高中人教B版 (2019)1.2.4 二面角随堂练习题

1.2.4 二面角(2)-B提高练

一、选择题

1．（2020浙江高二期中）在侧棱垂直底面的四棱柱中，P是棱上的动点.记直线与平面所成的角为，与直线所成的角为，二面角为，则，，的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】如图所示：过作交于，易知与直线所成的角，

；垂直底面，故与平面所成的角为，；

，，故；根据图像知：二面角为，故.故选：.

2.．（2020·山西师大附中高二期中（理））如图，在中，，分别为，边上的中点，且，.现将沿折起，使得到达的位置，且二面角为，则（    ）

A． B．3 C． D．

【答案】A

【解析】分别为中点        ，

又平面，    平面

二面角的平面角为   

        平面，又平面    ，故选：

3.（2020河北正定高中高二月考（理））已知二面角为为垂足，,则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A．                     B．          C．            D．

【答案】B

【解析】如图所示，过点作，使，垂足为，过点作，过点作，连接，因为，所以，因为，又，所以，所以，在中，设，则，在中，则，在中，则，所以异面直线与所成的角，即是,所以，故选B．

4.（2020浙江丽水中学高二月考）如图，已知，是的中点，沿直线将折成，所成二面角的平面角为，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设，设，则由题意，在空间图形中，设，

在中，，在空间图形中，过作，过作，垂足分别为，，过作，连结，∴，

则就是二面角的平面角，∴，在中，，，同理，，，故，显然面，故，在中，，在中，

，

∵，，∴（当时取等号），

∵，，而在上为递减函数，∴，故选B.

5.（多选题）（2020·全国高二课时练）将直角三角形沿斜边上的高折成的二面角，已知直角边，那么下列说法正确的是（  ）．

A.平面平面                     B.四面体的体积是

C.二面角的正切值是          D.与平面所成角的正弦值是

【答案】CD

【解析】画出图像如下图所示，由图可知A的判断显然错误.由于，故是二面角的平面角且平面，故.过作交的延长线于，由于，故是三棱锥的高.在原图中，，,,,，所以，故B错误.

以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系.,，设平面的法向量为，则，令，则,即.

平面的法向量是.设二面角的平面角为，由图可知为锐角，故，则其正切值为.故C判断正确.平面的法向量为，，设直线和平面所成的角为，则，故D判断正确.综上所述，正确的有CD.

6．（多选题）（2020福建三明一中高二期末）1．（2019·湖南高三开学考试（理））已知是由具有公共直角边的两块直角三角板（与）组成的三角形，如左下图所示.其中，.现将沿斜边进行翻折成（不在平面上）.若分别为和的中点，则在翻折过程中，下列命题不正确的是（ ）

A．在线段上存在一定点，使得的长度是定值

B．点在某个球面上运动

C．存在某个位置，使得直线与所成角为

D．对于任意位置，二面角始终大于二面角

【答案】ABC

【解析】不妨设，取中点，易知落在线段 上，且,

所以点到点的距离始终为，即点在以点为球心，半径为的球面上运动，

因此A、B选项不正确；

对于C选项，作可以看成以为轴线，以为平面角的圆锥的母线，易知与落在同一个轴截面上时，    取得最大值，则的最大值为，此时落在平面上，所以，即与所成的角始终小于，所以C选项不正确；

对于D选项，易知二面角为直二面角时，二面角始终大于二面角，当二面角为锐二面角时，如图所示作平面与点，然后作分别交于，则二面角的平面角为，二面角的平面角为，且，又因为，所以，所以二面角始终大于二面角，故选ABC.

二、填空题

7.（2020·江苏东海高二期中）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑中，平面，，且，则二面角的大小是         .

【答案】

【解析】如图建立空间直角坐标系，因为，所以，，，，，

显然面的一个法向量可以为，设面的法向量为

则，即，令则，，所以

设二面角为，则，所以

8.．（2020山西临汾高二月考（理））在正三角形中，过其中心作边的平行线，分别交，与，，将沿折起到的位置，使点在平面上的射影恰是线段的中点,则二面角的平面角的大小是         .

【答案】

【解析】连接A1G，MG，∵G是正三角形ABC的中心，B1C1∥BC，∴B1C1⊥A1G，GM⊥B1C1，

∴∠A1GM为二面角A1﹣B1C1﹣M的平面角，∵G是正三角形ABC的中心，∴A1G=2GM，

又A1M⊥平面BB1C1C，∴cos∠A1GM==，∴∠A1GM=．

9．（2020山东菏泽三中高二月考）如图，已知直四棱柱的底面为边长为1的正方形，，为棱上一动点，若二面角的平面角，则线段的长度的取值范围为          ．

【答案】

【解析】为棱上一动点根据题意设，底面为边长为1的正方形，.如图，连接，取的中点，的中点，连接，，

则，，故为二面角的平面角，

故，.连接，，在中，易知，，，

故，故，又，，故线段的长度的取值范围为.

10．（2020·浙江省兰溪市二中高二月考）如图，已知平面，，、是直线上的两点，、是平面内的两点，且，，，，．是平面上的一动点，且直线，与平面所成角相等，则二面角的余弦值的最小值是       .

【答案】

【解析】，，，，同理

为直线与平面所成的角，为直线与平面所成的角

，又

，,在平面内，以为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系,则，设,，整理可得：,在内的轨迹为为圆心，以为半径的上半圆

平面平面，，,为二面角的平面角，

当与圆相切时，最大，取得最小值,此时,.

三、解答题

11．（2018·全国高考真题（理））如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．

（1）证明：平面平面；

（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．

【解析】（1）由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.

因为M为上异于C，D的点,且DC为直径，所以 DM⊥CM.

又 BCCM=C,所以DM⊥平面BMC.

而DM平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.

（2）以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz.

当三棱锥M−ABC体积最大时，M为的中点.

由题设得，

设是平面MAB的法向量,则

即

可取.

是平面MCD的法向量,因此

，

，

所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是

12．（2015·湖北高考真题（理））《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．

如图，在阳马中，侧棱 底面，且 ，过棱的中点 ，作交 于点，连接

（Ⅰ）证明：．试判断四面体 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；

（Ⅱ）若面与面 所成二面角的大小为，求的值．

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．

【解析】解法1:

（Ⅰ）因为底面 ，所以，

由底面为长方形，有 ，而，

所以．而，所以 ．

又因为，点 是的中点，所以 ．

而，所以 平面．而 ，所以．

又， ，所以平面 ．

由平面 ，平面 ，可知四面体的四个面都是直角三角形，

即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为 ．

（Ⅱ）如图1，在面内，延长 与交于点 ，则是平面 与平面

的交线．由（Ⅰ）知，，所以．

又因为底面 ，所以．而 ，所以．

故是面 与面所成二面角的平面角，

设， ，有，在Rt△PDB中, 由, 得,

则 , 解得．

所以故当面与面 所成二面角的大小为时，．

（解法2）

（Ⅰ）如图2，以为原点，射线 分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系．

设， ，则， ，点是 的中点，所以， ，于是，即 ．

又已知，而 ，所以．

因, , 则, 所以．

由平面 ，平面 ，可知四面体的四个面都是直角三角形，

即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为 ．

（Ⅱ）由，所以是平面 的一个法向量；

由（Ⅰ）知，，所以是平面 的一个法向量．

若面与面 所成二面角的大小为，

则，

解得．所以

故当面与面 所成二面角的大小为时，．