八年级上册数学期末复习知识点学案

这是一份八年级上册数学期末复习知识点学案，共43页。学案主要包含了学习目标，知识网络，要点梳理，典型例题，思路点拨，总结升华，答案与解析，问题情境等内容，欢迎下载使用。

八年级上册数学期末复习知识点（附经典习题）
《三角形》全章复习与巩固（提高）知识讲解
【学习目标】
1.认识三角形并能用符号语言正确表示三角形，理解并会应用三角形三边之间的关系.
2.理解三角形的高、中线、角平分线的概念，通过作三角形的三条高、中线、角平分线，提高学生的基本作图能力，并能运用图形解决问题．
3.能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.
4.通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性，知道四边形没有稳定性，了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的广泛应用．
5.了解多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念；掌握多边形内角和及外角和，并能灵活运用公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.
【知识网络】

【要点梳理】
要点一、三角形的有关概念和性质
1.三角形三边的关系：
定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.
要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
2.三角形按“边”分类：


3.三角形的重要线段：
（1）三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．
要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.
（2）三角形的中线
三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线，
要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形.
（3）三角形的角平分线
三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.
要点二、三角形的稳定性
　　如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．
要点诠释：(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．(3)四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形．
要点三、三角形的内角和与外角和
1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．
推论：1.直角三角形的两个锐角互余
2.有两个角互余的三角形是直角三角形
2.三角形外角性质：
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°.
要点四、多边形及有关概念
1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 
　　要点诠释：多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.
2.正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等．
要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.
3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
　　　　　　　　　　　　　　　　
要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形；
(2)n边形共有 条对角线．
要点五、多边形的内角和及外角和公式
1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ．
要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；
(2)内角和定理的应用：
①已知多边形的边数，求其内角和；
②已知多边形内角和，求其边数.　　
2.多边形外角和：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.
要点诠释：(1)外角和公式的应用：
　　　 ①已知外角度数，求正多边形边数；
　　　 ②已知正多边形边数，求外角度数. 
　　(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：
　　　 ①n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°.
要点六、镶嵌的概念和特征
1.定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)．这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同.
　 要点诠释：（1）拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边.
(2)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°.(3)只用一种正多边形镶嵌地面，当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就能铺成一个平面图形.事实上，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用.
【典型例题】
类型一、三角形的三边关系
1. （2016•长沙模拟）一个三角形的三边长分别是3，2a-1，6,则整数a的值可能是 ( )．
A．2,3 B．3,4 C．2,3，4 D．3,4，5
【思路点拨】直接利用三角形三边关系，得出a的取值范围.
【答案】B
【解析】解：∵一个三角形的三条边长分别为3，2a-1，6,
∴
解得：2＜a＜5，
则整数a的值可能是3,4，故选B.
【总结升华】主要考察了三角形三边关系，正确得出a的取值范围是解题关键.
举一反三：
【变式】（2014秋•孝感月考）已知a、b、c是三角形三边长，试化简：|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|﹣|a-b+c|．
【答案】解：∵a、b、c是三角形三边长，
∴b+c-a＞0，b-c-a＜0，c-a-b＜0，a-b+c＞0，
∴|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|-|a-b+c|，
=b+c-a-b+c+a-c+a+b-a+b-c
=2b．
2.如图，O是△ABC内一点，连接OB和OC．

(1)你能说明OB+OC＜AB+AC的理由吗?
(2)若AB＝5，AC＝6，BC＝7，你能写出OB+OC的取值范围吗?
【答案与解析】
解：(1)如图，延长BO交AC于点E，根据三角形的三边关系可以得到，
在△ABE中，AB+AE＞BE；
在△EOC中，OE+EC＞OC，
两不等式相加，得AB+AE+OE+EC＞BE+OC．
由图可知，AE+EC＝AC，BE＝OB+OE．

所以AB+AC+OE＞OB+OC+OE，即OB+OC＜AB+AC．
(2)因为OB+OC＞BC，所以OB+OC＞7．
又因为OB+OC＜AB+AC，所以OB+OC＜11，所以7＜OB+OC＜11．
【总结升华】充分利用三角形三边关系的性质进行解题．
类型二、三角形中的重要线段
3.在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形的各边长．
【思路点拨】因为中线BD的端点D是AC边的中点，所以AD＝CD，造成两部分不等的原因是BC边与AB、AC边不等，故应分类讨论．
【答案与解析】
解：如图(1)，设AB＝x，AD＝CD＝．
(1)若AB+AD＝12，即，所以x＝8，
即AB＝AC＝8，则CD＝4．故BC＝15-4＝11．
此时AB+AC＞BC，所以三边长为8，8，11．
(2)如图(2)，若AB+AD＝15，即，所以x＝10．
即AB＝AC＝10，则CD＝5．故BC＝12-5＝7．
显然此时三角形存在，所以三边长为10，10，7．
综上所述此三角形的三边长分别为8，8，11或10，10，7．
【总结升华】BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，哪部分是12cm，哪部分是15cm，问题中没有交代，因此，必须进行分类讨论．
举一反三：
【变式】有一块三角形优良品种试验田，现引进四个品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的方案供选择.

【答案】
解：方案1：如图（1），在BC上取D、E、F，使BD=ED=EF=FC，连接AE、AD、AF．
方案2：如图(2)，分别取AB、BC、CA的中点D、E、F，连接DE、EF、DF．
方案3：如图(3)，取AB中点D，连接AD，再取AD的中点E，连接BE、CE．
方案4：如图(4)，在 AB取点 D，使DC＝2BD，连接AD，再取AD的三等分点E、F，连接CE、CF．


类型三、与三角形有关的角
4.（2015春•石家庄期末）已知△ABC中，AE平分∠BAC
（1）如图1，若AD⊥BC于点D，∠B=72°，∠C=36°，求∠DAE的度数；
（2）如图2，P为AE上一个动点（P不与A、E重合，PF⊥BC于点F，若∠B＞∠C，则∠EPF=是否成立，并说明理由．

【思路点拨】
（1）利用三角形内角和定理和已知条件直接计算即可；
（2）成立，首先求出∠1的度数，进而得到∠3的度数，再根据∠EPF=180°﹣∠2﹣∠3计算即可．
【答案与解析】
证明：（1）如图1，∵∠B=72°，∠C=36°，
∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=72°；
又∵AE平分∠BAC，
∴∠1==36°，
∴∠3=∠1+∠C=72°，
又∵AD⊥BC于D，
∴∠2=90°，
∴∠DAE=180°﹣∠2﹣∠3=18°．
（2）成立．
如图2，∵AE平分∠BAC，
∴∠1===90°﹣，
∴∠3=∠1+∠C=90°﹣+，
又∵PF⊥BC于F，
∴∠2=90°，
∴∠EPF=180°﹣∠2﹣∠3=．

【总结升华】本题考查了三角形的内角以及角平分线的性质，准确识别图形是解题的关键．
举一反三：
【变式】如图，AC⊥BC,CD⊥AB,图中有 对互余的角？有 对相等的锐角？  

【答案】3,2．
类型四、三角形的稳定性
5. 如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且实用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？

【答案与解析】
解：这种衣帽架能收缩是利用四边形的不稳定性，可以根据需要改变挂钩间的距离。它的固定方法是：任选两个不在同一木条上的顶点固定就行了。
【总结升华】要使物体具有稳定性，应做成三角形，否则做成四边形、五边形等等.
举一反三：
【变式】如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条．那么要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条?使七边形木架不变形，至少要钉几根木条?使n边形木架不变形．又至少要钉多少根木条?

【答案】要使五边形木架不变形，至少要钉2根木条；使七边形木架不变形，至少要钉4根木条；使n边形木架不变形，至少要钉(n-3)根木条．
类型五、多边形内角和及外角和公式
6．某多边形除一个内角α外，其余内角的和是2750°．求这个多边形的边数． 
【思路点拨】由已知条件可知，这个多边形内角和要大于2750°，而因为凸多边形的每一个内角α的范围是：0°＜α＜180°，所以2750°加上一个180°又大于内角和，所以本题建立不等式组来解答.
【答案与解析】
设这个多边形是边形，则它的内角和是，
∴　　2750°+0°＜(n-2)×180°＜2750°+180° 
∵ n为正整数，
∴ n=18.
【总结升华】本题是多边形的内角和定理和的综合运用.一般设出边数，根据条件列出关于的不等式组，求出的取值范围，再根据n取正整数得出正确的值即可.
举一反三
【变式】一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求这个多边形的边数。
【答案】可设多边形的边数为n，某一个外角为α
　　　　则(n－2)×180＋α＝1350
　　　　从而(n－2)=
　　　　因为边数n为正整数，所以α＝90，n＝9　　　　　　　　
类型六、多边形对角线公式的运用
7．某校七年级六班举行篮球比赛，比赛采用单循环积分制（即每两个班都进行一次比赛）.你能算出一共需要进行多少场比赛吗？
【思路点拨】本题体现与体育学科的综合，解题方法参照多边形对角线条数的求法，即多边形的对角线条数加上边数. 如图： 
　　　　 
【答案与解析】共需要比赛（场）. 
【总结升华】对于其他学科问题要善于把它与数学知识联系在一起，便于解决.
举一反三
【变式】一个多边形共有44条对角线，则多边形的边数是（ ）.
　 　A．8 　　　B．9　　　 C．10 　　　D．11
【答案】D；
类型七、镶嵌问题
8．分别画出用相同边长的下列正多边形组合铺满地面的设计图.
　　(1)正方形和正八边形；
　　(2)正三角形和正十二边形；
　　(3)正三角形、正方形和正六边形.
【思路点拨】只要在拼接处各多边形的内角的和能构成一个周角，那么这些多边形就能作平面镶嵌.
【答案与解析】正三角形、正方形、正六边形、正八边形、正十二边形的每一个内角分别是60°、90°、120°、135°、150°.
　　(1)因为90＋2×135＝360，所以一个顶点处有1个正方形、2个正八边形，如图(1)所示.
　　(2)因为60＋2×150＝360，所以一个顶点处有1个正三角形、2个正十二边形，如图(2)所示.
　　(3)因为60＋2×90＋120＝360，所以一个顶点处有1个正三角形、1个正六边形和2个正方形，如图(3)所示.
　　　【总结升华】用两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形，实质上是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题.
全等三角形全章复习与巩固（提高）
【学习目标】
1. 了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；
2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；
3．会作角的平分线，了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质， 会利用角的平分线的性质进行证明.
【知识网络】


【要点梳理】

一般三角形
直角三角形
判定
边角边（SAS）
角边角（ASA）
角角边（AAS）
边边边（SSS）
两直角边对应相等
一边一锐角对应相等
斜边、直角边定理（HL）
性质
对应边相等，对应角相等
（其他对应元素也相等，如对应边上的高相等）
备注
判定三角形全等必须有一组对应边相等
要点一、全等三角形的判定与性质









要点二、全等三角形的证明思路

要点三、角平分线的性质
1.角的平分线的性质定理
　 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
2.角的平分线的判定定理
　 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
3.三角形的角平分线
三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等.
4.与角平分线有关的辅助线
在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；
在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.
要点四、全等三角形证明方法
全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法.
1． 证明线段相等的方法：
(1) 证明两条线段所在的两个三角形全等.
(2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.
(3) 等式性质.
2． 证明角相等的方法：
(1) 利用平行线的性质进行证明.
(2) 证明两个角所在的两个三角形全等.
(3) 利用角平分线的判定进行证明.
(4) 同角（等角）的余角（补角）相等.
(5) 对顶角相等.
3． 证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法：
可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明.
4． 辅助线的添加:
(1)作公共边可构造全等三角形；
(2)倍长中线法；
(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；
(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.
5. 证明三角形全等的思维方法:
（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.
（2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.
（3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.
【典型例题】
类型一、巧引辅助线构造全等三角形
(1)．倍长中线法
1、已知，如图，△ABC中，D是BC中点，DE⊥DF,试判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论.

【思路点拨】因为D是BC的中点，按倍长中线法，倍长过中点的线段DF，使DG＝DF,证明△EDG≌△EDF，△FDC≌△GDB，这样就把BE、CF与EF线段转化到了△BEG中，利用两边之和大于第三边可证.
【答案与解析】BE＋CF＞EF；
证明：延长FD到G，使DG＝DF,连接BG、EG
∵D是BC中点
∴BD＝CD
又∵DE⊥DF
在△EDG和△EDF中

∴△EDG≌△EDF（SAS）
∴EG＝EF
在△FDC与△GDB中

∴△FDC≌△GDB(SAS)
∴CF＝BG
∵BG＋BE＞EG
∴BE＋CF＞EF
【总结升华】有中点的时候作辅助线可考虑倍长中线法（或倍长过中点的线段）.
举一反三：
【变式】已知：如图所示，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC．
求证：CD＝2CE．

【答案】
证明： 延长CE至F使EF＝CE，连接BF．
∵ EC为中线，
∴ AE＝BE．
在△AEC与△BEF中，
∴ △AEC≌△BEF（SAS）．
∴ AC＝BF，∠A＝∠FBE．（全等三角形对应边、角相等）
又∵ ∠ACB＝∠ABC，∠DBC＝∠ACB＋∠A，∠FBC＝∠ABC＋∠A．
∴ AC＝AB，∠DBC＝∠FBC．
∴ AB＝BF．
又∵ BC为△ADC的中线，
∴ AB＝BD．即BF＝BD．
在△FCB与△DCB中，
∴ △FCB≌△DCB（SAS）．
∴ CF＝CD．即CD＝2CE．
(2)．作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形
2、（2016•海淀区校级模拟）如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠1=∠2，EF∥BC交AC于点F．试说明AE=CF．

【思路点拨】作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G，根据角平分线的性质可得EH=ED，再证ED=FG，则EH=FG，通过证明△AEH≌△CFG即可．
【答案与解析】
解：作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G，
∵∠1=∠2，AD⊥BC，
∴EH=ED（角平分线的性质）
∵EF∥BC，AD⊥BC，FG⊥BC，
∴四边形EFGD是矩形，
∴ED=FG，
∴EH=FG，
∵∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，
∴∠BAD=∠C，
又∵∠AHE=∠FGC=90°，
∴△AEH≌△CFG（AAS）
∴AE=CF．

【总结升华】本题考查了角平分线的性质；由角平分线构造全等，综合利用了角平分线的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定等知识点．
举一反三：
【变式】如图，AD是的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD＝BD.
(1)求证：∠B与∠AHD互补；
(2)若∠B＋2∠DGA＝180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明.

【答案】
证明：（1）在AB上取一点M, 使得AM＝AH, 连接DM.
∵ ∠CAD＝∠BAD, AD＝AD,
∴ △AHD≌△AMD.
∴ HD＝MD, ∠AHD＝∠AMD.
∵ HD＝DB,
∴ DB＝ MD.
∴ ∠DMB＝∠B.
∵ ∠AMD＋∠DMB ＝180°,
∴ ∠AHD＋∠B＝180°.
即 ∠B与∠AHD互补.
（2）由（1）∠AHD＝∠AMD, HD＝MD, ∠AHD＋∠B＝180°.
∵ ∠B＋2∠DGA ＝180°,
∴ ∠AHD＝2∠DGA.
∴ ∠AMD＝2∠DGM.
∵ ∠AMD＝∠DGM＋∠GDM.
∴ 2∠DGM＝∠DGM＋∠GDM.
∴ ∠DGM＝∠GDM.
∴ MD＝MG.
∴ HD＝ MG.
∵ AG＝ AM＋MG,
∴ AG＝ AH＋HD.
（3）.利用截长(或补短)法作构造全等三角形
3、（2015•新宾县模拟）如图，△ABC中，AB=AC，点P是三角形右外一点，且∠APB=∠ABC．
（1）如图1，若∠BAC=60°，点P恰巧在∠ABC的平分线上，PA=2，求PB的长；
（2）如图2，若∠BAC=60°，探究PA，PB，PC的数量关系，并证明；
（3）如图3，若∠BAC=120°，请直接写出PA，PB，PC的数量关系．

【思路点拨】（1）AB=AC，∠BAC=60°，证得△ABC是等边三角形，∠APB=∠ABC，得到∠APB=60°，又点P恰巧在∠ABC的平分线上，得到∠ABP=30°，得到直角三角形，利用直角三角形的性质解出结果．
（2）在BP上截取PD，使PD=PA，连结AD，得到△ADP是等边三角形，再通过三角形全等证得结论．
（3）以A为圆心，以AP的长为半径画弧交BP于D，连接AD，过点A作AF⊥BP交BP于F，得到等腰三角形，然后通过三角形全等证得结论．
【答案与解析】
解：（1）∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，∠APB=∠ABC，
∴∠APB=60°，
又∵点P恰巧在∠ABC的平分线上，
∴∠ABP=30°，
∴∠PAB=90°，
∴BP=2AP，
∵AP=2，
∴BP=4；
（2）结论：PA+PC=PB．
证明：如图1，在BP上截取PD，使PD=PA，连结AD，

∵∠APB=60°，
∴△ADP是等边三角形，
∴∠DAP=60°，
∴∠1=∠2，PA=PD，
在△ABD与△ACP中，
，
∴△ABD≌△ACP，
∴PC=BD，
∴PA+PC=PB；
（3）结论：PA+PC=PB．
证明：如图2，以A为圆心，以AP的长为半径画弧交BP于D，连接AD，过点A作AF⊥BP交BP于F，
∴AP=AD，
∵∠BAC=120°，
∴∠ABC=30°，
∴∠APB=30°，
∴∠DAP=120°，
∴∠1=∠2，
在△ABD与△ACP中，
，
∴△ABD≌△ACP，
∴BD=PC，
∵AF⊥PD，
∴PF=AP，
∴PD=AP，
∴PA+PC=PB．

【总结升华】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，截长补短作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
举一反三：
【变式】如图，AD是△ABC的角平分线，AB＞AC,求证：AB－AC＞BD－DC

【答案】
证明：在AB上截取AE＝AC,连结DE
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD
在△AED与△ACD中

∴△AED≌△ADC（SAS）
∴DE＝DC
在△BED中，BE＞BD－DC
即AB－AE＞BD－DC
∴AB－AC＞BD－DC
（4）.在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段
4、（2016•海淀区校级模拟）如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠1=∠2，EF∥BC交AC于点F．试说明AE=CF．

【思路点拨】作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G，根据角平分线的性质可得EH=ED，再证ED=FG，则EH=FG，通过证明△AEH≌△CFG即可．
【答案与解析】
解：作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G，
∵∠1=∠2，AD⊥BC，
∴EH=ED（角平分线的性质）
∵EF∥BC，AD⊥BC，FG⊥BC，
∴四边形EFGD是矩形，
∴ED=FG，
∴EH=FG，
∵∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，
∴∠BAD=∠C，
又∵∠AHE=∠FGC=90°，
∴△AEH≌△CFG（AAS）
∴AE=CF．

【总结升华】本题考查了角平分线的性质；已知角平分线，构造全等三角形，综合利用了角平分线的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定等知识点．
5、如图所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E， ，求证：BD是∠ABC的平分线．
　　　
【答案与解析】
证明：延长AE和BC，交于点F，
　　　∵AC⊥BC，BE⊥AE，∠ADE=∠BDC（对顶角相等），
　　　∴∠EAD+∠ADE=∠CBD+∠BDC．即∠EAD=∠CBD．
　　　在Rt△ACF和Rt△BCD中．
　　　　　
　　　　　所以Rt△ACF≌Rt△BCD（ASA）．
　　　　　则AF=BD（全等三角形对应边相等）．
　　　　　∵AE=BD，∴AE=AF，
　　　　　即AE=EF．
　　　　　在Rt△BEA和Rt△BEF中，
　　　　　
　　　　　则Rt△BEA≌Rt△BEF（SAS）．
　　　　　所以∠ABE=∠FBE（全等三角形对应角相等），
　　　　　即BD是∠ABC的平分线．
【总结升华】如果由题目已知无法直接得到三角形全等，不妨试着添加辅助线构造出三角形全等的条件，使问题得以解决．平时练习中多积累一些辅助线的添加方法.
类型二、全等三角形动态型问题

6、在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线经过顶点C，过A，B两点分别作的垂线AE，BF，垂足分别为E，F.
（1）如图1当直线不与底边AB相交时，求证：EF＝AE＋BF.
（2）将直线绕点C顺时针旋转，使与底边AB相交于点D，请你探究直线在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系，①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD.

【答案与解析】
证明：（1）∵AE⊥，BF⊥，∴∠AEC＝∠CFB＝90°，∠1＋∠2＝90°
∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠3＝90°
∴∠1＝∠3。
∵在△ACE和△CBF中，

∴△ACE≌△CBF（AAS）
∴AE＝CF，CE＝BF
∵EF＝CE＋CF，∴EF＝AE＋BF。
（2）①EF＝AE－BF，理由如下：
∵AE⊥，BF⊥，
∴∠AEC＝∠CFB＝90°，∠1＋∠2＝90°
∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3。
∵在△ACE和△CBF中

∴△ACE≌△CBF（AAS）
∴AE＝CF，CE＝BF
∵EF＝CF－CE，∴EF＝AE―BF。
②EF＝AE―BF
③EF＝BF―AE
证明同①.
【总结升华】解决动态几何问题时要善于抓住以下几点：
(1) 变化前的结论及说理过程对变化后的结论及说理过程起着至关重要的作用；
(2) 图形在变化过程中，哪些关系发生了变化，哪些关系没有发生变化；原来的线段
之间、角之间的位置与数量关系是否还存在是解题的关键；
(3) 几种变化图形之间，证明思路存在内在联系，都可模仿与借鉴原有的结论与过程，
其结论有时变化，有时不发生变化.
举一反三：
【变式】（2015•临沂模拟）【问题情境】
如图，在正方形ABCD中，点E是线段BG上的动点，AE⊥EF，EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F．
【探究展示】
（1）如图1，若点E是BC的中点，证明：∠BAE+∠EFC=∠DCF．
（2）如图2，若点E是BC的上的任意一点（B、C除外），∠BAE+∠EFC=∠DCF是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，若点E是BC延长线（C除外）上的任意一点，求证：AE=EF．

【答案】
（1）证明：取AB的中点M，连结EM，如图1：

∵M是AB的中点，E是BC的中点，
∴在正方形ABCD中，AM=EC，
∵CF是∠DCG的平分线，
∴∠BCF=135°，
∴∠AME=∠ECF=135°，
∵∠MAE=∠CEF=45°，
在△AME与△ECF中，
，
∴△AME≌△ECF（SAS），
∴∠BAE+∠EFC=∠FCG=∠DCF；
（2）证明：取AB上的任意一点使得AM=EC，连结EM，如图2：

∵AE⊥EF，AB⊥BC，
∴∠BAE+∠BEA=90°，∠BEA+∠CEF=90°，
∴∠MAE=∠CEF，
∵AM=EC，
∴在正方形ABCD中，BM=BE，
∴∠AME=∠ECF=135°，
在△AME与△ECF中，
，
∴△AME≌△ECF（SAS），
∴∠BAE+∠EFC=∠FCG=∠DCF；
（3）证明：取AB延长线上的一点M使得AM=CE，如图3：

∵AM=CE，AB⊥BC，
∴∠AME=45°，
∴∠ECF=AME=45°，
∵AD∥BE，
∴∠DAE=∠BEA，
∵MA⊥AD，AE⊥EF，
∴∠MAE=∠CEF，
在△AME与△ECF中，
，
∴△AME≌△ECF（SAS），
∴AE=EF．
轴对称全章复习与巩固（提高）
【学习目标】
1. 认识轴对称、轴对称图形，理解轴对称的基本性质及它们的简单应用；
2. 了解垂直平分线的概念，并掌握其性质；
3. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法.
【知识网络】

【要点梳理】
要点一、轴对称
1.轴对称图形和轴对称　　
（1）轴对称图形
如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
（2）轴对称
　　定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：
①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；
②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.
（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系
区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．
2.线段的垂直平分线
线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
要点二、作轴对称图形
1.作轴对称图形
（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；
（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.
2.用坐标表示轴对称
点（,）关于轴对称的点的坐标为（,－）；点（,）关于轴对称的点的坐标为（－,）；点（,）关于原点对称的点的坐标为（－,－）.
要点三、等腰三角形
1.等腰三角形
　　（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
（2）等腰三角形性质
　①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.
（3）等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等　 　　边”）.
2.等边三角形
　　（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.
（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.　　
（3）等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.
3.直角三角形的性质定理：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
【典型例题】
类型一、轴对称的性质与应用
1、如图，由四个小正方形组成的田字格中，△ABC的顶点都是小正方形的顶点．在田字格上画与△ABC成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形（不包含△ABC本身）共有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

【思路点拨】分别以正方形的对角线和田字格的十字线为对称轴，来找三角形.
【答案】C；
【解析】先把田字格图标上字母如图，确定对称轴找出符合条件的三角形，再计算个数．
△HEC与△ABC关于CD对称；△FDB与△ABC关于BE对称；△GED与△ABC关于HF对称；关于AG对称的是它本身．所以共3个．

【总结升华】本题考查了轴对称的性质；确定对称轴然后找出成轴对称的三角形是解题的关键．
举一反三：
【变式】如图，△ABC的内部有一点P，且D，E，F是P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点．若△ABC的内角∠A＝70°，∠B＝60°，∠C＝50°，则∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝（　 　）
A.180° B.270° C.360° D.480°

【答案】C；
解：连接AP，BP，CP，
∵D，E，F是P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点
∴∠ADB＝∠APB，∠BEC＝∠BPC，∠CFA＝∠APC，
∴∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝∠APB＋∠BPC＋∠APC＝360°．

2、已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数.

【思路点拨】求周长最小，利用轴对称的性质，找到P的对称点来确定A、B的位置，角度的计算，可以通过三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算.
【答案与解析】
解：分别作P关于OM、ON的对称点，，连接交OM于A，ON于B.则△PAB为符合条件的三角形.
∵∠MON＝40°
　 ∴∠＝140°.
∠＝∠PAB,∠＝∠PBA.
∴ (∠PAB＋∠PBA)＋∠APB＝140°
∴∠PAB＋∠PBA＋2∠APB＝280°
∵∠PAB＝∠＋∠, ∠PBA＝∠＋∠
∴∠＋∠＋∠＝180°
∴∠APB＝100°
【总结升华】将实际问题抽象或转化为几何模型，将周长的三条线段的和转化为一条线段，这样取得周长的最小值.
举一反三：
【变式】（2015•乐陵市模拟）（1）如图1，直线同侧有两点A、B，在直线上求一点C，使它到A、B之和最小．（保留作图痕迹不写作法）
（2）知识拓展：如图2，点P在∠AOB内部，试在OA、OB上分别找出两点E、F，使△PEF周长最短（保留作图痕迹不写作法）
（3）解决问题：①如图3，在五边形ABCDE中，在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN周长最小（保留作图痕迹不写作法）
②若∠BAE=125°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，∠AMN+∠ANM的度数为　 　．

【答案】解：（1）作A关于直线MN的对称点E，连接BE交直线MN于C，连接AC，BC，
则此时C点符合要求．

（2）作图如下：

（3）①作图如下：

②∵∠BAE=125°，
∴∠P+∠Q=180°﹣125°=55°，
∵∠AMN=∠P+∠PAM=2∠P，∠ANM=∠Q+∠QAN=2∠Q，
∴∠AMN+∠ANM=2（∠P+∠Q）=2×55°=110°．
3、（2016春•浦东新区期末）在直角坐标平面内，已知在y轴与直线x=3之间有一点M（a，3），如果该点关于直线x=3的对称点M的坐标为（5，3），那么a的值为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【思路点拨】根据题意得出对称点到直线x=3的距离为2，再利用对称点的性质得出答案．
【答案】D；
【解析】解：∵该点关于直线x=3的对称点N的坐标为（5，3），
∴对称点到直线x=3的距离为2，
∵点M（a，3）到直线x=3的距离为2，
∴a=1
【总结升华】此题主要考查了坐标与图形的性质，根据题意得出对称点到直线x=3的距离是解题关键．
举一反三：
【变式1】如图，若直线经过第二、四象限，且平分坐标轴的夹角，Rt△AOB与Rt△关于直线对称，已知A（1，2），则点的坐标为（　　）
A.（－1，2） B.（1，－2） C.（－1，－2） D.（－2，－1）

【答案】D；
提示：因为Rt△AOB与Rt△关于直线对称，所以通过作图可知，的坐标是（－2，－1）．
【变式2】如图，ΔABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），点B的坐标为
（3，1），如果要使ΔABD与ΔABC全等，求点D的坐标．

【答案】
解：满足条件的点D的坐标有3个（4，－1）；（－1，－1）；（－1，3）.
类型二、等腰三角形的综合应用
4、如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：

如图①，连接AP．
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
∴=AB•PE，=AC•PF，=AB•CH．
又∵，
∴AB•PE+AC•PF=AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．
（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：
（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=______.点P到AB边的距离PE=________.
【答案】7；4或10；
【解析】
解：（1）如图②，PE=PF+CH．证明如下：
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
∴=AB•PE，=AC•PF，=AB•CH，
∵=+，
∴AB•PE=AC•PF+AB•CH，
又∵AB=AC，
∴PE=PF+CH；

（2）∵在△ACH中，∠A=30°，
∴AC=2CH．
∵=AB•CH，AB=AC，
∴×2CH•CH=49，
∴CH=7．
分两种情况：
①P为底边BC上一点，如图①．
∵PE+PF=CH，
∴PE=CH-PF=7-3=4；
②P为BC延长线上的点时，如图②．
∵PE=PF+CH，
∴PE=3+7=10．
故答案为7；4或10．
【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中，运用面积证明可使问题简便，（2）中分情况讨论是解题的关键．
5、已知，如图，∠1＝12°，∠2＝36°，∠3＝48°，∠4＝24°. 求的度数．

【答案与解析】
A
C
D
1
2
3
B
5
E
解：将沿AB翻折，得到，连结CE，
则，
∴∠1＝∠5＝12°.
∴60°
∵48°∴．
又∵∠2＝36°，72°，
∴
∴BE＝BC
∴为等边三角形.
∴
又垂直平分BC．
∴AE平分．
∴30°
∴∠ADB＝30°
【总结升华】直接求很难，那就想想能不能通过翻折或旋转构造一个与全等的三角形，从而使其换个位置，看看会不会容易求．
举一反三：
【变式】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D为形内一点，且∠DAB＝∠DBA＝10°，
求∠ACD的度数.

【答案】　　　　　　　　　　　　　　　　　
解：作D关于BC中垂线的对称点E，连结AE，EC，DE
　　　 　　∴△ABD≌△ACE
　　　 　　∴AD＝AE, ∠DAB＝∠EAC＝10°
　　　 　　∵∠BAC=80°，
∴∠DAE＝60°，△ADE为等边三角形
∴∠AED＝60°
　　　 　　∵∠DAB＝∠DBA＝10°
　　　 　　∴AD＝BD＝DE＝EC
　　　 　　∴∠AEC＝160°，
　　　 　　∴∠DEC＝140°
　　 　　　∴∠DCE＝20°
　　　 　　∴∠ACD＝30°
类型三、等边三角形的综合应用
6、（2014秋•辛集市期末）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC．
（1）【特殊情况，探索结论】
如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE
　 　DB（填“＞”、“＜”或“=”）．
（2）【特例启发，解答题目】
如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE　 　DB（填“＞”、“＜”或“=”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．
（3）【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线CB的延长线上，且ED=EC，若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．

【思路点拨】（1）由E为等边三角形AB边的中点，利用三线合一得到CE垂直于AB，且CE为角平分线，由ED=EC，利用等边对等角及等腰三角形的性质得到一对角相等，利用等角对等边即可得证；
（2）AE=DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，由三角形ABC为等边三角形，得到三角形AEF为等边三角形，进而得到AE=EF=AF，BE=FC，再由ED=EC，以及等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形BDE与三角形EFC全等，利用全等三角形对应边相等得到DB=EF，等量代换即可得证；
（3）点E在AB延长线上时，如图所示，同理可得△DBE≌△EFC，由BC+DB求出CD的长即可．
【答案与解析】
解：（1）当E为AB的中点时，AE=DB；
（2）AE=DB，理由如下：
过点E作EF∥BC，交AC于点F，
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE=EF，BE=CF，
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECD，
∵∠DEB=60°﹣∠D，∠ECF=60°﹣∠ECD，
∴∠DEB=∠ECF，
在△DBE和△EFC中，
，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴DB=EF，
则AE=DB；
（3）点E在AB延长线上时，如图所示，同理可得△DBE≌△EFC，
∴DB=EF=2，BC=1，
则CD=BC+DB=3．

【总结升华】此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键．
整式的乘除与因式分解 全章复习与巩固（提高）
【学习目标】
1. 掌握正整数幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；
2. 会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；
3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算；
4. 理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.
【知识网络】

【要点梳理】

要点一、幂的运算
1.同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
2.幂的乘方： (为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.
3.积的乘方： (为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.
4.同底数幂的除法：(≠0, 为正整数，并且).
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1.
要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.
要点二、整式的乘法和除法
1.单项式乘以单项式
单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
2.单项式乘以多项式
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式).
3.多项式乘以多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.
要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：.
4.单项式相除
把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.
5.多项式除以单项式
先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.
即：
要点三、乘法公式
1.平方差公式：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.
2. 完全平方公式：；
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.
要点四、因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.
要点诠释：落实好方法的综合运用：
首先提取公因式，然后考虑用公式；
两项平方或立方，三项完全或十字；
四项以上想分组，分组分得要合适；
几种方法反复试，最后须是连乘式；
因式分解要彻底，一次一次又一次.
【典型例题】
类型一、幂的运算
1、已知，求的值．
【思路点拨】由于已知的值，所以逆用幂的乘方把变为，再代入计算．
【答案与解析】
解：∵，
∴．
【总结升华】本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力．
举一反三：

【变式】（1）已知，比较的大小.
（2）比较大小。
【答案】
解：（1）； （2）
提示：（1）转化为同指数不同底数的情况进行比较，指数转化为12；
（2）转化成比较同底数不同指数，底数转化为3.
类型二、整式的乘除法运算
2、（2015•杭州模拟）已知代数式（mx2+2mx﹣1）（xm+3nx+2）化简以后是一个四次多项式，并且不含二次项，请分别求出m，n的值，并求出一次项系数．
【思路点拨】先把代数式按照多项式乘以多项式展开，因为化简后是一个四次多项式，所以x的最高指数m+2=4；不含二次项，即二次项的系数为0，即可解答．
【答案与解析】
解：（mx2+2mx﹣1）（xm+3nx+2）=mxm+2+3mnx3+2mx2+2mxm+1+6mnx2+4mx﹣xm﹣3nx﹣2，
因为该多项式是四次多项式，
所以m+2=4，
解得：m=2，
原式=2x4+（6n+4）x3+（3+12n）x2+（8﹣3n）x﹣2
∵多项式不含二次项，
∴3+12n=0，
解得：n=，
所以一次项系数8﹣3n=8+=．
【总结升华】本题考查了多项式乘以多项式，解决本题的关键是明确化简后是一个四次多项式，所以x的最高指数m+2=4；不含二次项，即二次项的系数为0，即可解答．
举一反三：
【变式】若的乘积中不含的一次项，则等于______．
【答案】；
类型三、乘法公式
3、计算：(1)；(2)．
【思路点拨】（1）中可以将两因式变成与的和差.（2）中可将两因式变成与的和差.
【答案与解析】
解：(1)原式
．
(2)原式

.
【总结升华】(1)在乘法计算中，经常同时应用平方差公式和完全平方公式．(2)当两个因式中的项非常接近时，有时通过拆项用平方差公式会达到意想不到的效果．
举一反三：
【变式】计算：．
【答案】
解：

．
4、已知，求代数式的值.
【思路点拨】将原式配方，变成几个非负数的和为零的形式，这样就能解出.
【答案与解析】
解：

所以
所以.
【总结升华】一个方程，三个未知数，从理论上不可能解出方程，尝试将原式配方过后就能得出正确答案.
举一反三：
【变式1】如果，则的值为 .
【答案】
解：∵，
∴，
解得
∴.
【变式2】（2015春•祁阳县期末）课堂上老师指出：若a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=0，请判断该三角形的形状．小明在与同学一起合作探究这个问题时，说出了自己的猜想及理由，得到了老师的赞扬．请你写出小明的猜想和理由．
【答案】
解：依题意得：
所以（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0
所以a=b，b=c，c=a．
故△ABC是等边三角形．
5、求证：无论为何有理数，多项式的值恒为正数．
【答案与解析】
解：原式＝
所以多项式的值恒为正数.
【总结升华】通过配方，将原式变成非负数＋正数的形式，这样可以判断多项式的正负.
举一反三：
【变式】证明:不论为何值 , 多项式的值一定小于0.
【答案】
证明：
＝
＝
∵ ,
∴,
∴ 原式一定小于0.
类型四、因式分解
6、分解因式：（1）
（2）
（3）
【答案与解析】
解：（1）原式
（2）原式＝

（3）原式＝
【总结升华】做题之前要仔细观察，注意从整体的角度看待问题.
分式全章复习与巩固（提高）

【学习目标】
1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.
2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．
3．掌握分式的四则运算．
4．结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的 知识体系．
5．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想．
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、分式的有关概念及性质
1．分式
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.
要点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义.
2.分式的基本性质
　　（M为不等于0的整式）.
3．最简分式
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.
要点二、分式的运算
1．约分　
利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.
2．通分
利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．　　
3．基本运算法则
　 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:
（1）加减运算
；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.
；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
（2）乘法运算 ，其中是整式，.
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.
（3）除法运算 ，其中是整式，.
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.
（4）乘方运算
分式的乘方，把分子、分母分别乘方。
4．零指数
　　.
5.负整数指数
　　
6.分式的混合运算顺序
　先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.
要点三、分式方程
1．分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解法
解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．
3．分式方程的增根问题
增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根---增根.
要点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.
要点四、分式方程的应用
　　列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.
【典型例题】
类型一、分式及其基本性质

1、当为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ ）
　　A. 　　　B. 　　　C. 　　　D.
【答案】C；
【解析】一个分式有无意义，取决于它的分母是否等于0.即若是一个分式，则有意义B≠0.当＝0时，，所以选项A不是；当时，，所以选项B不是；因为，所以，即不论为何实数，都有，所以选项C是；当＝±1时，｜｜－1＝0，所以选项D不是.
【总结升华】分式有意义的条件是分母不为零，无意义的条件是分母为零.

2、不改变分式的值，把下列各式分子与分母中各项的系数都化为最简整数．
（1）； （2）； （3）．
【答案与解析】
解：（1）．
（2）；
（3）原式；
【总结升华】在确定分子和分母中所有分母的最小公倍数时，要把小数先化成最简分数；相乘时分子、分母要加括号，注意不要漏乘．
类型二、分式运算
3、计算：．
【思路点拨】本题如果直接通分计算太繁琐，观察比较发现，前两个分式分母之积为平方差公式，通分后与第三个分式的分母又符合平方差公式，以此类推可解此题．
【答案与解析】
解：原式．
【总结升华】此类题在进行计算时采用“分步通分”的方法，逐步进行计算，达到化繁为简的目的．在解题时既要看到局部特征，又要全局考虑．
举一反三：
【变式】计算…．
【答案】
解：原式…
…
．
类型三、分式条件求值的常用技巧
4、已知，求的值．
【思路点拨】直接求值很困难，根据其特点和已知条件，能够求出其倒数的值，这样便可求出的值．
【答案与解析】
解：方法一：∵
，而，
∴ ，∴ ．
方法二：原式．
【总结升华】（1）本题运用转化思想将所求分式通过分式的基本性质转化为已知分式的代数式来求值．（2）根据完全平方公式，熟练掌握、、之间的关系，利用它们之间的关系进行互相转化．
举一反三：
【变式】（2015春•惠州校级月考）若0＜x＜1，且的值．
【答案】
解：∵x+=6，
∴（x﹣）2=（x+）2﹣4=36﹣4=32，
∴x﹣=±4，
又∵0＜x＜1，
∴x﹣=﹣4．
5、设，且，，求的值．
【答案与解析】
解：解关于、的方程组 得．
把代入原式中，
∴ 原式．
【总结升华】当所求分式的分子、公母无法约分，也无法通过解方程组后代入求值时，若将两个三元一次方程中的一个未知数当作已知数时，即可通过解方程组代入求值．
举一反三：
【变式】已知，且，求的值．
【答案】
解：因为，
所以，
所以或，
又因为，所以，
所以，所以，
所以．
类型四、分式方程的解法
6、解方程．
【答案与解析】
解：原方程整理得：

方程两边同乘以得：

去括号，移项合并同类项得：，∴ ．
检验：把代入
∴ 是原方程的根．
【总结升华】解分式方程的基本思想是：设法将分式方程“转化”为整式方程，去分母是解分式方程的一般方法，在方程两边同乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方程．但要注意可能会产生增根，所以必须验根．
举一反三：
【变式】（2015春•靖江市校级月考）若关于x的方程﹣=有增根，求增根和k的值．
【答案】解：最简公分母为3x（x﹣1），
去分母得：3x+3k﹣x+1=﹣2x，
由分式方程有增根，得到x=0或x=1，
把x=0代入整式方程得：k=﹣；
把x=1代入整式方程得：k=﹣．
类型五、分式方程的应用
7、（2016•大庆）某车间计划加工360个零件，由于技术上的改进，提高了工作效率，每天比原计划多加工20%，结果提前10天完成任务，求原计划每天能加工多少个零件？
【思路点拨】等量关系为：原计划天数=实际生产天数+10．
【答案与解析】
解：设原计划每天能加工x个零件，
由题意得，，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意．
答：原计划每天能加工6个零件．
【总结升华】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
举一反三：
【变式】某项工程限期完成，甲队独做正好按期完成，乙队独做则要误期3天．现两队合做2天后，余下的工程再由乙队独做，也正好在限期内完成，问该工程限期是多少天？
【答案】
解：设该工作限期为天，则甲队的工作效率为，乙队的工作效率为．
依题意列出方程：
．
整理，得．
两边都乘以，得．
解这个整式方程，得．
经检验，是原方程的根．
答：该工程限期是6天．