≥0成立，那么﹣3≤b≤1．
2021年四川省雅安市中考数学试卷
一、选择题(本大题共12个小题,每题3分,共36分)每题的四个选项中,有且仅有一个是正确的
1．﹣2021的绝对值是〔 〕
A．﹣2021 B．2021 C． D．﹣
2．我国在2021年10月开展了第七次人口普查，普查数据显示，我国2021年总人口到达14.1亿，将14.1亿用科学记数法表示为〔 〕
×107 ×108 ×109 ×1010
3．在平面直角坐标系中，点A〔﹣3，﹣1〕关于y轴的对称点的坐标是〔 〕
A．〔﹣3，1〕 B．〔3，1〕 C．〔3，﹣1〕 D．〔﹣1，﹣3〕
4．以下运算正确的选项是〔 〕
A．〔x2〕3＝x6 B．3x2﹣2x＝x
C．〔﹣2x〕3＝﹣6x3 D．x6÷x2＝x3
5．假设分式的值等于0，那么x的值为〔 〕
A．﹣1 B．0 C．1 D．±1
6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BF是AC边上的中线，DE是△ABC的中位线，假设DE＝6，那么BF的长为〔 〕
A．6 B．4 C．3 D．5
7．甲和乙两个几何体都是由大小相同的小立方块搭成，它们的俯视图如图，小正方形中数字表示该位置上的小立方块个数，那么以下说法中正确的选项是〔 〕
A．甲和乙左视图相同，主视图相同
B．甲和乙左视图不相同，主视图不相同
C．甲和乙左视图相同，主视图不相同
D．甲和乙左视图不相同，主视图相同
8．以下说法正确的选项是〔 〕
A．一个不透明的口袋中有3个白球和2个红球〔每个球除颜色外都相同〕，那么从中任意摸出一个球是红球的概率为
B．一个抽奖活动的中奖概率为，那么抽奖2次就必有1次中奖
C．统计甲，乙两名同学在假设干次检测中的数学成绩发现：＝，S甲2＞S乙2，说明甲的数学成绩比乙的数学成绩稳定
D．要了解一个班有多少同学知道“杂交水稻之父〞袁隆平的事迹，宜采用普查的调查方式
9．假设直角三角形的两边长分别是方程x2﹣7x+12＝0的两根，那么该直角三角形的面积是〔 〕
A．6 B．12 C．12或 D．6或
10．如图，将△ABC沿BC边向右平移得到△DEF，DE交AC于点G．假设BC：EC＝3：1．S△ADG＝16．那么S△CEG的值为〔 〕
A．2 B．4 C．6 D．8
11．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，假设四边形OBCD为菱形，那么∠BAD的度数为〔 〕
A．45° B．60° C．72° D．36°
12．定义：min{a，b}＝，假设函数y＝min〔x+1，﹣x2+2x+3〕，那么该函数的最大值为〔 〕
A．0 B．2 C．3 D．4
二、填空题(本大题共5个小题,每题3分,共15分)将答案直接填写在答题卡相应的横线上
13．从﹣1，，2中任取两个不同的数作积，那么所得积的中位数是 ．
14．一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两根分别为m，n，那么+的值为 ．
15．如图，ABCDEF为正六边形，ABGH为正方形，那么图中∠BCG的度数为 ．
16．假设关于x的分式方程2﹣＝的解是正数，那么k的取值范围是 ．
17．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC于点M，交CD于点F，过点D作DE∥BF交AC于点N．交AB于点E，连接FN，EM．有以下结论：①四边形NEMF为平行四边形；②DN2＝MC•NC；③△DNF为等边三角形；④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形．其中，正确结论的序号 ．
三、解答题(本大题共7个小题,共69分)解答要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程
18．〔12分〕〔1〕计算：〔〕﹣2﹣π〕0+|3﹣|﹣4sin60°．
〔2〕先化简，再求值：〔﹣x+1〕÷，其中x＝﹣1．
19．〔8分〕为庆祝中国共产党成立100周年，某中学组织全校学生参加党史知识竞赛，从中任取20名学生的竞赛成绩进行统计，绘制了不完整的统计图表：
组别
成绩范围
频数
A
60～70
2
B
70～80
m
C
80～90
9
D
90～100
n
〔1〕分别求m，n的值；
〔2〕假设把每组中各学生的成绩用这组数据的中间值代替〔如60～70的中间值为65〕估计全校学生的平均成绩；
〔3〕从A组和D组的学生中随机抽取2名学生，用树状图或列表法求这2名学生都在D组的概率．
20．〔9分〕某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶10元，在销售过程中发现，每天销售量y〔瓶〕与每瓶售价x〔元〕之间存在一次函数关系〔其中10≤x≤21，且x为整数〕．当每瓶消毒液售价为12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶消毒液售价为15元时，每天销售量为75瓶．
〔1〕求y与x之间的函数关系式；
〔2〕设该药店销售该消毒液每天的销售利润为w元，当每瓶消毒液售价为多少元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大利润是多少元？
21．〔8分〕如图，△OAD为等腰直角三角形，延长OA至点B使OB＝OD，ABCD是矩形，其对角线AC，BD交于点E，连接OE交AD于点F．
〔1〕求证：△OAF≌△DAB；
〔2〕求的值．
22．〔10分〕反比例函数y＝的图象经过点A〔2，3〕．
〔1〕求该反比例函数的表达式；
〔2〕如图，在反比例函数y＝的图象上点A的右侧取点C，过点C作x轴的垂线交x轴于点H，过点A作y轴的垂线交直线CH于点D．
①过点A，点C分别作x轴，y轴的垂线，两线相交于点B，求证：O，B，D三点共线；
②假设AC＝2OA，求证：∠AOD＝2∠DOH．
23．〔10分〕如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为P，过点D的⊙O的切线与AB延长线交于点E，连接CE．
〔1〕求证：CE为⊙O的切线；
〔2〕假设⊙O半径为3，CE＝4，求sin∠DEC．
24．〔12分〕二次函数y＝x2+2bx﹣3b．
〔1〕当该二次函数的图象经过点A〔1，0〕时，求该二次函数的表达式；
〔2〕在〔1〕的条件下，二次函数图象与x轴的另一个交点为点B，与y轴的交点为点C，点P从点A出发在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ面积的最大值；
〔3〕假设对满足x≥1的任意实数x，都使得y≥0成立，求实数b的取值范围．
2021年四川省雅安市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共12个小题,每题3分,共36分)每题的四个选项中,有且仅有一个是正确的
1．﹣2021的绝对值是〔 〕
A．﹣2021 B．2021 C． D．﹣
【分析】根据绝对值的定义即可得出答案．
【解答】解：﹣2021的绝对值为2021，
应选：B．
2．我国在2021年10月开展了第七次人口普查，普查数据显示，我国2021年总人口到达14.1亿，将14.1亿用科学记数法表示为〔 〕
×107 ×108 ×109 ×1010
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】×109．
应选：C．
3．在平面直角坐标系中，点A〔﹣3，﹣1〕关于y轴的对称点的坐标是〔 〕
A．〔﹣3，1〕 B．〔3，1〕 C．〔3，﹣1〕 D．〔﹣1，﹣3〕
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
【解答】解：点A〔﹣3，﹣1〕关于y轴的对称点A'的坐标是〔3，﹣1〕，
应选：C．
4．以下运算正确的选项是〔 〕
A．〔x2〕3＝x6 B．3x2﹣2x＝x
C．〔﹣2x〕3＝﹣6x3 D．x6÷x2＝x3
【分析】根据幂的乘方，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法法那么进行计算，从而作出判断．
【解答】解：A．〔x2〕3＝x6，正确，故此选项符合题意；
B．3x2与2x不是同类项，不能进行合并计算，故此选项不符合题意；
C．〔﹣2x〕3＝﹣8x3，故此选项不符合题意；
D．x6÷x2＝x4，故此选项不符合题意；
应选：A．
5．假设分式的值等于0，那么x的值为〔 〕
A．﹣1 B．0 C．1 D．±1
【分析】根据分式值为零的条件可得：|x|﹣1＝0，且x﹣1≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：|x|﹣1＝0，且x﹣1≠0，
解得：x＝﹣1，
应选：A．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BF是AC边上的中线，DE是△ABC的中位线，假设DE＝6，那么BF的长为〔 〕
A．6 B．4 C．3 D．5
【分析】根据三角形中位线定理求出AC，根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，假设DE＝6，
∴AC＝2DE＝12，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BF是AC边上的中线，
∴BF＝AC＝6，
应选：A．
7．甲和乙两个几何体都是由大小相同的小立方块搭成，它们的俯视图如图，小正方形中数字表示该位置上的小立方块个数，那么以下说法中正确的选项是〔 〕
A．甲和乙左视图相同，主视图相同
B．甲和乙左视图不相同，主视图不相同
C．甲和乙左视图相同，主视图不相同
D．甲和乙左视图不相同，主视图相同
【分析】直接利用俯视图以及小立方体的个数得出左视图与主视图即可得出答案．
【解答】解：∵甲、乙都是由5个大小相同的小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，
∴甲和乙的主视图均为3列，立方体的个数从左到右分别是1，2，1，
∴主视图相同，
甲的左视图是有两列，正方体的个数分别是2，1，
乙的左视图也是两列，但正方体的个数分别为1，2，
故主视图相同、左视图不同．
应选：D．
8．以下说法正确的选项是〔 〕
A．一个不透明的口袋中有3个白球和2个红球〔每个球除颜色外都相同〕，那么从中任意摸出一个球是红球的概率为
B．一个抽奖活动的中奖概率为，那么抽奖2次就必有1次中奖
C．统计甲，乙两名同学在假设干次检测中的数学成绩发现：＝，S甲2＞S乙2，说明甲的数学成绩比乙的数学成绩稳定
D．要了解一个班有多少同学知道“杂交水稻之父〞袁隆平的事迹，宜采用普查的调查方式
【分析】根据概率的求法、调查方式的选择、方差的意义及概率的意义分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、一个不透明的口袋中有3个白球和2个红球〔每个球除颜色外都相同〕，那么从中任意摸出一个球是红球的概率为，故原命题错误，不符合题意；
B、一个抽奖活动的中奖概率为，那么抽奖2次可能有1次中奖，也可能不中奖或全中奖，故原命题错误，不符合题意；
C、统计甲，乙两名同学在假设干次检测中的数学成绩发现：＝，S甲2＞S乙2，说明甲的数学成绩不如乙的数学成绩稳定，故原命题错误，不符合题意；
D、要了解一个班有多少同学知道“杂交水稻之父〞袁隆平的事迹，宜采用普查的调查方式，正确，符合题意，
应选：D．
9．假设直角三角形的两边长分别是方程x2﹣7x+12＝0的两根，那么该直角三角形的面积是〔 〕
A．6 B．12 C．12或 D．6或
【分析】先解出方程x2﹣7x+12＝0的两个根为3和4，再分长是4的边是直角边和斜边两种情况进行讨论，然后根据直角三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：∵x2﹣7x+12＝0，
∴x＝3或x＝4．
①当长是4的边是直角边时，该直角三角形的面积是×3×4＝6；
②当长是4的边是斜边时，第三边是＝，该直角三角形的面积是×3×＝．
应选：D．
10．如图，将△ABC沿BC边向右平移得到△DEF，DE交AC于点G．假设BC：EC＝3：1．S△ADG＝16．那么S△CEG的值为〔 〕
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】根据平移的性质得出AD＝BE，进而得出BE：EC＝2：1，利用三角形面积之比解答即可．
【解答】解：由平移性质可得，AD∥BE，AD＝BE，
∴△ADG∽△ECG，
∵BC：EC＝3：1，
∴BE：EC＝2：1，
∴AD：EC＝2：1，
∴＝4，
∵S△ADG＝16，
∴S△CEG＝4，
应选：B．
11．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，假设四边形OBCD为菱形，那么∠BAD的度数为〔 〕
A．45° B．60° C．72° D．36°
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠BAD+∠BCD＝180°，根据圆周角定理得到∠BOD＝2∠BAD，根据菱形的性质得到∠BOD＝∠BCD，计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
由圆周角定理得：∠BOD＝2∠BAD，
∵四边形OBCD为菱形，
∴∠BOD＝∠BCD，
∴∠BAD+2∠BAD＝180°，
解得：∠BAD＝60°，
应选：B．
12．定义：min{a，b}＝，假设函数y＝min〔x+1，﹣x2+2x+3〕，那么该函数的最大值为〔 〕
A．0 B．2 C．3 D．4
【分析】根据题意画出函数图象，通过数形结合求解．
【解答】解：x+1＝﹣x2+2x+3，
解得x＝﹣1或x＝2．
∴y＝，
把x＝2代入y＝x+1得y＝3，
∴函数最大值为y＝3．
应选：C．
二、填空题(本大题共5个小题,每题3分,共15分)将答案直接填写在答题卡相应的横线上
13．从﹣1，，2中任取两个不同的数作积，那么所得积的中位数是 ﹣ ．
【分析】分别列出从﹣1，，2中任取两个不同的数作积，将所得的积从小到大排列，根据中位数的意义求解即可．
【解答】解：从﹣1，，2中任取两个不同的数作积，有以下几种情况：
﹣1×＝﹣，﹣1×2＝﹣2，×2＝1，
将所得的积将从小到大排列为﹣2，﹣，1，
处在中间位置的数是﹣，因此中位数是﹣，
故答案为：﹣．
14．一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两根分别为m，n，那么+的值为 ．
【分析】由根与系数的关系可求得m+n和mn的值，代入求值即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两根分别为m，n，
∴m+n＝﹣1，mn＝﹣2021，
∴+＝＝＝，
故答案为：．
15．如图，ABCDEF为正六边形，ABGH为正方形，那么图中∠BCG的度数为 15° ．
【分析】分别求出正六边形和正方形的一个内角度数，再求出∠FAH的大小，即可求解．
【解答】解：∵ABCDEF为正六边形，ABGH为正方形，
∴AB＝BC＝BG，
∴∠BCG＝∠BGC，
∵正六边形ABCDEF的每一个内角是4×180°÷6＝120°，
正方形ABGH的每个内角是90°，
∴∠CBG＝360°﹣120°﹣90°＝150°，
∴∠BCG+∠BGC＝180°﹣150°＝30°，
∴∠BCG＝15°．
故答案为：15°．
16．假设关于x的分式方程2﹣＝的解是正数，那么k的取值范围是 k＜4且k≠0 ．
【分析】解分式方程，然后根据分式方程解的情况确定k的取值范围．
【解答】解：原方程去分母，得：2〔x﹣2〕﹣〔1﹣k〕＝﹣1，
解得：x＝，
∵分式方程的解为正数，且x≠2，
∴，且，
解得：k＜4且k≠0，
故答案为：k＜4且k≠0．
17．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC于点M，交CD于点F，过点D作DE∥BF交AC于点N．交AB于点E，连接FN，EM．有以下结论：①四边形NEMF为平行四边形；②DN2＝MC•NC；③△DNF为等边三角形；④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形．其中，正确结论的序号 ①②④ ．
【分析】①正确．想方法证明EN＝FM，EN∥FM，可得结论．
②正确．证明△AMB∽△BMC，推出＝，再证明DN＝BM，AM＝CN，可得结论．
③错误．用反证法证明即可．
④正确．证明DE＝BE，可得结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，CD∥AB
∴∠DAN＝∠BCM，
∵BF⊥AC，DE∥BF，
∴DE⊥AC，
∴∠DNA＝∠BMC＝90°，
在△ADN和△CBM中，
，
∴△ADN≌△CBM〔AAS〕，
∴DN＝BM，
∵DF∥BE，DE∥BF，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∴DE＝BF，
∴EN＝FM，
∵NE∥FM，
∴四边形NEMF是平行四边形，故①正确，
∵△ADN≌△CBM，
∴AN＝CM，
∴CN＝AM，
∵∠AMB＝∠BMC＝∠ABC＝90°，
∴∠ABM+∠CBM＝90°，∠CBM+∠BCM＝90°，
∴∠ABM＝∠BCM，
∴△AMB∽△BMC，
∴＝，
∵DN＝BM，AM＝CN，
∴DN2＝CM•CN，故②正确，
假设△DNF是等边三角形，那么∠CDN＝60°，∠ACD＝30°，
这个与题目条件不符合，故③错误，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OD，
∵AO＝AD，
∴AO＝AD＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠ADO＝∠DAN＝60°，
∴∠ABD＝90°﹣∠ADO＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADN＝ODN＝30°，
∴∠ODN＝∠ABD，
∴DE＝BE，
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴四边形DEBF是菱形；故④正确．
故答案为：①②④．
三、解答题(本大题共7个小题,共69分)解答要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程
18．〔12分〕〔1〕计算：〔〕﹣2﹣π〕0+|3﹣|﹣4sin60°．
〔2〕先化简，再求值：〔﹣x+1〕÷，其中x＝﹣1．
【分析】〔1〕根据负整数指数幂的意义、零指数幂的意义，特殊角的锐角三角函数的值以及绝对值的性质即可求出答案；
〔2〕根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式＝4+1+﹣3﹣4×
＝5+2﹣3﹣2
＝2．
〔2〕原式＝[﹣]•
＝•
＝•
＝﹣x〔x+1〕，
当x＝﹣1时，
∴x+1＝，
∴原式＝﹣〔﹣1〕
＝﹣2+．
19．〔8分〕为庆祝中国共产党成立100周年，某中学组织全校学生参加党史知识竞赛，从中任取20名学生的竞赛成绩进行统计，绘制了不完整的统计图表：
组别
成绩范围
频数
A
60～70
2
B
70～80
m
C
80～90
9
D
90～100
n
〔1〕分别求m，n的值；
〔2〕假设把每组中各学生的成绩用这组数据的中间值代替〔如60～70的中间值为65〕估计全校学生的平均成绩；
〔3〕从A组和D组的学生中随机抽取2名学生，用树状图或列表法求这2名学生都在D组的概率．
【分析】〔1〕由抽取的人数乘以D所占的百分比求出n＝4，即可求出m的值；
〔2〕求出样本平均数，即可得出答案；
〔3〕画树状图，共有30种等可能的结果，抽取的2名学生都在D组的结果有12种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：〔1〕由题意得：n＝20×20%＝4，
那么m＝20﹣2﹣9﹣4＝5，
〔2〕〔65×2+75×5+85×9+95×4〕＝82.5〔分〕，
即估计全校学生的平均成绩为82.5分；
〔3〕A组有2名学生，D组有4名学生，
画树状图如图：
共有30种等可能的结果，抽取的2名学生都在D组的结果有12种，
∴抽取的2名学生都在D组的概率为＝．
20．〔9分〕某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶10元，在销售过程中发现，每天销售量y〔瓶〕与每瓶售价x〔元〕之间存在一次函数关系〔其中10≤x≤21，且x为整数〕．当每瓶消毒液售价为12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶消毒液售价为15元时，每天销售量为75瓶．
〔1〕求y与x之间的函数关系式；
〔2〕设该药店销售该消毒液每天的销售利润为w元，当每瓶消毒液售价为多少元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大利润是多少元？
【分析】〔1〕根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；
〔2〕利用销售该消毒液每天的销售利润＝每瓶的销售利润×每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：〔1〕设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b〔k≠0〕，
将〔12，90〕，〔15，75〕代入y＝kx+b，
，解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣5x+150〔10≤x≤21，且x为整数〕．
〔2〕依题意得：w＝〔x﹣10〕〔﹣5x+150〕＝﹣5x2+200x﹣1500＝﹣5〔x﹣20〕2+500．
∵﹣5＜0，
∴当x＝20时，w取得最大值，最大值为500．
答：当每瓶消毒液售价为20元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大利润是500元．
21．〔8分〕如图，△OAD为等腰直角三角形，延长OA至点B使OB＝OD，ABCD是矩形，其对角线AC，BD交于点E，连接OE交AD于点F．
〔1〕求证：△OAF≌△DAB；
〔2〕求的值．
【分析】〔1〕根据矩形的性质和等腰直角三角形的性质得到∠BOE＝∠BDA，AO＝AD，∠OAD＝∠BAD，进而可以判定；
〔2〕由△OAF≌△DAB得到AF＝AB，得到AF与BF的关系，利用矩形的性质得到DF＝AF，进而可得．
【解答】解：〔1〕证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴BE＝DE，∠BAD＝90°，
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∵OB＝OD，BE＝DE，
∴OE⊥BD，
∴∠OEB＝90°，
∴∠BOE+∠OBE＝90°，
∴∠BOE＝∠BDA，
∵△OAD为等腰直角三角形，
∴AO＝AD，∠OAD＝90°，
∴∠OAD＝∠BAD，
在△AOF和△ABD中，
，
∴△OAF≌△DAB〔ASA〕，
〔2〕由〔1〕得，△OAF≌△DAB，
∴AF＝AB，
连接BF，如图，
∴BF＝AF，
∵BE＝DE，OE⊥BD，
∴DF＝BF，
∴DF＝AF，
∴＝．
22．〔10分〕反比例函数y＝的图象经过点A〔2，3〕．
〔1〕求该反比例函数的表达式；
〔2〕如图，在反比例函数y＝的图象上点A的右侧取点C，过点C作x轴的垂线交x轴于点H，过点A作y轴的垂线交直线CH于点D．
①过点A，点C分别作x轴，y轴的垂线，两线相交于点B，求证：O，B，D三点共线；
②假设AC＝2OA，求证：∠AOD＝2∠DOH．
【分析】〔1〕利用待定系数法求出m即可．
〔2〕①过点A作AM⊥x轴于M，过点C作CN⊥y轴于N，AM交CN于点B，连接OB，证明tan∠BOM＝tan∠DOH，推出∠BOM＝∠DOH，可得结论．
②证明四边形ABCD是矩形，推出AJ＝JC＝JD＝JB，由AC＝2OA，推出AO＝AJ，可得∠AOJ＝∠AJO，再证明∠AJO＝2∠DOH，可得结论．
【解答】〔1〕解：∵反比例函数y＝的图象经过点A〔2，3〕，
∴3＝，
∴m＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝．
〔2〕证明：①过点A作AM⊥x轴于M，过点C作CN⊥y轴于N，AM交CN于点B，连接OB．
∵A〔2，3〕，点C在y＝的图象上，
∴可以设C〔m，〕，那么B〔2，〕，D〔m，3〕，
∴tan∠BOM＝＝＝，tan∠DOH＝＝，
∴tan∠BOM＝tan∠DOH，
∴∠BOM＝∠DOH，
∴O，B，D共线．
②设AC交BD于J．
∵AD⊥y轴，CB⊥y轴，
∴AD∥CB，
∵AM⊥x轴，DH⊥x轴，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AJ＝JC＝JD＝JB，
∵AC＝2OA，
∴AO＝AJ，
∴∠AOJ＝∠AJO，
∵∠AJO＝∠JAD+∠JDA，
∵AD∥OB，
∴∠DOH＝∠ADJ，
∵JA＝JD，
∴∠JAD＝∠ADJ，
∴∠AOD＝2∠ADJ＝∠DOH．
23．〔10分〕如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为P，过点D的⊙O的切线与AB延长线交于点E，连接CE．
〔1〕求证：CE为⊙O的切线；
〔2〕假设⊙O半径为3，CE＝4，求sin∠DEC．
【分析】〔1〕连接OC，OD，由等腰三角形的性质证得∠COE＝∠DOE，根据全等三角形判定证得△COE≌△DOE，得到∠OCE＝∠ODE，即可证得CE为⊙O的切线；
〔2〕过D作DF⊥CE于F，由〔1〕知，∠OCE＝90°，根据勾股定理得到OE＝＝＝5，根据三角形的面积公式得到CP＝，求得CD＝2CP＝，根据勾股定理得到PE＝＝＝，根据切线的性质得到DE＝CE＝4，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】证明：〔1〕连接OC，OD，
∵OC＝OD，AB⊥CD，
∴∠COE＝∠DOE，
在△COE和△DOE中，
，
∴△COE≌△DOE〔SAS〕，
∴∠OCE＝∠ODE，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
∴∠OCE＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴CE为⊙O的切线；
〔2〕解：过D作DF⊥CE于F，
由〔1〕知，∠OCE＝90°，
在Rt△OCE中，∵CE＝4，OC＝3，
∴OE＝＝＝5，
∵AB⊥CD，
∴S△OCE＝OC•CE＝CP•OE，
∴3×4＝5CP，
∴CP＝，
∵OC＝OD，AB⊥CD，
∴CP＝DP，
∴CD＝2CP＝，
在Rt△CPE中，PE＝＝＝，
∵CE，DE是⊙O的切线，
∴DE＝CE＝4，
∵S△CDE＝CE•DF＝CD•PE，
∴4DF＝×，
∴DF＝，
在Rt△DEF中，sin∠DEC＝＝＝．
24．〔12分〕二次函数y＝x2+2bx﹣3b．
〔1〕当该二次函数的图象经过点A〔1，0〕时，求该二次函数的表达式；
〔2〕在〔1〕的条件下，二次函数图象与x轴的另一个交点为点B，与y轴的交点为点C，点P从点A出发在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ面积的最大值；
〔3〕假设对满足x≥1的任意实数x，都使得y≥0成立，求实数b的取值范围．
【分析】〔1〕把点A〔1，0〕代入解析式，求出b，得到解析式；
〔2〕过点Q作QN⊥AB于点N，利用相似表达出△BPQ的高，然后表示出△BPQ的面积，利用二次函数的性质求出最大面积；
〔3〕分类讨论，函数图象与x轴有一个交点和没有交点时，x≥1的任意实数x，都有y≥0成立，假设函数图象与x轴有两个交点，那么需满足两交点的横坐标均不大于1，列出不等式即可求b的取值范围．
【解答】解：〔1〕把点A〔1，0〕代入y＝x2+2bx﹣3b得：1+2b﹣3b＝0，
解得：b＝1，
∴二次函数的表达式为：y＝x2+2x﹣3．
〔2〕如图1，对函数y＝x2+2x﹣3，
当x＝0时，y＝﹣3，当y＝0时，x1＝﹣3，x2＝1，
∴C〔0，﹣3〕，B〔﹣3，0〕，A〔1，0〕，
∴AB＝4，OB＝OC＝3，BC＝3，
过点Q作QN⊥AB于点N，
∴sin∠NBQ＝sin∠OBC，
∴，
设运动时间为t，那么：BQ＝t，AP＝2t，
∴BP＝4﹣2t，，
∴NQ＝，
∴S△BPQ＝，
∴当t＝1时，△BPQ面积的最大值为．
〔3〕①∵二次函数y＝x2+2bx﹣3b的图象开口向上，
∴当二次函数y＝x2+2bx﹣3b的图象与x轴没有交点或只有1个交点时，x≥1总有y≥0成立〔如图2〕；
此时△≤0，即〔2b〕2﹣4〔﹣3b〕≤0，
解得﹣3≤b≤0；
②当二次函数y＝x2+2bx﹣3b的图象与x轴有2个交点时，
Δ＝〔2b〕2﹣4〔﹣3b〕＞0，可得b＞0或b＜﹣3，
设此时两交点为〔x1，0〕，〔x2，0〕，那么x1+x2＝﹣2b，x1•x2＝﹣3b，
要使x≥1的任意实数x，都有y≥0，需x1≤1，x2≤1，即x1﹣1≤0，x2﹣1≤0〔如图3〕，
∴〔x1﹣1〕+〔x2﹣1〕≤0且〔x1﹣1〕•〔x2﹣1〕≥0，
∴﹣2b﹣2≤0且﹣3b﹣〔﹣2b〕+1≥0，
解得﹣1≤b≤1，
∴此时0＜b≤1，
总上所述，对满足x≥1的任意实数x，都使得y≥0成立，那么﹣3≤b≤1．
相关试卷
2020年四川省雅安市中考数学真题及答案： 这是一份2020年四川省雅安市中考数学真题及答案，共20页。试卷主要包含了选择题，在Rt△ACB中，等内容，欢迎下载使用。
四川省雅安市2021年中考数学真题（含解析）： 这是一份四川省雅安市2021年中考数学真题（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年四川省雅安市中考数学真题（含解析）： 这是一份2023年四川省雅安市中考数学真题（含解析），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
