第十一章 11.3离散型随机变量及其分布-2021届高三数学一轮基础复习讲义（学生版+教师版）【机构专用】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．(　 　)

(2)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．(　 　)

(3)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(　 　)

(4)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(　 　)

(5)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关．(　 　)

(6)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．(　 　)

无

题型一　离散型随机变量分布列的性质

例1　(1)设X是一个离散型随机变量，其分布列为

则q等于________．

(2)设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝i)＝a()i，i＝1,2,3，则实数a的值为(　　)

A．1  B.  C.  D.

　已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1,2,3,4)，则P(2<X≤4)等于(　　)

A.  B.  C.  D.

题型二　离散型随机变量分布列的求法

例2　连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第i次得到的点数为ai，若存在正整数k，使a1＋a2＋…＋ak＝6，则称k为你的幸运数字．

(1)求你的幸运数字为3的概率；

(2)若k＝1，则你的得分为6分；若k＝2，则你的得分为4分；若k＝3，则你的得分为2分；若抛掷三次还没找到你的幸运数字，则记0分，求得分ξ的分布列．

　袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P(ξ≤6)＝________.

题型三　离散型随机变量的均值与方差

例3　在2016年全国高校自主招生考试中，某高校设计了一个面试考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立回答全部问题．规定：至少正确回答其中2题的便可通过．已知6道备选题中考生甲有4题能正确回答，2题不能回答；且每题正确回答与否互不影响．写出甲考生正确回答题数的分布列，并计算其均值和方差．

　某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X(单位：分)的均值为(　　)

A．0.9  B．0.8  C．1.2  D．1.1

1．离散型随机变量

随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．

2．离散型随机变量的分布列及性质

(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表

称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．

(2)离散型随机变量的分布列的性质

①pi≥0，i＝1,2，…，n；

②i＝1.

3．离散型随机变量的均值与方差

一般地，若离散型随机变量X的分布列为

(1)均值

称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．

(2)方差

称D(X)＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，并称其算术平方根为随机变量X的标准差．

4．均值与方差的性质

(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.

(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b为常数)

典例　某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9.如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数ξ的分布列．

1．抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X，那么X＝4表示的事件是(　　)

A．一颗是3点，一颗是1点

B．两颗都是2点

C．甲是3点，乙是1点或甲是1点，乙是3点或两颗都是2点

D．以上答案都不对

2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于(　　)

A．0  B.  C.  D.

3．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝2,4,6,8,10)，则D(ξ)等于(　　)

A．8   B．5

C．10   D．12

答案　A

4．随机变量ξ的分布列如图所示，其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)＝，则D(ξ)＝________.

1．某射手射击所得环数X的分布列为

则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为(　　)

A．0.28  B．0.88  C．0.79  D．0.51

2．设X是一个离散型随机变量，其分布列为

则q等于(　　)

A．1  B．1±  C．1－  D．1＋

3．从装有3个白球，4个红球的箱子中，随机取出3个球，则恰好是2个白球，1个红球的概率是(　　)

A.  B.  C.  D.

4．一只袋内装有m个白球，n－m个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X个白球，下列概率等于的是(　　)

A．P(X＝3)   B．P(X≥2)

C．P(X≤3)   D．P(X＝2)

5．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为0.6，现有4颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目X的均值为(　　)

A．2.44   B．3.376

C．2.376   D．2.4

6．袋中装有大小完全相同，标号分别为1,2,3，…，9的九个球．现从袋中随机取出3个球．设ξ为这3个球的标号相邻的组数(例如：若取出球的标号为3,4,5，则有两组相邻的标号3,4和4,5，此时ξ的值是2)，则随机变量ξ的均值E(ξ)为(　　)

A.   B.

C.   D.

7．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)；若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是________．

8．设离散型随机变量X的分布列为

若随机变量Y＝|X－2|，则P(Y＝2)＝________.

9．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝，k＝1,2,3，…，n，则P(2<ξ≤5)＝________.

10．两封信随机投入A，B，C三个空邮箱，则A邮箱的信件数ξ的均值E(ξ)＝________.

11．一射击测试中每人射击三次，每击中目标一次记10分，没有击中记0分．某人每次击中目标的概率为，则此人得分的均值与方差分别为________，________.

12．一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的．从袋子中摸出2个球，其中白球的个数为X，则X的均值是________．

*13.某高校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n位校友(n>8且n∈N*)，其中女校友6位，组委会对这n位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．

(1)若随机选出的2名校友代表为“最佳组合”的概率不小于，求n的最大值；

(2)当n＝12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为ξ，求ξ的分布列和均值．