人教版 (五四制)八年级下册25.2 特殊的平行四边形练习题

18.2特殊的平行四边形

同步练习

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　）

A．对边相等              B．对角相等

C．对角线互相平分          D．对角线互相垂直

选D

2．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形OCED的周长为（　　）

A．4        B．8       C．10      D．12

解：∵四边形ABCD为矩形，

∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，

∴OA=OB=OC=OD=2，

∵CE∥BD，DE∥AC，

∴四边形DECO为平行四边形，

∵OD=OC，

∴四边形DECO为菱形，

∴OD=DE=EC=OC=2，

则四边形OCED的周长为2+2+2+2=8，

故选B

3．有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（　　）

A．1：       B．1：2         C．2：3      D．4：9

解：设大正方形的边长为x，根据图形可得：

∵=，

∴=，

∴=，

∴S1=S正方形ABCD，

∴S1=x2，

∵=，

∴=，

∴S2=S正方形ABCD，

∴S2=x2，

∴S1：S2=x2：x2=4：9；

故选D．

4．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（　　）

A．（3，1）    B．（3，）    C．（3，）    D．（3，2）

解：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小．

∵D（，0），A（3，0），

∴H（，0），

∴直线CH解析式为y=﹣x+4，

∴x=3时，y=，

∴点E坐标（3，）

故选：B．

5．如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（　　）

A．△AFD≌△DCE    B．AF=AD     C．AB=AF     D．BE=AD﹣DF

解：（A）由矩形ABCD，AF⊥DE可得∠C=∠AFD=90°，AD∥BC，

∴∠ADF=∠DEC．

又∵DE=AD，

∴△AFD≌△DCE（AAS），故（A）正确；

（B）∵∠ADF不一定等于30°，

∴直角三角形ADF中，AF不一定等于AD的一半，故（B）错误；

（C）由△AFD≌△DCE，可得AF=CD，

由矩形ABCD，可得AB=CD，

∴AB=AF，故（C）正确；

（D）由△AFD≌△DCE，可得CE=DF，

由矩形ABCD，可得BC=AD，

又∵BE=BC﹣EC，

∴BE=AD﹣DF，故（D）正确；

故选B．

6．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（　　）

A．3       B．4        C．5      D．6

解：设CH=x，则DH=EH=9﹣x，

∵BE：EC=2：1，BC=9，

∴CE=BC=3，

∴在Rt△ECH中，EH2=EC2+CH2，

即（9﹣x）2=32+x2，

解得：x=4，

即CH=4．

故选（B）．

7．下列语句正确的是（　　）

A．对角线互相垂直的四边形是菱形

B．有两边及一角对应相等的两个三角形全等

C．矩形的对角线相等

D．平行四边形是轴对称图形

解：∵对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，

∴选项A错误；

∵有两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等，

∴选项B错误；

∵矩形的对角线相等，

∴选项C正确；

∵平行四边形是中心对称图形，不一定是轴对称图形，

∴选项D错误；

故选：C．

8．如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（　　）

A．         B．2      C．+1        D．2+1

解：∵正方形ABCD的面积为1，

∴BC=CD==1，∠BCD=90°，

∵E、F分别是BC、CD的中点，

∴CE=BC=，CF=CD=，

∴CE=CF，

∴△CEF是等腰直角三角形，

∴EF=CE=，

∴正方形EFGH的周长=4EF=4×=2；

故选：B．

9．如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B的度数为何？（　　）

A．50       B．55     C．70       D．75

解：∵四边形CEFG是正方形，

∴∠CEF=90°，

∵∠CED=180°﹣∠AEF﹣∠CEF=180°﹣15°﹣90°=75°，

∴∠D=180°﹣∠CED﹣∠ECD=180°﹣75°﹣35°=70°，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴∠B=∠D=70°（平行四边形对角相等）．

故选C．

10．如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是（　　）

A．1或9     B．3或5     C．4或6      D．3或6

解：如图，

∵若直线AB将它分成面积相等的两部分，

∴（6+9+x）×9﹣x•（9﹣x）=×（62+92+x2）﹣6×3，

解得x=3，或x=6，

故选D．

二．填空题（共5小题）

11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=10，则菱形ABCD的面积为　30　．

解：∵在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=10，

∴菱形ABCD的面积为：AC•BD=30．

故答案为：30．

12．如图，在矩形ABCD中，AD=4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为　4或2　．

解：①如图，当AB=AD时

满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，

△P1BC，△P2BC是等腰直角三角形，△P3BC是等腰直角三角形（P3B=P3C），

则AB=AD=4．

②当AB＜AD，且满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个时，如图，

∵P2是AD的中点，

∴BP2==，

易证得BP1=BP2，

又∵BP1=BC，

∴=4

∴AB=2．

③当AB＞AD时，直线AD上只有一个点P满足△PBC是等腰三角形．

故答案为：4或2．

13．有一面积为5的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为　20和20　．

解：如图1中，当∠A=30°，AB=AC时，设AB=AC=a，

作BD⊥AC于D，∵∠A=30°，

∴BD=AB=a，

∴•a•a=5，

∴a2=20，

∴△ABC的腰长为边的正方形的面积为20．

如图2中，当∠ABC=30°，AB=AC时，作BD⊥CA交CA的延长线于D，设AB=AC=a，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C=30°，

∴∠BAC=120°，∠BAD=60°，

在RT△ABD中，∵∠D=90°，∠BAD=60°，

∴BD=a，

∴•a•a=5，

∴a2=20，

∴△ABC的腰长为边的正方形的面积为20．

故答案为20或20．

14．如图，正方形ABCD边长为3，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB延长线于点F，则EF的长为　6　．

解：∵四边形ABCD为正方形，且边长为3，

∴AC=3，

∵AE平分∠CAD，

∴∠CAE=∠DAE，

∵AD∥CE，

∴∠DAE=∠E，

∴∠CAE=∠E，

∴CE=CA=3，

∵FA⊥AE，

∴∠FAC+∠CAE=90°，∠F+∠E=90°，

∴∠FAC=∠F，

∴CF=AC=3，

∴EF=CF+CE=3=6，

故答案为：6．

15．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…、则正方形OB2015B2016C2016的顶点B2016的坐标是　（21008，0）　．

解：∵正方形OA1B1C1边长为1，

∴OB1=，

∵正方形OB1B2C2是正方形OA1B1C1的对角线OB1为边，

∴OB2=2，

∴B2点坐标为（0，2），

同理可知OB3=2，

∴B3点坐标为（﹣2，2），

同理可知OB4=4，B4点坐标为（﹣4，0），

B5点坐标为（﹣4，﹣4），B6点坐标为（0，﹣8），

B7（8，﹣8），B8（16，0）

B9（16，16），B10（0，32），

由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，

∵2016÷8=252

∴B2016的纵横坐标符号与点B8的相同，横坐标为正值，纵坐标是0，

∴B2016的坐标为（21008，0）．

故答案为：（21008，0）．

三．解答题（共5小题）

16．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AC，AB的中点，BF∥CE交DE的延长线于点F．

（1）求证：四边形ECBF是平行四边形；

（2）当∠A=30°时，求证：四边形ECBF是菱形．

证明：（1）∵D，E分别为边AC，AB的中点，

∴DE∥BC，即EF∥BC．

又∵BF∥CE，

∴四边形ECBF是平行四边形．

（2）∵∠ACB=90°，∠A=30°，E为AB的中点，

∴CB=AB，CE=AB．

∴CB=CE．

又由（1）知，四边形ECBF是平行四边形，

∴四边形ECBF是菱形．

17．如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点．

（1）求证：CP=AQ；

（2）若BP=1，PQ=2，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积．

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，

∴∠E=∠F，

∵BE=DF，

∴AE=CF，

在△CFP和△AEQ中，，

∴△CFP≌△AEQ（ASA），

∴CP=AQ；

（2）解：∵AD∥BC，

∴∠PBE=∠A=90°，

∵∠AEF=45°，

∴△BEP、△AEQ是等腰直角三角形，

∴BE=BP=1，AQ=AE，

∴PE=BP=，

∴EQ=PE+PQ=+2=3，

∴AQ=AE=3，

∴AB=AE﹣BE=2，

∵CP=AQ，AD=BC，

∴DQ=BP=1，

∴AD=AQ+DQ=3+1=4，

∴矩形ABCD的面积=AB•AD=2×4=8．

18．如图，点E正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，连接CE、CF．

（1）求证：△ABF≌△CBE；

（2）判断△CEF的形状，并说明理由．

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=CB，∠ABC=90°，

∵△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，

∴BE=BF，

∴∠ABC﹣∠CBF=∠EBF﹣∠CBF，

∴∠ABF=∠CBE．

在△ABF和△CBE中，有，

∴△ABF≌△CBE（SAS）．

（2）解：△CEF是直角三角形．理由如下：

∵△EBF是等腰直角三角形，

∴∠BFE=∠FEB=45°，

∴∠AFB=180°﹣∠BFE=135°，

又∵△ABF≌△CBE，

∴∠CEB=∠AFB=135°，

∴∠CEF=∠CEB﹣∠FEB=135°﹣45°=90°，

∴△CEF是直角三角形．

19．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，并且∠A=∠D．

（1）求证：四边形ABCD为矩形；

（2）点E是AB边的中点，F为AD边上一点，∠1=2∠2，若CE=4，CF=5，求DF的长．

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠A+∠D=180°，

又∠A=∠D，

∴∠A=∠D=90°，

∴平行四边形ABCD为矩形；

（2）解：延长DA，CE交于点G，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠DAB=∠B=90°，AD∥BC，

∴∠GAE=90°，∠G=∠ECB，

∵E是AB边的中点，

∴AE=BE，

在△AGE和△BCE中，，

∴△AGE≌△BCE（AAS），

∴AG=BC，

若CE=4，CF=5，

设DF=x，

根据勾股定理得：CD2=CF2﹣DF2=CG2﹣DG2，

即52﹣x2=82﹣（5+x）2，

解得：x=，即DF=．

20．在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．

（1）如图1，当E是线段AC的中点时，求证：BE=EF．

（2）如图2，当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论：　成立　．

（填“成立”或“不成立”）

（3）如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点，其它条件不变时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC，

∵∠ABC=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠BCA=60°，

∵E是线段AC的中点，

∴∠CBE=∠ABE=30°，AE=CE，

∵CF=AE，

∴CE=CF，

∴∠F=∠CEF=∠BCA=30°，

∴∠CBE=∠F=30°，

∴BE=EF；

（2）解：结论成立；理由如下：

过点E作EG∥BC交AB于点G，如图2所示：

∵四边形ABCD为菱形，

∴AB=BC，∠BCD=120°，AB∥CD，

∴∠ACD=60°，∠DCF=∠ABC=60°，

∴∠ECF=120°，

又∵∠ABC=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠ACB=60°，

又∵EG∥BC，

∴∠AGE=∠ABC=60°，

又∵∠BAC=60°，

∴△AGE是等边三角形，

∴AG=AE=GE，∠AGE=60°，

∴BG=CE，∠BGE=120°=∠ECF，

又∵CF=AE，

∴GE=CF，

在△BGE和△CEF中，，

∴△BGE≌△ECF（SAS），

∴BE=EF．

又∵EG∥BC，

∴∠AGE=∠ABC=60°，

又∵∠BAC=60°，

∴△AGE是等边三角形，

∴AG=AE=GE，∠AGE=60°，

∴BG=CE，∠AGE=∠ECF，

又∵CF=AE，

∴GE=CF，

在△BGE和△CEF中，，

∴△BGE≌△ECF（SAS），

∴BE=EF．