专题06 平行四边形解答题压轴训练（解析版）八年级数学下学期期末考试压轴题专练（人教版，尖子生专用）

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专题06 平行四边形解答题压轴训练
（时间：60分钟 总分：120） 班级 姓名 得分
解答题解题策略：（1）常见失分因素：①对题意缺乏正确的理解，应做到慢审题快做题；②公式记忆不牢，考前一定要熟悉公式、定理、性质等；③思维不严谨，不要忽视易错点；④解题步骤不规范，一定要按课本要求，否则会因不规范答题而失分，避免“对而不全”，如解概率题时，要给出适当的文字说明，不能只列几个式子或单纯的结论，表达不规范、字迹不工整等非智力因素会影响阅卷老师的“感情分”；⑤计算能力差导致失分多，会做的试题一定不能放过，不能一味求快，⑥轻易放弃试题，难题不会做时，可分解成小问题，分步解决，如最起码能将文字语言翻译成符号语言、设应用题未知数、设轨迹的动点坐标等，都能拿分。也许随着这些小步骤的罗列，还能悟出解题的灵感。
（2）何为“分段得分”：对于同一道题目，有的人理解的深，有的人理解的浅；有的人解决的多，有的人解决的少。为了区分这种情况，中考的阅卷评分办法是懂多少知识就给多少分。这种方法我们叫它“分段评分”，或者“踩点给分”——踩上知识点就得分，踩得多就多得分。与之对应的“分段得分”的基本精神是，会做的题目力求不失分，部分理解的题目力争多得分。对于会做的题目，要解决“会而不对，对而不全”这个老大难问题。有的考生拿到题目，明明会做，但最终答案却是错的——会而不对。有的考生答案虽然对，但中间有逻辑缺陷或概念错误，或缺少关键步骤——对而不全。因此，会做的题目要特别注意表达的准确、考虑的周密、书写的规范、语言的科学，防止被“分段扣分”。经验表明，对于考生会做的题目，阅卷老师则更注意找其中的合理成分，分段给点分，所以“做不出来的题目得一二分易，做得出来的题目得满分难”。
对绝大多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中分段得点分。我们说，有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略。把你解题的真实过程原原本本写出来，就是“分段得分”的全部秘密。
①缺步解答：如果遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个聪明的解题策略是，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败。特别是那些解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半，这叫“大题拿小分”。
②跳步答题：解题过程卡在某一过渡环节上是常见的。这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论。如果不能，说明这个途径不对，立即改变方向；如果能得出预期结论，就回过头来，集中力量攻克这一“卡壳处”。由于考试时间的限制，“卡壳处”的攻克如果来不及了，就可以把前面的写下来，再写出“证实某步之后，继续有……”一直做到底。也许，后来中间步骤又想出来，这时不要乱七八糟插上去，可补在后面。若题目有两问，第一问想不出来，可把第一问作为“已知”，先做第二问，这也是跳步解答。
③退步解答：“以退求进”是一个重要的解题策略。如果你不能解决所提出的问题，那么，你可以从一般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到简单，从整体退到部分，从较强的结论退到较弱的结论。总之，退到一个你能够解决的问题。为了不产生“以偏概全”的误解，应开门见山写上“本题分几种情况”。这样，还会为寻找正确的、一般性的解法提供有意义的启发。
④辅助解答：一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤。实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举。如：准确作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，设应用题的未知数等。答卷中要做到稳扎稳打，字字有据，步步准确，尽量一次成功，提高成功率。试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，所写字母与题中图形上的是否一致，格式是否规范，尤其是要审查字母、符号是否抄错，在确信万无一失后方可交卷。
一、解答题
1．如图1，在中，的平分线交于点E，交的延长线于点F，以，为邻边作．


（1）求证：是菱形．
（2）如图2，若，，，M是的中点，求的长．
（3）如图3，若，连结，，，，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）60°
【分析】
（1）由平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥CD，再根据平行线的性质证明∠CEF=∠CFE，根据等角对等边可得CE=CF，再有条件四边形ECFG是平行四边形，可得四边形ECFG为菱形，即可解决问题；
（2）首先证明四边形ECFG为正方形，再证明△BME≌△DMC可得DM=BM，∠DMC=∠BME，再根据∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°可得到△BDM是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可求解．
（3）延长AB、FG交于H，连接HD，求证平行四边形AHFD为菱形，得出△ADH，△DHF为全等的等边三角形，证明△BHD≌△GFD，即可得出答案．
【详解】
解：（1）∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠CFE，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，
∴四边形ECFG为菱形；
（2）如图，连接BM，MC，

∵∠ABC=90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF=90°，
∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF=∠DAF，
∴BE=AB=DC，
∵M为EF中点，
∴∠CEM=∠ECM=45°，
∴∠BEM=∠DCM=135°，
在△BME和△DMC中，
，
∴△BME≌△DMC（SAS），
∴MB=MD，
∠DMC=∠BME．
∴∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°，
∴△BMD是等腰直角三角形．
∵AB=8，AD=12，
∴BD==，
∴DM=BD=；
（3）∠BDG=60°，
延长AB、FG交于H，连接HD．

∵AD∥GF，AB∥DF，
∴四边形AHFD为平行四边形，
∵∠ABC=120°，AF平分∠BAD，
∴∠DAF=30°，∠ADC=120°，∠DFA=30°，
∴△DAF为等腰三角形，
∴AD=DF，
∴平行四边形AHFD为菱形，
∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形，
∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60°，
∵FG=CE，CE=CF，CF=BH，
∴BH=GF，
在△BHD与△GFD中，
，
∴△BHD≌△GFD（SAS），
∴∠BDH=∠GDF
∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°．
【点睛】
此题是四边形综合题，主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
2．如图，在四边形ABCD中，连接AC，BD交于点O，∠ADO＝∠CBO，且AO＝CO，E为线段OC上一点，连接DE并延长交BC于点F．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）若∠ADE＝45°，AD⊥AC，AE＝3，CE＝2，求三角形AOD的面积．

【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）依据△AOD≌△COB（AAS），即可得出AD＝BC，再根据∠ADO＝∠CBO，即可得到AD∥BC，进而判定四边形ABCD是平行四边形；
（2）依据△ADE是等腰直角三角形，即可得到AD的长，由平行四边形的性质可得OA的长，再根据三角形面积计算公式，即可得出△AOD的面积．
【详解】
（1）∵AC，BD交于点O，
∴∠AOD＝∠COB，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（AAS），
∴AD＝BC，
∵∠ADO＝∠CBO，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵∠ADE＝45°，AD⊥AC，
∴∠AED＝45°，
∴AD＝AE＝3，
又∵CE＝2，
∴AC＝3+2＝5，
∴在平行四边形ABCD中，AO＝AC＝，
∴Rt△AOD的面积＝×AD×AO＝×3×＝．

【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定．
3．定义：一组邻角相等的凸四边形叫做“友好四边形”．
（1）写出我们所学过的特殊四边形中是“友好四边形”的图形的名称____（写一个）
（2）在探究“友好四边形”性质时：

①小明画了一个“友好四边形”（如图），其中，，此时他发现，请你证明此结论：
②由此小明猜想：“对于任意“友好四边形”当一组对边相等时，另一组对边就平行”，请你直接判断这个命题是真命题还是假命题；
（3）已知：在“友好四边形”中，，，，请画出相应图形，并直接写出的长．
【答案】（1）矩形；（2）①见解析；②假命题；（3）画图见解析，11或或2或
【分析】
（1）根据友好四边形的定义即可；
（2）①作出辅助线，判断出△DFA≌△CEB，再判断出四边形DFEC是平行四边形即可；②举出反例来说明；
（3）分四种情况画图计算即可．
【详解】
解（1）矩形，
矩形的四个角都是直角，
根据“友好四边形”的定义，得到矩形是“友好四边形”；
（2）①如图，

过点作，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
；
②假命题，反例如图， 则

在等腰三角形的腰上取点，，使得，四边形是友好四边形，没有对边平行．
（3）①，
如图，作，

，
四边形是矩形，
．
在中，，，
，
；
②如图，，作，

，
四边形是矩形，
，，
在中，，
，
③．
如图，延长，交于

在中，，，
，
，
，
，
，
④，
如图，延长，交于，

，
，，
在中， ，，
，
．
【点睛】
此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是作出图形，也是本题的难点．
4．在四边形中，的中点分别为P、Q、M、M；

（1）如图1，试判断四边形怎样的四边形，并证明你的结论；
（2）若在上取一点E，连结，，恰好和都是等边三角形（如图2）：
①判断此时四边形的形状，并证明你的结论；
②当，，求此时四边形的周长（结果保留根号）．
【答案】（1）平行四边形，理由见解析；（2）①菱形，证明见解析；②
【分析】
（1）连接、．利用三角形中位线定理判定四边形的对边平行且相等，易证该四边形是平行四边形；
（2）①设的边长是，的边长是，由于，，可得平行四边形的对角线相等，从而得出平行四边形是菱形；
②如图2，过点作于，则通过解三角形求得，由勾股定理得到．由①知四边形是菱形，可计算得周长是．
【详解】
解：（1）如图1，连接、．

为的中位线，
且，
同理且．
且，
四边形为平行四边形；
（2）①四边形是菱形，
如图2，连接AC，BD，
∵△ADE和△BCE都是等边三角形，
∴AE=DE，CE=BE，∠AED=∠BEC=60°，
∴∠AEC=∠DEB，
∴△AEC≌△DEB，
∴AC=BD，
∵点M，N是AD，CD的中点，
∴MN是△ADC的中位线，
∴MN=AC，
同理：PN=BD，
∴MN=PN，
由（1）知，四边形PQMN是平行四边形，
∴平行四边形PQMN是菱形；
②过点作于，则，
又，
，
由①知四边形是菱形，可计算得周长是．

【点睛】
本题考查了中点四边形以及菱形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，解题时，利用了三角形中位线的性质定理．
5．定义：数学活动课上：陈老师给出如下定义：有组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形．

（1）如图1，平行四边形中，的平分线交于E．
求证：四边形是对等四边形．
（2）如图2，已知A、B、C在格点（小正方形的项点）上，请在方格图中画出以格点为顶点，、为边的两个对等四边形．
（3）如图3，在中，，点A在边上，且，若上存在符合条件的点M，使四边形为对等四边形，求出的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）13或或
【分析】
（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，∠B=∠D=60°，AB=CD，由角平分线的定义及等腰三角形的性质得出CE=CD，根据对等四边形的定义可得出结论；
（2）根据对等四边形的定义画出图形即可；
（3）分CM=AB与AM=BC两种情况进行讨论即可．
【详解】
解：（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
又，
，
，
，
四边形是对等四边形；
（2）如图2，四边形即为所求；

（3）如图3，

①当时，；
②当时，过作于点，则，，
，，
当点在线段上时，，
当点在上时，．
综合以上可得的长为13或或．
【点睛】
此题属于四边形综合题，考查了作图-应用与设计作图，平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，弄清题中的新定义是解本题的关键．
6．（问题背景）如图1，P是等边三角形外一点，，则．小明为了证明这个结论，将绕点A逆时针旋转，请根据此思路完成其证明；
（迁移应用）如图2，在等腰直角三角形中，，，点P在外部，且，若的面积为5.5，求；
（拓展创新）如图3，在四边形中，，点E在四边形内部，且，，，，，直接写出的长．

【答案】[问题背景]见解析；[迁移应用]；[拓展创新]
【分析】
[问题背景]按题意画出图形，根据旋转的性质得到AP=AP′，PB=P′C，证明△APP′为等边三角形，从而推出∠PP′C=90°，在△PP′C中，利用勾股定理得到，再利用等量代换可得结果；
[迁移应用]作线段BM垂直于BP交PC的延长线于点M，连接AM，证得∠PBC=∠ABM，证明△PBC≌△MBA（SAS），得出∠AMP=90°，由三角形的面积可求出答案；
[拓展创新]将△AED绕点E顺时针旋转90°至△FEC，连接BF，证得∠FCE=90°，由勾股定理求出FB=，证明△ABE≌△FBE（SAS），由全等三角形的性质得出AB=FB．
【详解】
解：[问题背景]
如图1，连接PP′，由旋转可得：
AP=AP′，PB=P′C，∠PAP′=∠BAC=60°，
∴△APP′为等边三角形，
∴∠APP′=60°，PP′=AP′=PA，
∵∠APB=30°，
∴∠AP′C=30°
∴∠PP′C=90°，
在△PP′C中，，
∴；

[迁移应用]
如图2，作线段BM垂直于BP交PC的延长线于点M，连接AM，

∵∠BPM=45°，∠PBM=90°，
∴△BPD为等腰直角三角形，
∴BP=BM，
∵∠ABM+∠MBC=∠ABC=90°，∠PBM=∠PBC+∠MBC=90°，
∴∠PBC=∠ABM，
在△PBC和△MBA中，
，
∴△PBC≌△MBA（SAS），
∴∠AMP=90°，
∴S△PAC＝PC•AD＝PC2=5.5，
∴PC=（负值舍去）．
[拓展创新]
如图3，将△AED绕点E顺时针旋转90°至△FEC，连接BF，

则AD=CF=，AE=EF，∠ADE=∠FCE，
∴∠EDC=∠ECD=45°，
∵AD∥BC，
∴∠ADE+∠EDC+∠ECD+∠ECB=180°，
∵ED=EC，∠CED=90°，
∴∠EDC=∠ECD=45°，
∴∠ADE+∠ECB=90°，
∴∠FCE+∠ECB=90°，
即∠FCB=90°，
∴FB==，
∵∠AEB=135°，∠AEF=90°，
∴∠FEB=360°-135°-90°=135°，
∴∠AEB=∠FEB，
在△ABE和△FBE中，
，
∴△ABE≌△FBE（SAS），
∴AB=FB=．
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键．
7．在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA任x轴上，OC在y轴上，B（4，3），点M从点A开始，以每秒1个单位长度的速度沿AB→BC→CO运动，设△AOM的面积为S，点M运动的时间为t．
（1）当0＜t＜3时，AM＝　 　，当7＜t＜10时，OM＝　 　；（用t的代数式表示）
（2）当△AOM为等腰三角形时，t＝　 　；
（3）当7＜t＜10时，求S关于t的函数关系式；
（4）当S＝4时，求t的值．

【答案】（1）t，10-t；（2）5；（3）S=20-2t；（4）2或8．
【分析】
（1）利用路程，速度和时间的关系求解即可；
（2）由题意可知只有等MA=MO，此时点M在线段BC上，进一步CM=BM=2解答即可；
（3）当7