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-上海市松江区2020-2021学年八年级下学期期末数学试卷（word版 含答案）
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这是一份-上海市松江区2020-2021学年八年级下学期期末数学试卷（word版 含答案），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，简答题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年上海市松江区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）
1．直线y＝2x﹣3在y轴上的截距是（ ）
A．﹣3 B．2 C．3 D．
2．下列方程中，有实数解的是（ ）
A．x2+1＝0 B．x+＝1
C．＝﹣x D．＝0
3．下列事件中，确定事件是（ ）
A．掷一枚均匀的硬币，正面朝上
B．地球总是绕着太阳转
C．买一注彩票，中奖了
D．小明上学经过红绿灯路口时遇到红灯
4．下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线互相垂直 D．对角线相等
5．下列等式一定正确的是（ ）
A．+＝+ B．﹣＝
C．++＝ D．++＝
6．下列命题中，真命题是（ ）
A．四个内角为60°、120°、60°和120°的四边形是一定是平行四边形
B．一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形
C．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
D．一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形
二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．（2分）方程3＝的解是 ．
8．（2分）方程x3+9＝0的解是 ．
9．（2分）关于x的方程（mx）2+x2＝1的解是 ．
10．（2分）用换元法解方程+7＝0时，可设y＝，那么原方程可化为关于y的整式方程是 ．
11．（2分）一个不透明的布袋里装有3个红球，2个白球，1个黑球，它们除颜色外其余相同．从袋中任意摸出1个球，恰好是白球的概率为 ．
12．（2分）已知△ABC的周长为16，点D，E，F分别为△ABC三条边的中点，则△DEF的周长为 ．
13．（2分）若一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形是 边形．
14．（2分）直线y＝2x+3沿y轴向上平移3个单位得到的直线表达式是 ．
15．（2分）如果一次函数y＝kx+1（k是常数，k≠0）的图象过点（﹣1，0），那么y的值随x的增大而 （填“增大”或“减小”）．
16．（2分）一次函数y＝kx+b（k，b为常数）的图象如图所示，那么关于x的一元一次不等式kx+b≥0的解集是 ．
17．（2分）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，点A（1，0）、B（0，2）、C（3，3），那么点D的坐标为 ．
18．（2分）如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝无重叠的四边形EFGH（EH＜HG），若AB＝6，AD＝10，则边EH的长是 ．
三、简答题：（本大题共4题，每题6分，满分24分）
19．（6分）解方程：
20．（6分）解方程组：．
21．（6分）如图，点E是菱形ABCD边AD的延长线上一点，DE＝AD，设＝，＝．
（1）试用向量，表示下列向量：＝ ；（直接写出结论）
（2）如果∠B＝120°，||＝1，那么||＝ ；（直接写出结论）
（3）在图上求作：+．（保留作图痕迹，不要求写作法，写出结论．）
22．（6分）今年初，很多商场由于受新型冠状病毒肺炎疫情的影响，产品销售情况不如人意．有甲、乙两家商场利用网络平台进行销售．其中甲商场所有商品按9折出售，乙商场对一次购物中超过200元后的金额打k折（k为1到9之间的整数）．设顾客所购商品原来金额为x元，在甲、乙两家商场实际支付金额分别为y1元和y2元．
（1）顾客在乙商场购物时，y2与x之间函数图象如图所示（图中线段OA和射线AB），求当x＞200时，y2与x之间函数解析式；
（2）当x＝500时，甲、乙两个商场中，去哪商场购物更省钱？
四、解答题（本大题共2题，每题8分，满分16分）
23．（8分）如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是两腰的中点，联结AF，过点F作FG∥AB，交BC于点G，联结EG．
（1）求证：四边形AEGF是平行四边形；
（2）当∠GFC＝2∠EGB时，求证：四边形AEGF是矩形．
24．（8分）甲乙两人各加工300个零件，甲比乙少用1小时完成任务；乙改进操作方法，使生产效率提高了一倍，结果乙完成300个零件所用的时间比甲完成250个零件所用的时间少小时．问甲乙两人原来每小时各加工多少个零件．
五、解答题（本大题共2题，第25题8分第26题10分，满分18分）
25．（8分）在一次数学研究性学习中，小明将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝6cm，AC＝DF＝9cm，并进行如下研究活动：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，联结AE，BD（如图2）．
（1）求证：图2中的四边形ABDE是平行四边形；
（2）当纸片DEF平移到某一位置时，小明发现四边形ABDE为矩形（如图3）．求此时AF的长；
（3）在纸片DEF平移的过程中，四边形ABDE能成为菱形吗？如果可以，直接写出AF的长，如果不可以，说明理由．
26．（10分）如图，已知点E、F分别是正方形ABCD边CD以及边CB延长线上的点（与正方形顶点不重合），满足DE＝BF．联结EF，交对角线BD于点M．
（1）联结AE，AF求证：AE⊥AF；
（2）求证：ME＝MF；
（3）如果正方形边长为1，设BF＝x，△BFM的面积为y，求y关于x的函数关系式．
2020-2021学年上海市松江区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）
1．直线y＝2x﹣3在y轴上的截距是（ ）
A．﹣3 B．2 C．3 D．
【分析】代入x＝0求出y值，此题得解．
【解答】解：当x＝0时，y＝2×0﹣3＝﹣3，
∴直线y＝2x﹣3在y轴上的截距是﹣3．
故选：A．
2．下列方程中，有实数解的是（ ）
A．x2+1＝0 B．x+＝1
C．＝﹣x D．＝0
【分析】根据一元二次方程、分式方程、无理方程的解法，分别解方程即可得答案．
【解答】解：A、由x2+1＝0，得x2＝﹣1，
∵x2≥0，
∴原方程无实数根，
故A选项不符合题意；
B、由x+＝1得x2﹣x+1＝0，
而x2﹣x+1＝0的判别式Δ＝﹣3＜0，
∴原方程无实数根，
故B选项不符合题意；
C、由＝﹣x得x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝3或x＝﹣1，
经检验，x＝﹣1是原方程的根，
故C符合题意；
D、由＝0得x＝﹣2，
经检验：x＝﹣2是原方程增根，
∴原方程无实数根，
故D不符合题意，
故选：C．
3．下列事件中，确定事件是（ ）
A．掷一枚均匀的硬币，正面朝上
B．地球总是绕着太阳转
C．买一注彩票，中奖了
D．小明上学经过红绿灯路口时遇到红灯
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：A、掷一枚均匀的硬币，正面朝上是随机事件，不符合题意；
B、地球总是绕着太阳转，属于确定事件，符合题意；
C、买一注彩票，中奖了是随机事件，不符合题意；
D、小明上学经过红绿灯路口时遇到红灯是随机事件，不符合题意；
故选：B．
4．下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线互相垂直 D．对角线相等
【分析】菱形的性质有四边相等，对角相等，对角线平分、垂直且平分每组对角；矩形的性质有对边相等，四角相等，对角线平分且相等．
【解答】解：选项A，菱形和矩形都是平行四边形，对边都相等，不符合题意；
选项B，菱形和矩形都是特殊的平行四边形，对角都相等，不符合题意；
选项C，菱形的对角线互相平分且互相垂直，而矩形的对角线相等且互相平分但不垂直，符合题意；
选项D，矩形的对角线相等，而菱形的对角线不相等，不符合题意．
故选：C．
5．下列等式一定正确的是（ ）
A．+＝+ B．﹣＝
C．++＝ D．++＝
【分析】根据相等向量、平行向量以及三角形法则解答．
【解答】解：A、+＝﹣﹣，故不符合题意．
B、﹣＝，故不符合题意．
C、++＝﹣，故不符合题意．
D、++＝，故符合题意．
故选：D．
6．下列命题中，真命题是（ ）
A．四个内角为60°、120°、60°和120°的四边形是一定是平行四边形
B．一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形
C．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
D．一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形
【分析】根据平行四边形的判定定理对每个选项进项判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、四个内角为60°、120°、60°和120°的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，错误，是假命题，不符合题意；
B、两条对角线互相平分的四边形才是平行四边形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、一组对边相等，另一组对边平行的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形，正确，是真命题，符合题意；
故选：D．
二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．（2分）方程3＝的解是 11 ．
【分析】将方程两边平方，化为一元一次方程即可得答案．
【解答】解：两边平方得：x﹣2＝9，
∴x＝11，
把x＝11代入原方程：左边＝3，
右边＝＝3，
∴左边＝右边，
∴x＝11是原方程的解，
故答案为：11．
8．（2分）方程x3+9＝0的解是 x＝﹣3 ．
【分析】根据立方根的含义和求法，求出方程x3+9＝0的解是多少即可．
【解答】解：∵x3+9＝0，
∴x3＝﹣27，
解得x＝﹣3．
故答案为：x＝﹣3．
9．（2分）关于x的方程（mx）2+x2＝1的解是 x＝或x＝﹣ ．
【分析】去括号，合并同类项，然后利用直接开平方法求出方程的解即可．
【解答】解：（mx）2+x2＝1
m2x2+x2＝1，
（m2+1）x2＝1，
∴x＝±；
故答案为x＝或x＝﹣．
10．（2分）用换元法解方程+7＝0时，可设y＝，那么原方程可化为关于y的整式方程是 2y2+7y﹣1＝0 ．
【分析】根据题意，用含y的式子表示出方程并整理方程即可．
【解答】解：设y＝，则，
∴原方程可变行为：2y﹣+7＝0，
去分母，得：2y2+7y﹣1＝0，
故答案为：2y2+7y﹣1＝0．
11．（2分）一个不透明的布袋里装有3个红球，2个白球，1个黑球，它们除颜色外其余相同．从袋中任意摸出1个球，恰好是白球的概率为 ．
【分析】用白球的个数除以球的总个数即为所求的概率．
【解答】解：因为一共3+2+1＝6（个）球，其中2个白球，所以从袋中任意摸出1个球，恰好是白球的概率＝＝．
故答案为：．
12．（2分）已知△ABC的周长为16，点D，E，F分别为△ABC三条边的中点，则△DEF的周长为 8 ．
【分析】根据三角形中位线定理得到EF＝AB，DE＝AC，DF＝BC，根据三角形周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵点D，E，F分别为△ABC三边的中点，
∴EF＝AB，DE＝AC，DF＝BC，
∵△ABC的周长为16，
∴AB+AC+BC＝16，
∴△DEF的周长＝EF+DE+DF＝（AB+AC+BC）＝8，
故答案为：8．
13．（2分）若一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形是 六 边形．
【分析】根据内角和定理180°•（n﹣2）即可求得．
【解答】解：180°•（n﹣2）＝720，
解得n＝6．
故答案为：六．
14．（2分）直线y＝2x+3沿y轴向上平移3个单位得到的直线表达式是 y＝2x+6 ．
【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：直线y＝2x+3沿y轴向上平移3个单位得到的直线表达式是：y＝2x+3+3，即y＝2x+6．
故答案是：y＝2x+6．
15．（2分）如果一次函数y＝kx+1（k是常数，k≠0）的图象过点（﹣1，0），那么y的值随x的增大而 增大 （填“增大”或“减小”）．
【分析】根据点的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征可求出k值，再利用一次函数的性质即可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+1（k是常数，k≠0）的图象经过点（﹣1，0），
∴0＝﹣k+1，
∴k＝1，
∴y的值随x的增大而增大．
故答案为：增大．
16．（2分）一次函数y＝kx+b（k，b为常数）的图象如图所示，那么关于x的一元一次不等式kx+b≥0的解集是 x≤3 ．
【分析】结合函数图象，写出直线不在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：当x≤3时，y≥0，
所以关于x的一元一次不等式kx+b≥0的解集是x≤3．
故答案为x≤3．
17．（2分）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，点A（1，0）、B（0，2）、C（3，3），那么点D的坐标为 （4，1） ．
【分析】由平行四边形的性质可得：BC＝AD，BC||AD．通过点的坐标得到：点B先向右平移3个单位长度再向上平移1个单位长度得到点C，所以点A先向右平移3个单位长度再向上平移1个单位长度得到点D，根据平移法则即可得解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，BC||AD，
∵点B（0，2）、C（3，3），
∴点B先向右平移3个单位长度再向上平移1个单位长度得到点C，
∴点A先向右平移3个单位长度再向上平移1个单位长度得到点D，
∵点A坐标为（1，0），
∴点D坐标为（4，1）．
故答案为：（4，1）．
18．（2分）如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝无重叠的四边形EFGH（EH＜HG），若AB＝6，AD＝10，则边EH的长是 ．
【分析】先根据翻折，证明四边形EFGH为矩形，AE＝EB＝DG＝GC＝3，再利用正方形的性质证明Rt△BEF≌Rt△DGH，得出HF＝AD，然后设AH＝x，利用勾股定理得出EH²+BF²＝HF²，列出关于x的方程，求出x即可．
【解答】解：∵∠HEM＝∠AEH，∠BEF＝∠FEM，
∴∠HEF＝∠HEM+∠FEM＝×180°＝90°，
同理可得：∠EHG＝∠HGF＝∠EFG＝90°，
∴四边形EFGH为矩形，
∵四边形EFGH是矩形ABCD的四个角向内折起得到的，
∴EA＝EM，EB＝EM，AH＝MH，
∴EA＝EB＝AB＝×6＝3，
同理：GC＝GD＝3，
在Rt△BEF和△RtDGH中，
，
∴Rt△BEF≌Rt△DGH（HL），
∴BF＝DH，
∵FM＝BF，
∴FM＝DH，
∴HF＝HM+FM＝AH+DH＝AD＝10，
设AH＝x，则BF＝DH＝10﹣x，
∴HE²＝AH²+AE²＝x²+3²，
EF²＝BE²+BF²＝3²+（10﹣x）²，
∵EH²+BF²＝HF²，
∴x²+3²+3²+（10﹣x）²＝10²，
解得：x＝1或x＝9，
∴AH＝1，
∴EH＝＝，
故答案为：．
三、简答题：（本大题共4题，每题6分，满分24分）
19．（6分）解方程：
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x+x﹣1＝x2+2x﹣3，
整理得：x2﹣x﹣2＝0，即（x﹣2）（x+1）＝0，
解得：x＝2或x＝﹣1，
经检验x＝2与x＝﹣1都为分式方程的解．
20．（6分）解方程组：．
【分析】由①得y＝7﹣x，将y＝7﹣x代入②转化为一元二次方程．用一元二次方程的知识，解出方程的根即可．
【解答】解：，
由①得：y＝7﹣x③，
将③代入②得：x²+（7﹣x）²＝25，
整理得：x²﹣7x+12＝0，
解得：x1＝3，x2＝4
将上述x代入①得：y1＝4，y2＝3，
∴该方程组的解为，．
21．（6分）如图，点E是菱形ABCD边AD的延长线上一点，DE＝AD，设＝，＝．
（1）试用向量，表示下列向量：＝ ﹣+ ；（直接写出结论）
（2）如果∠B＝120°，||＝1，那么||＝ ；（直接写出结论）
（3）在图上求作：+．（保留作图痕迹，不要求写作法，写出结论．）
【分析】（1）利用菱形的性质以及三角形法则求解即可．
（2）连接AC交BD于点O．解直角三角形求出AC，可得结论．
（3）如图，延长CD到T，使得DT＝CD，则AT∥EC，AT＝EC，利用三角形法则作出图形即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝AD，BC∥AD，AB＝CD，AB∥CD
∵AD＝DE，
∴BC＝DE，
∴＝+＝﹣+，
故答案为：﹣+．
（2）连接AC交BD于点O．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，∠ABD＝∠CBD＝60°，
∵||＝1，
∴AB＝1，
∴OA＝AB•sin60°＝，
∴AC＝2OA＝，
∴||＝，
故答案为：．
（3）如图，延长CD到T，使得DT＝CD，连接ET，则四边形ATEC是平行四边形，AT＝EC，AT∥EC，
∴+＝+＝，
∴即为所求．
22．（6分）今年初，很多商场由于受新型冠状病毒肺炎疫情的影响，产品销售情况不如人意．有甲、乙两家商场利用网络平台进行销售．其中甲商场所有商品按9折出售，乙商场对一次购物中超过200元后的金额打k折（k为1到9之间的整数）．设顾客所购商品原来金额为x元，在甲、乙两家商场实际支付金额分别为y1元和y2元．
（1）顾客在乙商场购物时，y2与x之间函数图象如图所示（图中线段OA和射线AB），求当x＞200时，y2与x之间函数解析式；
（2）当x＝500时，甲、乙两个商场中，去哪商场购物更省钱？
【分析】（1）根据y2与x之间函数图象利用待定系数法即可求解；
（2）根据甲商场所有商品按9折出售，（1）求得的当x＞200时，y2与x之间函数解析式分别求出甲、乙两家商场实际支付金额，比较即可解答．
【解答】解：（1）设当x＞200时，y2与x之间函数解析式为y2＝kx+b，
由图象得，，
解得：，
∴当x＞200时，y2与x之间函数解析式为y2＝0.8x+40（x＞200）；
（2）当x＝500时，
甲商场实际支付金额为y1＝500×0.9＝450（元），
乙商场实际支付金额为y2＝0.8×500+40＝440（元），
所以当x＝500时，去乙商场购物更省钱．
四、解答题（本大题共2题，每题8分，满分16分）
23．（8分）如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是两腰的中点，联结AF，过点F作FG∥AB，交BC于点G，联结EG．
（1）求证：四边形AEGF是平行四边形；
（2）当∠GFC＝2∠EGB时，求证：四边形AEGF是矩形．
【分析】（1）根据等腰梯形的性质得到∠B＝∠C，根据平行线的性质得到∠FGC＝∠B，得到∠FGC＝∠C，推出AE＝FG，于是得到四边形AEGF是平行四边形；
（2）连接DG，根据直角三角形的判定得到∠DGC＝90°，∠FDG＝∠FGD，由三角形的外角的性质得到∠CFG＝2∠DGF，等量代换得到∠DGF＝∠BGE，求得∠EGF＝90°，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，
∴∠B＝∠C，
∵AB∥FG，
∴∠FGC＝∠B，
∴∠FGC＝∠C，
∴FG＝FC，
∵AB＝CD，E、F分别是腰AB、CD的中点，
∴AE＝CF，
∴AE＝FG，
∴四边形AEGF是平行四边形；
（2）证明：连接DG，
∵FG＝DF＝CF，
∴∠DGC＝90°，∠FDG＝∠FGD，
∵∠CFG＝∠FDG+∠DGF，
∴∠CFG＝2∠DGF，
∵∠GFC＝2∠EGB，
∴∠DGF＝∠BGE，
∵∠DGF+∠FGC＝90°，
∴∠FGC+∠BGE＝90°，
∴∠EGF＝90°，
∴四边形AEGF是矩形．
24．（8分）甲乙两人各加工300个零件，甲比乙少用1小时完成任务；乙改进操作方法，使生产效率提高了一倍，结果乙完成300个零件所用的时间比甲完成250个零件所用的时间少小时．问甲乙两人原来每小时各加工多少个零件．
【分析】设乙原来每小时加工x个零件，则改进操作方法后乙每小时加工2x个零件，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合乙完成300个零件所用的时间比甲完成250个零件所用的时间少小时，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出x的值，再利用甲的工作效率＝300÷（乙加工300个零件所需时间﹣1），即可求出甲的工作效率．
【解答】解：设乙原来每小时加工x个零件，则改进操作方法后乙每小时加工2x个零件，
依题意得：×（﹣1）﹣＝，
解得：x＝75，
经检验，x＝75是原方程的解，且符合题意，
∴300÷（﹣1）＝100（个）．
答：甲每小时加工100个零件，乙原来每小时加工75个零件．
五、解答题（本大题共2题，第25题8分第26题10分，满分18分）
25．（8分）在一次数学研究性学习中，小明将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝6cm，AC＝DF＝9cm，并进行如下研究活动：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，联结AE，BD（如图2）．
（1）求证：图2中的四边形ABDE是平行四边形；
（2）当纸片DEF平移到某一位置时，小明发现四边形ABDE为矩形（如图3）．求此时AF的长；
（3）在纸片DEF平移的过程中，四边形ABDE能成为菱形吗？如果可以，直接写出AF的长，如果不可以，说明理由．
【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得结论；
（2）设AF＝DC＝xcm，则AD＝AC+CD＝（9+x）cm，由四边形ABDE为矩形，可得AE2+ED2＝AD2，建立方程求解即可；
（3）设AF＝DC＝xcm，根据AE＝DE，建立方程求解即可．
【解答】解：（1）∵两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，
∴ED＝AB，∠EDF＝∠BAC，
∴ED∥AB，
∴四边形ABDE是平行四边形；
（2）∵将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，
∴AF＝DC，
∵BC＝EF＝6cm，AC＝DF＝9cm，
∴设AF＝DC＝xcm，则AD＝AC+CD＝（9+x）cm，
∵∠DFE＝90°＝∠AFE，
∴AE2＝AF2+EF2＝x2+62，ED2＝DF2+EF2＝92+62，
∵四边形ABDE为矩形，
∴∠AED＝90°，
∴AE2+ED2＝AD2，
即x2+62+92+62＝（9+x）2，
解得：x＝4，
即AF＝4cm；
（3）纸片DEF平移的过程中，四边形ABDE能成为菱形．
∵四边形ABDE能成为菱形，
∴AE＝DE，
∴AE2＝DE2，
设AF＝DC＝xcm，
∵∠DFE＝∠AFE＝90°，
∴AE2＝AF2+EF2＝x2+62，ED2＝DF2+EF2＝92+62，
∴x2+62＝92+62，
解得：x＝9或x＝﹣9（舍去），
即AF＝9cm，
∴当AF＝9cm时，四边形ABDE能成为菱形．
26．（10分）如图，已知点E、F分别是正方形ABCD边CD以及边CB延长线上的点（与正方形顶点不重合），满足DE＝BF．联结EF，交对角线BD于点M．
（1）联结AE，AF求证：AE⊥AF；
（2）求证：ME＝MF；
（3）如果正方形边长为1，设BF＝x，△BFM的面积为y，求y关于x的函数关系式．
【分析】（1）根据正方形性质可得∠ABF＝90°＝∠ADE，AD＝AB，进而证明△ABF≌△ADE（SAS），即可证得结论；
（2）过点E作EN∥CF交BD于点N，证明△MEN≌△MFB（AAS），即可证得结论；
（3）过点M作MP⊥CF于点P，连结MC，由BF＝DE＝x，可得出CE＝DC﹣DE＝1﹣x，MP＝CE＝（1﹣x），利用三角形面积公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADE＝∠BAD＝∠ABC＝90°，AD＝AB，
∴∠ABF＝90°＝∠ADE，
在△ABF和△ADE中，
，
∴△ABF≌△ADE（SAS），
∴∠BAF＝∠DAE，
又∵∠BAE+∠DAE＝∠BAD＝90°，
∴∠BAE+∠BAF＝∠EAF＝90°，
∴AE⊥AF；
（2）如图1，过点E作EN∥CF交BD于点N，
∴∠NEF＝∠BFE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠ADC＝90°，∠NDE＝45°，
∴EN∥AD，
∴∠DEN＝90°，
∴∠DNE＝45°，
∴∠NDE＝∠DNE＝45°，
∴NE＝DE＝BF，
在△MEN和△MFB中，
∵，
∴△MEN≌△MFB（AAS），
∴ME＝MF；
（3）如图2，过点M作MP⊥CF于点P，连结MC，
∵四边形ABCD是正方形且边长为1，
∴∠DCB＝90°，BC＝DC＝1，
又∵ME＝MF＝EF，
∴MC＝EF＝ME＝MF，
又∵MP⊥CF，
∴PF＝PC，
又∵ME＝MF，
∴MP＝CE，
∵BF＝DE＝x，
∴CE＝DC﹣DE＝1﹣x，
∴MP＝CE＝（1﹣x），
∵△BFM的面积为y，
∴y＝BF•MP＝x•（1﹣x）＝+x，
∴y关于x的函数关系式为+x．
2020-2021学年上海市松江区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）
1．直线y＝2x﹣3在y轴上的截距是（ ）
A．﹣3 B．2 C．3 D．
2．下列方程中，有实数解的是（ ）
A．x2+1＝0 B．x+＝1
C．＝﹣x D．＝0
3．下列事件中，确定事件是（ ）
A．掷一枚均匀的硬币，正面朝上
B．地球总是绕着太阳转
C．买一注彩票，中奖了
D．小明上学经过红绿灯路口时遇到红灯
4．下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线互相垂直 D．对角线相等
5．下列等式一定正确的是（ ）
A．+＝+ B．﹣＝
C．++＝ D．++＝
6．下列命题中，真命题是（ ）
A．四个内角为60°、120°、60°和120°的四边形是一定是平行四边形
B．一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形
C．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
D．一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形
二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．（2分）方程3＝的解是 ．
8．（2分）方程x3+9＝0的解是 ．
9．（2分）关于x的方程（mx）2+x2＝1的解是 ．
10．（2分）用换元法解方程+7＝0时，可设y＝，那么原方程可化为关于y的整式方程是 ．
11．（2分）一个不透明的布袋里装有3个红球，2个白球，1个黑球，它们除颜色外其余相同．从袋中任意摸出1个球，恰好是白球的概率为 ．
12．（2分）已知△ABC的周长为16，点D，E，F分别为△ABC三条边的中点，则△DEF的周长为 ．
13．（2分）若一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形是 边形．
14．（2分）直线y＝2x+3沿y轴向上平移3个单位得到的直线表达式是 ．
15．（2分）如果一次函数y＝kx+1（k是常数，k≠0）的图象过点（﹣1，0），那么y的值随x的增大而 （填“增大”或“减小”）．
16．（2分）一次函数y＝kx+b（k，b为常数）的图象如图所示，那么关于x的一元一次不等式kx+b≥0的解集是 ．
17．（2分）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，点A（1，0）、B（0，2）、C（3，3），那么点D的坐标为 ．
18．（2分）如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝无重叠的四边形EFGH（EH＜HG），若AB＝6，AD＝10，则边EH的长是 ．
三、简答题：（本大题共4题，每题6分，满分24分）
19．（6分）解方程：
20．（6分）解方程组：．
21．（6分）如图，点E是菱形ABCD边AD的延长线上一点，DE＝AD，设＝，＝．
（1）试用向量，表示下列向量：＝ ；（直接写出结论）
（2）如果∠B＝120°，||＝1，那么||＝ ；（直接写出结论）
（3）在图上求作：+．（保留作图痕迹，不要求写作法，写出结论．）
22．（6分）今年初，很多商场由于受新型冠状病毒肺炎疫情的影响，产品销售情况不如人意．有甲、乙两家商场利用网络平台进行销售．其中甲商场所有商品按9折出售，乙商场对一次购物中超过200元后的金额打k折（k为1到9之间的整数）．设顾客所购商品原来金额为x元，在甲、乙两家商场实际支付金额分别为y1元和y2元．
（1）顾客在乙商场购物时，y2与x之间函数图象如图所示（图中线段OA和射线AB），求当x＞200时，y2与x之间函数解析式；
（2）当x＝500时，甲、乙两个商场中，去哪商场购物更省钱？
四、解答题（本大题共2题，每题8分，满分16分）
23．（8分）如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是两腰的中点，联结AF，过点F作FG∥AB，交BC于点G，联结EG．
（1）求证：四边形AEGF是平行四边形；
（2）当∠GFC＝2∠EGB时，求证：四边形AEGF是矩形．
24．（8分）甲乙两人各加工300个零件，甲比乙少用1小时完成任务；乙改进操作方法，使生产效率提高了一倍，结果乙完成300个零件所用的时间比甲完成250个零件所用的时间少小时．问甲乙两人原来每小时各加工多少个零件．
五、解答题（本大题共2题，第25题8分第26题10分，满分18分）
25．（8分）在一次数学研究性学习中，小明将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝6cm，AC＝DF＝9cm，并进行如下研究活动：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，联结AE，BD（如图2）．
（1）求证：图2中的四边形ABDE是平行四边形；
（2）当纸片DEF平移到某一位置时，小明发现四边形ABDE为矩形（如图3）．求此时AF的长；
（3）在纸片DEF平移的过程中，四边形ABDE能成为菱形吗？如果可以，直接写出AF的长，如果不可以，说明理由．
26．（10分）如图，已知点E、F分别是正方形ABCD边CD以及边CB延长线上的点（与正方形顶点不重合），满足DE＝BF．联结EF，交对角线BD于点M．
（1）联结AE，AF求证：AE⊥AF；
（2）求证：ME＝MF；
（3）如果正方形边长为1，设BF＝x，△BFM的面积为y，求y关于x的函数关系式．
2020-2021学年上海市松江区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）
1．直线y＝2x﹣3在y轴上的截距是（ ）
A．﹣3 B．2 C．3 D．
【分析】代入x＝0求出y值，此题得解．
【解答】解：当x＝0时，y＝2×0﹣3＝﹣3，
∴直线y＝2x﹣3在y轴上的截距是﹣3．
故选：A．
2．下列方程中，有实数解的是（ ）
A．x2+1＝0 B．x+＝1
C．＝﹣x D．＝0
【分析】根据一元二次方程、分式方程、无理方程的解法，分别解方程即可得答案．
【解答】解：A、由x2+1＝0，得x2＝﹣1，
∵x2≥0，
∴原方程无实数根，
故A选项不符合题意；
B、由x+＝1得x2﹣x+1＝0，
而x2﹣x+1＝0的判别式Δ＝﹣3＜0，
∴原方程无实数根，
故B选项不符合题意；
C、由＝﹣x得x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝3或x＝﹣1，
经检验，x＝﹣1是原方程的根，
故C符合题意；
D、由＝0得x＝﹣2，
经检验：x＝﹣2是原方程增根，
∴原方程无实数根，
故D不符合题意，
故选：C．
3．下列事件中，确定事件是（ ）
A．掷一枚均匀的硬币，正面朝上
B．地球总是绕着太阳转
C．买一注彩票，中奖了
D．小明上学经过红绿灯路口时遇到红灯
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：A、掷一枚均匀的硬币，正面朝上是随机事件，不符合题意；
B、地球总是绕着太阳转，属于确定事件，符合题意；
C、买一注彩票，中奖了是随机事件，不符合题意；
D、小明上学经过红绿灯路口时遇到红灯是随机事件，不符合题意；
故选：B．
4．下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线互相垂直 D．对角线相等
【分析】菱形的性质有四边相等，对角相等，对角线平分、垂直且平分每组对角；矩形的性质有对边相等，四角相等，对角线平分且相等．
【解答】解：选项A，菱形和矩形都是平行四边形，对边都相等，不符合题意；
选项B，菱形和矩形都是特殊的平行四边形，对角都相等，不符合题意；
选项C，菱形的对角线互相平分且互相垂直，而矩形的对角线相等且互相平分但不垂直，符合题意；
选项D，矩形的对角线相等，而菱形的对角线不相等，不符合题意．
故选：C．
5．下列等式一定正确的是（ ）
A．+＝+ B．﹣＝
C．++＝ D．++＝
【分析】根据相等向量、平行向量以及三角形法则解答．
【解答】解：A、+＝﹣﹣，故不符合题意．
B、﹣＝，故不符合题意．
C、++＝﹣，故不符合题意．
D、++＝，故符合题意．
故选：D．
6．下列命题中，真命题是（ ）
A．四个内角为60°、120°、60°和120°的四边形是一定是平行四边形
B．一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形
C．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
D．一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形
【分析】根据平行四边形的判定定理对每个选项进项判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、四个内角为60°、120°、60°和120°的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，错误，是假命题，不符合题意；
B、两条对角线互相平分的四边形才是平行四边形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、一组对边相等，另一组对边平行的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形，正确，是真命题，符合题意；
故选：D．
二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．（2分）方程3＝的解是 11 ．
【分析】将方程两边平方，化为一元一次方程即可得答案．
【解答】解：两边平方得：x﹣2＝9，
∴x＝11，
把x＝11代入原方程：左边＝3，
右边＝＝3，
∴左边＝右边，
∴x＝11是原方程的解，
故答案为：11．
8．（2分）方程x3+9＝0的解是 x＝﹣3 ．
【分析】根据立方根的含义和求法，求出方程x3+9＝0的解是多少即可．
【解答】解：∵x3+9＝0，
∴x3＝﹣27，
解得x＝﹣3．
故答案为：x＝﹣3．
9．（2分）关于x的方程（mx）2+x2＝1的解是 x＝或x＝﹣ ．
【分析】去括号，合并同类项，然后利用直接开平方法求出方程的解即可．
【解答】解：（mx）2+x2＝1
m2x2+x2＝1，
（m2+1）x2＝1，
∴x＝±；
故答案为x＝或x＝﹣．
10．（2分）用换元法解方程+7＝0时，可设y＝，那么原方程可化为关于y的整式方程是 2y2+7y﹣1＝0 ．
【分析】根据题意，用含y的式子表示出方程并整理方程即可．
【解答】解：设y＝，则，
∴原方程可变行为：2y﹣+7＝0，
去分母，得：2y2+7y﹣1＝0，
故答案为：2y2+7y﹣1＝0．
11．（2分）一个不透明的布袋里装有3个红球，2个白球，1个黑球，它们除颜色外其余相同．从袋中任意摸出1个球，恰好是白球的概率为 ．
【分析】用白球的个数除以球的总个数即为所求的概率．
【解答】解：因为一共3+2+1＝6（个）球，其中2个白球，所以从袋中任意摸出1个球，恰好是白球的概率＝＝．
故答案为：．
12．（2分）已知△ABC的周长为16，点D，E，F分别为△ABC三条边的中点，则△DEF的周长为 8 ．
【分析】根据三角形中位线定理得到EF＝AB，DE＝AC，DF＝BC，根据三角形周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵点D，E，F分别为△ABC三边的中点，
∴EF＝AB，DE＝AC，DF＝BC，
∵△ABC的周长为16，
∴AB+AC+BC＝16，
∴△DEF的周长＝EF+DE+DF＝（AB+AC+BC）＝8，
故答案为：8．
13．（2分）若一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形是 六 边形．
【分析】根据内角和定理180°•（n﹣2）即可求得．
【解答】解：180°•（n﹣2）＝720，
解得n＝6．
故答案为：六．
14．（2分）直线y＝2x+3沿y轴向上平移3个单位得到的直线表达式是 y＝2x+6 ．
【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：直线y＝2x+3沿y轴向上平移3个单位得到的直线表达式是：y＝2x+3+3，即y＝2x+6．
故答案是：y＝2x+6．
15．（2分）如果一次函数y＝kx+1（k是常数，k≠0）的图象过点（﹣1，0），那么y的值随x的增大而 增大 （填“增大”或“减小”）．
【分析】根据点的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征可求出k值，再利用一次函数的性质即可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+1（k是常数，k≠0）的图象经过点（﹣1，0），
∴0＝﹣k+1，
∴k＝1，
∴y的值随x的增大而增大．
故答案为：增大．
16．（2分）一次函数y＝kx+b（k，b为常数）的图象如图所示，那么关于x的一元一次不等式kx+b≥0的解集是 x≤3 ．
【分析】结合函数图象，写出直线不在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：当x≤3时，y≥0，
所以关于x的一元一次不等式kx+b≥0的解集是x≤3．
故答案为x≤3．
17．（2分）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，点A（1，0）、B（0，2）、C（3，3），那么点D的坐标为 （4，1） ．
【分析】由平行四边形的性质可得：BC＝AD，BC||AD．通过点的坐标得到：点B先向右平移3个单位长度再向上平移1个单位长度得到点C，所以点A先向右平移3个单位长度再向上平移1个单位长度得到点D，根据平移法则即可得解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，BC||AD，
∵点B（0，2）、C（3，3），
∴点B先向右平移3个单位长度再向上平移1个单位长度得到点C，
∴点A先向右平移3个单位长度再向上平移1个单位长度得到点D，
∵点A坐标为（1，0），
∴点D坐标为（4，1）．
故答案为：（4，1）．
18．（2分）如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝无重叠的四边形EFGH（EH＜HG），若AB＝6，AD＝10，则边EH的长是 ．
【分析】先根据翻折，证明四边形EFGH为矩形，AE＝EB＝DG＝GC＝3，再利用正方形的性质证明Rt△BEF≌Rt△DGH，得出HF＝AD，然后设AH＝x，利用勾股定理得出EH²+BF²＝HF²，列出关于x的方程，求出x即可．
【解答】解：∵∠HEM＝∠AEH，∠BEF＝∠FEM，
∴∠HEF＝∠HEM+∠FEM＝×180°＝90°，
同理可得：∠EHG＝∠HGF＝∠EFG＝90°，
∴四边形EFGH为矩形，
∵四边形EFGH是矩形ABCD的四个角向内折起得到的，
∴EA＝EM，EB＝EM，AH＝MH，
∴EA＝EB＝AB＝×6＝3，
同理：GC＝GD＝3，
在Rt△BEF和△RtDGH中，
，
∴Rt△BEF≌Rt△DGH（HL），
∴BF＝DH，
∵FM＝BF，
∴FM＝DH，
∴HF＝HM+FM＝AH+DH＝AD＝10，
设AH＝x，则BF＝DH＝10﹣x，
∴HE²＝AH²+AE²＝x²+3²，
EF²＝BE²+BF²＝3²+（10﹣x）²，
∵EH²+BF²＝HF²，
∴x²+3²+3²+（10﹣x）²＝10²，
解得：x＝1或x＝9，
∴AH＝1，
∴EH＝＝，
故答案为：．
三、简答题：（本大题共4题，每题6分，满分24分）
19．（6分）解方程：
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x+x﹣1＝x2+2x﹣3，
整理得：x2﹣x﹣2＝0，即（x﹣2）（x+1）＝0，
解得：x＝2或x＝﹣1，
经检验x＝2与x＝﹣1都为分式方程的解．
20．（6分）解方程组：．
【分析】由①得y＝7﹣x，将y＝7﹣x代入②转化为一元二次方程．用一元二次方程的知识，解出方程的根即可．
【解答】解：，
由①得：y＝7﹣x③，
将③代入②得：x²+（7﹣x）²＝25，
整理得：x²﹣7x+12＝0，
解得：x1＝3，x2＝4
将上述x代入①得：y1＝4，y2＝3，
∴该方程组的解为，．
21．（6分）如图，点E是菱形ABCD边AD的延长线上一点，DE＝AD，设＝，＝．
（1）试用向量，表示下列向量：＝ ﹣+ ；（直接写出结论）
（2）如果∠B＝120°，||＝1，那么||＝ ；（直接写出结论）
（3）在图上求作：+．（保留作图痕迹，不要求写作法，写出结论．）
【分析】（1）利用菱形的性质以及三角形法则求解即可．
（2）连接AC交BD于点O．解直角三角形求出AC，可得结论．
（3）如图，延长CD到T，使得DT＝CD，则AT∥EC，AT＝EC，利用三角形法则作出图形即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝AD，BC∥AD，AB＝CD，AB∥CD
∵AD＝DE，
∴BC＝DE，
∴＝+＝﹣+，
故答案为：﹣+．
（2）连接AC交BD于点O．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，∠ABD＝∠CBD＝60°，
∵||＝1，
∴AB＝1，
∴OA＝AB•sin60°＝，
∴AC＝2OA＝，
∴||＝，
故答案为：．
（3）如图，延长CD到T，使得DT＝CD，连接ET，则四边形ATEC是平行四边形，AT＝EC，AT∥EC，
∴+＝+＝，
∴即为所求．
22．（6分）今年初，很多商场由于受新型冠状病毒肺炎疫情的影响，产品销售情况不如人意．有甲、乙两家商场利用网络平台进行销售．其中甲商场所有商品按9折出售，乙商场对一次购物中超过200元后的金额打k折（k为1到9之间的整数）．设顾客所购商品原来金额为x元，在甲、乙两家商场实际支付金额分别为y1元和y2元．
（1）顾客在乙商场购物时，y2与x之间函数图象如图所示（图中线段OA和射线AB），求当x＞200时，y2与x之间函数解析式；
（2）当x＝500时，甲、乙两个商场中，去哪商场购物更省钱？
【分析】（1）根据y2与x之间函数图象利用待定系数法即可求解；
（2）根据甲商场所有商品按9折出售，（1）求得的当x＞200时，y2与x之间函数解析式分别求出甲、乙两家商场实际支付金额，比较即可解答．
【解答】解：（1）设当x＞200时，y2与x之间函数解析式为y2＝kx+b，
由图象得，，
解得：，
∴当x＞200时，y2与x之间函数解析式为y2＝0.8x+40（x＞200）；
（2）当x＝500时，
甲商场实际支付金额为y1＝500×0.9＝450（元），
乙商场实际支付金额为y2＝0.8×500+40＝440（元），
所以当x＝500时，去乙商场购物更省钱．
四、解答题（本大题共2题，每题8分，满分16分）
23．（8分）如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是两腰的中点，联结AF，过点F作FG∥AB，交BC于点G，联结EG．
（1）求证：四边形AEGF是平行四边形；
（2）当∠GFC＝2∠EGB时，求证：四边形AEGF是矩形．
【分析】（1）根据等腰梯形的性质得到∠B＝∠C，根据平行线的性质得到∠FGC＝∠B，得到∠FGC＝∠C，推出AE＝FG，于是得到四边形AEGF是平行四边形；
（2）连接DG，根据直角三角形的判定得到∠DGC＝90°，∠FDG＝∠FGD，由三角形的外角的性质得到∠CFG＝2∠DGF，等量代换得到∠DGF＝∠BGE，求得∠EGF＝90°，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，
∴∠B＝∠C，
∵AB∥FG，
∴∠FGC＝∠B，
∴∠FGC＝∠C，
∴FG＝FC，
∵AB＝CD，E、F分别是腰AB、CD的中点，
∴AE＝CF，
∴AE＝FG，
∴四边形AEGF是平行四边形；
（2）证明：连接DG，
∵FG＝DF＝CF，
∴∠DGC＝90°，∠FDG＝∠FGD，
∵∠CFG＝∠FDG+∠DGF，
∴∠CFG＝2∠DGF，
∵∠GFC＝2∠EGB，
∴∠DGF＝∠BGE，
∵∠DGF+∠FGC＝90°，
∴∠FGC+∠BGE＝90°，
∴∠EGF＝90°，
∴四边形AEGF是矩形．
24．（8分）甲乙两人各加工300个零件，甲比乙少用1小时完成任务；乙改进操作方法，使生产效率提高了一倍，结果乙完成300个零件所用的时间比甲完成250个零件所用的时间少小时．问甲乙两人原来每小时各加工多少个零件．
【分析】设乙原来每小时加工x个零件，则改进操作方法后乙每小时加工2x个零件，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合乙完成300个零件所用的时间比甲完成250个零件所用的时间少小时，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出x的值，再利用甲的工作效率＝300÷（乙加工300个零件所需时间﹣1），即可求出甲的工作效率．
【解答】解：设乙原来每小时加工x个零件，则改进操作方法后乙每小时加工2x个零件，
依题意得：×（﹣1）﹣＝，
解得：x＝75，
经检验，x＝75是原方程的解，且符合题意，
∴300÷（﹣1）＝100（个）．
答：甲每小时加工100个零件，乙原来每小时加工75个零件．
五、解答题（本大题共2题，第25题8分第26题10分，满分18分）
25．（8分）在一次数学研究性学习中，小明将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝6cm，AC＝DF＝9cm，并进行如下研究活动：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，联结AE，BD（如图2）．
（1）求证：图2中的四边形ABDE是平行四边形；
（2）当纸片DEF平移到某一位置时，小明发现四边形ABDE为矩形（如图3）．求此时AF的长；
（3）在纸片DEF平移的过程中，四边形ABDE能成为菱形吗？如果可以，直接写出AF的长，如果不可以，说明理由．
【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得结论；
（2）设AF＝DC＝xcm，则AD＝AC+CD＝（9+x）cm，由四边形ABDE为矩形，可得AE2+ED2＝AD2，建立方程求解即可；
（3）设AF＝DC＝xcm，根据AE＝DE，建立方程求解即可．
【解答】解：（1）∵两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，
∴ED＝AB，∠EDF＝∠BAC，
∴ED∥AB，
∴四边形ABDE是平行四边形；
（2）∵将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，
∴AF＝DC，
∵BC＝EF＝6cm，AC＝DF＝9cm，
∴设AF＝DC＝xcm，则AD＝AC+CD＝（9+x）cm，
∵∠DFE＝90°＝∠AFE，
∴AE2＝AF2+EF2＝x2+62，ED2＝DF2+EF2＝92+62，
∵四边形ABDE为矩形，
∴∠AED＝90°，
∴AE2+ED2＝AD2，
即x2+62+92+62＝（9+x）2，
解得：x＝4，
即AF＝4cm；
（3）纸片DEF平移的过程中，四边形ABDE能成为菱形．
∵四边形ABDE能成为菱形，
∴AE＝DE，
∴AE2＝DE2，
设AF＝DC＝xcm，
∵∠DFE＝∠AFE＝90°，
∴AE2＝AF2+EF2＝x2+62，ED2＝DF2+EF2＝92+62，
∴x2+62＝92+62，
解得：x＝9或x＝﹣9（舍去），
即AF＝9cm，
∴当AF＝9cm时，四边形ABDE能成为菱形．
26．（10分）如图，已知点E、F分别是正方形ABCD边CD以及边CB延长线上的点（与正方形顶点不重合），满足DE＝BF．联结EF，交对角线BD于点M．
（1）联结AE，AF求证：AE⊥AF；
（2）求证：ME＝MF；
（3）如果正方形边长为1，设BF＝x，△BFM的面积为y，求y关于x的函数关系式．
【分析】（1）根据正方形性质可得∠ABF＝90°＝∠ADE，AD＝AB，进而证明△ABF≌△ADE（SAS），即可证得结论；
（2）过点E作EN∥CF交BD于点N，证明△MEN≌△MFB（AAS），即可证得结论；
（3）过点M作MP⊥CF于点P，连结MC，由BF＝DE＝x，可得出CE＝DC﹣DE＝1﹣x，MP＝CE＝（1﹣x），利用三角形面积公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADE＝∠BAD＝∠ABC＝90°，AD＝AB，
∴∠ABF＝90°＝∠ADE，
在△ABF和△ADE中，
，
∴△ABF≌△ADE（SAS），
∴∠BAF＝∠DAE，
又∵∠BAE+∠DAE＝∠BAD＝90°，
∴∠BAE+∠BAF＝∠EAF＝90°，
∴AE⊥AF；
（2）如图1，过点E作EN∥CF交BD于点N，
∴∠NEF＝∠BFE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠ADC＝90°，∠NDE＝45°，
∴EN∥AD，
∴∠DEN＝90°，
∴∠DNE＝45°，
∴∠NDE＝∠DNE＝45°，
∴NE＝DE＝BF，
在△MEN和△MFB中，
∵，
∴△MEN≌△MFB（AAS），
∴ME＝MF；
（3）如图2，过点M作MP⊥CF于点P，连结MC，
∵四边形ABCD是正方形且边长为1，
∴∠DCB＝90°，BC＝DC＝1，
又∵ME＝MF＝EF，
∴MC＝EF＝ME＝MF，
又∵MP⊥CF，
∴PF＝PC，
又∵ME＝MF，
∴MP＝CE，
∵BF＝DE＝x，
∴CE＝DC﹣DE＝1﹣x，
∴MP＝CE＝（1﹣x），
∵△BFM的面积为y，
∴y＝BF•MP＝x•（1﹣x）＝+x，
∴y关于x的函数关系式为+x．
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