第2章 2.2.1　直线的倾斜角与斜率-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册讲义

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我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线，那么，经过一点P的直线l的位置能确定吗？如图所示，过一点P可以作无数多条直线a，b，c，…我们可以看出这些直线都过点P，但它们的“倾斜程度”不同，怎样描述这种“倾斜程度”的不同呢？
1．直线的倾斜角
(1)倾斜角的定义
一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角．
(2)当直线与x轴平行或重合时，规定该直线的倾斜角为0°．
(3)倾斜角α的范围为[0°，180°)．
2．直线的倾斜角与斜率
一般地，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线上l两个不同的点，直线l的倾斜角为θ，则：
(1)当y1＝y2时(此时必有x1≠x2)，θ＝0°．
(2)当x1＝x2时(此时必有y1≠y2)，θ＝90°．
(3)当x1≠x2且y1≠y2时，tan θ＝eq \f(y2－y1,x2－x1)．
思考1：当x1≠x2且y1＝y2时，(3)式中的式子成立吗？
[提示] 成立．
(4)一般地，如果直线l的倾斜角为θ，当θ≠90°时，称k＝tan θ为直线l的斜率，当θ＝90°时，称直线l的斜率不存在．
(5)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，当x1≠x2时，直线l的斜率为k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)．
思考2：运用(5)中公式计算直线AB的斜率时，需要考虑A、B的顺序吗？
[提示] kAB＝eq \f(y2－y1,x2－x1)＝kBA＝eq \f(y1－y2,x1－x2)，所以直线AB的斜率与A、B两点的顺序无关．
思考3：直线的斜率与倾斜角是一一对应的吗？
[提示] 不是，当倾斜角为90°时，直线的斜率不存在．
3．直线的方向向量
(1)一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a∥l．
(2)如果a为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量λa都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定共线．
(3)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则eq \(AB,\s\up7(→))＝(x2－x1，y2－y1)是直线l的一个方向向量．
思考4：设l是平面直角坐标系中的一条直线，且倾斜角为45°，你能写出该直线的方向向量吗？
[提示] (1,1)．
(4)一般地，如果已知a＝(u，v)是直线l的一个方向向量，则：
①当u＝0时，显然直线的斜率不存在，倾斜角为90°．
②当u≠0时，直线l的斜率存在，且(1，k)与a＝(u，v)都是直线l的方向向量，由直线的任意两个方向向量共线可知1×v＝k×u，从而k＝eq \f(v,u)，tan θ＝eq \f(v,u)．
4．直线的法向量
一般地，如果表示非零向量υ的有向线段所在的直线与直线l垂直，则称向量υ为l的一个法向量，记作υ⊥l．
思考5：如果a＝(－1,2)是直线l的一个方向向量，你能写出l的一个法向量吗？
[提示] (2,1)．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)倾斜角是描述直线的倾斜程度的唯一方法．( )
(2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应．( )
(3)一个倾斜角α不能确定一条直线．( )
(4)斜率公式与两点的顺序无关．( )
(5)直线的方向向量与法向量不唯一．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√
[提示] (1)错误．除了倾斜角，还可以用斜率描述直线的倾斜程度．
(2)错误．倾斜角不是90°的直线有且只有一个斜率和它对应．
(3)正确．确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和一个倾斜角α．
(4)正确．斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换．
(5)正确．若a为直线的方向向量，则λa(λ≠0)也是直线的方向向量．
2．如图所示，直线l的倾斜角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．以上都不对
C [根据倾斜角的定义知，直线l的倾斜角为30°＋90°＝120°．]
3．直线l过点M(1,2)，N(2,5)，则l的斜率为( )
A．3 B．－3 C．eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3)
A [根据题意，l的斜率为eq \f(5－2,2－1)＝3．]
4．直线l经过点A(2,1)和B(－5，－2)，则直线l的一个方向向量为 ．
(－7，－3) [eq \(AB,\s\up7(→))＝(－5－2，－2－1)＝(－7，－3)．]
5．已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，实数a的值为 ．
2或eq \f(2,9) [∵A、B、C三点共线，∴kAB＝kBC，即eq \f(5,3－a)＝eq \f(9a＋7,5)，∴a＝2或a＝eq \f(2,9)．]
【例1】 设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为( )
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°
D [根据题意，画出图形，如图所示：
因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：
当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；
当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°．故选D．]
求直线的倾斜角的方法及两点注意
(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．
(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°．②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°．
eq \([跟进训练])
1．已知直线l1的倾斜角为α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120°，如图所示，求直线l2的倾斜角．
[解] ∵l1与l2向上的方向之间所成的角为120°，l2与x轴交于点B，∴倾斜角∠ABx＝120°＋15°＝135°．
【例2】 如图所示，直线l1，l2，l3都经过点P(3,2)，又l1，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3,2)．
(1)试计算直线l1，l2，l3的斜率；
(2)若还存点Q4(a,3)，试求直线PQ4的斜率．
[思路探究] 根据题意，分清直线过哪两个点，然后用斜率公式求解，要注意斜率不存在的情况．
[解] (1)由已知得，直线l1，l2，l3的斜率都存在．
设它们的斜率分别为k1，k2，k3．
则由斜率公式得：
k1＝eq \f(－1－2,－2－3)＝eq \f(3,5)，k2＝eq \f(－2－2,4－3)＝－4，
k3＝eq \f(2－2,－3－3)＝0．
(2)当a＝3时，直线PQ4与x轴垂直，此时其斜率不存在．
当a≠3时，其斜率k＝eq \f(3－2,a－3)＝eq \f(1,a－3)．
1．求斜率时要注意斜率公式的适用范围，若给出直线上两个点的坐标，首先要观察横坐标是否相同，若相同，则斜率不存在；若不相同，则可使用斜率公式．若给出两个点的横坐标中含有参数，则要对参数进行分类讨论，分类的依据便是“两个横坐标是否相等”．
2．由例题中图可以看出：(1)当直线的斜率为正时(l1)，直线从左下方向右上方倾斜；(2)当直线的斜率为负时(l2)，直线从左上方向右下方倾斜；(3)当直线的斜率为0时(l3)，直线与x轴平行或重合．
eq \([跟进训练])
2．已知坐标平面内三点A(－1,1)，B(1,1)，C(2，eq \r(3)＋1)．
(1)求直线AB、BC、AC的斜率和倾斜角；
(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围．
[解] (1)由斜率公式得
kAB＝eq \f(1－1,1－－1)＝0，kBC＝eq \f(\r(3)＋1－1,2－1)＝eq \r(3)．
kAC＝eq \f(\r(3)＋1－1,2－－1)＝eq \f(\r(3),3)．
倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°．
又∵tan 0°＝0，
∴AB的倾斜角为0°．
tan 60°＝eq \r(3)，
∴BC的倾斜角为60°．
tan 30°＝eq \f(\r(3),3)，
∴AC的倾斜角为30°．
(2)如图，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针方向旋转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，\r(3)))．
[探究问题]
1．斜率公式k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)中，分子与分母的顺序是否可以互换？y1与y2，x1与x2的顺序呢？
[提示] 斜率公式中分子与分母的顺序不可互换，但y1与y2和x1与x2可以同时互换顺序，即斜率公式也可写为k＝eq \f(y1－y2,x1－x2)．
2．你能证明A(－3，－5)，B(1,3)，C(5,11)三点在同一条直线上吗？
[提示] 能．因为A(－3，－5)，B(1,3)，C(5,11)，
所以kAB＝eq \f(3－－5,1－－3)＝2，kBC＝eq \f(11－3,5－1)＝2，
所以kAB＝kBC，且直线AB，BC有公共点B，
所以A，B，C这三点在同一条直线上．
【例3】 已知直线l过点M(m＋1，m－1)，N(2m，1)．
(1)当m为何值时，直线l的斜率是1?
(2)当m为何值时，直线l的倾斜角为90°？
[思路探究] 求直线的斜率⇒直线的斜率公式．
[解] (1)kMN＝eq \f(m－1－1,m＋1－2m)＝1，解得m＝eq \f(3,2)．
(2)l的倾斜角为90°，即l平行于y轴，所以m＋1＝2m，得m＝1．
1．本例条件不变，试求直线l的倾斜角为锐角时实数m的取值范围．
[解] 由题意知
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(m－1－1,m＋1－2m)＞0，,m－1≠1，))解得1＜m＜2．
2．若将本例中的“N(2m,1)”改为“N(3m,2m)”，其他条件不变，结果如何？
[解] (1)由题意知eq \f(m－1－2m,m＋1－3m)＝1，解得m＝2．
(2)由题意知m＋1＝3m，得m＝eq \f(1,2)．
直线斜率的计算方法
(1)判断两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在．
(2)若两点的横坐标不相等，则可以用斜率公式k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)(其中x1≠x2)进行计算．
【例4】 已知直线l通过点A(1,2)，B(4,5)，求直线l的一个方向向量和法向量，并确定直线l的斜率与倾斜角．
[解] eq \(AB,\s\up7(→))＝(4－1,5－2)＝(3,3)是直线l的一个方向向量．由法向量与方向向量垂直，∴法向量可以为(－1,1)．因此直线的斜率k＝1，直线的倾斜角θ满足tan θ＝1，从而可知θ＝45°．
求方向向量和法向量的方法
(1)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线上的两个不同的点，则直线l的方向向量为eq \(AB,\s\up7(→))＝(x2－x1，y2－y1)，直线的法向量和方向向量垂直．
(2)直线的方向向量和法向量不唯一．
eq \([跟进训练])
3．已知直线l经过点M(3,3)和N(2,3＋eq \r(3))，求直线l的一个方向向量和法向量，并求直线l的斜率和倾斜角．
[解] eq \(MN,\s\up7(→))＝(2－3,3＋eq \r(3)－3)＝(－1，eq \r(3))，∴直线l的一个方向向量为(－1，eq \r(3))，由于法向量与方向向量垂直．
∴法向量v＝(eq \r(3)，1)，斜率k＝eq \f(3＋\r(3)－3,2－3)＝－eq \r(3)，由tan θ＝－eq \r(3)知θ＝120°．
1．斜率公式k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或k＝\f(y1－y2,x1－x2)))(x1≠x2)．
2．直线的倾斜角定义及范围：0°≤α＜180°．
3．直线斜率的几何意义：k＝tan α(α≠90°)．
4．斜率k与倾斜角α之间的关系
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝0°⇒k＝tan 0°＝0，,0°＜α＜90°⇒k＝tan α＞0，,α＝90°⇒tan α不存在⇒k不存在，,90°＜α＜180°⇒k＝tan α＜0.))
1．若经过P(－2，m)和Q(m,4)的直线的斜率为1，则m等于( )
A．1 B．4 C．1或3 D．1或4
A [由题意知kPQ＝eq \f(4－m,m＋2)＝1，解得m＝1．]
2．斜率不存在的直线一定是( )
A．过原点的直线
B．垂直于x轴的直线
C．垂直于y轴的直线
D．垂直于坐标轴的直线
B [只有直线垂直于x轴时，其倾斜角为90°，斜率不存在．]
3．若过两点M(3，y)，N(0，eq \r(3))的直线的倾斜角为150°，则y的值为( )
A．eq \r(3) B．0
C．－eq \r(3) D．3
B [由斜率公式知eq \f(\r(3)－y,0－3)＝tan 150°，∴eq \f(\r(3)－y,0－3)＝eq \f(－\r(3),3)，
∴y＝0．]
4．已知直线l的倾斜角为α，且0°≤α＜135°，则直线l的斜率的取值范围是 ．
(－∞，－1)∪[0，＋∞) [设直线的倾斜角为α，斜率为k，当0°≤α＜90°时，k＝tan α≥0，当α＝90°时无斜率，当90°＜α＜135°时，k＝tan α＜－1，故直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1)∪[0，＋∞)．]
5．已知A(1,1)，B(3,5)，C(a,7)，D(－1，b)四点在同一条直线上，求直线的斜率k及a，b的值．
[解] 由题意可知kAB＝eq \f(5－1,3－1)＝2，kAC＝eq \f(7－1,a－1)＝eq \f(6,a－1)，kAD＝eq \f(b－1,－1－1)＝eq \f(b－1,－2)，
所以k＝2＝eq \f(6,a－1)＝eq \f(b－1,－2)，解得a＝4，b＝－3，
所以直线的斜率k＝2，a＝4，b＝－3．
学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解直线的倾斜角和斜率的概念．(重点)
2．理解直线斜率的几何意义；掌握倾斜角与斜率的对应关系．(重点)
3．掌握过两点的直线的斜率公式．(重点)
4．直线倾斜角与斜率的对应关系在解题中的应用．(难点)
5．掌握直线的方向向量和法向量．(重点)
1．通过直线的倾斜角与斜率的概念学习，培养数学抽象的核心素养．
2．借助倾斜角与斜率的关系，提升数学运算的核心素养．
直线的倾斜角
直线的斜率
斜率公式的应用
求直线的方向向量或法向量