高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用教案设计

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请同学们观察图片，说出旗杆与地面、大桥桥柱与水面是什么位置关系？你能举出一些类似的例子吗？

学生思考问题，引出本节新课内容。

利用生活实际引出本节新课内容。

讲授新课

1.观察（1）如图，在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面影子BC,旗杆所在直线与影子所在直线的位置关系是什么？

（2）随着时间的变化，影子BC的位置在不断的变化，旗杆所在直线AB与其影子B’C’所在直线是否保持垂直？

经观察我们知道AB与BC永远垂直，也就是AB垂直于地面上所有过点B的直线。而不过点B的直线在地面内总是能找到过点B的直线与之平行。因此AB与地面上所有直线均垂直。

一般地，如果一条直线与一个平面α内所有直线均垂直，我们就说l垂直α，记作l⊥α。

2.定义：

①文字叙述：如果直线l与平面α内的所有         直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做交点．

②图形语言：如图．

画直线l与平面α垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．

③符号语言：任意a⊂α，都有l⊥a⇒l⊥α.

3.思考：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？

答：有一条。经实际观察我们发现，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条。

过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离。

4.探究线面垂直判定

准备一块三角形的纸片ABC,过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD,DC与桌面接触）

（1）折痕AD与桌面垂直吗？

（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直？

容易发现AD与桌面垂直的充要条件是折痕AD是BC边上的高，这时，由于翻折之后垂直关系不变，所以直线AD与平面α内的两条相交直线BD、DC都垂直。

5.判定定理：

①自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．

②图形语言：如图所示. 

③符号语言：                                  l⊥a,l⊥b,且a∩b=P⇒l⊥α.

6. 例一：如图，直角三角形ABC所在平面外有一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．

(1)求证：SD⊥平面ABC；

(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.

证明（1）如图，取AB中点E,连接SE,DE，在Rt△ABC中，D,E

分别为AC,AB的中点，∴DE//BC且DE⊥AB,∵SA=SB∴△SAB为等腰三角形

∴SE⊥AB又SE∩DE=E,∴AB⊥平面SDE∵SD在平面SDE内

∴AB⊥SD,在△SAC中∵SA=SC，D为AC中点∴SD⊥AC

∵SD⊥AC，SD⊥AB,AC∩AB=A∴SD⊥平面ABC

（2）∵AB=BC,∵AB=BC,D为斜边AC中点∴BD⊥AC,由（1）可知SD⊥平面ABC,而BD在平面ABC内，∴SD⊥BD∵SD⊥BD、BD⊥AC,SD∩AC=D∴BD⊥平面SAC

7.练习一

如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥PC,AD//BC，AD⊥CD，且PC=BC=2AD=2CD= ,PA=2

证明：PA⊥平面ABCD

8.思考：两条相交直线可以确定一个平面，那么定理中的“两条相交直线”可以改为“两条平行直线”吗？如果改为无数条呢？

答：两种说法均不对，第一种反例如图,而图中平面内有无数条直线与a平行，且这些直线均与l垂直，但l在平面α内，l不垂直于α。

9.例二  

求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面

已知：如图，a//b，a⊥α，求证b⊥α

证明：如图，在平面α内取两条相交直线m，n.

∵直线 a⊥α

∴a⊥m,a⊥n

∵b//a

∴b⊥m,b⊥n

又m,n均在平面α内且相交

∴b⊥α

10.线面夹角

如图，一条直线与一个平面α，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足，过斜线上斜足外一点P向平面α引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角（0°≤θ≤90°）

11.练习二：

斜线和平面所成角范围？

直线和平面所成角的的范围是多少？

12.例三

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1DCB1所成角

解：如图连接BC1,B1C, BC1与B1C相交于点O,连接A1O.设正方体棱长为a.

∵A1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B,B1C1∩B1B=B1,

∴A1B1⊥平面BCC1B1.∴A1B1⊥ BC1

又BC1⊥B1C,∴ BC1⊥平面A1DCB1∴A1O为斜线A1B在平面A1DCB1上的射影，∠BA1O为A1B和平面A1DCB1所成的角

在Rt△A1BO中，A1B= ,BO=        ,

∴BO=1/2A1B∴∠BA1O=30°

∴直线A1B和平面A1DCB1所成角为30°

13.练习三

在三棱锥P-ABC中，PB=BC,PA=AC=3,PC=2,若经过AB的平面α将棱锥P-ABC分为体积相等的两部分，则棱PA与平面α所成角的正弦值为________

求直线和平面所成角的步骤

(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；

(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；

(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．

14.探究线面垂直性质

（1）在长方体ABCD-A’B’C’D’中，棱AA’，BB’,CC’，DD’所在直线都垂直于平面ABCD,它们之间具有怎样的位置关系？

（2）如图，已知直线a,b和平面α，如果a⊥α，b⊥α，那么直线a,b一定平行吗？

解（1）平行（2）一定平行证明如下，设b与a不平行，且b∩α=O.显然点O不在直线a上，所以点O与直线a可以确定一个平面，在该平面内过点O作直线b’//a，则直线b与b’是相交于点o的两条不同直线，所以直线b与b’可确定平面β，设α∩β=c,则O∈c,∵a⊥α，b⊥α，所以a⊥c,b⊥c.又因为b’//a，所以b’//c.这样在平面β内，经过直线c上同一点O就有两条直线b，b’与c垂直，显然不可能，因此b//a.

15.如图所示，正方体A1B1C1D1­ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1.

证明：如图所示，连接AB1,B1C,BD，B1D1.∵DD1⊥平面ABCD,AC在平面ABCD内，∴DD1⊥AC又∵AC⊥BD且BD∩DD1=D,∴AC⊥平面BDD1B1∵BD1⊥AC同理可证BD1⊥B1C1，∴BD1⊥平面AB1C,∵EF⊥A1D,A1D//B1C,∴EF⊥B1C又∵EF⊥AC且AC∩B1C=C,∴EF⊥平面AB1C,∴EF//BD1

16. 例四 如图，直线l平行于α，求证：直线l上各点到平面α的距离相等

证明：过直线l上任意两点A,B分别作平面α的垂线AA1,BB1,垂足分别是A1,B1

∵AA1⊥α，BB1⊥α

∴AA1//BB1

设直线AA1,BB1确定的平面为β，α∩β=A1B1

∵l//α∴l//A1B1

所以四边形AA1BB1是矩形

∴AA1=BB1

由A,B是直线l上任取的两点，可知直线l上各点到平面α距离相等。

一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离。由例三我们可以进一步得到，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面的距离。

17.练习三

已知菱形ABCD中，AB=2,∠A=120°，沿对角线BD将△ABD折起，使二面角A-BD-C为120°，则点A到△BCD所在平面的距离为多少？

例五

推导棱台的体积公式

18.练习

一、已知l，m，n是三条不同直线，α、β是两个不同平面，下列命题正确的是（     ）

A 若l⊥m，l⊥n，则m//n

B 若m在α内，n在β内，α//β，则m//n

C 若m在α内， n也在α内，m∩n=A，l⊥m,l⊥n,则l⊥α

D 平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α//β

二、求证：与三角形的两条边同时垂直的直线必与第三条边垂直。

三、如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，中，点E是棱DD1的中点，点F在棱BB1上，且满足B1F=2BF

求证：EF⊥A1C1

根据实例观察空间中的线面垂直

给出线面垂直定义的三种形式

学生独立思考例一

小组讨论练习一并给出答案

学生独立完成例二

小组讨论例三

学生独立思考练习三

学生小组探究线面垂直性质

学生独立完成练习

通过具体立体图形体会线面垂直

培养学生的数形结合思想

段炼学生解决问题能力

段炼学生独立解决问题能力

加深对知识的掌握

段炼学生团队协作能力

段炼学生对于新知识的掌握

段炼其数学建模思想

段炼学生独立解决问题能力

课堂小结

1 线面垂直判定

2 线面夹角

3 线面垂直性质

学生对本节内容进行总结。

学生对于新知建立系统结构。

板书

目标

1 线面垂直判定

2 线面夹角

3 线面垂直性质

精讲               习题                        

1 线面垂直判定

2 线面夹角

3 线面垂直性质