初中北师大版第六章 反比例函数综合与测试同步练习题

这是一份初中北师大版第六章 反比例函数综合与测试同步练习题，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列函数中，y是x的反比例函数的是( )
A．y＝eq \f(1,5)x B．y＝2x－3 C．xy＝－3 D．y＝eq \f(8,x2)
2．已知反比例函数y＝eq \f(k,x)(k≠0)的图象经过点P(2，－3)，则这个函数的图象位于( )
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、二象限 D．第三、四象限
3．已知反比例函数y＝eq \f(3,x)，下列结论中不正确的是( )
A．图象经过点(－1，－3) B．图象在第一、三象限
C．当x＞1时，0＜y＜3 D．当x＜0时，y随着x的增大而增大
4．某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例函数关系．如图所示的是该电路中电流I与电阻R之间的函数关系的图象，当电阻R为5Ω时，电流I为( )
A．6 A B．5 A C．1.2 A D．1 A
5．若在同一直角坐标系中，正比例函数y＝k1x(k1≠0)与反比例函数y＝eq \f(k2,x)(k2≠0)的图象无交点，则有( )
A．k1＋k2＞0 B．k1＋k2＜0 C．k1k2＞0 D．k1k2＜0
6．已知点A(－1，y1)，B(2，y2)都在双曲线y＝eq \f(3＋m,x)上，且y1>y2，则m的取值范围是( )
A．m<0 B．m>0 C．m>－3 D．m<－3
7．函数y＝eq \f(k,x)与y＝kx＋k(k为常数且k≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
8．如图，分别过反比例函数y＝eq \f(2,x)(x＞0)图象上任意两点A，B作x轴的垂线，垂足分别为点C，D，连接OA，OB，设AC与OB的交点为E，△AOE与梯形ECDB的面积分别为S1，S2，则S1与S2的大小关系是( )
A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．不能确定
9．如图，A，B两点在反比例函数y＝eq \f(k1,x)的图象上，C，D两点在反比例函数y＝eq \f(k2,x)的图象上，AC⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点F，AC＝2，BD＝3，EF＝eq \f(10,3)，则k2－k1的值为( )
A．4 B.eq \f(14,3) C.eq \f(16,3) D．6
10．反比例函数y＝eq \f(a,x)(a＞0，a为常数)和y＝eq \f(2,x)在第一象限内的图象如图所示，点M在y＝eq \f(a,x)的图象上，MC⊥x轴于点C，交y＝eq \f(2,x)的图象于点A；MD⊥y轴于点D，交y＝eq \f(2,x)的图象于点B.当点M在y＝eq \f(a,x)(x＞0)的图象上运动时，以下结论：①S△ODB＝S△OCA；②四边形OAMB的面积不变；③当点A是MC的中点时，点B是MD的中点．其中正确结论的数量是( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题(每题3分，共24分)
11．一个反比例函数的图象过点A(1，2)，则这个反比例函数的表达式是________．
12．若点(2，y1)，(3，y2)在函数y＝－eq \f(2,x)的图象上，则y1________y2(填“>”“<”或“＝”)．
13．若反比例函数y＝eq \f(k,x)的图象与一次函数y＝mx的图象的一个交点的坐标为(1，2)，则它们的另一个交点的坐标为________．
14．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强p(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示，则当气球内气体体积V(m3)的范围是0.8＜V＜2时，气体的压强p(kPa)的范围是________．
15．如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，且△ABP的面积为6，则这个反比例函数的表达式为________．
16．如图，已知矩形ABCD，AB在x轴的正半轴上(点A与点O重合)，AB＝3，BC＝1，连接AC，BD，交点为M.将矩形ABCD沿x轴向右平移，当平移距离为________时，点M在反比例函数y＝eq \f(1,x)的图象上．
17．如图，已知点A在双曲线y＝eq \f(4,x)上，点B在双曲线y＝eq \f(k,x)(k≠0)上，AB∥x轴，分别过点A，B向x轴作垂线，垂足分别为点D，C，若四边形ABCD的面积是8，则k的值为________．
18．如图，在反比例函数y＝eq \f(10,x)(x＞0)的图象上，有一系列点A1，A2，A3，…，An，An＋1，若点A1，A2，A3，…的横坐标分别为2，4，6，…，现分别过点A1，A2，A3，…，An，An＋1作x轴、y轴的垂线段，构成若干个矩形，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为S1，S2，S3，…，Sn，则S1＝________，S1＋S2＋S3＋…＋Sn＝________(用含n的代数式表示)．
三、解答题(19～21题每题8分，22～24题每题10分，25题12分，共66分)
19．丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售．记汽车行驶时间为t h，平均速度为v km/h(汽车行驶速度不超过100 km/h)．根据经验，v，t的几组对应值如下表：
(1)根据表中数据，求出平均速度v(km/h)关于行驶时间t(h)的函数表达式．
(2)汽车上午7：30从丽水出发，能否在上午10：00之前到达杭州市场？请说明理由．
(3)若汽车到达杭州市场的行驶时间t满足3.5≤t≤4，求平均速度v的取值范围．
20．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x＋b与双曲线y＝eq \f(m,x)的一个交点为A(2，4)，与y轴交于点B.
(1)求m的值和点B的坐标；
(2)点P在双曲线y＝eq \f(m,x)上，△OBP的面积为8，直接写出点P的坐标．
21．如图，已知四边形OABC是菱形，OC在x轴上，点B的坐标为(18，6)，反比例函数y＝eq \f(k,x)(k≠0)的图象经过点A，与OB交于点E.
(1)求k的值；
(2)求eq \f(OE,EB)的值．
22．如图，一次函数y＝kx＋5(k为常数，且k≠0)的图象与反比例函数y＝－eq \f(8,x)的图象交于A(－2，b)，B两点．
(1)求一次函数的表达式；
(2)若将直线AB向下平移m(m＞0)个单位长度后，与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m的值．
23．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A，C分别在y轴、x轴上，点B的坐标为(4，2)，直线y＝－eq \f(1,2)x＋3分别交AB，BC于点M，N，反比例函数y＝eq \f(k,x)的图象经过点M，N.
(1)求反比例函数的表达式；
(2)若点P在y轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．
24．教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10 ℃，加热到100 ℃停止加热，水温开始下降．此时水温y(℃)与开机后的时间x(min)成反比例关系，直至水温降至30 ℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30 ℃时接通电源，水温y(℃)与时间x(min)的关系如图所示．
(1)分别写出图中表示水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；
(2)怡萱同学想喝高于50 ℃的水，请问她最多需要等待多长时间？
25．如图，正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y＝eq \f(k,x)的图象交于A，B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连接BC，若△ABC的面积为2.
(1)求k的值．
(2)x轴上是否存在一点D，使△ABD为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
一、1.C 2.B 3.D 4.C 5.D
6．D 【点拨】由题意知，反比例函数图象在第二、四象限，所以3＋m<0，即m<－3.
7．A
8．C 【点拨】∵点A，B均在反比例函数y＝eq \f(2,x)(x＞0)的图象上，∴S△AOC＝S△BOD＝1.由题图可知，△AOC与△BOD的公共部分为△COE，因此△AOE与梯形ECDB的面积相等，即S1＝S2，故选C.
9．A 【点拨】设A点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，\f(k1,m)))，B点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n，\f(k1,n)))，则C点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，\f(k2,m)))，D点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n，\f(k2,n)))，
由题意，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n－m＝\f(10,3)，,\f(k1－k2,m)＝2，解得k2－k1＝4.,\f(k2－k1,n)＝3，))
10．D 【点拨】由于点A，B在同一反比例函数y＝eq \f(2,x)的图象上，∴S△ODB＝S△OCA＝eq \f(1,2)×2＝1，∴①正确；由于矩形OCMD，△ODB，△OCA的面积为定值，∴四边形OAMB的面积不会发生变化，∴②正确；连接OM，当点A是MC的中点时，S△OAM＝S△OAC.∵S△ODM＝S△OCM＝eq \f(a,2)，S△ODB＝S△OCA，∴S△OBM＝S△OAM.
∴S△OBD＝S△OBM.∴点B一定是MD的中点，∴③正确．
二、11.y＝eq \f(2,x) 12.<
13．(－1，－2) 【点拨】∵反比例函数y＝eq \f(k,x)的图象关于原点成中心对称，一次函数y＝mx的图象经过原点，且关于原点成中心对称，∴它们的交点也关于原点成中心对称．又∵点(1，2)关于原点成中心对称的点为(－1，－2)，∴它们的另一个交点的坐标为(－1，－2)．
14．48＜p＜120
15．y＝eq \f(12,x) 【点拨】连接OA，则△ABP与△ABO的面积相等，都等于6，∴反比例函数的表达式是y＝eq \f(12,x).
16.eq \f(1,2) 【点拨】将矩形ABCD沿x轴向右平移后，过点M作ME⊥AB于点E，则AE＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(3,2)，ME＝eq \f(1,2)BC＝eq \f(1,2).设OA＝m，则OE＝OA＋AE＝m＋eq \f(3,2)，∴Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m＋\f(3,2)，\f(1,2))).
∵点M在反比例函数y＝eq \f(1,x)的图象上，
∴eq \f(1,2)＝eq \f(1,m＋\f(3,2))，解得m＝eq \f(1,2).
17．12
18．5；eq \f(10n,n＋1) 【点拨】∵点A1，A2在反比例函数y＝eq \f(10,x)(x＞0)的图象上，
∴A1(2，5)，A2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(5,2)))，
∴S1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5－\f(5,2)))＝5.
易知Aneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2n，\f(5,n)))，An＋1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2n＋2，\f(5,n＋1)))，
∴Sn＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,n)－\f(5,n＋1)))＝eq \f(10,n（n＋1）).
∴S1＋S2＋S3＋…＋Sn＝10×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋\f(1,6)＋…＋\f(1,n（n＋1）)))＝10×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,3)＋…＋\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝eq \f(10n,n＋1).
三、19.解：(1)根据表中的数据，可画出v关于t的函数图象，根据图象形状，选择反比例函数模型进行尝试．
设v与t的函数表达式为v＝eq \f(k,t).
∵当v＝75时，t＝4，
∴k＝4×75＝300.∴v＝eq \f(300,t).
将t＝3.75，3.53，3.33，3.16分别代入v＝eq \f(300,t)可得eq \f(300,3.75)＝80，eq \f(300,3.53)≈85，eq \f(300,3.33)≈90，eq \f(300,3.16)≈95，∴v与t的函数表达式为v＝eq \f(300,t)(t≥3)．
(2)不能．理由：10时－7时30分＝2时30分，当t＝2.5时，v＝eq \f(300,2.5)＝120＞100.
∴汽车上午7：30从丽水出发，不能在上午10：00之前到达杭州市场．
(3)在v＝eq \f(300,t)中，当t＝3.5时，v＝eq \f(600,7)；当t＝4时，v＝75.
∴当3.5≤t≤4时，75≤v≤eq \f(600,7).
答：平均速度v的取值范围是75≤v≤eq \f(600,7).
易错点拨：解此类问题容易出错的地方是建立数学模型时，设出的函数表达式不符合题意而导致解答错误．
20．解：(1)∵双曲线y＝eq \f(m,x)经过点A(2，4)，∴m＝8.
∵直线y＝x＋b经过点A(2，4)，
∴b＝2.
∴此直线与y轴的交点B的坐标为(0，2)．
(2)点P的坐标为(8，1)或(－8，－1)．
21．解：(1)如图，过点B作BF⊥x轴于点F，由题意可得BF＝6，OF＝18.
∵四边形OABC是菱形，∴OC＝BC.
在Rt△BCF中，62＋(18－BC)2＝BC2，解得BC＝10，
∴点A的坐标为(8，6)，
将点A(8，6)的坐标代入y＝eq \f(k,x)，解得k＝48.
(2)由(1)知y＝eq \f(48,x)，可设Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(48,a)))，如图，过点E作EG⊥x轴于点G，则OG＝a，EG＝eq \f(48,a)，
∵EG⊥x轴，BF⊥x轴，∴EG∥BF，
易得△OGE∽△OFB，
∴eq \f(EG,BF)＝eq \f(OG,OF)，即eq \f(\f(48,a),6)＝eq \f(a,18)，解得a＝12.
∴eq \f(OE,OB)＝eq \f(OG,OF)＝eq \f(12,18)＝eq \f(2,3)，
∴eq \f(OE,EB)＝eq \f(2,1)＝2.
22．解：(1)根据题意，把A(－2，b)的坐标分别代入一次函数和反比例函数的表达式，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝－2k＋5，,b＝－\f(8,－2).))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝4，,k＝\f(1,2).))
∴一次函数的表达式为y＝eq \f(1,2)x＋5.
(2)将直线AB向下平移m(m＞0)个单位长度后，直线AB对应的函数表达式为y＝eq \f(1,2)x＋5－m.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝－\f(8,x)，,y＝\f(1,2)x＋5－m，))
得eq \f(1,2)x2＋(5－m)x＋8＝0.
由题知Δ＝(5－m)2－4×eq \f(1,2)×8＝0，
解得m＝1或m＝9.
23．解：(1)由题意易得点M的纵坐标为2.
将y＝2代入y＝－eq \f(1,2)x＋3，得x＝2.
∴M(2，2)．把点M的坐标代入y＝eq \f(k,x)，得k＝4，
∴反比例函数的表达式是y＝eq \f(4,x).
(2)由题意得S△OPM＝eq \f(1,2)OP·AM，
∵S四边形BMON＝S矩形OABC－S△AOM－S△CON＝4×2－2－2＝4，
S△OPM＝S四边形BMON，
∴eq \f(1,2)OP·AM＝4.
又易知AM＝2，∴OP＝4.
∴点P的坐标是(0，4)或(0，－4)．
24．解：(1)观察图象，可知当x＝7时，水温y＝100，
当0≤x≤7时，
设y关于x的函数关系式为y＝kx＋b，
由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝30，,7k＋b＝100，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝10，,b＝30，))
即当0≤x≤7时，y关于x的函数关系式为y＝10x＋30.
当x＞7时，设y＝eq \f(a,x)，
由题意得100＝eq \f(a,7)，解得a＝700，
即当x＞7时，y关于x的函数关系式为y＝eq \f(700,x)，
当y＝30时，x＝eq \f(70,3)，
∴y与x之间的函数关系式为y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(10x＋30（0≤x≤7），,\f(700,x)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(7＜x≤\f(70,3))).))
(2)将y＝50代入y＝10x＋30，
得x＝2，
将y＝50代入y＝eq \f(700,x)，得x＝14.
∵14－2＝12(min)，eq \f(70,3)－12＝eq \f(34,3)(min)，
∴怡萱同学想喝高于50 ℃的水，她最多需要等待eq \f(34,3) min.
25．解：(1)∵正比例函数图象与反比例函数图象的两个交点关于原点对称，
∴S△AOC＝S△BOC＝eq \f(1,2)S△ABC＝1.
又∵AC垂直于x轴，∴k＝2.
(2)存在．设点D的坐标为(m，0)．
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2x，,y＝\f(2,x)))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＝1，,y1＝2，))eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＝－1，,y2＝－2.))
∴A(1，2)，B(－1，－2)．
∴AD＝eq \r(（1－m）2＋22)，
BD＝eq \r(（m＋1）2＋22)，
AB＝eq \r(（1＋1）2＋（2＋2）2)＝2eq \r(5).
当D为直角顶点时，
∵AB＝2eq \r(5)，∴OD＝eq \f(1,2)AB＝eq \r(5).
∴点D的坐标为(eq \r(5)，0)或(－eq \r(5)，0)．
当A为直角顶点时，
由AB2＋AD2＝BD2，得(2eq \r(5))2＋(1－m)2＋22＝(m＋1)2＋22，
解得m＝5，即D(5，0)．
当B为直角顶点时，
由BD2＋AB2＝AD2，得(m＋1)2＋22＋(2eq \r(5))2＝(1－m)2＋22，
解得m＝－5，即D(－5，0)．
∴点D的坐标为(eq \r(5)，0)或(－eq \r(5)，0)或(5，0)或(－5，0)．
v/(km/h)
75
80
85
90
95
t/h
4.00
3.75
3.53
3.33
3.16