第2章 2.3.1　圆的标准方程-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册讲义

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我们的祖先很早就发明了建桥技术，现存最早的拱桥是由著名工匠李春设计建造于1 400多年前、横跨在我国河北赵县的河上的赵州桥．赵州桥又名安济桥，全长50多米，拱圆净跨37米多，是一座单孔坦拱式桥梁．赵州桥外形秀丽，结构合理，富有民族风格．虽然历经千年风霜及车压人行，但赵州桥至今仍可通行车辆，被公认为是世界上最古老的一座拱桥．由桥拱的一部分能求出拱桥所在圆的方程吗？
1．圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合是圆，其中定点是圆心，定长是圆的半径．确定一个圆的条件：(1)圆心；(2)半径．
2．方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)是以点(a，b)为圆心，r为半径的圆的方程，叫做圆的标准方程．
3．设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：
思考：若点P(x0，y0)在圆C：(x－a)2＋(y－b)2上，需要满足(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，那么P在圆C内和圆C外又满足怎样的关系？
[提示] 若点P在圆C内，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2．若点P在圆C外，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)圆心位置和圆的半径确定，圆就唯一确定．( )
(2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．( )
(3)圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝9的圆心坐标是(2,3)，半径是9．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
[提示] (1)正确．确定圆的几何要素就是圆心和半径．
(2)错误．当m＝0时，不表示圆．
(3)错误．圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝9的圆心为(－2，－3)，半径为3．
2．(教材P101练习A①改编)圆心为O(－1,1)，半径为2的圆的方程为( )
A．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 B．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
C．(x＋1)2＋(y－1)2＝4 D．(x－1)2＋(y＋1)2＝4
C [将O(－1,1)，r＝2代入圆的标准方程可得．]
3．点P(m,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )
A．在圆外 B．在圆内
C．在圆上 D．不确定
A [∵m2＋25＞24，∴点P在圆外．]
4．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是 ．
x2＋(y－2)2＝1 [设圆心为(0，b)，则圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，又点(1,2)在圆上，所以(2－b)2＋1＝1，∴b＝2，故方程为x2＋(y－2)2＝1．]
【例1】 根据下列条件，求圆的标准方程．
(1)圆心在点C(－2,1)，且过点A(2，－2)；
(2)已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上．
[思路探究] 只要确定圆心坐标和半径即可求得圆的标准方程．
[解] (1)所求圆的半径r＝|CA|＝
eq \r(2＋22＋－2－12)＝5．
又因为圆心为(－2,1)，所以所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝25．
(2)设此直径两端点分别为(a,0)，(0，b)，由于圆心坐标为(2，－3)，所以a＝4，b＝－6，所以圆的半径r＝eq \r(4－22＋0＋32)＝eq \r(13)，从而所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13．
确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程.
eq \([跟进训练])
1．求圆心在x轴上，半径为5且过点A(2，－3)的圆的标准方程．
[解] 设圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝25，因为点A(2，－3)在圆上，所以有(2－a)2＋(－3)2＝25，解得a＝－2或a＝6，所以所求圆的标准方程为(x＋2)2＋y2＝25或(x－6)2＋y2＝25．
【例2】 求下列各圆的标准方程．
(1)圆心在y＝0上且过两点A(1,4)，B(3,2)；
(2)圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)．
[思路探究] 由圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a，b，r三个参数．
[解] (1)设圆心坐标为(a，b)，半径为r，
则所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
∵圆心在y＝0上，故b＝0，
∴圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2．
又∵该圆过A(1,4)，B(3,2)两点，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－a2＋16＝r2，,3－a2＋4＝r2，))
解得a＝－1，r2＝20．
∴所求圆的方程为(x＋1)2＋y2＝20．
(2)设所求圆的标准方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由条件知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－a2＋－3－b2＝r2，,－2－a2＋－5－b2＝r2，,a－2b－3＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝－2，,r2＝10.))
故所求圆的标准方程为 (x＋1)2＋(y＋2)2＝10．
待定系数法求圆的标准方程的一般步骤
设方程((x－a)2＋(y－b)2＝r2)→列方程组(由已知条件，建立关于a、b、r的方程组)→解方程组(解方程组，求出a、b、r)→得方程(将a、b、r代入所设方程，得所求圆的标准方程)．
eq \([跟进训练])
2．求经过点A(10,5)，B(－4,7)，半径为10的圆的方程．
[解] 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝100，
将A、B两点代入得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10－a2＋5－b2＝100 ①,－4－a2＋7－b2＝100 ②))
①－②得7a－b－15＝0，即b＝7a－15 ③
将③代入得：a2＋8－6a＝0，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝－1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝13.))
故所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝100或(x－4)2＋(y－13)2＝100．
【例3】 已知某圆拱桥，当水面距拱顶2米时，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？
[思路探究] 桥是圆拱桥，可通过建立适当的平面直角坐标系，求出圆拱桥所在圆的标准方程，然后根据圆的对称性求水面宽度．
[解] 以拱顶为坐标原点，以过拱顶且与圆拱相切的直线为x轴，以过拱顶的竖直直线为y轴建立如图所示的直角坐标系，则O(0,0)，A(6，－2)．
设圆的标准方程为x2＋(y＋r)2＝r2(r＞0)．
将A(6，－2)的坐标代入方程得r＝10，
∴圆的标准方程为x2＋(y＋10)2＝100．
当水面下降1米后，可设点A′(x0，－3)(x0＞0)．
将A′(x0，－3)代入圆的标准方程，求得x0＝eq \r(51)，
∴水面下降1米，水面宽为2x0＝2eq \r(51)≈14．28(米)．
解决圆的方程的实际应用题时应注意以下几个方面
eq \([跟进训练])
3．已知隧道的截面是半径为4 m的半圆，车辆只能在道路中心线的一侧行驶，问一辆宽为2．7 m，高为3 m的货车能不能驶入？
[解] 以隧道截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，过圆心且垂直于直径AB的直线为y轴，建立直角坐标系(如图)，那么半圆的方程为x2＋y2＝16(y≥0)．将x＝2．7代入圆方程，得y＝eq \r(16－2.72)＝eq \r(8.71)＜3，即在离中心线2．7米处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道．
[探究问题]
1．若P(x，y)为圆C：(x＋1)2＋y2＝eq \f(1,4)上任意一点，请求出P(x，y)到原点的距离的最大值和最小值．
[提示] 原点到圆心C(－1,0)的距离d＝1，圆的半径为eq \f(1,2)，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,2)，最小距离为1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)．
2．若P(x，y)是圆C：(x－3)2＋y2＝4上任意一点，请求出P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值．
[提示] P(x，y)是圆C上的任意一点，而圆C的半径为2，圆心C(3,0)，圆心C到直线x－y＋1＝0的距离d＝eq \f(|3－0＋1|,\r(12＋－12))＝2eq \r(2)，所以点P到直线x－y＋1＝0的距离的最大值为2eq \r(2)＋2，最小值为2eq \r(2)－2．
【例4】 已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3．求eq \f(y,x)的最大值和最小值．
[思路探究] eq \f(y,x)的几何意义是圆上的点与原点构成直线的斜率，根据直线与圆相切求得．
[解] 原方程表示以点(2,0)为圆心，以eq \r(3)为半径的圆，设eq \f(y,x)＝k，即y＝kx，
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时eq \f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq \r(3)，
解得k＝±eq \r(3)．
故eq \f(y,x)的最大值为eq \r(3)，最小值为－eq \r(3)．
1．在本例条件下，求y－x的最大值和最小值．
[解] 设y－x＝b，
即y＝x＋b，
当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时eq \f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq \r(3)，
即b＝－2±eq \r(6)．
故y－x的最大值为－2＋eq \r(6)，
最小值为－2－eq \r(6)．
2．在本例条件下，求x2＋y2的最大值和最小值．
[解] x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x2＋y2)max＝(2＋eq \r(3))2＝7＋4eq \r(3)，
(x2＋y2)min＝(2－eq \r(3))2＝7－4eq \r(3)．
与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型
1形如u＝eq \f(y－b,x－a)形式的最值问题，可转化为过点x，y和a，b的动直线斜率的最值问题.
2形如l＝ax＋byb≠0形式的最值问题，可转化为动直线y＝eq －\f(a,b)＋eq \f(l,b)截距的最值问题.
3形如x－a2＋y－b2形式的最值问题，可转化为动点x，y到定点a，b的距离的平方的最值问题.
1．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝m．
当m＞0时，表示圆心为C(a，b)，半径为eq \r(m)的圆；
当m＝0时，表示一个点C(a，b)；
当m＜0时，不表示任何图形．
2．确定圆的方程的方法及步骤
(1)直接代入法，根据已知条件求圆心坐标和半径．
直接写出圆的标准方程．
(2)待定系数法：第一步：设圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
第二步：根据条件列方程组求待定系数a，b，r．
第三步：代入所设方程中得到圆的标准方程．
3．在实际应用问题求解过程中，应灵活运用几何性质(如弦的垂直平分线过圆心、半弦长、弦心距、半径长构成的勾股关系)．
4．重点掌握的方法
(1)求标准方程的方法．
(2)求与圆相关的最值的方法．
1．圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝3的圆心坐标( )
A．(2,1) B．(2，－1)
C．(－2,1) D．(－2，－1)
B [结合圆的标准形式可知，圆C的圆心坐标为(2，－1)．]
2．以(2 020,2 020)为圆心，2 021为半径的圆的标准方程为( )
A．(x－2 020)2＋(y－2 020)2＝2 0212
B．(x＋2 020)2＋(y＋2 020)2＝2 0212
C．(x－2 020)2＋(y－2 020)2＝2 021
D．(x＋2 020)2＋(y＋2 020)2＝2 021
A [由圆的标准方程知(x－2 020)2＋(y－2 020)2＝2 0212．]
3．点(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的外部，则a的取值范围为 ．
a＞1或a＜－eq \f(1,5) [因为(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的外部，所以4a2＋(a－2)2＞5，解得a＞1或a＜－eq \f(1,5)．]
4．点(1,1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，则圆的方程是 ．
(x＋2)2＋y2＝10 [因为点(1,1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，故(1＋2)2＋1＝m．
∴m＝10，即圆的方程为(x＋2)2＋y2＝10．]
5．已知圆M的圆心坐标为(3,4)，且A(－1,1)，B(1,0)，C(－2，3)三点一个在圆M内，一个在圆M上，一个在圆M外，求圆M的方程．
[解] ∵|MA|＝eq \r(－1－32＋1－42)＝5，
|MB|＝eq \r(1－32＋0－42)＝2eq \r(5)，
|MC|＝eq \r(－2－32＋3－42)＝eq \r(26)，
∴|MB|＜|MA|＜|MC|，
∴点B在圆M内，点A在圆M上，点C在圆M外，
∴圆的半径r＝|MA|＝5，
∴圆M的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25．
学 习 目 标
核 心 素 养
1．会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征．(重点)
2．能根据所给条件求圆的标准方程．(重点)
3．掌握点与圆的位置关系．(重点)
4．圆的标准方程的求解．(难点)
1．通过圆的标准方程及其特征的学习，培养数学抽象的核心素养．
2．借助圆的标准方程的求解与应用，提升数学运算的核心素养．
位置关系
点在圆外
点在圆上
点在圆内
d与r的大小关系
d＞r
d＝r
d＜r
直接法求圆的标准方程
待定系数法求圆的标准方程
圆的标准方程的实际应用
与圆有关的最值问题