四川省南充市2021年中考数学真题（word版 含答案）

这是一份四川省南充市2021年中考数学真题（word版 含答案），共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

四川省南充市2021年中考数学真题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．满足的最大整数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．数轴上表示数和的点到原点的距离相等，则为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点O是对角线的交点，EF过点O分別交AD，BC于点E，F．下列结论成立的是（ ）

A． B．
C． D．
4．据统计，某班7个学习小组上周参加“青年大学习”的人数分别为：5，5，6，6，6，7，7，下列说法错误的是（ ）
A．该组数据的中位数是6 B．该组数据的众数是6
C．该组数据的平均数是6 D．该组数据的方差是6
5．端午节买粽子，每个肉粽比素粽多1元，购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，设每个肉粽x元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，AB是的直径，弦于点E，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
8．如图，在菱形ABCD中，，点E，F分別在边AB，BC上，，的周长为，则AD的长为（ ）

A． B． C． D．
9．已知方程的两根分别为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在矩形ABCD中，，，把边AB沿对角线BD平移，点，分别对应点A，B．给出下列结论：①顺次连接点，，C，D的图形是平行四边形；②点C到它关于直线的对称点的距离为48；③的最大值为15；④的最小值为．其中正确结论的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题
11．已知，则＝______；
12．在，，，这四个数中随机取出一个数，其倒数等于本身的概率是________．
13．如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，，则GH的长为________．

14．若，则_________
15．如图，在中，D为BC上一点，，则的值为________．

16．关于抛物线，给出下列结论：①当时，抛物线与直线没有交点；②若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；③若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边界），则．其中正确结论的序号是________．

三、解答题
17．先化简，再求值：，其中．
18．如图，，AD是内部一条射线，若，于点E，于点F．求证：．

19．某市体育中考自选项目有乒乓球、篮球和羽毛球，每个考生任选一项作为自选考试项目．
（1）求考生小红和小强自选项目相同的概率．
（2）除自选项目之外，长跑和掷实心球为必考项目．小红和小强的体育中考各项成绩（百分制）的统计图表如下：
考生
自选项目
长跑
掷实心球
小红
95
90
95
小强
90
95
95

①补全条形统计图．
②如果体育中考按自选项目占50%、长跑占30%、掷实心球占20%计算成绩（百分制），分别计算小红和小强的体育中考成绩．
20．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两个实数根为，，且k与都为整数，求k所有可能的值．
21．如图，反比例函数的图象与过点，的直线交于点B和C．

（1）求直线AB和反比例函数的解析式．
（2）已知点，直线CD与反比例函数图象在第一象限的交点为E，直接写出点E的坐标，并求的面积．
22．如图，A，B是上两点，且，连接OB并延长到点C，使，连接AC．

（1）求证：AC是的切线．
（2）点D，E分别是AC，OA的中点，DE所在直线交于点F，G，，求GF的长．
23．超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/千克，同样数量的苹果只用200元．
（1）求苹果的进价．
（2）如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，超过部分购进价格减少2元/千克．写出购进苹果的支出y（元）与购进数量x（千克）之间的函数关系式．
（3）超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完．据统计，销售单价z（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为．在（2）的条件下，要使超市销售苹果利润w（元）最大，求一天购进苹果数量．（利润＝销售收入购进支出）
24．如图，点E在正方形ABCD边AD上，点F是线段AB上的动点（不与点A重合）．DF交AC于点G，于点H，，．

（1）求．
（2）设，，试探究y与x的函数关系式（写出x的取值范围）．
（3）当时，判断EG与AC的位置关系并说明理由．
25．如图，已知抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ．当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由．
（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且．在y轴上是否存在点F，使得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．


参考答案
1．C
【分析】
逐项分析，求出满足题意的最大整数即可．
【详解】
A选项，，但不是满足的最大整数，故该选项不符合题意，
B选项，，但不是满足的最大整数，故该选项不符合题意，
C选项，，满足的最大整数，故该选项符合题意，
D选项，，不满足，故该选项不符合题意，
故选：C．
【点睛】
本题较为简单，主要是对不等式的理解和最大整数的理解．
2．D
【分析】
由数轴上表示数和的点到原点的距离相等且，可得和互为相反数，由此即可求得m的值．
【详解】
∵数轴上表示数和的点到原点的距离相等，，
∴和互为相反数，
∴+=0，
解得m=-1．
故选D．
【点睛】
本题考查了数轴上的点到原点的距离，根据题意确定出和互为相反数是解决问题的关键．
3．A
【分析】
首先可根据平行四边形的性质推出△AEO≌△CFO，从而进行分析即可．
【详解】
∵点O是对角线的交点，
∴OA=OC，∠EAO=∠CFO，
∵∠AOE=∠COF，
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴OE=OF，A选项成立；
∴AE=CF，但不一定得出BF=CF，
则AE不一定等于BF，B选项不一定成立；
若，则DO=DC，
由题意无法明确推出此结论，C选项不一定成立；
由△AEO≌△CFO得∠CFE=∠AEF，但不一定得出∠AEF=∠DEF，
则∠CFE不一定等于∠DEF，D选项不一定成立；
故选：A．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，理解基本性质，利用全等三角形的判定与性质是解题关键．
4．D
【分析】
根据众数、平均数、中位数、方差的定义和公式分别进行计算即可．
【详解】
解：A、把这些数从小到大排列为：5，5，6，6，6，7，7，则中位数是6，故本选项说法正确，不符合题意；
B、∵6出现了3次，出现的次数最多，∴众数是6，故本选项说法正确，不符合题意；
C、平均数是（5+5+6+6+6+7+7）÷7＝6，故本选项说法正确，不符合题意；
D、方差=×[2×（5−6）2＋3×（6−6）2＋2×（7−6）2]＝，故本选项说法错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了众数、平均数、中位数、方差．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
5．A
【分析】
根据题意表示出肉粽和素粽的单价，再列出方程即可．
【详解】
设每个肉粽x元，则每个素粽的单价为（x-1）元，
由题意：，
故选：A．
【点睛】
本题考查列一元一次方程，理解题意，找准数量关系是解题关键．
6．D
【分析】
根据分式的加减乘除的运算法则进行计算即可得出答案
【详解】
解：A. ，计算错误，不符合题意；
B. ，计算错误，不符合题意；
C. ，计算错误，不符合题意；
D. ，计算正确，符合题意；
故选：D
【点睛】
本题考查了分式的加减乘除的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键
7．B
【分析】
连接OD，根据垂径定理得CD=2DE，从而得是等腰直角三角形，根据圆周角定理即可求解．
【详解】
解：连接OD，

∵AB是的直径，弦于点E，
∴CD=2DE，
∵，
∴DE=OE，
∴是等腰直角三角形，即∠BOD=45°，
∴=∠BOD=22.5°，
故选B．
【点睛】
本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握垂径定理和圆周角定理，是解题的关键．
8．C
【分析】
连接BD，过点E作EM⊥AD，可得ME=，AM=1，再证明△BDF≌△ADE，可得是等边三角形，从而得DE=，进而即可求解．
【详解】
连接BD，过点E作EM⊥AD，
∵，，
∴ME=AE×sin60°=2×=，AM= AE×cos60°=2×=1，

∵在菱形ABCD中，
∴AD＝AB＝BC＝CD，∠C＝∠A＝60°，
∴△ABD和△BCD均为等边三角形，
∴∠DBF=∠A=60°，BD=AD，
又∵，
∴△BDF≌△ADE，
∴∠BDF=∠ADE，DE=DF，
∴∠ADE＋∠BDE＝60°＝∠BDF＋∠BDE，即：∠EDF=60°，
∴是等边三角形，
∵的周长为，
∴DE=×=，
∴DM=，
∴AD=AM+DM=1+．
故选C．
【点睛】
本题主要考查菱形的性质以及全等三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形和直角三角形，是解题的关键．
9．B
【分析】
根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系可得，，再代入通分计算即可求解．
【详解】
∵方程的两根分别为，，
∴，，
∴，
∴=====-1．
故选B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程解的定义及根与系数的关系，熟练运用一元二次方程解的定义及根与系数的关系是解决问题的关键．
10．D
【分析】
根据平移的性质和平行四边形的判定方法判断①，再利用等积法得出点C到BD的距离，从而对②做出判断，再根据三角形的三边关系判断③，如图，作关于的对称点，交于 连接，过作于 分别交于 证明 是最小值时的位置，再利用勾股定理求解，对④做出判断．
【详解】
解：由平移的性质可得AB//
且AB=
∵四边形ABCD为矩形
∴AB//CD，AB=CD=15
∴//CD且=CD
∴四边形CD为平行四边形，故①正确
在矩形ABCD中，BD===25
过A作AM⊥BD，CN⊥BD，则AM=CN

∴S△ABD=AB·CD= BD·AM
∴AM=CN==12
∴点C到的距离为24
∴点C到它关于直线的对称点的距离为48
∴故②正确
∵
∴当在一条直线时最大，
此时与D重合
∴的最大值==15
∴故③正确，
如图，作关于的对称点，交于 连接，过作于 分别交于
则 为的中位线， ，


由可得，

此时最小，
由②同理可得：

设 则
由勾股定理可得：

整理得：

解得：（负根舍去），


∴故④正确
故选D．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的性质以及平移的性质,锐角三角函数的应用等知识点，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
11．
【分析】
利用平方根解方程即可得．
【详解】
由平方根得：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根是解题关键．
12．
【分析】
先得出倒数等于本身的个数，再根据概率公式即可得出结论．
【详解】
解：∵在，，，这四个数中，倒数等于本身的数有，，
∴随机取出一个数，其倒数等于本身的概率是；
故答案为：
【点睛】
本题考查的是概率公式，熟记随机事件的概率公式是解答此题的关键．
13．3
【分析】
根据直角三角形的性质和三角形中位线的性质，即可求解．
【详解】
∵在矩形ABCD中，∠BAE=90°，
又∵点F是BE的中点，，
∴BE=2AF=6，
∵G，H分别是BC，CE的中点，
∴GH是的中位线，
∴GH=BE=×6=3，
故答案是：3．
【点睛】
本题主要考查矩形的性质，直角三角形的性质和三角形中位线的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半，是解题的关键．
14．
【分析】
先根据得出m与n的关系式，代入化简即可；
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴
故答案为：
【点睛】
本题考查了分式的混合运算，得出是解决本题的关键．
15．．
【分析】
证明△ABD∽△CBA，根据相似三角形的性质即可解答．
【详解】
∵，
∴，，
∴，
∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBA，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定及性质，证明△ABD∽△CBA是解决问题的关键．
16．②③
【分析】
先联立方程组，得到，根据判别式即可得到结论；②先求出a＜1，分两种情况：当0＜a＜1时，当a＜0时，进行讨论即可；③求出抛物线的顶点坐标为：，进而即可求解．
【详解】
解：联立，得，
∴∆=，当时，∆有可能≥0，
∴抛物线与直线有可能有交点，故①错误；
抛物线的对称轴为：直线x=，
若抛物线与x轴有两个交点，则∆=，解得：a＜1，
∵当0＜a＜1时，则＞1，此时，x＜，y随x的增大而减小，
又∵x=0时，y=1＞0，x=1时，y=a-1＜0，
∴抛物线有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，
∵当a＜0时，则＜0，此时，x＞，y随x的增大而减小，
又∵x=0时，y=1＞0，x=1时，y=a-1＜0，
∴抛物线有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，
综上所述：若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，故②正确；
抛物线的顶点坐标为：，
∵，
∴抛物线的顶点所在直线解析式为：x+y=1，即：y=-x+1，
∵抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边界），
∴，解得：，故③正确．
故答案是：②③．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数与二次方程的联系，熟练应用判别式判断一元二次方程根的情况，是解题的关键．
17．，-22
【分析】
利用平方差公式和完全平方公式，进行化简，再代入求值，即可求解．
【详解】
解：原式=
=
=，
当x=-1时，原式==-22．
【点睛】
本题主要考查整式的化简求值，熟练掌握完全平方公式和平方差公式，是解题的关键．
18．见详解
【分析】
根据AAS证明△BAE≌△ACF，即可得．
【详解】
证明：∵，
∴∠BAE＋∠CAF＝90°，
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BEA＝∠AFC＝90°，
∴∠BAE＋∠EBA＝90°，
∴∠CAF＝∠EBA，
∵AB＝AC，
∴△BAE≌△ACF，
∴．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
19．（1）；（2）①条形统计图见解析；②小红和小强的成绩分别为93.5和92.5．
【分析】
（1）用列表法求概率即可；
（2）①根据统计表补全条形统计图；②用加权平均数分别计算出小红和小强的成绩即可．
【详解】
解：（1）根据题意小红和小强自选项目情况如下表所示：

乒乓球
篮球
羽毛球
乒乓球
乒乓球，乒乓球
篮球，乒乓球
羽毛球，乒乓球
篮球
乒乓球，篮球
篮球，篮球
羽毛球，篮球
羽毛球
乒乓球，羽毛球
篮球，羽毛球
羽毛球，羽毛球
由上表可知，小红和小强自选项目选择方式有9种情况，小红和小强自选项目相同的情况有
3种，故小红和小强自选项目相同的概率为；
（2）①补全条形统计图如图所示：

②小红的体育中考成绩为：95×50%+90×30%+95×20%=93.5；
小强的体育中考成绩为：90×50%+95×30%+95×20%=92.5；
答：小红和小强的成绩分别为93.5和92.5．
【点睛】
本题主要考查了用列表法求概率、画条形统计图以及加权平均数等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．
20．（1）见解析；（2）0或-2或1或-1
【分析】
（1）计算判别式的值，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）先利用因式分解法得出方程的两个根，再结合k与都为整数，得出k的值；
【详解】
解：（1）
∵△=
=
∴无论k取何值， 方程都有两个不相等的实数根．
（2）∵
∴
∴=0
∴，或，
当，时，

∵k与都为整数，
∴k=0或-2
当，时，
∴，
∵k与都为整数，
∴k=1或-1
∴k所有可能的值为0或-2或1或-1
【点睛】
本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不等的实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的解．
21．（1）直线AB：；反比例函数：；（2），
【分析】
（1）分别设出对应解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）先求出C点坐标，从而求出直线CD的解析式，然后求出E点坐标，再利用割补法求解面积即可．
【详解】
（1）设直线AB的解析式为，
将点，代入解析式得：
，解得：，
∴直线AB的解析式为：；
设反比例函数解析式为：，
将代入解析式得：，
∴反比例函数的解析式为：；
（2）联立，解得：或，
∴C点坐标为：，
设直线CD的解析式为：，
将，代入得：
，解得：，
∴直线CD的解析式为：，
联立，解得：或，
∴E点的坐标为：；
如图，过E点作EF∥y轴，交直线AB于F点，
则F点坐标为，，
∴．

【点睛】
本题考查一次函数与反比例函数综合问题，准确求出各直线的解析式以及与双曲线的交点坐标，灵活运用割补法求解面积是解题关键．
22．（1）见解析；（2）2
【分析】
（1）先证得△AOB为等边三角形，从而得出∠OAB=60°，利用三角形外角的性质得出∠C=∠CAB=30°，由此可得∠OAC=90°即可得出结论；
（2）过O作OM⊥DF于M，DN⊥OC于N，利用勾股定理得出AC=，根据含30°的直角三角形的性质得出DN =，再根据垂径定理和勾股定理即可求出GF的长．
【详解】
（1）证明：∵AB=OA，OA=OB
∴AB=OA=OB
∴△AOB为等边三角形
∴∠OAB=60°，∠OBA=60°
∵BC=OB
∴BC=AB
∴∠C=∠CAB
又∵∠OBA=60°=∠C+∠CAB
∴∠C=∠CAB=30°
∴∠OAC=∠OAB+∠CAB=90°
∴AC是⊙O的切线；
（2）∵OA=4
∴OB=AB=BC=4
∴OC=8
∴AC===
∵D、E分别为AC、OA的中点，
∴OE//BC，DC=
过O作OM⊥DF于M，DN⊥OC于N
则四边形OMDN为矩形
∴DN=OM
在Rt△CDN中，∠C=30°，∴DN=DC=
∴OM=
连接OG，∵OM⊥GF
∴GF=2MG=2==2

【点睛】
本题考查了切线的判定、垂径定理、等边三角形的性质和判定，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
23．（1）苹果的进价为10元/千克；（2）；（3）要使超市销售苹果利润w最大，一天购进苹果数量为200千克．
【分析】
（1）设苹果的进价为x元/千克，根据等量关系，列出分式方程，即可求解；
（2）分两种情况：当x≤100时， 当x＞100时，分别列出函数解析式，即可；
（3）分两种情况：若x≤100时，若x＞100时，分别求出w关于x的函数解析式，根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】
解：（1）设苹果的进价为x元/千克，
由题意得：，解得：x=10，
经检验：x=10是方程的解，且符合题意，
答：苹果的进价为10元/千克；
（2）当x≤100时，y=10x，
当x＞100时，y=10×100+（10-2）×（x-100）=8x+200，
∴；
（3）若x≤100时，w=zx-y==，
∴当x=100时，w最大=100，
若x＞100时，w==zx-y==，
∴当x=200时，w最大=600，
综上所述：当x=200时，超市销售苹果利润w最大，
答：要使超市销售苹果利润w最大，一天购进苹果数量为200千克．
【点睛】
本题主要考查分式方程、一次函数、二次函数的实际应用，根据数量关系，列出函数解析式和分式方程，是解题的关键．
24．（1）；（2）y=(0；（3）EG⊥AC，理由见解析
【分析】
（1）过E作EM⊥AC于M，根据正方形的性质得出∠DAC=45°，AD=AB=BC=1，利用等腰三角形的性质得出EM=AM=，再利用正切的定义即可得出答案；
（2）过G作GN⊥AB于N，先证得四边形HANG为正方形，再证明△GNF△DAF，根据比利式即可得出结论；
（3）根据∠ADF=∠ACE和tan∠ACE=得出 AF=，根据（2）中的函数关系式得出HG=，从而得出△EHG为等腰直角三角形，继而得出EG⊥AC
【详解】
（1）过E作EM⊥AC于M
在正方形ABCD中∠DAC=45°，AD=AB=BC=1
∵DE=，∴AE=，AC=
∴EM=AM=AE=×=
∴CM=AC-AM=-=
在Rt△CEM中，tan∠ACE==

(2)过G作GN⊥AB于N
∵HG⊥AD，∠DAB=90°
∴四边形HANG为矩形，GN∥AD
∵∠HAG=45°
∴AH=HG
∴四边形HANG为正方形
∴HG=GN=AN=y
∵GN∥AD
∴△GNF△DAF
∴=
∵AF=x，∴NF=x-y
∴=
∴y=(0

(3)∵∠ADF=∠ACE
tan∠ACE=
∴tan∠ADF==
∵AD=1
∴AF=
即x=
当x=时，y=HG=
在Rt△AHG中，∠HAG=45°
∴AH=HG=，∠HGA=45°
∵HE=AE-AH=
∴△EHG为等腰直角三角形
∴∠EGH=45°
∴∠AGE=90°
∴EG⊥AC
【点睛】
本题考查了正方形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、解直角三角形等知识，适当添加辅助线，灵活运用所学知识是解题的关键．
25．（1）；（2）四边形OCPQ是平行四边形，理由见详解；（3）（0，）或（0，1）或（0，-1）
【分析】
（1）设抛物线，根据待定系数法，即可求解；
（2）先求出直线BC的解析式为：y=-x+4，设P（x，-x+4），则Q（x，），（0≤x≤4），得到PQ =，从而求出线段PQ长度最大值，进而即可得到结论；
（3）过点Q作QM⊥y轴，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，交于点N，推出，从而得，进而求出E（5，4），设F（0，y），分三种情况讨论，即可求解．
【详解】
解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线，
∴B（4，0），C（0，4），
设抛物线，把C（0，4）代入得：，解得：a=1，
∴抛物线的解析式为：；
（2）∵B（4，0），C（0，4），
∴直线BC的解析式为：y=-x+4，
设P（x，-x+4），则Q（x，），（0≤x≤4），
∴PQ=-x+4-()==，
∴当x=2时，线段PQ长度最大=4，
∴此时，PQ=CO，
又∵PQ∥CO，
∴四边形OCPQ是平行四边形；
（3）过点Q作QM⊥y轴，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，交于点N，
由（2）得：Q（2，-2），
∵D是OC的中点，
∴D（0，2），
∵QN∥y轴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即：，
设E（x，），则，解得：，（舍去），
∴E（5，4），
设F（0，y），则，
，，
①当BF=EF时，，解得：，
②当BF=BE时，，解得：或，
③当EF=BE时，，无解，
综上所述：点F的坐标为：（0，）或（0，1）或（0，-1）．

【点睛】
本题主要考查二次函数与平面几何的综合，掌握二次函数的性质以及图像上点的坐标特征，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．