人教版数学高二上学期预习知识点总结（打印版）

这是一份人教版数学高二上学期预习知识点总结（打印版），共40页。学案主要包含了不等式的性质，不等式的证明，解不等式，《不等式》，《立体几何》，《平面解析几何》，《排列，《复数》等内容，欢迎下载使用。

1．两个实数a与b之间的大小关系
2．不等式的性质
(4)(乘法单调性)
3．绝对值不等式的性质
(2)如果a＞0，那么
(3)|a?b|＝|a|?|b|．
(5)|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|．
(6)|a1＋a2＋……＋an|≤|a1|＋|a2|＋……＋|an|．
二、不等式的证明
1．不等式证明的依据
(2)不等式的性质(略)
(3)重要不等式：①|a|≥0；a2≥0；(a－b)2≥0(a、b∈R)
②a2＋b2≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号)
2．不等式的证明方法
(1)比较法：要证明a＞b(a＜b)，只要证明a－b＞0(a－b＜0)，这种证明不等式的方法叫做比较法．
用比较法证明不等式的步骤是：作差——变形——判断符号．
(2)综合法：从已知条件出发，依据不等式的性质和已证明过的不等式，推导出所要证明的不等式成立，这种证明不等式的方法叫做综合法．
(3)分析法：从欲证的不等式出发，逐步分析使这不等式成立的充分条件，直到所需条件已判断为正确时，从而断定原不等式成立，这种证明不等式的方法叫做分析法．
证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法、数学归纳法等．
三、解不等式
1．解不等式问题的分类
(1)解一元一次不等式．
(2)解一元二次不等式．
(3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式．
①解一元高次不等式；
②解分式不等式；
③解无理不等式；
④解指数不等式；
⑤解对数不等式；
⑥解带绝对值的不等式；
⑦解不等式组．
2．解不等式时应特别注意下列几点：
(1)正确应用不等式的基本性质．
(2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性．
(3)注意代数式中未知数的取值范围．
3．不等式的同解性
(5)|f(x)|＜g(x)与－g(x)＜f(x)＜g(x)同解．(g(x)＞0)
(6)|f(x)|＞g(x)①与f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)(其中g(x)≥0)同解；②与g(x)＜0同解．
(9)当a＞1时，af(x)＞ag(x)与f(x)＞g(x)同解，当0＜a＜1时，af(x)＞ag(x)与f(x)＜g(x)同
四、《不等式》
解不等式的途径，利用函数的性质。对指无理不等式，化为有理不等式。
高次向着低次代，步步转化要等价。数形之间互转化，帮助解答作用大。
证不等式的方法，实数性质威力大。求差与０比大小，作商和１争高下。
直接困难分析好，思路清晰综合法。非负常用基本式，正面难则反证法。
还有重要不等式，以及数学归纳法。图形函数来帮助，画图建模构造法。
五、《立体几何》
点线面三位一体，柱锥台球为代表。距离都从点出发，角度皆为线线成。
垂直平行是重点，证明须弄清概念。线线线面和面面、三对之间循环现。
方程思想整体求，化归意识动割补。计算之前须证明，画好移出的图形。
立体几何辅助线，常用垂线和平面。射影概念很重要，对于解题最关键。
异面直线二面角，体积射影公式活。公理性质三垂线，解决问题一大片。
六、《平面解析几何》
有向线段直线圆，椭圆双曲抛物线，参数方程极坐标，数形结合称典范。
笛卡尔的观点对，点和有序实数对，两者—一来对应，开创几何新途径。
两种思想相辉映，化归思想打前阵；都说待定系数法，实为方程组思想。
三种类型集大成，画出曲线求方程，给了方程作曲线，曲线位置关系判。
四件工具是法宝，坐标思想参数好；平面几何不能丢，旋转变换复数求。
解析几何是几何，得意忘形学不活。图形直观数入微，数学本是数形学
七、《排列、组合、二项式定理》
加法乘法两原理，贯穿始终的法则。与序无关是组合，要求有序是排列。
两个公式两性质，两种思想和方法。归纳出排列组合，应用问题须转化。
排列组合在一起，先选后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考虑。
不重不漏多思考，捆绑插空是技巧。排列组合恒等式，定义证明建模试。
关于二项式定理，中国杨辉三角形。两条性质两公式，函数赋值变换式。
八、《复数》
虚数单位ｉ一出，数集扩大到复数。一个复数一对数，横纵坐标实虚部。
对应复平面上点，原点与它连成箭。箭杆与Ｘ轴正向，所成便是辐角度。
箭杆的长即是模，常将数形来结合。代数几何三角式，相互转化试一试。
代数运算的实质，有ｉ多项式运算。ｉ的正整数次慕，四个数值周期现。
一些重要的结论，熟记巧用得结果。虚实互化本领大，复数相等来转化。
利用方程思想解，注意整体代换术。几何运算图上看，加法平行四边形，
减法三角法则判；乘法除法的运算，逆向顺向做旋转，伸缩全年模长短。
三角形式的运算，须将辐角和模辨。利用棣莫弗公式，乘方开方极方便。
辐角运算很奇特，和差是由积商得。四条性质离不得，相等和模与共轭，
两个不会为实数，比较大小要不得。复数实数很密切，须注意本质区别。
平方关系：
sin^2α＋cs^2α＝1
1＋tan^2α＝sec^2α
1＋ct^2α＝csc^2α
·积的关系：
sinα=tanα×csα
csα=ctα×sinα
tanα=sinα×secα
ctα=csα×cscα
secα=tanα×cscα
cscα=secα×ctα
·倒数关系：
tanα·ctα＝1
sinα·cscα＝1
csα·secα＝1
商的关系：
sinα/csα＝tanα＝secα/cscα
csα/sinα＝ctα＝cscα/secα
直角三角形ABC中,
角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,
余弦等于角A的邻边比斜边
正切等于对边比邻边,
·[1]三角函数恒等变形公式
·两角和与差的三角函数：
cs(α+β)=csα·csβ-sinα·sinβ
cs(α-β)=csα·csβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·csβ±csα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
·三角和的三角函数：
sin(α+β+γ)=sinα·csβ·csγ+csα·sinβ·csγ+csα·csβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
cs(α+β+γ)=csα·csβ·csγ-csα·sinβ·sinγ-sinα·csβ·sinγ-sinα·sinβ·csγ
tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)
·辅助角公式：
Asinα+Bcsα=(A2+B2)^(1/2)sin(α+t)，其中
sint=B/(A2+B2)^(1/2)
cst=A/(A2+B2)^(1/2)
tant=B/A
Asinα-Bcsα=(A2+B2)^(1/2)cs(α-t)，tant=A/B
·倍角公式：
sin(2α)=2sinα·csα=2/(tanα+ctα)
cs(2α)=cs2(α)-sin2(α)=2cs2(α)-1=1-2sin2(α)
tan(2α)=2tanα/[1-tan2(α)]
·三倍角公式：
sin(3α)=3sinα-4sin3(α)=4sinα·sin(60+α)sin(60-α)
cs(3α)=4cs3(α)-3csα=4csα·cs(60+α)cs(60-α)
tan(3α)=tana·tan(π/3+a)·tan(π/3-a)
·半角公式：
sin(α/2)=±√((1-csα)/2)
cs(α/2)=±√((1+csα)/2)
tan(α/2)=±√((1-csα)/(1+csα))=sinα/(1+csα)=(1-csα)/sinα
·降幂公式
sin2(α)=(1-cs(2α))/2=versin(2α)/2
cs2(α)=(1+cs(2α))/2=cvers(2α)/2
tan2(α)=(1-cs(2α))/(1+cs(2α))
·万能公式：
sinα=2tan(α/2)/[1+tan2(α/2)]
csα=[1-tan2(α/2)]/[1+tan2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan2(α/2)]
·积化和差公式：
sinα·csβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
csα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
csα·csβ=(1/2)[cs(α+β)+cs(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cs(α+β)-cs(α-β)]
·和差化积公式：
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cs[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cs[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
csα+csβ=2cs[(α+β)/2]cs[(α-β)/2]
csα-csβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
·推导公式
tanα+ctα=2/sin2α
tanα-ctα=-2ct2α
1+cs2α=2cs2α
1-cs2α=2sin2α
1+sinα=(sinα/2+csα/2)2
·其他：
sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0
csα+cs(α+2π/n)+cs(α+2π*2/n)+cs(α+2π*3/n)+……+cs[α+2π*(n-1)/n]=0以及
sin2(α)+sin2(α-2π/3)+sin2(α+2π/3)=3/2
tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
csx+cs2x+...+csnx=[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx
证明：
左边=2sinx(csx+cs2x+...+csnx)/2sinx
=[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x]/2sinx（积化和差）
=[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx=右边
等式得证
sinx+sin2x+...+sinnx=-[cs(n+1)x+csnx-csx-1]/2sinx
证明:
左边=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/(-2sinx)
=[cs2x-cs0+cs3x-csx+...+csnx-cs(n-2)x+cs(n+1)x-cs(n-1)x]/(-2sinx)
=-[cs(n+1)x+csnx-csx-1]/2sinx=右边
等式得证
[编辑本段]三角函数的诱导公式
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα
cs（2kπ＋α）＝csα
tan（2kπ＋α）＝tanα
ct（2kπ＋α）＝ctα
公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋α）＝－sinα
cs（π＋α）＝－csα
tan（π＋α）＝tanα
ct（π＋α）＝ctα
公式三：
任意角α与-α的三角函数值之间的关系：
sin（－α）＝－sinα
cs（－α）＝csα
tan（－α）＝－tanα
ct（－α）＝－ctα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π－α）＝sinα
cs（π－α）＝－csα
tan（π－α）＝－tanα
ct（π－α）＝－ctα
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π－α）＝－sinα
cs（2π－α）＝csα
tan（2π－α）＝－tanα
ct（2π－α）＝－ctα
公式六：
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2＋α）＝csα
cs（π/2＋α）＝－sinα
tan（π/2＋α）＝－ctα
ct（π/2＋α）＝－tanα
sin（π/2－α）＝csα
cs（π/2－α）＝sinα
tan（π/2－α）＝ctα
ct（π/2－α）＝tanα
sin（3π/2＋α）＝－csα
cs（3π/2＋α）＝sinα
tan（3π/2＋α）＝－ctα
ct（3π/2＋α）＝－tanα
sin（3π/2－α）＝－csα
cs（3π/2－α）＝－sinα
tan（3π/2－α）＝ctα
ct（3π/2－α）＝tanα
(以上k∈Z)
对于任意非直角三角形中,如三角形ABC,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
证明:
已知(A+B)=(π-C)
所以tan(A+B)=tan(π-C)
则(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)
整理可得
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
类似地,我们同样也可以求证:当α+β+γ=nπ(n∈Z)时，总有tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ
设a=（x，y），b=(x'，y')。
1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：
交换律：a+b=b+a；
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0
AB-AC=CB.即“共同起点，指向被减”
a=(x,y)b=(x',y')则a-b=(x-x',y-y').
4、数乘向量
实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
当λ＞0时，λa与a同方向；
当λ＜0时，λa与a反方向；
当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；
当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
3、向量的的数量积
定义：两个非零向量的夹角记为〈a，b〉，且〈a，b〉∈[0，π]。
定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a·b。若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cs〈a，b〉；若a、b共线，则a·b=+-∣a∣∣b∣。
向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'。
向量的数量积的运算率
a·b=b·a（交换率）；
（a+b)·c=a·c+b·c（分配率）；
向量的数量积的性质
a·a=|a|的平方。
a⊥b〈=〉a·b=0。
|a·b|≤|a|·|b|。
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2。
2、向量的数量积不满足消去律，即：由a·b=a·c(a≠0)，推不出b=c。
3、|a·b|≠|a|·|b|
4、由|a|=|b|，推不出a=b或a=-b。
4、向量的向量积
定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。
向量的向量积性质：
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。
a×a=0。
a‖b〈=〉a×b=0。
向量的向量积运算律
a×b=-b×a；
（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；
（a+b）×c=a×c+b×c.
注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。
向量的三角形不等式
1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；
①当且仅当a、b反向时，左边取等号；
②当且仅当a、b同向时，右边取等号。
2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。
①当且仅当a、b同向时，左边取等号；
②当且仅当a、b反向时，右边取等号。
定比分点
定比分点公式（向量P1P=λ·向量PP2）
设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数λ，使向量P1P=λ·向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分点向量公式）
x=(x1+λx2)/(1+λ),
y=(y1+λy2)/(1+λ)。（定比分点坐标公式）
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
三点共线定理
若OC=λOA+μOB,且λ+μ=1,则A、B、C三点共线
三角形重心判断式
在△ABC中，若GA+GB+GC=0,则G为△ABC的重心
[编辑本段]向量共线的重要条件
若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。
a//b的重要条件是xy'-x'y=0。
零向量0平行于任何向量。
[编辑本段]向量垂直的充要条件
a⊥b的充要条件是a·b=0。
a⊥b的充要条件是xx'+yy'=0。
零向量0垂直于任何向量.
还有注意一点,不要把点写成叉
圆锥曲线里的弦长公式
d=根号(1+k^2)|x1-x2|=根号(1+k^2)根号[(x1+x2)^2-4x1x2]=根号[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]
圆里相交直线所构成的弦长m,与圆的半径r,圆心到直线的距离d的关系为
(m/2)^2+d^2=r^2
直线
A1x+B1y+C1=0
A2x+B2y+C2=0
平行的充要条件是A1B2+A2B1=0且B1C2+B2C1不等于0
点到直线的距离公式
d=|Ax0+By0+C|/根号(A^2+B^2)
若平行
则d=|c2-c1|/根号(A^2+B^2)
A和B上下两个式子必须相等
高二数学上学期期中复习纲要
*****不等式部分
一、知识：
1.不等式的性质.（公式的等价性、公式的附加条件）
2.不等式证明：（比较法、分析法、重要不等式，换元法、对称代换、平均值代换、判别式、构造函数法、放缩法、反证法，构造图形法）
3.不等式解法：一元二次不等式（三个二次问题）标根法、图解法、含参数讨论
4.不等式应用：建立等式或不等式模型，解不等式，求最值。
恒成立的问题（分离参数、上下界比较、分类讨论、数形结合）
二、重要数学方法：
1.函数与方程的思想、2.分类讨论的思想、3.等价转化思想、4.数形结合思想5.构建模型思想〕
*****直线和圆的方程部分：
一、知识；
直线重要概念：（倾斜角、斜率、范围）
1.直线的5种形式的方程（适用条件）（6.参数方程）
2.两条直线的位置关系
①关于判定条件（充分不必要条件、重要条件）
②关于角的公式（倾斜角、线到线的角、夹角、公式、K顺序）
③关于距离的公式（点—点、点---线；线-----线）
④关于线系方程（垂直直线、平行直线的设法；过交点系方程；圆系方程；曲线系方程）
⑤过定点问题（分离参数、任意性问题）
⑥关于对称的问题（入反射）
⑦求最值问题（几何法、函数法、不等式）
⑧线性规划问题（最优解的探求）
3.曲线方程
①点的轨迹的求法：直接法、几何法、转代法、参数法、交轨法
求轨迹的一般步骤（建、设、列、化、验）
（纯粹性、完备性）
②由方程讨论曲线的性质（截距、对称性、范围、图形----）
③求两曲线的交点、弦长公式（几何法dr表示、代数法△--0）
4.圆的方程问题：
普通方程、一般方程、参数方程（待定系数法、注意选择适当的设法）
5.位置关系问题：
①点圆位置关系：比较|p|--r：点---方程
②线圆位置关系：代数方法、几何方法
③圆圆位置关系：相关几何条件的坐标化
5.切线问题
①过已知圆上一点的切线的求法
②过已知圆外一点的切线的求法，过切点的直线的方程的求法
③两圆的内、外公切线的求法
④切线长公式
⑤圆的内外公切线
二、重要的数学方法；
1.待定系数法
2.对称变换法
3.参数法
4.特殊化方法
5.化归思想方法
6.分类讨论思想
7.数形结合思想
8.建模思想方法
一.选择题：
1.若实数a,b满足0