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高考数学一轮复习第八章 微专题七
展开一道解析几何试题的命题背景可能就是圆锥曲线的一个性质定理的特殊情况.如果掌握了定理的原理,也就把握了试题的本质.对一些典型的试题,不应满足于会解,可以引导学生深入探究试题背后的知识背景,挖掘问题的本质.这样才能真正找到解决问题的方法,学会用更高观点去看待数学问题,把握问题的本质.
一、试题展示
题1 (2018·全国Ⅰ)如图1所示,设抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线l与C交于M,N两点.
(1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程;
(2)证明:∠ABM=∠ABN.
(1)解 当l与x轴垂直时,l的方程为x=2,可得点M的坐标为(2,2)或(2,-2).
所以直线BM的方程为y=eq \f(1,2)x+1或y=-eq \f(1,2)x-1.
即x-2y+2=0或x+2y+2=0.
(2)证明 当l与x轴垂直时,AB为MN的垂直平分线,
所以∠ABM=∠ABN.
当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-2)(k≠0),
M(x1,y1),N(x2,y2),则x1>0,x2>0.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y=kx-2,,y2=2x,))得ky2-2y-4k=0,显然方程有两个不等实根.
所以y1+y2=eq \f(2,k),y1y2=-4.
直线BM,BN的斜率之和kBM+kBN=eq \f(y1,x1+2)+eq \f(y2,x2+2)=eq \f(x2y1+x1y2+2y1+y2,x1+2x2+2).①
将x1=eq \f(y1,k)+2,x2=eq \f(y2,k)+2及y1+y2,y1y2的表达式代入①式分子,可得x2y1+x1y2+2(y1+y2)=eq \f(2y1y2+4ky1+y2,k)=eq \f(-8+8,k)=0.
所以kBM+kBN=0,可知BM,BN的倾斜角互补,
所以∠ABM=∠ABN.
综上,∠ABM=∠ABN.
题2 (2018·全国Ⅰ)设椭圆C:eq \f(x2,2)+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).
(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;
(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.
(1)解 由已知得F(1,0),l的方程为x=1.
由已知可得,点A的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1,\f(\r(2),2)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1,-\f(\r(2),2))).又M(2,0),
所以直线AM的方程为y=-eq \f(\r(2),2)x+eq \r(2)或y=eq \f(\r(2),2)x-eq \r(2).
即x+eq \r(2)y-2=0或x-eq \r(2)y-2=0.
(2)证明 当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°.
当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,
所以∠OMA=∠OMB.
当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为
y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1
由y1=kx1-k,y2=kx2-k,得
kMA+kMB=eq \f(2kx1x2-3kx1+x2+4k,x1-2x2-2).
将y=k(x-1)代入eq \f(x2,2)+y2=1,得
(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,由题意知Δ>0恒成立,
所以x1+x2=eq \f(4k2,2k2+1),x1x2=eq \f(2k2-2,2k2+1).
则2kx1x2-3k(x1+x2)+4k=eq \f(4k3-4k-12k3+8k3+4k,2k2+1)=0,从而kMA+kMB=0,故MA,MB的倾斜角互补.
所以∠OMA=∠OMB.综上,∠OMA=∠OMB.
点评 以上两题是2018年高考全国Ⅰ卷解析几何题的倒数第二题,是选拔题.第(1)问根据直线方程的求法,多数学生都能完成,第(2)问是个探索性问题,重点考查用坐标法研究圆锥曲线中的定点定值问题,考查数形结合、函数方程、分类讨论等基本数学思想,同时考查综合运用所学数学知识分析问题和解决问题的能力,综合考查学生的运算能力和数学素养.本题的呈现形式“平易近人”,是平面几何中的角平分线问题,但本题的解决过程却充分体现了坐标法的思想,可以将等角的几何关系式转化为坐标代数关系式,然后再用坐标法来处理.本题看起来很平常,实际上却背景丰富,有一定难度和区分度,也有很大的数学价值和研究空间,我们重点研究第二小问的相关性质.
二、性质研究
性质1 如图3所示,已知抛物线y2=2px(p>0),点B(-m,0)(m>0),设不与x轴垂直的直线l与抛物线相交于M,N两点,则直线l过定点A(m,0)的充要条件是x轴是∠MBN的角平分线.
图3
证明 先证明必要性:
设不与x轴垂直的直线l的方程为y=k(x-m)(k≠0),代入y2=2px,整理得
k2x2-(2k2m+2p)x+k2m2=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),则由根与系数的关系得x1+x2=eq \f(2k2m+2p,k2),x1x2=m2,所以直线BM,BN的斜率之和为kBM+kBN=eq \f(y1,x1+m)+eq \f(y2,x2+m)
=eq \f(kx1-mx2+m+kx1+mx2-m,x1+mx2+m)
=eq \f(2kx1x2-m2,x1+mx2+m)=0,
所以∠ABM=∠ABN,所以x轴是∠MBN的角平分线.
再证明充分性:
设不与x轴垂直的直线l的方程为y=kx+b(k≠0),代入y2=2px,整理得
k2x2+2(kb-p)x+b2=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),则由根与系数的关系得
x1+x2=eq \f(2p-kb,k2),x1x2=eq \f(b2,k2).①
因为∠ABM=∠ABN,
所以kBM+kBN=eq \f(y1,x1+m)+eq \f(y2,x2+m)=0,
即y1(x2+m)+y2(x1+m)=0.
再将y1=kx1+b,y2=kx2+b代入上式,
得(kx1+b)(x2+m)+(kx2+b)(x1+m)=0,
即2kx1x2+(b+km)(x1+x2)+2mb=0,②
将①式代入②式,得2kb2+2(b+km)(p-kb)+2mbk2=0,
整理得b=-km,此时Δ>0,直线l的方程为y=k(x-m),
所以直线l过定点A(m,0).
性质2 如图4所示,已知椭圆eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0),点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,m),0))(0<|m|图4
证明 先证明必要性:
设不与x轴垂直的直线l的方程为y=k(x-m)(k≠0),代入椭圆的方程eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1,整理得(a2k2+b2)x2-2ma2k2x+a2(k2m2-b2)=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则由根与系数的关系得
x1+x2=eq \f(2ma2k2,a2k2+b2),x1x2=eq \f(a2k2m2-b2,a2k2+b2).
所以kMA+kMB=eq \f(y1,x1-\f(a2,m))+eq \f(y2,x2-\f(a2,m))
=eq \f(k,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1-\f(a2,m)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2-\f(a2,m))))·
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x1-m\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2-\f(a2,m)))+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1-\f(a2,m)))x2-m))
=eq \f(k,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1-\f(a2,m)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2-\f(a2,m))))·
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2a2k2m2-b2,a2k2+b2)-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m+\f(a2,m)))·\f(2ma2k2,a2k2+b2)+2a2))
=eq \f(k,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1-\f(a2,m)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2-\f(a2,m))))·eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(-2a4k2-2a2b2,a2k2+b2)+2a2))=0,
所以∠OMA=∠OMB,所以x轴是∠AMB的角平分线.
再证明充分性:
设不与x轴垂直的直线l的方程为y=kx+t(k≠0),代入eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1,整理得
(a2k2+b2)x2+2kta2x+a2(t2-b2)=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则由根与系数的关系得
x1+x2=-eq \f(2kta2,a2k2+b2),x1x2=eq \f(a2t2-b2,a2k2+b2).①
因为∠OMA=∠OMB,所以kMA+kMB=0,即eq \f(y1,x1-\f(a2,m))+eq \f(y2,x2-\f(a2,m))=0,故y1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2-\f(a2,m)))+y2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1-\f(a2,m)))=0,整理得
2kx1x2+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t-\f(ka2,m)))(x1+x2)-eq \f(2ta2,m)=0,②
将①式代入②式,得2ka2(t2-b2)-2kta2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t-\f(ka2,m)))-eq \f(2ta2,m)(a2k2+b2)=0,整理得t=-km.此时Δ>0,所以直线l的方程为y=k(x-m),所以直线l过定点P(m,0).
性质3 如图5所示,已知双曲线eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0),点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,m),0))(|m|>a),设不与x轴垂直的直线l与双曲线相交于A,B两点,则直线l过定点P(m,0)的充要条件是x轴是∠AMB的角平分线.
图5
性质3的证明类似于性质2的证明.
三、性质推广
性质2、性质3中的点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,m),0))可以进一步推广为直线x=eq \f(a2,m)上任意一点,即有如下性质.
性质4 如图6所示,已知椭圆eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)及点A(m,0),Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,m),n))(其中|m|≠a),直线l过点A且与椭圆交于不同的两点P,Q,设直线PB,AB,QB的斜率分别为kPB,kAB,kQB,则kPB+kQB=2kAB.
图6
证明 当直线l垂直于x轴时,易得kPB+kQB=2kAB.
当直线l不垂直于x轴时,设直线l的方程为y=k(x-m),代入椭圆的方程eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1,
整理得(a2k2+b2)x2-2ma2k2x+a2(k2m2-b2)=0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则由根与系数的关系得
x1+x2=eq \f(2ma2k2,a2k2+b2),x1x2=eq \f(a2k2m2-b2,a2k2+b2).
所以kPB+kQB=eq \f(y1-n,x1-\f(a2,m))+eq \f(y2-n,x2-\f(a2,m))
=eq \f(kx1-m-n,x1-\f(a2,m))+eq \f(kx2-m-n,x2-\f(a2,m)),
而[k(x1-m)-n]eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2-\f(a2,m)))
+[k(x2-m)-n]eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1-\f(a2,m)))
=2kx1x2-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(mk+n+\f(a2k,m)))(x1+x2)+2a2k+eq \f(2a2n,m)
=2k·eq \f(a2k2m2-b2,a2k2+b2)-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(mk+n+\f(a2k,m)))·eq \f(2ma2k2,a2k2+b2)+2a2k+eq \f(2a2n,m)
=eq \f(2a2na2k2+b2-k2m2,ma2k2+b2),
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1-\f(a2,m)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2-\f(a2,m)))=x1x2-eq \f(a2,m)(x1+x2)+eq \f(a4,m2)
=eq \f(a2k2m2-b2,a2k2+b2)-eq \f(a2,m)·eq \f(2ma2k2,a2k2+b2)+eq \f(a4,m2)
=eq \f(a2k2m2-b2-2a2k2,a2k2+b2)+eq \f(a4,m2)
=eq \f(a2,m2a2k2+b2)·[m2(k2m2-b2-2a2k2)+a2(a2k2+b2)]
=eq \f(a2,m2a2k2+b2)·(a4k2+a2b2-2a2k2m2+m4k2-b2m2)
=eq \f(a2,m2a2k2+b2)·(a2k2+b2-k2m2)(a2-m2),
所以kPB+kQB=eq \f(kx1-m-n,x1-\f(a2,m))+eq \f(kx2-m-n,x2-\f(a2,m))
=eq \f(2mn,a2-m2),
又因为kAB=eq \f(n-0,\f(a2,m)-m)=eq \f( mn,a2-m2),所以kPB+kQB=2kAB.
性质5 已知双曲线eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)及点A(m,0),Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,m),n))(其中|m|≠a),直线l过点A且与双曲线交于不同的两点P,Q,设直线PB,AB,QB的斜率分别为kPB,kAB,kQB,则kPB+kQB=2kAB.
性质6 已知抛物线y2=2px(p>0)及A(m,0),B(-m,n)(其中m≠0),直线l过点A且与抛物线交于不同的两点P,Q,设直线PB,AB,QB的斜率分别为kPB,kAB,kQB,则kPB+kQB=2kAB.
性质5、性质6的证明,类似性质4的证明.
高考数学一轮复习微专题146份: 这是一份高考数学一轮复习微专题146份,文件包含高中数学一轮复习微专题第16季立体几何的向量方法第7节利用空间向量解决探索性问题doc、高中数学一轮复习微专题第③季基本初等函数第8节二次函数doc、高中数学一轮复习微专题第15季空间点线面的位置关系第8节平面与平面垂直的判定与性质doc、高中数学一轮复习微专题第15季空间点线面的位置关系第6节线面面面平行的综合应用doc、高中数学一轮复习微专题第②季函数的概念及性质第6节函数的单调性doc、高中数学一轮复习微专题第⑤季导数与定积分第8节定积分doc、高中数学一轮复习微专题第④季函数与方程及函数模型第1节函数与方程doc、高中数学一轮复习微专题第14季空间几何体第8节空间几何体综合doc、高中数学一轮复习微专题第14季空间几何体第5节几何体的体积doc、高中数学一轮复习微专题第14季空间几何体第2节空间几何体的三视图doc、高中数学一轮复习微专题第⑧季解三角形第4节求三角形的面积doc、高中数学一轮复习微专题第15季空间点线面的位置关系第4节直线与平面平行的判定与性质doc、高中数学一轮复习微专题第⑦季三角函数的图像与模型的应用第8节角的配凑技巧doc、高中数学一轮复习微专题第⑦季三角函数的图像与模型的应用第1节根据图像求三角函数解析式doc、高中数学一轮复习微专题第15季空间点线面的位置关系第7节直线与平面垂直的判定与性质doc、高中数学一轮复习微专题第15季空间点线面的位置关系第2节空间两条直线的位置关系doc、高中数学一轮复习微专题第15季空间点线面的位置关系第10节线面面面垂直的综合问题doc、高中数学一轮复习微专题第14季空间几何体第7节多面体与球有关的切接问题doc、高中数学一轮复习微专题第15季空间点线面的位置关系第9节线面角及二面角的求法doc、高中数学一轮复习微专题第⑥季三角函数的图像与性质第6节三角函数的定义域与值域doc、高中数学一轮复习微专题第14季空间几何体第4节几何体的表面积doc、高中数学一轮复习微专题第⑥季三角函数的图像与性质第7节三角函数的对称性奇偶性与周期性doc、高中数学一轮复习微专题第⑦季三角函数的图像与模型的应用第2节三角函数图像的变换doc、高中数学一轮复习微专题第11季等比数列及数列综合第8节数列综合问题doc、高中数学一轮复习微专题第⑧季解三角形第1节正弦定理doc、高中数学一轮复习微专题第④季函数与方程及函数模型第7节函数图像及识别doc、高中数学一轮复习微专题第⑦季三角函数的图像与模型的应用第5节二倍角公式doc、高中数学一轮复习微专题第⑨季平面向量第8节平面向量的夹角与模doc、高中数学一轮复习微专题第⑨季平面向量第7节平面向量的数量积运算doc、高中数学一轮复习微专题第④季函数与方程及函数模型第8节函数图像的应用doc、高中数学一轮复习微专题第16季立体几何的向量方法第1节空间向量的线性运算doc、高中数学一轮复习微专题第16季立体几何的向量方法第8节利用平面向量求角度问题doc、高中数学一轮复习微专题第17季直线第8节直线系方程的应用doc、高中数学一轮复习微专题第⑥季三角函数的图像与性质第3节扇形的弧长及面积公式doc、高中数学一轮复习微专题第⑤季导数与定积分第7节导数的综合应用doc、高中数学一轮复习微专题第②季函数的概念及性质第7节函数的奇偶性doc、高中数学一轮复习微专题第16季立体几何的向量方法第3节空间向量数量积的应用doc、高中数学一轮复习微专题第11季等比数列及数列综合第1节等比数列概念doc、高中数学一轮复习微专题第15季空间点线面的位置关系第5节平面与平面平行的判定与性质doc、高中数学一轮复习微专题第15季空间点线面的位置关系第3节异面直线所成的角doc、高中数学一轮复习微专题第11季等比数列及数列综合第3节等差数列等比数列综合应用doc、高中数学一轮复习微专题第11季等比数列及数列综合第5节数列求和之倒序相加与错位相减法doc、高中数学一轮复习微专题第11季等比数列及数列综合第6节数列求和之裂项相消法doc、高中数学一轮复习微专题第①季集合与简易逻辑第4节集合背景下的新定义问题pdf、高中数学一轮复习微专题第⑩季数列概念及等差数列第8节等差数列综合问题doc、高中数学一轮复习微专题第⑩季数列概念及等差数列第5节等差数列概念doc、高中数学一轮复习微专题第17季直线第1节直线的倾斜角与斜率doc、高中数学一轮复习微专题第14季空间几何体第1节空间几何体的结构特征doc、高中数学一轮复习微专题第15季空间点线面的位置关系第1节平面的基本性质doc、高中数学一轮复习微专题第⑨季平面向量第6节平面向量坐标表示doc、高中数学一轮复习微专题第12季不等式与一元二次不等式第4节不等式性质的应用doc、高中数学一轮复习微专题第13季线性规划与基本不等式第6节利用基本不等式证明不等式doc、高中数学一轮复习微专题第②季函数的概念及性质第8节函数的周期性doc、高中数学一轮复习微专题第③季基本初等函数第2节指数函数doc、高中数学一轮复习微专题第③季基本初等函数第4节对数函数doc、高中数学一轮复习微专题第③季基本初等函数第5节对数函数的应用doc、高中数学一轮复习微专题第③季基本初等函数第6节指数函数与对数函数doc、高中数学一轮复习微专题第③季基本初等函数第7节幂函数doc、高中数学一轮复习微专题第12季不等式与一元二次不等式第5节一元二次不等式的解法doc、高中数学一轮复习微专题第④季函数与方程及函数模型第3节一次函数与分段函数模型doc、高中数学一轮复习微专题第⑦季三角函数的图像与模型的应用第3节三角函数性质综合应用doc、高中数学一轮复习微专题第⑦季三角函数的图像与模型的应用第6节三角恒等变换doc、高中数学一轮复习微专题第⑥季三角函数的图像与性质第8节三角函数的单调性doc、高中数学一轮复习微专题第16季立体几何的向量方法第2节共线定理共面定理的应用doc、高中数学一轮复习微专题第14季空间几何体第3节空间几何体的直观图doc、高中数学一轮复习微专题第⑩季数列概念及等差数列第1节数列概念及根据前几项求通项doc、高中数学一轮复习微专题第⑤季导数与定积分第3节导数的几何意义doc、高中数学一轮复习微专题第⑥季三角函数的图像与性质第5节三角函数的诱导公式doc、高中数学一轮复习微专题第11季等比数列及数列综合第4节数列求和之并项求和与分组求和法doc、高中数学一轮复习微专题第11季等比数列及数列综合第2节等比数列性质doc、高中数学一轮复习微专题第12季不等式与一元二次不等式第8节一元二次不等式综合应用doc、高中数学一轮复习微专题第13季线性规划与基本不等式第2节求线性目标函数的最值doc、高中数学一轮复习微专题第18季圆第6节圆的切线与弦长问题doc、高中数学一轮复习微专题第⑩季数列概念及等差数列第3节由递推公式求通项doc、高中数学一轮复习微专题第18季圆第1节圆的方程doc、高中数学一轮复习微专题第⑩季数列概念及等差数列第2节根据前n项和求通项doc、高中数学一轮复习微专题第⑧季解三角形第8节高度问题doc、高中数学一轮复习微专题第⑧季解三角形第7节方位角问题doc、高中数学一轮复习微专题第⑨季平面向量第5节平面向量坐标运算doc、高中数学一轮复习微专题第⑧季解三角形第5节解三角形doc、高中数学一轮复习微专题第17季直线第2节直线的方程doc、高中数学一轮复习微专题第①季集合与简易逻辑第5节命题doc、高中数学一轮复习微专题第⑧季解三角形第3节判断三角形的形状doc、高中数学一轮复习微专题第13季线性规划与基本不等式第5节含参线性规划doc、高中数学一轮复习微专题第⑧季解三角形第2节余弦定理doc、高中数学一轮复习微专题第13季线性规划与基本不等式第7节利用基本不等式求最值doc、高中数学一轮复习微专题第17季直线第7节对称问题doc、高中数学一轮复习微专题第⑨季平面向量第3节共线向量doc、高中数学一轮复习微专题第⑥季三角函数的图像与性质第4节同角三角函数的基本关系doc、高中数学一轮复习微专题第⑥季三角函数的图像与性质第2节三角函数的定义doc、高中数学一轮复习微专题第⑨季平面向量第4节平面向量基本定理doc、高中数学一轮复习微专题第⑦季三角函数的图像与模型的应用第7节辅助角公式doc、高中数学一轮复习微专题第⑨季平面向量第2节向量线性运算doc、高中数学一轮复习微专题第①季集合与简易逻辑第3节集合的运算pdf、高中数学一轮复习微专题第18季圆第7节圆与圆的位置关系pdf、高中数学一轮复习微专题第⑧季解三角形第6节距离问题doc、高中数学一轮复习微专题第⑩季数列概念及等差数列第4节数列中的函数思想doc、高中数学一轮复习微专题第⑦季三角函数的图像与模型的应用第4节两角和与差的三角函数公式doc、高中数学一轮复习微专题第⑩季数列概念及等差数列第7节等差数列前n项和的最值问题doc、高中数学一轮复习微专题第⑩季数列概念及等差数列第6节等差数列性质doc、高中数学一轮复习微专题第⑨季平面向量第1节向量概念doc、高中数学一轮复习微专题第②季函数的概念及性质第5节函数的值域doc、高中数学一轮复习微专题第⑥季三角函数的图像与性质第1节象限角与终边相同的角doc、高中数学一轮复习微专题第13季线性规划与基本不等式第8节基本不等式的实际应用doc、高中数学一轮复习微专题第17季直线第6节两条直线的交点doc、高中数学一轮复习微专题第17季直线第5节距离问题doc、高中数学一轮复习微专题第17季直线第4节两条直线平行与垂直doc、高中数学一轮复习微专题第16季立体几何的向量方法第6节利用空间向量证明垂直问题doc、高中数学一轮复习微专题第16季立体几何的向量方法第5节利用空间向量证明平行问题doc、高中数学一轮复习微专题第16季立体几何的向量方法第4节空间直角坐标系以及空间向量的坐标运算doc、高中数学一轮复习微专题第14季空间几何体第6节球的表面积与体积doc、高中数学一轮复习微专题第13季线性规划与基本不等式第4节求非线性目标函数的最值doc、高中数学一轮复习微专题第18季圆第4节圆的方程综合应用doc、高中数学一轮复习微专题第13季线性规划与基本不等式第3节线性规划的实际应用doc、高中数学一轮复习微专题第13季线性规划与基本不等式第1节二元一次不等式组表示平面区域doc、高中数学一轮复习微专题第12季不等式与一元二次不等式第7节一元二次不等式应用doc、高中数学一轮复习微专题第12季不等式与一元二次不等式第6节一元二次不等式恒成立问题doc、高中数学一轮复习微专题第12季不等式与一元二次不等式第2节比较大小doc、高中数学一轮复习微专题第12季不等式与一元二次不等式第1节用不等式表示不等关系doc、高中数学一轮复习微专题第11季等比数列及数列综合第7节数列求和之公式求和法doc、高中数学一轮复习微专题第⑤季导数与定积分第6节导数与函数的最值doc、高中数学一轮复习微专题第①季集合与简易逻辑第6节充要条件pdf、高中数学一轮复习微专题第18季圆第5节直线与圆的位置关系doc、高中数学一轮复习微专题第③季基本初等函数第1节指数及运算doc、高中数学一轮复习微专题第⑤季导数与定积分第5节导数与函数的极值doc、高中数学一轮复习微专题第⑤季导数与定积分第4节导数与函数的单调性doc、高中数学一轮复习微专题第⑤季导数与定积分第2节导数的运算doc、高中数学一轮复习微专题第⑤季导数与定积分第1节导数的概念doc、高中数学一轮复习微专题第④季函数与方程及函数模型第5节指数函数模型doc、高中数学一轮复习微专题第④季函数与方程及函数模型第4节二次函数模型doc、高中数学一轮复习微专题第④季函数与方程及函数模型第2节零点的应用doc、高中数学一轮复习微专题第18季圆第8节直线圆的位置关系的综合应用doc、高中数学一轮复习微专题第③季基本初等函数第3节对数及运算doc、高中数学一轮复习微专题第②季函数的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高考数学一轮复习第八章 8.1: 这是一份高考数学一轮复习第八章 8.1,共14页。试卷主要包含了1 直线的方程,所以直线方程为x+y-5=0等内容,欢迎下载使用。
高考数学一轮复习第八章 8.7: 这是一份高考数学一轮复习第八章 8.7,共18页。试卷主要包含了抛物线的概念,抛物线的标准方程和几何性质,抛物线E,直线l过抛物线C等内容,欢迎下载使用。