第三章 3.1导数的概念-2021届高三数学一轮基础复习讲义（学生版+教师版）【机构专用】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　 　)

(2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．(　 　)

(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(　 　)

(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　 　)

(5)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x．(　 　)

无

题型一　导数的计算

例1　求下列函数的导数．

(1)y＝x2sin x；(2)y＝ln x＋；(3)y＝；

(4)y＝sin(2x＋)；(5)y＝ln(2x－5)．

　(1)f(x)＝x(2 016＋ln x)，若f′(x0)＝2 017，则x0等于(　　)

A．e2   B．1

C．ln 2   D．e

(2)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于(　　)

A．－1   B．－2

C．2   D．0

题型二　导数的几何意义

命题点1　求切线方程

例2　(1)已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．

(2)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为(　　)

A．x＋y－1＝0   B．x－y－1＝0

C．x＋y＋1＝0   D．x－y＋1＝0

命题点2　求参数的值

例3　函数y＝ex的切线方程为y＝mx，则m＝________.

(2)已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m等于(　　)

A．－1  B．－3  C．－4  D．－2

命题点3　导数与函数图象的关系

例4　如图，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点E作OB的垂线l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象为下图中的(　　)

　(1)已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为(　　)

A．3  B．2  C．1  D.

(2)设曲线y＝在点(，1)处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a等于(　　)

A．－1  B.  C．－2  D．2

1．导数与导函数的概念

(1)一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是 ＝ ，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ .

(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数．记作f′(x)或y′.

2．导数的几何意义

函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．

3．基本初等函数的导数公式

4.导数的运算法则

若f′(x)，g′(x)存在，则有

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(3)[]′＝(g(x)≠0)．

5．复合函数的导数

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

【知识拓展】

(1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．

(2)[]′＝－(f(x)≠0)．

(3)[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)．

(4)函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．

典例　若存在过点O(0,0)的直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，求a的值．

1．若f(x)＝x·ex，则f′(1)等于(　　)

A．0  B．e  C．2e  D．e2

2．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(　　)

3．设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝f′()sin x＋cos x，则f′()＝________.

4．曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程是________________．

1．若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)等于(　　)

A．2  B．0  C．－2  D．－4

2．若曲线f(x)＝x4－x在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P的坐标为(　　)

A．(－1,2)   B．(1，－3)

C．(1,0)   D．(1,5)

3．若直线y＝x是曲线y＝x3－3x2＋px的切线，则实数p的值为(　　)

A．1  B．2  C.  D．1或

4．已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为(　　)

A．e  B．－e  C.  D．－

5.已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)等于(　　)

A．－1  B．0  C．2  D．4

6．已知函数f(x)＝＋1，g(x)＝aln x，若在x＝处函数f(x)与g(x)的图象的切线平行，则实数a的值为(　　)

A.  B.  C．1  D．4

7．已知函数f(x)满足f(x)＝f′(1)ex－1－f(0)x＋x2.那么f(x)的解析式为________．

8．曲线y＝log2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________．

9．若函数f(x)＝x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．

 *10.已知曲线f(x)＝xn＋1(n∈N*)与直线x＝1交于点P，设曲线y＝f(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2 016x1＋log2 016x2＋…＋log2 016x2 015的值为________．

11．已知曲线y＝x3＋.

(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；

(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程．

12．已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.

(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；

(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．

 *13.设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.

(1)求f(x)的解析式；

(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．