2021年上海市杨浦区中考数学三模试卷

这是一份2021年上海市杨浦区中考数学三模试卷，共18页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

1．在下列四个实数中，最小的数是（ ）
A．﹣2B．C．0D．
2．在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．将抛物线y＝x2向左平移2个单位后得到新的抛物线的表达式为（ ）
A．y＝x2+2B．y＝x2﹣2C．y＝（x+2）2D．y＝（x﹣2）2
4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
5．在平面直角坐标系中，以点A（2，1）为圆心，1为半径的圆与x轴的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．不确定
6．已知在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AD＝BCB．AC＝BDC．∠A＝∠CD．∠A＝∠B
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．当x＜1时，化简：|x﹣1|＝ ．
8．计算：（2a+b）（2a﹣b）＝ ．
9．已知函数f（x）＝，那么f（10）＝ ．
10．正八边形的中心角等于 度．
11．已知一斜坡的坡比为1：2，坡角为α，那么sinα＝ ．
12．已知一组数据24、27、19、13、23、12，那么这组数据的中位数是 ．
13．在英语句子“Wishyusuccess!”（祝你成功！）中任选一个字母，这个字母为“s”的概率为 ．
14．已知直线y＝kx+b在y轴上的截距为3，且经过点（1，4），那么这条直线的表达式为 ．
15．用换元法解方程时，可设，则原方程可化为关于y的整式方程为 ．
16．已知在△ABC中，点D在边BC上，BD＝2CD，设，那么用、表示＝ ．
17．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3，如果S1+S2+S3＝48，那么S2的值是 .
18．如图，已知在等边△ABC中，AB＝4，点P在边BC上，如果以线段PB为半径的⊙P与以边AC为直径的⊙O外切，那么⊙P的半径长是 ．

三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）先化简，再求值：，其中x＝．
20．（10分）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．

21．（10分）如图，已知在⊙O中，OD⊥AB，垂足为点D，DO的延长线与⊙O相交于点C，点E在弦AB的延长线上，CE与⊙O相交于点F，AB＝CD＝8，tanC＝1．
（1）求⊙O的半径长；
（2）求的值．

22．（10分）阅读下列有关记忆的资料，分析保持记忆的措施和方法．资料：德国心理学家艾宾浩斯对人的记忆进行了研究，他采用无意义的音节作为记忆的材料进行实验，获得了如表中的相关数据，然后他又根据表中的数据绘制了一条曲线，这就是著名的艾宾浩斯遗忘曲线．其中横轴表示时间，纵轴表示学习中的记忆量．
观察表格和图象，回答下列问题：
（1）图中点A的坐标表示的实际意义是 ；
（2）在下面哪个时间段内遗忘的速度最快 ．
A.0﹣20分钟
B.20分钟﹣1小时
C.1小时﹣9小时
D.1天﹣2天
（3）王老师每节数学课最后五分钟都会对本节课进行回顾总结，并要求学生每天晚上对当天课堂上所学的知识进行复习．据调查这样一天后记忆量能保持98%，如果小明同学一天没有复习，那么记忆量大约会比复习过的记忆量减少多少？由此对你的学习有什么启示？

23．（12分）已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，AD＝BD，点E为边AD上一点，且DE＝DC，联结BE并延长，交边AC于点F．
（1）求证：BF⊥AC；
（2）过点A作BC的平行线交BF的延长线于点G，联结CG．如果DE2＝AE•AD，求证：四边形ADCG是矩形．

24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，2）．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）如果将抛物线向下平移m个单位，使平移后的抛物线的顶点恰好落在线段BC上，求m的值；
（3）如果点P是抛物线位于第一象限上的点，联结PA，交线段BC于点E，当PE：AE＝4：5时，求点P的坐标．

25．（14分）已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，csB＝，点D是边BC上一点，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，点F是边AC上一点，联结DF、EF，以DF、EF为邻边作平行四边形EFDG．
（1）如图1，如果CD＝2，点G恰好在边BC上，求∠CDF的余切值；
（2）如图2，如果AF＝AE，点G在△ABC内，求线段CD的取值范围；
（3）在第（2）小题的条件下，如果平行四边形EFDG是矩形，求线段CD的长.
2021年上海市杨浦区中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]
1．【分析】将﹣2，，0，在数轴上表示，根据数轴表示数的大小规律可得答案．
【解答】解：将﹣2，，0，在数轴上表示如图所示：

于是有﹣2＜0＜＜，
故选：A．
2．【分析】先将各选项化简，再找到被开方数为a的选项即可．
【解答】解：A、a与被开方数不同，故不是同类二次根式；
B、＝|a|与被开方数不同，故不是同类二次根式；
C、＝|a|与被开方数相同，故是同类二次根式；
D、＝a2与被开方数不同，故不是同类二次根式．
故选：C．
3．【分析】先得到抛物线y＝x2顶点坐标为（0，0），再利用点平移的规律得到点（0，0）平移后对应点的坐标为（﹣2，0），然后利用顶点式写出平移后的新的抛物线的解析式．
【解答】解：抛物线y＝x2顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移2个单位后所得对应点的坐标为（﹣2，0），所以平移后的新的抛物线的表达式为y＝（x+2）2．
故选：C．
4．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故此选项错误；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：B．
5．【分析】本题可先求出圆心到x轴的距离，再根据半径比较，若圆心到x轴的距离大于圆心距，x轴与圆相离；小于圆心距，x轴与圆相交；等于圆心距，x轴与圆相切．
【解答】解：∵点A（2，1）到x轴的距离为1，圆的半径＝1，
∴点A（2，1）到x轴的距离＝圆的半径，
∴圆与x轴相切；
故选：B．
6．【分析】利用平行线的判定与性质结合平行四边形的判定得出即可．
【解答】解：如图所示：∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
当∠A＝∠C时，则∠A+∠B＝180°，
故AD∥BC，
则四边形ABCD是平行四边形．
故选：C．

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7． 1﹣x ．
【分析】正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0．
【解答】解：∵x＜1，
∴x﹣1＜0，
∴原式＝﹣（x﹣1）
＝1﹣x．
8． 4a2﹣b2 ．
【分析】根据平方差公式，即可解答．
【解答】解：（2a+b）（2a﹣b）＝4a2﹣b2，
故答案为：4a2﹣b2．
9． 2 ．
【分析】根据已知直接将x＝10代入求出答案．
【解答】解：∵f（x）＝，
∴f（10）＝＝2．
故答案为：2．
10． 45 度．
【分析】根据中心角是正多边形相邻的两个半径的夹角来解答．
【解答】解：正八边形的中心角等于360°÷8＝45°；
故答案为45．
11． ．
【分析】坡比＝坡角的正切值，设竖直直角边为x，水平直角边为2x，由勾股定理求出斜边，进而可求出α的正弦值．
【解答】解：如图所示：
由题意，得：tanα＝i＝，
设竖直直角边为x，水平直角边为2x，
则斜边＝x，
则sinα＝．
故答案为．

12．已知一组数据24、27、19、13、23、12，那么这组数据的中位数是 21 ．
【分析】求中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
【解答】解：将这组数据从小到大的顺序排列：12、13、19、23、24、27，处于中间位置的两个数是19，23，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是（19+23）÷2＝21．
故答案为：21．
13． ．
【分析】让“s”的个数除以所有字母的个数即为所求的概率．
【解答】解：在英语句子“Wishyusuccess!”中共14个字母，其中有字母“s”4个；故其概率为＝．
14．y＝x+3 ．
【分析】根据“在y轴上的截距为3”计算求出b值，然后代入点（1，4）即可得解．
【解答】解：∵直线y＝kx+b在y轴上的截距为3，
∴b＝3，
∴y＝kx+3，
∵经过点（1，4），
∴4＝k+3，
∴k＝1，
∴这条直线的解析式是y＝x+3．
故答案是：y＝x+3．
15．w y2+2y+1＝0 ．
【分析】换元法即是整体思想的考查，解题的关键是找到这个整体，此题的整体是，设，换元后整理即可求得．
【解答】解：∵，
∴y++2＝0，
整理得：y2+2y+1＝0．
故答案为：y2+2y+1＝0．
16． ．
【分析】首先根据题意画出图形，由BD＝2DC，可求得，再利用三角形法则求解即可求得答案．
【解答】解：如图，∵＝，BD＝2DC，
∴＝，
∴．
故答案为：．

17． 16 .
【分析】根据正方形的面积和勾股定理即可求解．
【解答】解：设全等的直角三角形的两条直角边为a、b且a＞b，
由题意可知：S1＝（a+b）2，S2＝a2+b2，S3＝（a﹣b）2，
因为S1+S2+S3＝48，
即（a+b）2+a2+b2+（a﹣b）2＝21，
∴3（a2+b2）＝48，
∴3S2＝48，
∴S2的值是16．
故答案为16．
18． ．
【分析】由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求CH，OH，由勾股定理可求解．
【解答】解：如图，连接OP，过点O作OH⊥BC于P，

在等边△ABC中，AB＝4，
∴AC＝BC＝AB＝4，∠ACB＝60°，
∵点O是AC的中点，
∴AO＝OC＝2，
∵以线段PB为半径的⊙P与以边AC为直径的⊙O外切，
∴PO＝2+BP，
∵OH⊥BC，
∴∠COH＝30°，
∴HC＝1，OH＝，
∵OP2＝OH2+PH2，
∴（2+BP）2＝3+（4﹣1﹣BP）2，
∴BP＝，
故答案为．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）【分析】根据分式的运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
当x＝时，
原式＝
＝．
20．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式3（x+2）＞x﹣2，得：x＞﹣4，
解不等式x﹣≤，得：x≤，
则不等式组的解集为﹣4＜x≤，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：

21．【分析】（1）连接OA，设半径为r，利用垂径定理结合勾股定理即可求出r；
（2）延长CD交⊙O于点Q，连接QF，利用圆周角定理以及已知条件求出CE和CF的长即可计算的值．
【解答】解：（1）连接OA，如图所示：

设⊙O半径为r，则由题意可知：OA＝OC＝r，OD＝CD﹣OC＝8﹣r，
又∵OD⊥AB，垂足为点D，
∴AD＝，
在Rt△AOD中，AO2＝OD2+AD2，
即，r2＝（8﹣r）2+42，
解得：r＝5，
∴⊙O的半径长为5；
（2）延长CD交⊙O于点Q，连接QF，则∠CFQ＝90°，
由（1）可知CQ＝10，

∵tanC＝1，
∴∠C＝45°，
在Rt△CAF中：QF2+CF2＝CQ2，
而CQ＝CF，CQ＝10，
∴CF＝5，
在Rt△CDE中，∠C＝∠E＝45°，
CE＝，
∴EF＝CE﹣CF＝8-5＝3，
∴．
22．【分析】（1）依据图象中点的坐标，即可得到A点表示的意义；
（2）根据图象判断即可；
（3）依据函数图象，可得如果一天不复习，记忆量只能保持33.7%左右．
【解答】解：（1）由题可得，点A表示：2天大约记忆量保持了27.8%；
故答案为：27.8%；
（2）由图可得，0﹣20分钟 内记忆保持量下降41.8%，故0﹣20分钟内内遗忘的速度最快，
故选：A；
（3）如果一天不复习，记忆量只能保持33.7%，记忆量减少约66.3%；
学习计划两条：①每天上午、下午、晚上各复习10分钟；②坚持每天复习，劳逸结合（答案不唯一）．
23．【分析】（1）先证明△BDE和△ADC全等得出∠EBD＝∠CAD，再证△BDE≌△ADC，即可得证；
（2）先证四边形ADCG是平行四边形，再证一个角是直角即可得证．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，
∠ADC＝∠BDE＝90°，
在△ACD和△BED中，
，
∴△ACD≌△BED（SAS），
∴∠EBD＝∠CAD，
又∵∠BED＝∠AEF，
∴△BED∽△AEF，
∴∠AFE＝∠EDB＝90°，
即BF⊥AC；
（2）证明：∵AG∥BC，
∴∠AGE＝∠EDB，
由（1）知∠EBD＝∠CAD，
∴∠AGE＝∠CAD，
又∵∠AEG＝∠BED＝∠ACD，
∴△AEG∽△DCA，
∴，
∴AE•AD＝DC•AG，
∵DE2＝AE•AD，DE＝DC，
∴DC•AG＝DE2＝DC2，
∴DC＝AG，
又∵AG∥DC，
∴四边形ADCG是平行四边形，
∵AD⊥BC，
∴四边形ADCG是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．

24．【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）求出平移前后的顶点坐标，即可求解；
（3）通过证明△AEF∽△APH，可证，即可求解．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，2）．
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，
∴顶点坐标为（，），
∵y＝﹣x2+x+2与x轴交于点A，点B，
∴0＝﹣x2+x+2，
∴x1＝﹣1，x2＝4，
∴点B（4，0），
设直线BC解析式为y＝kx+n，
，
解得：，
∴直线BC解析式为y＝﹣x+2，
当x＝时，y＝，
∴m＝；
（3）如图，过点E作EF⊥AB于F，过点P作PH⊥AB于H，

∴EF∥PH，
∴△AEF∽△APH，
∴，
∵PE：AE＝4：5，
∴，
∴AF＝5x，AH＝9x，
∴OF＝5x﹣1，OH＝9x﹣1，
∴∴点E坐标为[5x﹣1，﹣（5x﹣1）+2]，点P坐标为[9x﹣1，﹣（9x﹣1）2+（9x﹣1）+2]，
∴EF＝﹣（5x﹣1）+2，PH＝﹣（9x﹣1）2+（9x﹣1）+2，
∴，
∴x＝，
∴点P（2，3）．
25．【分析】（1）由锐角三角函数的定义求出BC＝8，由勾股定理求出AC＝6，由平行线分线段成比例定理得出，求出CF，则可得出答案；
（2）当点G恰好在AB上时，解直角三角形求出CD的长，则可得出答案；
（3）设CD＝x，则BE＝（8﹣x），设矩形EFDG的对角线FG与DE相交于点O，连接OA，证明△AFO≌△AEO（SSS），由全等三角形的性质得出∠AFO＝∠AEO＝90°，过点E作EH⊥AC于点H，由梯形的中位线定理得出EH+CD＝2OF＝DE，解方程[10﹣（8﹣x）]+x＝（8﹣x）可得出答案．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，csB＝＝，
又BC＝8，
∴AB＝10，
∴AC＝＝6，
∵DE⊥AB，
∴在Rt△BDE中，
csB＝，
又CD＝2，BD＝6，
∴BE＝，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴EF∥DG，
∵点G在BC上，
∴EF∥BC，
∴，
∴，
∴CF＝，
在Rt△CFD中，cs；
（2）∵四边形EFDG是平行四边形，
∴DF∥EG，
当点G恰好在AB上时，
∴DF∥AB，
∴，
设CD＝x，则，
∴CF＝，
在Rt△BDE中，csB＝，
又CD＝x，则BD＝8﹣x，
∴BE＝（8﹣x），
∵AE＝AF，
∴，
∴x＝，
当点G在△ABC内时，0≤CD；
（3）设CD＝x，则BE＝（8﹣x），
∴AE＝10﹣（8﹣x），
设矩形EFDG的对角线FG与DE相交于点O，连接OA，

∵平行四边形EFDG是矩形，
∴OF＝OE＝DE，
∵AF＝AE，OA＝OA，
∴△AFO≌△AEO（SSS），
∴∠AFO＝∠AEO＝90°，
过点E作EH⊥AC于点H，
又∠C＝90°，
∴EH∥HF∥CB，
∵OD＝OE，
∴CF＝HF，
∴EH+CD＝2OF＝DE，
∵（8﹣x），EH＝[10﹣（8﹣x）]，
∴[10﹣（8﹣x）]+x＝（8﹣x），
∴x＝，
∴CD＝．


时间
记忆量
刚记忆完
100%
20分钟后
58.2%
1个小时后
44.2%
9个小时后
35.8%
1天后
33.7%
2天后
27.8%
6天后
25.4%
30天后
21.1%