第五章 5.3平面向量的数量积-2021届高三数学一轮基础复习讲义（学生版+教师版）【机构专用】

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第1课时


进门测




判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(　√　)
(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(　√　)
(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　×　)
(4)(a·b)c＝a(b·c)．(　×　)
(5)两个向量的夹角的范围是[0，]．(　×　)

作业检查



无

第2课时


阶段训练



题型一　平面向量数量积的运算
例1　(1)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为(　　)
A．－ B.
C. D.
(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________．
答案　(1)B　(2)1　1
解析　(1) 如图，由条件可知＝－，

＝＋＝＋
＝＋，
所以·
＝(－)·(＋)
＝2－·－2.
因为△ABC是边长为1的等边三角形，
所以||＝||＝1，∠BAC＝60°，
所以·＝－－＝.
(2)方法一　以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，

设E(t,0)，t∈[0,1]，则＝(t，－1)，＝(0，－1)，所以·＝(t，－1)·(0，－1)＝1.
因为＝(1,0)，所以·＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1，
故·的最大值为1.
方法二　由图知，

无论E点在哪个位置，在方向上的投影都是CB＝1，∴·＝||·1＝1，
当E运动到B点时，在方向上的投影最大，即为DC＝1，
∴(·)max＝||·1＝1.
思维升华　平面向量数量积的三种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用数量积的几何意义求解．
　(1)已知向量＝，＝，则∠ABC等于(　　)
A．30° B．45° C．60° D．120°
(2)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点E和F分别在线段BC和DC上，且＝，＝，则·的值为________．
答案　(1)A　(2)
解析　(1)∵||＝1，||＝1，
cos∠ABC＝＝，
又∵0°≤∠ABC≤180°，∴∠ABC＝30°.
(2)在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2，BC＝1，
∠ABC＝60°，∴CD＝1，＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
∴·＝·＝·＋·＋·＋·＝2×1×cos 60°＋2×＋×12×cos 60°＋××12×cos 120°＝.
题型二　平面向量数量积的应用
命题点1　求向量的模
例2　(1)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC的中点，则||＝________.
(2)在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1,0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足||＝1，则|＋＋|的最大值是________．
答案　(1)2　(2)＋1
解析　(1)因为＝(＋)
＝(2a＋2b＋2a－6b)
＝2a－2b，
所以||2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2)
＝4×(3－2×2××cos ＋4)＝4，
所以||＝2.
(2)设D(x，y)，由＝(x－3，y)及||＝1，
知(x－3)2＋y2＝1，即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆．
又＋＋＝(－1,0)＋(0，)＋(x，y)
＝(x－1，y＋)，
∴|＋＋|＝.
问题转化为圆(x－3)2＋y2＝1上的点与点P(1，－)间距离的最大值．
∵圆心C(3,0)与点P(1，－)之间的距离为＝，
故的最大值为＋1.
即|＋＋|的最大值是＋1.
命题点2　求向量的夹角
例3　(1)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cos β＝________.
(2)若向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________________．
答案　(1)　(2)∪
解析　(1)因为a2＝(3e1－2e2)2
＝9－2×3×2×12×cos α＋4＝9，
所以|a|＝3，
因为b2＝(3e1－e2)2＝9－2×3×1×12×cos α＋1＝8，
所以|b|＝2，
又a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)
＝9e－9e1·e2＋2e＝9－9×1×1×＋2＝8，
所以cos β＝＝＝.
(2)∵2a－3b与c的夹角为钝角，
∴(2a－3b)·c＜0，
即(2k－3，－6)·(2,1)＜0，
∴4k－6－6＜0，
∴k＜3.
又若(2a－3b)∥c，则2k－3＝－12，即k＝－.
当k＝－时，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c，
即2a－3b与c反向．
综上，k的取值范围为∪.
思维升华　平面向量数量积求解问题的策略
(1)求两向量的夹角：cos θ＝，要注意θ∈[0，π]．
(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.
(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有
①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝.
②|a±b|＝＝.
③若a＝(x，y)，则|a|＝.
　(1)已知向量⊥，||＝3，则·＝________.
(2)已知单位向量a和b满足|a＋b|＝|a－b|，则a与b夹角的余弦值为(　　)
A．－ B．－
C. D.
(3)在△ABC中，若A＝120°，·＝－1，则||的最小值是(　　)
A. B．2
C. D．6
答案　(1)9　(2)C　(3)C
解析　(1)因为⊥，所以·＝0.所以·＝·(＋)＝2＋·＝||2＋0＝32＝9.
(2)由|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝|a－b|，
得2＋2a·b＝2(1－2a·b＋1)，
即a·b＝，cos〈a，b〉＝＝.
(3)∵·＝－1，
∴||·||·cos 120°＝－1，
即||·||＝2，
∴||2＝|－|2＝2－2·＋2
≥2||·||－2·＝6，
∴||min＝.
题型三　平面向量与三角函数
例4　在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈.
(1)若m⊥n，求tan x的值；
(2)若m与n的夹角为，求x的值．
解　(1)因为m＝，n＝(sin x，cos x)，m⊥n.
所以m·n＝0，即sin x－cos x＝0，
所以sin x＝cos x，所以tan x＝1.
(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cos＝，
即sin x－cos x＝，
所以sin＝，
因为0