高考数学一轮复习　第五章 第2节等差数列及其前n项和

这是一份高考数学一轮复习　第五章 第2节等差数列及其前n项和，共16页。试卷主要包含了理解等差数列的概念；2，等差数列的性质等内容，欢迎下载使用。
第2节　等差数列及其前n项和
考试要求　1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.体会等差数列与一次函数的关系.

知 识 梳 理
1.等差数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.
数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).
(2)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝.
2.等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝.
3.等差数列的性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.
(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.
(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列.
[微点提醒]
1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.
2.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值.
3.等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列.
4.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).
基 础 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　)
(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.(　　)
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.(　　)
(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.(　　)
解析　(3)若公差d＝0，则通项公式不是n的一次函数.
(4)若公差d＝0，则前n项和不是二次函数.
答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×

2.(必修5P46A2改编)设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于(　　)
A.31 B.32 C.33 D.34
解析　由已知可得
解得∴S8＝8a1＋d＝32.
答案　B
3.(必修5P68A8改编)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.
解析　由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.
答案　180

4.(2018·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(　　)
A.－12 B.－10 C.10 D.12
解析　设等差数列{an}的公差为d，则3(3a1＋3d)＝2a1＋d＋4a1＋6d，即d＝－a1.又a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.
答案　B
5.(2019·上海黄浦区模拟)已知等差数列{an}中，a2＝1，前5项和S5＝－15，则数列{an}的公差为(　　)
A.－3 B.－ C.－2 D.－4
解析　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
因为所以
解得d＝－4.
答案　D
6.(2019·苏北四市联考)在等差数列{an}中，已知a3＋a8>0，且S90，S90，S9＝＝9a50，且λa1an＝S1＋Sn对一切正整数n都成立.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设a1>0，λ＝100，当n为何值时，数列的前n项和最大？
解　(1)令n＝1，得λa＝2S1＝2a1，a1(λa1－2)＝0，
因为a1≠0，所以a1＝，
当n≥2时，2an＝＋Sn，2an－1＝＋Sn－1，
两式相减得2an－2an－1＝an(n≥2).
所以an＝2an－1(n≥2)，
从而数列{an}为等比数列，an＝a1·2n－1＝.
(2)当a1>0，λ＝100时，由(1)知，an＝，
则bn＝lg ＝lg ＝lg 100－lg 2n＝2－nlg 2，
所以数列{bn}是单调递减的等差数列，公差为－lg 2，
所以b1>b2>…>b6＝lg ＝lg >lg 1＝0，
当n≥7时，bn≤b7＝lg 0，d