五年级2014第十四届中环杯决赛详解

 第十四届中环杯五年级决赛

一、填空题（每小题5分，共50分）

1. 计算：11.99×73+1.09×297+×(32-12)=_________

【分析】原式=11×1.09×73+1.09×11×27+4=11×1.09×100+4=1199+4=1203

2. 420×814×1616除以13的余数为__________

【分析】420×814×1616≡4×8×4≡128≡11(mod13)

3. 五年级有甲乙两班，甲班学生人数是乙班学生人数的5/7，如果从乙班调3人去甲班，甲班学生人数就是乙班学生人数的4/5，甲班原有学生_________人

【分析】原来人数比为甲：乙=5: 7=15: 21，人数调整后人数比为甲：乙=4 : 5=16 : 20，前后两次总人数不变，因此将总人数变为[(5+7),(4+5)]=36份，比例调整如上，发现人数调整为1份，因此1份为3人，所以甲班原有学生15×3=45人。

4. 已知990×991×992×993=，则=          

【分析】由于99丨990，所以99 丨

所以99 丨96+64+28+++40→99 丨+247→AB=50

5. 如图，△ABC面积为60，E、F分别为AB和AC上的点，满足AB=3AE，AC=3AF，点D是线段BC上的动点，设△FBD的面积为S1, △EDC的面积为S2，则S1×S2的最大值为__________.

【分析】由于，所以EF ∥ BC

所以SEBD= SFBD=S1→S1+S2=SEBC=SABC =40              

和一定时，差越小，积越大，所以当 S1 =S2 时，即D为中点时，S1×S2最大为20×20=400

6．如图，在每个方框中填入一个数字，使得乘法竖式成立，则这个算式乘积的最大值和最小值的之差为__________.

【分析】易得，乘数中下方数的十位为1，因为十位数字乘上面的数得到的积为三位数，为

百位上的2乘上面的数得到的积为四位数。由于1乘上面的数得到的积十位为1，因此上面数的十位也为1。由于百位上的2乘以上面的数得到的个位为4，所以上面的数个位为2或7。

先考虑乘积的最大值，要使乘积大，则两个乘数要大。考虑上面的数百位为9，经枚举，无论个位是几，917、912均无法乘出百位为0的乘积。

所以考虑上面的数百位为8，则下面为5符合要求。

所以乘积最大为817×215=175655。

再考虑乘积的最小值，要使乘积小，则两个乘数要小，考虑上面的数百位最小为5，否则乘以2无法得到四位数，则下面为2符合要求，

所以乘积最小为512×212=108544

所以乘积的最大值与最小值之差为175655-108544=67111

7. 有15位选手参加一个围棋锦标赛，每两个人之间需要比赛一场，赢一场得2分，平一场各得1分，输一场得0分，如果一位选手的得分不少于20分，他就能获得一份奖品，那么，最多有_______位选手获得奖品。

【分析】比赛结束后，15位选手总得分为×2=210分，210÷20=10……10

所以理论上最多有10名选手得分能不低于20分

若有10位选手获得奖品，则剩余5名选手得分不能大于10分

而事实上，这5名选手之间共比赛10场，总共能产生20分

所以这5名选手的得分不会少于20分，矛盾

所以10位选手获得奖品的情况不存在

考虑9名选手获得奖品，则剩余6名选手得分不能大于30分

这是可行的，前9名选手两两之间都和棋，各得8分，这9名选手均战胜剩余6名选手，各得12分，则这9名选手均得20分，而剩余6名选手每人已负9场，得分不能大于10分。

综上，最多有9位选手能获得奖品。

8. 在一场1000米的比赛中，一个沙漏以相同的速率在漏沙了，漏出来的沙子都掉入一个杯中（这个沙漏是在比赛进行了一段时间后才开始漏沙的），小明以匀速进行跑动，当他跑到200米的时候，第a颗沙子正好掉入杯中，当他跑到300米的时候，第颗沙子正好掉入杯中, 当他跑到400米的时候，第颗沙子正好掉入杯中, 当他跑到500米的时候，第颗沙子正好掉入杯中(a、b、c、d、e、f、g都是0-9的数字，并且它们的值可以相等)，我们发现：（1）a是2的倍数，（2）是一个质数；（3）是5的倍数；（4）是3的倍数，那么四位数=__________(如果有多个解，需要将多个解都写在横线上)。

【分析】由沙漏匀速漏沙子，可知-=-=-a

所以，不妨设=a+k，=a+2k ， =a+3k ，

由3丨→3丨 a+3k→3丨a，又a是2的倍数，所以a是2、3的公倍数

所以a=0或6

若a=0，则由5丨 →5 丨a+2k→5 丨k ，即5丨 ，与是个质数矛盾

故a=6

由=6+k→k≥4，由 =6+3k→k≤31

由5丨 →5丨 6+ 2k→k 的个位为2或7

而=6+k是个质数，所以k 为奇数，且不能是3的倍数

于是k 的个位为7，且在4~31之间，且不能是3的倍数

所以， k 的取值可能有7、17

当k=7时，a=6，=13，=20， =27，符合要求，此时=2013

当k=17时，a=6，=23，=40， =57，符合要求，此时=4023

综上，=2013或4023

9. 如图a,7个汉字写在图中的7个圆圈中，要求从某一个圆圈开始，沿着线段一笔画这个图形（所有圆圈都要走到，而且只能走一次），将这个一笔画路径上的字连成字串（如图b,从“中”开始一笔画，得到的字串为“中环难杯真的好”）。那么能够组成的不同字串有_________个。

【分析】从中出发，组成的字串有：

从中到难后，有2条：中难环杯真的好，中难好的真杯环

从中到环，有8条：中环难杯真的好，中环难好的真杯，中环杯难真的好，中环杯难好的真，中环杯真难好的，中环杯真难的好，中环杯真的难好，中环杯真的好难

所以，从中到好，也有8条

因此从中开始的路线有18条

因此，从环、杯、真、的、好、难开始的路线也有18条

从难开始，第一步有6种选择，以后有顺时针、逆时针2种选择，所以，从南开始的字串有12条

综上，共有18×6+12=120条不同的字串

10. 如图两个正方形ABEG,GECD，点H是GE中点，.连结DH、CH、AF、BF，正方形ABEG的面积为m平方厘米，阴影部分的面积为n平方厘米，已知m、n都是正整数，且m有9个约数，则正方形ABEG的边长为_______厘米。

【分析】如下图，连结HF

不妨设两个正方形的边长为a

由已知，GH=HE=a，DF=a，FC=a，

因为GM∥DF，所以

所以MH=GH-GM=a

由沙漏，

所以          

因为EN∥CF，所以

所以NH=EH-EN=a

由沙漏，

所以  

所以

因为m,n均为正整数，所以m为20的倍数，即m含有质因子2、5，又m有9个约

数，所以m=22×52=100

所以正方形ABEG的边长为10厘米。

二、动手动脑题（每小题10分，共50分，除第15题外请给出详细解题步骤）

11. 两人同时从AB两地出发，相向而行，甲每小时行12.5千米，乙每小时行10千米，甲行30分钟，到达恒生银行门口，想起来自己的信用卡没有带，所以他原速返回A地去拿卡，找到卡后，甲又用元素返往B地，结果当乙达到A地时，甲还需要15分钟到达B地，那么A、B间的距离是多少厘米？

【分析】甲花了半小时到达恒生银行门口，又原速返回，所以回到A地时，又用了半个小

时，再加上找卡的半小时，当甲再次出发时，乙已经走了1.5小时

假设乙从B地到A地共用时t+1.5小时

则甲从A地到B地需用t 小时加15分钟，即t+小时

可列得方程：

10（t+ 1.5）=12.5×（t+）

解得t=

所以A、B间的距离为12.5×（+）=62.5千米。

12. 如果一个数的奇约数个数有2m个（m为自然数），则我们称这样的数为“中环数”，比如3的奇约数有1,3，一共2=21，所以3是一个“中环数”。再比如21的奇约数有1,3,7,21,4=22，所以21 也是一个中环数。我们希望能找到n个连续的中环数。求n的最大值。

【分析】将一个数分解质因数，得到，则这个数约数的个数为

而事实上，一个数的奇约数个数也可以用类似的求法

由于乘法中遇偶得偶，所以将一个奇数分解质因数，那么得到的质因子均为奇数

所以将一个数分解质因数，得到（可以为0）

则N的奇约数个数为

现在我们要写出连续的n 个数，

使得每个数均有=2m

首先证明n≤17

观察如下三个数：，，

易知，k ，k+1，k+2中有且仅有1个是3的倍数

所以，，这三个数中，有两个数分解质因数的形式为：（可以为0）

形如这样的数，奇约数个数为不可能是2的幂，即不符合要求

因此，，这三个数中至少有2个不符合要求

即连续3个9的倍数中，至少有2个数不是“中环数”

若n≥18，易知，其中必有2个9的倍数，其中必有1个不是中环数

因此，n≤17

而127、128、129、130、131、132、133、134、135、136、137、138、139、140、141、142、143这17个数的奇约数个数分别有：2、1、4、4、2、4、4、2、8、2、2、4、2、4、4、2、4，均为“中环数”

因此n 的最大值为17

13. 下左图是一个奇怪的黑箱子，这个额黑箱子有一个输入口，一个输出口，我们在输入口输入一个数字，那么在输出口就会产生一个数字结果，其遵循的规则是：

（1） 如果输入的是奇数k输出的是，4k+1

（2） 如果输入的是偶数k,输出的是，k÷2

比如输入的是数字8，那么输出的就是8÷2=2, 输入的是数字3，那么输出的就是3x4+1=13. 现在将3个这样的黑箱子串联起来，如下右图，这样第一个黑箱子的输出成为第二个黑箱子的输入，依次类推，比如输入的数字16，经过第一个黑箱子，得到的结果是8，这个8就作为第二个黑箱子的输入，经过第二个黑箱子，得到结果4，这个4就作为第三个黑箱子的输入，经过第三个黑箱子，得到结果2，这个2结果就是最后的输出了。我们可以用16→8→4→2来表示这样的过程。

现在，美羊羊，喜羊羊，懒羊羊，羊爸爸在这个串联的黑箱子输入串输入不同的正整数，其中羊爸爸输入的数字最大，得到的4个最终输出结果竟然是相同的，当这个输出结果最小时，求：羊爸爸的输入值是多少？

【分析】不妨设输入的四个数字为a＜b＜c＜d

由于最后输出的结果相同，不妨设这个结果为m

若m 是一个偶数

因为4k+1是奇数，奇≠偶，所以最后输入的结果也一定是个偶数，为2m

依次类推，四个人输入的数就都为8m，与输入的正整数均不同矛盾

所以m 是一个奇数

那么前一步有2种选择：2m，

若前一步为2m ，则由2m 是一个偶数，可知这串过程一定为：

8m→4m→2m→m

接下来考察的奇偶性

同理，若为偶数，则这串过程只能为

m-1→→→m

这样就只有2种输入值，与输入的正整数均不同矛盾

所以也为奇数

那么前一步有2种选择：，=

接下来考察的奇偶性

同理，为奇数

因此，四串过程分别为：

8m→4m→2m→m

m-1→→→m

→→→m

→→→m

由于这些数均为正整数，所以64丨m-21，且为奇数

要使m 最小，则

此时，输入的四个数字分别为：680、84、10、1

因此，羊爸爸输入的值为680

14. 如图，如果我们将很多边长为1的正方形放入等腰△ABC中，BC边上的高为AH，AB和BC的长度都是正整数，要求所有小正方形都有两条边与BC平行（如图所示），先放最下面一层，从两边往中间放（最靠边的小正方形的一个顶点正好在三角形的边上），直到中间的空隙放不下一个小正方形为止，然后放倒数第二层，同样从两边往中间放，直到中间的空隙放不下一个小正方形为止，依次类推，不断地往上面叠放小正方形，点到无法往上叠为止，我们发现，每层的中间都没产生空隙，而且≤8，最后整个△ABC内一共放了330个小正方形，求BC长度的最大值。

【分析】不妨设BC的长度为a，设= 2k ( k≤4)

则=k

如下图，由于DE∥AH，所以

则最下面小正方形能使用的长度为a-2k ，最下面一层小正方形的个数为[a-2k]

这意味着第二层下底总长度为a-2k ，同理可得第二层小正方形能使用的长度为a-4k ，小正方形的个数为[a-4k]

依次类推，以后每层小正方形的个数依次为[a-6k]，[a-8k]，…

要使BC最长，那么最低下一层放的小正方形的个数一定最多

所以，此时层数一定最少

而要使层数少，则AH要短

而≤8 ，所以优先考虑BC=8AH

即k=4，

此时，从下到上，每一层的个数为[a-8]，[a-16]，[a-24]…

易知，这是一个公差为8的等差数列

若为8层，则最多有8+16+24+32+40+48+56+64=288＜330

若为10层，最少有1+9+17+25+33+41+49+57+65=370＞330

所以，应有9层

由于有9层，所以 AH＞9→AH=10，此时BC为80

但330 ÷9=并非整数，所以做不到

由上述讨论可知AH至少为10，BC至多为80

依次检验BC为79、78、77、76……时，AH为10、11、12时小正方形的个数

例如，BC为79、AH为10时，小正方形个数为：

71+63+55+47+39+31+23+15+7=351＞330，所以BC不为79

当BC为78、AH为10时，小正方形个数为：

70+62+54+46+39+31+23+15+7=347＞330，所以BC不为78

……

BC为74、AH为10时，小正方形个数为：

66+59+51+44+37+29+22+14+7=329＜330

而AH为11时，小正方形个数为：

67+60+53+47+40+33+26+20+13+6=365＞330，所以BC不为74

……

当BC为67，AH为11时，小正方形的个数为：

60+54+48+42+36+30+24+18+12+6=330

所以BC的最大值为67.

15.（1）你能将下面的长方形图纸分隔成全等的4个图形吗（如参考图）？请给出不同于参考图的另外三种分隔方法。

（2）画一个封闭的环，水平或竖直穿过相邻的单元格，环不能交叉或重叠，下图就是一些不允许出现的情况。

下图中有数字的单元格不能作为环的一部分，单元格内的数字表示其周围八个相邻的单元格内被环占住的个数，请在图中画出这个环。 

【分析】（1）如下图：

（2）如下图