类型三 二次函数与面积有关的问题-2021年中考数学二轮复习重难题型突破

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类型三二次函数与图形面积问题【典例1】已知直线交轴于点，交轴于点，二次函数的图象过两点，交轴于另一点，，且对于该二次函数图象上的任意两点，，当时，总有．（1）求二次函数的表达式；（2）若直线，求证：当时，；（3）为线段上不与端点重合的点，直线过点且交直线于点，求与面积之和的最小值．【答案】（1）；（2）详见解析；（3）的最小值为．【解析】【分析】（1）先根据坐标轴上点的坐标特征由一次函数的表达式求出A，B两点的坐标，再根据BC=4，得出点C的坐标，最后利用待定系数法可求二次函数的表达式；（2）利用反证法证明即可；（3）先求出q的值，利用，得出，设，然后用含t的式子表示出的面积，再利用二次函数的性质求解即可．【详解】解：（1）对于，当时，，所以；当时，，，所以，又因为，所以或，若抛物线过，则当时，随的增大而减少，不符合题意，舍去．若抛物线过，则当时，必有随的增大而增大，符合题意．故可设二次函数的表达式为，依题意，二次函数的图象过，两点，所以，解得所求二次函数的表达式为．（2）当时，直线与直线不重合，假设和不平行，则和必相交，设交点为，由得，解得，与已知矛盾，所以与不相交，所以．（3）如图，因为直线过，所以，又因为直线，所以，即，所以，，所以，所以，设，则，，所以，所以所以当时，的最小值为．【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质、相似三角形的性质与判定、三角形面积等基础知识，注意函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想及分类与整合思想的运用．【典例2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且，点是第三象限内抛物线上的一动点．（1）求此抛物线的表达式；（2）若，求点的坐标；（3）连接，求面积的最大值及此时点的坐标．【答案】（1）；（2）（，）；（3）面积的最大值是8；点的坐标为（，）．【解析】【分析】（1）由二次函数的性质，求出点C的坐标，然后得到点A、点B的坐标，再求出解析式即可；（2）由，则点P的纵坐标为，代入解析式，即可求出点P的坐标；（3）先求出直线AC的解析式，过点P作PD∥y轴，交AC于点D，则，设点P为（，），则点D为（，），求出PD的长度，利用二次函数的性质，即可得到面积的最大值，再求出点P的坐标即可．【详解】解：（1）在抛物线中，令，则，∴点C的坐标为（0，），∴OC=2，∵，∴，，∴点A为（，0），点B为（，0），则把点A、B代入解析式，得，解得：，∴；（2）由题意，∵，点C为（0，），∴点P的纵坐标为，令，则，解得：，，∴点P的坐标为（，）；（3）设直线AC的解析式为，则把点A、C代入，得，解得：，∴直线AC的解析式为；过点P作PD∥y轴，交AC于点D，如图：设点P 为（，），则点D为（，），∴，∵OA=4，∴，∴，∴当时，取最大值8；∴，∴点P的坐标为（，）．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，二次函数的性质，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数和一次函数的性质进行解题，注意利用数形结合的思想进行解题．【典例3】如图，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C．（1）求A、B、C三点的坐标;（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积;（3）在轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．【解析】解：（1）令，得   解得令，得∴ A   B   C （2）∵OA=OB=OC=    ∴BAC=ACO=BCO=∵AP∥CB，        ∴PAB=      过点P作PE轴于E，则APE为等腰直角三角形令OE=，则PE=  ∴P∵点P在抛物线上 ∴   解得，（不合题意，舍去）
      ∴PE=∴四边形ACBP的面积=AB•OC+AB•PE=(3)． 假设存在∵PAB=BAC =   ∴PAAC∵MG轴于点G，   ∴MGA=PAC =在Rt△AOC中，OA=OC=   ∴AC=在Rt△PAE中，AE=PE=   ∴AP=   设M点的横坐标为，则M ①点M在轴左侧时，则(ⅰ) 当AMG PCA时，有=∵AG=，MG=即  解得（舍去） （舍去）(ⅱ) 当MAG PCA时有=即 解得：（舍去）  ∴M ② 点M在轴右侧时，则 (ⅰ) 当AMG PCA时有=∵AG=，MG=      ∴   解得（舍去）        ∴M (ⅱ) 当MAGPCA时有= 即 解得：（舍去）   
∴M   ∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似M点的坐标为，，…………………………………13分【典例4】如图,在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线经过A，B两点，抛物线的顶点为D．（1）求b,c的值；（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由.    【解析】解：（1）由已知得：A（-1，0）   B（4，5）…………………1分∵二次函数的图像经过点A（-1，0）B(4,5)∴…………………………………………………2分解得：b=-2   c=-3…………………………………………………3分（2）如２６题图：∵直线AB经过点A（-1，0）   B(4,5)∴直线AB的解析式为：y=x+1……………………………………4分∵二次函数∴设点E(t， t+1),则F（t，）………………………5分∴EF= ………………………………………6分    　　=∴当时，EF的最大值=∴点E的坐标为（，）………………………………7分（3）①如２６题图：顺次连接点E、B、F、D得四边形ＥＢＦＤ． 可求出点F的坐标（，）,点D的坐标为（1，-4） S　=　S　+　S         =         = 　………………………………………………10分②如备用图：ⅰ)过点E作a⊥EF交抛物线于点P,设点P(m,)则有：      解得:, ∴,　ⅱ）过点F作b⊥EF交抛物线于，设（n，）则有：  　　解得： ，（与点F重合，舍去）∴综上所述：所有点P的坐标：，（.  能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形．【典例5】如图,已知二次函数的图象与轴交于A、B两点，与轴交于点P，顶点为C（1，－2）.（1）求此函数的关系式；（2）作点C关于轴的对称点D，顺次连接A、C、B、D.若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ABCD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点F的坐标及△PEF的面积；若不存在，请说明理由.【解析】（1）∵的顶点为C（1，－2），∴，．（2）设直线PE对应的函数关系式为由题意，四边形ACBD是菱形.    故直线PE必过菱形ACBD的对称中心M．由P(0，－1)，M（1，0），得．从而，     设E(，)，代入，得． 解之得，，根据题意，得点E(3，2)    （3）假设存在这样的点F，可设F(，)．过点F作FG⊥轴，垂足为点G.在Rt△POM和Rt△FGP中，∵∠OMP+∠OPM=90°，∠FPG+∠OPM=90°，∴∠OMP=∠FPG，又∠POM=∠PGF，∴△POM∽△FGP. ∴．又OM=1，OP=1，∴GP=GF，即．解得，，根据题意，得F(1，－2)．    故点F(1，－2)即为所求．       ．       【典例6】如图，已知抛物线的顶点坐标为Q，且与轴交于点C，与轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥轴，交AC于点D．(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；(3)在问题(2)的结论下，若点E在轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】解：（1）∵抛物线的顶点为Q（2，－1）∴设将C（0，3）代入上式，得∴， 即…（3分）  （2）分两种情况：①当点P1为直角顶点时,点P1与点B重合(如图)令=0,  得解之得,  ∵点A在点B的右边,  ∴B(1,0), A(3,0)∴P1(1,0)   （5分）②解:当点A为△APD2的直角顶点是(如图)∵OA=OC,  ∠AOC=,  ∴∠OAD2=当∠D2AP2=时, ∠OAP2=,  ∴AO平分∠D2AP2又∵P2D2∥轴,  ∴P2D2⊥AO,  ∴P2、D2关于轴对称设直线AC的函数关系式为将A(3,0), C(0,3)代入上式得,      ∴∴……………（7分）∵D2在上, P2在上,∴设D2(,), P2(,)∴()+()=0,   ∴,  (舍)∴当=2时, ==－1 ∴P2的坐标为P2(2,－1)(即为抛物线顶点)∴P点坐标为P1(1,0),  P2(2,－1) (3)解: 由题(2)知,当点P的坐标为P1(1,0)时,不能构成平行四边形当点P的坐标为P2(2,－1)(即顶点Q)时,平移直线AP(如图)交轴于点E,交抛物线于点F.当AP=FE时,四边形PAFE是平行四边形∵P(2,－1),  ∴可令F(,1)∴解之得: ,  ∴F点有两点,即F1(,1), F2(,1)