2021年人教版八年级上暑期培训第13讲--轴对称（学生版）

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轴对称与轴对称图形
（1）把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形____________；
（2）把一个图形沿着某一条直线折叠，如果______________能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形．
（3）轴对称与轴对称图形的区别与联系：
轴对称的性质及轴对称图形的画法
(1)成轴对称的两个____________.
(2)成轴对称的两个图形中，对应点的连线被______________垂直平分；轴对称图形对称点的连线互相平行或在同一条直线上.
轴对称图形中的对称线段所在直线的交点在对称轴上或对称线段所在直线互相平行．
(3)画轴对称图形时，应先确定对称轴，再找出对称点.
垂直平分线的定义：经过线段 并且 于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线.
垂直平分线的性质：垂直平分线上的点 相等.
垂直平分线的判定： 在线段的垂直平分线上.
线段、角的轴对称性
（1）线段是轴对称图形，＿＿＿＿＿＿＿＿是它的对称轴；
（2）①角是轴对称图形，＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿是它的对称轴；
②角平分线上的点到＿＿＿＿＿＿＿＿＿的距离相等；到＿＿＿＿＿＿＿＿＿距离相等的点在角的平分线上．
专题讲解
1.网格作图
例1：已知：如图在平面直角坐标系中。
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标；A1（________）
B1（________）， C1（________）；
（2）直接写出△ABC的面积为_________________；
练1：在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴.
（1）如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（0，－2）、B（－1，0）、 C（1，3），△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，在图上画出△A2B2C2，并写出△A2B2C2三个顶点的坐标：A2（________），B2（________）， C2（________）；
（2）如果点P的坐标是（a，0），其中a>0，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是点P2，直接写出P1P2的长为____________ （用含a的式子表示）
2.角平分线对称
例1：如图，在△ABC中，∠BAC=2∠B，CD平分∠ACB交AB于D，求证：AC+AD=BC.
例2：在△ABC中，∠BAC=a，∠BAC的外角角平分线所在的直线交直线BC于点D，若BD=AB+AC，求∠ABC的大小.
练1：在三角形ABC中，∠BAC=80°，点O是△ABC内角平分线的交点，若AB+AO=BC，求∠ABC的度数.
练2：在RT△ABC中，∠ACB=90°，O是RT△ABC的内角角平分线的交点，OD⊥AB于D.
（1）若AC=6，BC=8，AB=10，求AD及OD的长；（2）求证：2OD+AB=AC+BC.
3.垂直平分线的应用
例1：如图，MP和NQ分别垂直平分AB和AC.
（1）若∠BAC=105°，求∠PAQ的度数；（2）若∠PAQ=25°，求∠BAC的度数.
例2：如图，△ABC中，AB=AC，D、E分别在AC、AB上，且BD=BC，BE=DE=AD，求∠C的度数.
练1：如图，△ABC中，∠BAC=110°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，BC=10cm.
（1）求△ADE的周长；（2）求∠DAE的度数.
练2：如图，点D在AC上，点E在AB上，且AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE，求∠A的度数.
例3：如图，△ABC中，AC的垂直平分线DE交AC于点E，交∠ABC的平分线于点D，DF⊥BC于F.
求证：（1）BC-AB=2CF；（2）BC+AB=2BF.
练3：如图，△ABC中，AC的垂直平分线DE交AC于点E，交∠ABC的平分线于点D，DF⊥BC于F.
（1）若∠ABC=60°，求∠ADE的度数；（2）若∠ABC=a，直接写出∠DAE的度数.
4.利用轴对称求最值
例1：（1）如图，在直线l上求一点P，使PA+PB最小.

（2）如图，在直线l上求一点P，使︳PA-PB︳最小.

（3）如图，∠ABC内有一点P，在BA、BC边上各取一点M、N使△PMN的周长最小.
（4）如图，∠ABC内有两点P、Q，在BA、BC上分别找一点M、N，使四边形PQMN的周长最小.
练1：如图，∠AOB=30°，点P为∠AOB内一点，OP=10，点M、N分别在OA、OB上.
（1）求△PMN的周长的最小值；
当△PMN周长最小时，求∠MPN的度数.
三、课后练习
1、下列图形中不是轴对称图形的是 （ ）

A B C D
2、正方形的对称轴共有（）
A．2条 B．4条 C．5条 D．10条
3、△ABC和△A’B’C’关于直线l对称，若△ABC的周长为12cm，则△A’B’C’的周长为 （ ）
A．24cm B．12cm C．6cm D．4cm
4、点A(-2，3)关于x轴对称的点A’的坐标为 （ ）
A．（-2，-3） B．（2，3） C．（2，－3） D．（3，－2）
5、已知点A（x,-4）与点B（3，y）关于y轴对称，那么x＋y的值为 （ ）
A．-1 B．-7 C．7 D．2
6、如图，△ABC与△A1B1C1关于直线l对称，∠B1=100°，则∠B的度数为 （ ）
A．30° B．50° C．90° D．100°

7、如图，点D在AC的垂直平分线上，AB∥CD，若∠D＝130°，则∠BAC的度数为 （ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
8、点（2，5）关于直线x=1的对称点的坐标为 （ ）
A．（－2，5） B．（-3，5） C．（4，5） D．（0，5）
9、如图，△OBC的顶点O（0，0），B（-6，0），且∠OCB=90°，OC=BC，则点C关于x轴对称的点的坐标是 （ ）
A．（3，3） B．（－3，3） C．（－3，－3） D．（－6，6）
10、如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于 QUOTE 12 AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，交BC于D，连接AD，若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为 （ ）
A．7 B．14 C．17 D．20
11、如图，AB=4，AC=5，BC=3，△ABC与△A’B’C’关于直线l对称，则B’C’=____________
12、如图，点A关于y轴对称的点的坐标是____________________
13、如图，以正方形ABCD的中心为原点建立直角坐标系，若点A的坐标为（-1，1），则点B的坐标为____________ ，点C的坐标为_____________，点D的坐标为____________ .
14、如图，∠AOB内一点P，P1、P2分别是点P关于OA、OB的对称点，P1、P2交OA于M，交OB于N，若P1P2=5cm，则△PMN的周长是__________ cm
15、如图，△ABC的面积为2cm2，AP与∠B的平分线垂直，垂足是点P，则△PBC的面积为__________ cm2
16、如图，在平面直角坐标系中，AB=BC，∠ABC=90°，A(0，3)，B(-1，0)，以AB为直角边在AB的右侧作等腰Rt△ABE，则点E的坐标是____________.
17、如图，点A在线段BD的垂直平分线上，BF⊥AD，DE⊥AB，垂足分别为F、E.求证：BF=DE
18、如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使CD落在GH的位置，GH交BC于M，若∠HMB=50°，求∠HEF的度数
19、如图，分别作点A(-3,0)，B(-2,2)关于直线x=2的对称点A’、B’.
（1）A’ 点坐标为_____________ ， B’点坐标为____________.
（2）四边形ABB’ A’的面积为___________
20、已知A、B两点的坐标分别为（-2，1）和（2，3）
（1）在图1中分别画出线段AB关于x轴和y轴的对称线段A1B1及A2B2，并写出相应端点的坐标；
（2）在图2中分别画出线段AB关于直线x＝－1和直线y＝4的对称线段A3B3及A4B4，并写出相应端点的坐标.