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2018年数学中考第一轮复习讲义：2018年数学中考第一轮复习讲义：第16讲 三角形
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这是一份2018年数学中考第一轮复习讲义：2018年数学中考第一轮复习讲义：第16讲 三角形，共27页。试卷主要包含了三角形中的主要线段，三角形的内角和定理及推论等内容，欢迎下载使用。
第十六讲三角形
知识回顾
1、三角形中的主要线段
（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做 。
（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做 。
（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做 （简称 ）。
2．三角形的中位线
三角形的中位线平行于 ，并且等于 ．
3.三角形的三边关系定理及推论
三角形三边关系：任意两边之和 第三边；任意两边之差 第三边．
4、三角形的内角和定理及推论
（1）三角形内角和：三角形三内角之和等于 ．
（2）三角形外角的性质：(1)三角形的一个外角 任何一个和它不相邻的内角；
(3)三角形的一个外角 与它不相邻的两内角之和．
5．三角形的分类：
(1)按边分：三角形分为 和等腰三角形；等腰三角形又分为 及 .
(2)按角分：三角形直角三角形和斜三角形；斜三角形又分为： 和 .
基础检测
1．（2017•宁德）在△ABC中，AB=5，AC=8，则BC长不可能是（ ）
A．4 B．8 C．10 D．13
2．（2017广西河池）三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（ ）
A．中线 B．角平分线 C．高 D．中位线
3．（2017贵州）如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（ ）
A．120° B．90° C．100° D．30°
4．（2017年江苏扬州）若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是（ ）
A．6 B．7 C．11 D．12
5. （2017贵州安顺）三角形三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长等于 ．
6．（2017浙江湖州）已知一个多边形的每一个外角都等于72°，则这个多边形的边数是 ．
7．如图，在△ABC中，∠A=50°，O是△ABC内一点，且∠ABO=20°，∠ACO=30°，求∠BOC的度数．
考点解析
知识点一：三角形的三边关系
【例题】小华要从长度分别为5cm、6cm、11cm、16cm的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根木棒的长度分别是： 6 ， 11 ， 16 （单位：cm）．
【考点】三角形三边关系．
【分析】首先得到每三根组合的情况，再根据三角形的三边关系进行判断．
【解答】解：每三根组合，有5，6，11；5，6，16；11，16，5；11，6，16四种情况．
根据三角形的三边关系，得其中只有11，6，16能组成三角形．
【点评】此题要特别注意看是否符合三角形的三边关系．
【变式】
在下列长度的四根木棒中，能与4cm、9cm长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ）
A．4cm B．5cm C．9cm D．13cm
【考点】三角形三边关系．
【分析】易得第三边的取值范围，看选项中哪个在范围内即可．
【解答】解：设第三边为c，则9+4＞c＞9﹣4，即13＞c＞5．只有9符合要求．
故选C．
【点评】已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
知识点二、三角形的内角和.
【例题】已知△ABC中，∠A=2（∠B+∠C），则∠A的度数为（ ）
A．100° B．120° C．140° D．160°
【考点】三角形内角和定理．
【分析】根据三角形的内角和定理和已知条件即可得到∠A的方程，从而求解．
【解答】解：∵∠A=2（∠B+∠C），∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A+∠A=180°，
∠A=120°．
故选B．
【点评】此题考查了三角形的内角和定理．
【变式】
(2017湖北宜昌)如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【考点】L3：多边形内角与外角．
【分析】根据多边形的内角和定理即可判断．
【解答】解：∵①剪开后的两个图形是四边形，它们的内角和都是360°，③剪开后的两个图形是三角形，它们的内角和都是180°；
∴①③剪开后的两个图形的内角和相等，
故选B．
题型三、三角形主要线段
【例题】下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．
【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是选项D．
故选D．
【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．熟记定义是解题的关键．
【变式】
如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．
【解答】解：为△ABC中BC边上的高的是A选项．
故选A．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．
知识点四、三角形的内角和、外角性质
【例题】（2017湖南株洲）
如图，在△ABC中，∠BAC=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，则∠BAD=（ ）
A．145° B．150° C．155° D．160°
【考点】K7：三角形内角和定理．
【分析】根据三角形内角和定理求出x，再根据三角形的外角的等于不相邻的两个内角的和，即可解决问题．
【解答】解：在△ABC中，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，
∴6x=180，
∴x=30，
∵∠BAD=∠B+∠C=5x=150°，
故选B．
【变式】
（2017江苏徐州）正六边形的每个内角等于 120 °．
【考点】L3：多边形内角与外角．
【分析】根据多边形内角和公式即可求出答案．
【解答】解：六边形的内角和为：（6﹣2）×180°=720°，
∴正六边形的每个内角为： =120°，
故答案为：120°
【典例解析】
【例题1】已知三角形两边长分别为3和9，则此三角形的第三边的长可能是（ ）
A．4 B．5 C．11 D．15
【考点】三角形三边关系．
【分析】已知三角形的两边长分别为3和9，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围．
【解答】解：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得9﹣3＜x＜9+3，即6＜x＜12．
因此，本题的第三边应满足6＜x＜12，把各项代入不等式符合的即为答案．
只有11符合不等式，
故答案为11．
故选C．
【点评】此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
【例题2】若P是△ABC内任一点，则∠BPC与∠A的大小关系是 ∠BPC＞∠A ．
【考点】三角形的外角性质．
【分析】如图，延长BP交AC于D．根据△PDC外角的性质知∠BPC＞PDC；根据△ABD外角的性质知∠PDC＞∠A，所以易证∠BPC＞∠A．
【解答】证明：如图，延长BP交AC于D．
∵∠BPC＞PDC，∠PDC＞∠A，
∴∠BPC＞∠A．
故答案是：∠BPC＞∠A．
【点评】本题考查了三角形的外角的性质．解题时是结合三角形的内角和与外角的关系来证明结论的．
【例题3】一个凸多边形的内角和与外角和相等，它是 四 边形．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】任何多边形的外角和是360度，因而这个多边形的内角和是360度．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【解答】解：根据题意，得
（n﹣2）•180=360，
解得n=4，则它是四边形．
【点评】已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．
【例题4】如图，AB∥CD，∠A=38°，∠C=80°，求∠M．
【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．
【分析】先根据平行线的性质得出∠MEB的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．
【解答】解：∵AB∥CD，∠C=80°，
∴∠MEB=∠C=80°．
又∵∠A=38°，
∴∠M=∠MEB﹣∠A=80°﹣38°=42°．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
中考热点
热点1：如图，已知在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】数形结合．
【分析】根据三角形的内角和定理与∠C=∠ABC=2∠A，即可求得△ABC三个内角的度数，再根据直角三角形的两个锐角互余求得∠DBC的度数．
【解答】解：∵∠C=∠ABC=2∠A，
∴∠C+∠ABC+∠A=5∠A=180°，
∴∠A=36°．
则∠C=∠ABC=2∠A=72°．
又BD是AC边上的高，
则∠DBC=90°﹣∠C=18°．
【点评】此题主要是三角形内角和定理的运用．
三角形的内角和是180°．
热点2：如图，∠B=42°，∠A+10°=∠1，∠ACD=64°，求证：AB∥CD．
【考点】三角形内角和定理；平行线的判定．
【专题】证明题．
【分析】在△ABC中，∠B=42°即已知∠A+∠1=180°﹣42°=138°，又∠A+10°=∠1可以求出∠A的大小，只要能得到∠A=64°，根据内错角相等，两直线平行，就可以证出结论．
【解答】证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠1=180°，∠B=42°，
∴∠A+∠1=138°，
又∵∠A+10°=∠1，
∴∠A+∠A+10°=138°，
解得：∠A=64°．
∴∠A=∠ACD=64°，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
【点评】本题首先利用三角形内角和定理和∠A与∠1的关系求出∠A的度数，然后再利用平行线的判定方法得证．
热点3：如图，△ABC中，分别延长△ABC的边AB、AC到D、E，∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，爱动脑筋的小明在写作业的时发现如下规律：
（1）若∠A=50°，则∠P= 65 °；
（2）若∠A=90°，则∠P= 45 °；
（3）若∠A=100°，则∠P= 40 °；
（4）请你用数学表达式归纳∠A与∠P的关系，并说明理由．
【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【分析】（1）若∠A=50°，则有∠ABC+∠ACB=130°，∠DBC+∠BCE=360°﹣130°=230°，根据角平分线的定义可以求得∠PBC+∠PCB的度数，再利用三角形的内角和定理即可求得∠P的度数．
（2）（3）和（1）的解题步骤相似．
（4）利用角平分线的性质和三角形的外角性质可求出∠BCP=（∠A+∠ABC），∠CBP=（∠A+∠ACB）；再利用三角形内角和定理便可求出∠A与∠P的关系．
【解答】解：（1）∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，∠DBC+∠BCE=360°﹣130°=230°，
又∵∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，
∴，，
∴=115°，
∴∠P=65°．
同理得：（2）45°；
（3）40°
（4）∠P=90°﹣∠A．理由如下：
∵BP平分∠DBC，CP平分∠BCE，
∴∠DBC=2∠CBP，∠BCE=2∠BCP
又∵∠DBC=∠A+∠ACB∠BCE=∠A+∠ABC，
∴2∠CBP=∠A+∠ACB，2∠BCP=∠A+∠ABC，
∴2∠CBP+2∠BCP=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A，
∴∠CBP+∠BCP=90°+∠A
又∵∠CBP+∠BCP+∠P=180°，
∴∠P=90°﹣∠A．
【点评】本题主要考查三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质以及角平分线的定义，熟练掌握性质和定义是解题的关键．
达标测试
一．选择题
1. 下列各组线段的长为边，能组成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，5cm C．2cm，5cm，10cm D．8cm，4cm，4cm
2. 下列图形中具有稳定性的是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
3．在△ABC中，∠A=∠B=∠C，则此三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
4. 如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（ ）
A．59° B．60° C．56° D．22°
5．不能作为正多边形的内角的度数的是（ ）
A．120° B．（128）° C．144° D．145°
6．四边形中，如果有一组对角都是直角，那么另一组对角一定（ ）
A．都是钝角 B．都是锐角
C．是一个锐角、一个钝角 D．互补
二．填空题
7. 若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足+（b﹣2）2=0，则第三边c的取值范围是 ．
8. 从n边形的一个顶点出发可以引 n﹣3 条对角线，这些对角线将这个多边形分成 个三角形．
9. 如图，△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=34°．则∠DAE的大小是 度．
10．如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB等于 度．
三．解答题.
11. 一个多边形的每一个内角都相等，一个内角与一个外角的度数之比为m：n，其中m，n是互质的正整数，求这个多边形的边数（用m，n表示）及n的值．
12 ．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，试问BE∥DF吗？为什么？
13. 如图，有甲、乙、丙、丁四个小岛，甲、乙、丙在同一条直线上，而且乙、丙在甲的正东方，丁岛在丙岛的正北方，甲岛在丁岛的南偏西52°方向，乙岛在丁岛的南偏东40°方向．那么，丁岛分别在甲岛和乙岛的什么方向？
14. 如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数．
15. 已知等腰三角形的周长是16cm．
（1）若其中一边长为4cm，求另外两边的长；
（2）若其中一边长为6cm，求另外两边长；
（3）若三边长都是整数，求三角形各边的长．
答案与解析
【知识归纳】
1、三角形中的主要线段
（1）三角形的角平分线。
（2）三角形的中线。
（3）三角形的高线（简称三角形的高）。
2．三角形的中位线：三角形的第三边，并且等于第三边长的一半．
3.三角形的三边关系定理及推论：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边．
4、三角形的内角和定理及推论
1． 180°．
2．三角形外角的性质：(1)大于；(2)等于．
1．三角形的分类：
(1)按边分：三角形分为不等边三角形和等腰三角形；等腰三角形又分为底和腰不等的三角形及等边三角形.
(2)按角分：三角形直角三角形和斜三角形；斜三角形又分为：锐角三角形和钝角三角形.
【基础检测答案】
1．（2017•宁德）在△ABC中，AB=5，AC=8，则BC长不可能是（ ）
A．4 B．8 C．10 D．13
【考点】K6：三角形三边关系．
【专题】11 ：计算题．
【分析】根据三角形三边的关系得到3＜BC＜13，然后对各选项进行判断．
【解答】解：∵AB=5，AC=8，
∴3＜BC＜13．
故选D．
【点评】本题考查了三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边．
2．（2017广西河池）三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（ ）
A．中线 B．角平分线 C．高 D．中位线
【考点】K3：三角形的面积；K2：三角形的角平分线、中线和高．
【分析】根据等底等高的三角形的面积相等解答．
【解答】解：∵三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形，
∴三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分．
故选A．
3．（2017贵州）如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（ ）
A．120° B．90° C．100° D．30°
【考点】K8：三角形的外角性质．
【分析】根据三角形的外角的性质计算即可．
【解答】解：∠A=∠ACD﹣∠B
=120°﹣20°
=100°，
故选：C．
4．（2017年江苏扬州）若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是（ ）
A．6 B．7 C．11 D．12
【考点】K6：三角形三边关系．
【分析】首先求出三角形第三边的取值范围，进而求出三角形的周长取值范围，据此求出答案．
【解答】解：设第三边的长为x，
∵三角形两边的长分别是2和4，
∴4﹣2＜x＜2+4，即2＜x＜6．
则三角形的周长：8＜C＜12，
C选项11符合题意，
故选C．
5. （2017贵州安顺）三角形三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长等于 2.5 ．
【考点】KS：勾股定理的逆定理；KP：直角三角形斜边上的中线．
【分析】根据勾股定理逆定理判断出三角形是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等于斜边的一半解答即可．
【解答】解：∵32+42=25=52，
∴该三角形是直角三角形，
∴×5=2.5．
故答案为：2.5．
6．（2017浙江湖州）已知一个多边形的每一个外角都等于72°，则这个多边形的边数是 5 ．
【考点】L3：多边形内角与外角．
【分析】用多边形的外角和360°除以72°即可．
【解答】解：边数n=360°÷72°=5．
故答案为：5．
7．如图，在△ABC中，∠A=50°，O是△ABC内一点，且∠ABO=20°，∠ACO=30°，求∠BOC的度数．
【考点】三角形的外角性质．
【分析】延长BO交AC于E，根据三角形内角与外角的性质可得∠1=∠A+∠ABO，∠BOC=∠ACO+∠1，再代入相应数值进行计算即可．
【解答】解：延长BO交AC于E，
∵∠A=50°，∠ABO=20°，
∴∠1=50°+20°=70°，
∵∠ACO=30°，
∴∠BOC=∠1+∠ACO=70°+30°=100°
【点评】此题主要考查了三角形内角与外角的关系，关键是掌握三角形内角与外角的关系定理．
【达标检测答案】
一．选择题
1. 下列各组线段的长为边，能组成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，5cm C．2cm，5cm，10cm D．8cm，4cm，4cm
【考点】三角形三边关系．
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
【解答】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，可知
A、2+3＞4，能组成三角形，故A正确；
B、2+3=5，不能组成三角形，故B错误；
C、2+5＜10，不能够组成三角形，故C错误；
D、4+4=8，不能组成三角形，故D错误；
故选A．
【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条就能够组成三角形．
2. 下列图形中具有稳定性的是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【考点】三角形的稳定性．
【分析】直接根据三角形具有稳定性进行解答即可．
【解答】解：∵三角形具有稳定性，
∴A正确，B、C、D错误．
故选A．
【点评】本题考查的是三角形的稳定性，熟知三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性是解答此题的关键．
3．在△ABC中，∠A=∠B=∠C，则此三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【考点】三角形内角和定理．
【分析】用∠A表示出∠B、∠C，然后利用三角形的内角和等于180°列方程求解即可．
【解答】解：∵∠A=∠B=∠C，
∴∠B=2∠A，∠C=3∠A，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A+2∠A+3∠A=180°，
解得∠A=30°，
所以，∠B=2×30°=60°，
∠C=3×30°=90°，
所以，此三角形是直角三角形．
故选B．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，熟记定理并用∠A列出方程是解题的关键．
4. 如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（ ）
A．59° B．60° C．56° D．22°
【考点】三角形内角和定理．
【分析】根据高线的定义可得∠AEC=90°，然后根据∠C=70°，∠ABC=48°求出∠CAB，再根据角平分线的定义求出∠1，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
【解答】解：∵BE为△ABC的高，
∴∠AEB=90°
∵∠C=70°，∠ABC=48°，
∴∠CAB=62°，
∵AF是角平分线，
∴∠1=∠CAB=31°，
在△AEF中，∠EFA=180°﹣31°﹣90°=59°．
∴∠3=∠EFA=59°，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，高线的定义，熟记概念与定理并准确识图是解题的关键．
5．不能作为正多边形的内角的度数的是（ ）
A．120° B．（128）° C．144° D．145°
【考点】多边形内角与外角．
【分析】根据n边形的内角和（n﹣2）•180°分别建立方程，求出n，由于n≥3的整数即可得到D选项正确．
【解答】解：A、（n﹣2）•180°=120•n，解得n=6，所以A选项错误；
B、（n﹣2）•180°=（128）°•n，解得n=7，所以B选项错误；
C、（n﹣2）•180°=144°•n，解得n=10，所以C选项错误；
D、（n﹣2）•180°=145°•n，解得n=，不为整数，所以D选项正确．
故选D．
【点评】本题考查了多边形的内角和定理：n边形的内角和为（n﹣2）•180°．
6．四边形中，如果有一组对角都是直角，那么另一组对角一定（ ）
A．都是钝角 B．都是锐角
C．是一个锐角、一个钝角 D．互补
【考点】多边形内角与外角．
【分析】由四边形的内角和等于360°，又由有一组对角都是直角，即可得另一组对角一定互补．
【解答】解：如图：
∵四边形ABCD的内角和等于360°，
即∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∵∠A=∠C=90°，
∴∠B+∠D=180°．
∴另一组对角一定互补．
故选D．
【点评】此题考查了四边形的内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意掌握四边形的内角和等于360°．
二．填空题
7. 若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足+（b﹣2）2=0，则第三边c的取值范围是 1＜c＜5 ．
【考点】三角形三边关系；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边只差小于第三边求解即可．
【解答】解：由题意得，a2﹣9=0，b﹣2=0，
解得a=3，b=2，
∵3﹣2=1，3+2=5，
∴1＜c＜5．
故答案为：1＜c＜5．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0；三角形的三边关系．
8. 从n边形的一个顶点出发可以引 n﹣3 条对角线，这些对角线将这个多边形分成 n﹣2 个三角形．
【考点】多边形的对角线．
【分析】根据n边形对角线的定义，可得n边形的对角线，根据对角线的条数，可得对角线分成三角形的个数．
【解答】解从n边形的一个顶点出发可以引n﹣3条对角线，这些对角线将这个多边形分成n﹣2个三角形，
故答案为：n﹣3，n﹣2．
【点评】本题考查了多边形的对角线，由对角线的定义，可画出具体多边形对角线，得出n边形的对角线．
9. 如图，△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=34°．则∠DAE的大小是 18 度．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】计算题．
【分析】根据三角形内角和定理求得∠BAC的度数，再根据角平分线的定义可求得∠BAE的度数，由三角形内角和定理可求得∠BAD的度数，从而不难求得∠DAE的度数．
【解答】解：∵△ABC中，∠B=70°，∠C=34°．
∴∠BAC=180°﹣（70°+34°）=76°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=38°．
∵Rt△ABD中，∠B=70°，
∴∠BAD=20°．
∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=38°﹣20°=18°
【点评】此题主要考查学生对三角形内角和定理的理解及运用能力．
10．如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB等于 85 度．
【考点】方向角．
【分析】先求出∠ABC和∠BAC，再利用三角形内角和求出∠ACB．
【解答】解：∵B处在A处的南偏西45°方向，C处在B处的北偏东80°方向，
∴∠ABC=80°﹣45°=35°，
∵C处在A处的南偏东15°方向，
∴∠BAC=45°+15°=60°，
∴∠ACB=180°﹣35°﹣60°=85°．
故答案为：85．
【点评】本题主要考查了方向角，解题的关键是根据图正确找出各角之间的关系即可计算．
三．解答题.
11. 一个多边形的每一个内角都相等，一个内角与一个外角的度数之比为m：n，其中m，n是互质的正整数，求这个多边形的边数（用m，n表示）及n的值．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】设多边形的边数为a，多边形内角和为（a﹣2）180度，外角和为360度得到m：n=180（a﹣2）：360，从而用m、n表示出a的值．
【解答】解：设多边形的边数为a，多边形内角和为（a﹣2）180度，外角和为360度，
m：n=180（a﹣2）：360
a=，
因为m，n 是互质的正整数，a为整数，
所以n=2，
故答案为：，2．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，解答本题的关键在于熟练掌握多边形内角和与多边形外角和．
12 ．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，试问BE∥DF吗？为什么？
【考点】平行线的判定；多边形内角与外角．
【专题】探究型．
【分析】要证BE∥DF，需证∠FDC=∠BEC，由于已知里给出了两条角平分线，四边形ABCD内角和为360°，∠A=∠C=90°，可得：∠FDC+∠EBC=90°，在△BCE中，∠BEC+∠EBC=90°，等角的余角相等，就可得到∠FDC=∠BEC，即可证．
【解答】解：平行．
∵∠A=∠C=90°，四边形ABCD的内角和为360°，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠FDC+∠EBC=90°．
又∵∠C=90°，
∴∠BEC+∠EBC=90°，
∴∠FDC=∠BEC，
∴BE∥DF．
【点评】本题利用了角平分线性质和判定，四边形的内角和为360°，同角的余角相等．
13. 如图，有甲、乙、丙、丁四个小岛，甲、乙、丙在同一条直线上，而且乙、丙在甲的正东方，丁岛在丙岛的正北方，甲岛在丁岛的南偏西52°方向，乙岛在丁岛的南偏东40°方向．那么，丁岛分别在甲岛和乙岛的什么方向？
【考点】方向角；垂线；平行线的性质．
【专题】应用题．
【分析】根据方向角的定义即可求解．分别作AM∥CD，NB∥CD，根据两直线平行，内错角相等即可求得∠1与∠2的度数．
【解答】解：设甲岛处的位置为A，乙岛处的位置为B，丙岛处的位置为D，丁岛处的位置为C．作AM∥CD，NB∥CD，如图：
∵丁岛在丙岛的正北方，
∴CD⊥AB．
∵甲岛在丁岛的南偏西52°方向，
∴∠ACD=52°．
又∵AM∥CD，
∴∠1=∠ACD=52°．
∴丁岛在甲岛的北偏东52°方向．
∵乙岛在丁岛的南偏东40°方向，
∴∠BCD=40°．
又∵BN∥CD，
∴∠2=∠BCD=40°，
∴丁岛在乙岛的北偏西40°方向．
【点评】本题主要考查了方向角的定义和平行线的性质，是一个基础的内容．
14. 如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数．
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【分析】△ABD中，由三角形的外角性质知∠3=2∠2，因此∠4=2∠2，从而可在△BAC中，根据三角形内角和定理求出∠4的度数，进而可在△DAC中，由三角形内角和定理求出∠DAC的度数．
【解答】解：设∠1=∠2=x，则∠3=∠4=2x．
因为∠BAC=63°，
所以∠2+∠4=117°，即x+2x=117°，
所以x=39°；
所以∠3=∠4=78°，
∠DAC=180°﹣∠3﹣∠4=24°．
【点评】此题主要考查了三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用．
15. 已知等腰三角形的周长是16cm．
（1）若其中一边长为4cm，求另外两边的长；
（2）若其中一边长为6cm，求另外两边长；
（3）若三边长都是整数，求三角形各边的长．
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】（1）（2）由于未说明已知的边是腰还是底，故需分情况讨论，从而求另外两边的长．
（3）根据三边长都是整数，且周长是16cm，还是等腰三角形，所以可用列表法，求出其各边长．
【解答】解：（1）如果腰长为4cm，
则底边长为16﹣4﹣4=8cm．
三边长为4cm，4cm，8cm，
不符合三角形三边关系定理．
所以应该是底边长为4cm．
所以腰长为（16﹣4）÷2=6cm．
三边长为4cm，6cm，6cm，
符合三角形三边关系定理，
所以另外两边长都为6cm；
（2）如果腰长为6cm，
则底边长为16﹣6﹣6=4cm．
三边长为4cm，6cm，6cm，
符合三角形三边关系定理．
所以另外两边长分别为6cm和4cm．
如果底边长为6cm，
则腰长为（16﹣6）÷2=5cm．
三边长为6cm，5cm，5cm，
符合三角形三边关系定理，
所以另外两边长都为5cm；
（3）因为周长为16cm，
且三边都是整数，
所以三角形的最长边小于8cm且是等腰三角形，
我们可用列表法，
求出其各边长如下：
7cm，7cm，2cm；6cm，5cm，5cm；6cm，6cm，4cm，共有这三种情况．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．当题目指代不明时，一定要分情况讨论，把符合条件的保留下来，不符合的舍去．
第十六讲三角形
知识回顾
1、三角形中的主要线段
（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做 。
（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做 。
（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做 （简称 ）。
2．三角形的中位线
三角形的中位线平行于 ，并且等于 ．
3.三角形的三边关系定理及推论
三角形三边关系：任意两边之和 第三边；任意两边之差 第三边．
4、三角形的内角和定理及推论
（1）三角形内角和：三角形三内角之和等于 ．
（2）三角形外角的性质：(1)三角形的一个外角 任何一个和它不相邻的内角；
(3)三角形的一个外角 与它不相邻的两内角之和．
5．三角形的分类：
(1)按边分：三角形分为 和等腰三角形；等腰三角形又分为 及 .
(2)按角分：三角形直角三角形和斜三角形；斜三角形又分为： 和 .
基础检测
1．（2017•宁德）在△ABC中，AB=5，AC=8，则BC长不可能是（ ）
A．4 B．8 C．10 D．13
2．（2017广西河池）三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（ ）
A．中线 B．角平分线 C．高 D．中位线
3．（2017贵州）如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（ ）
A．120° B．90° C．100° D．30°
4．（2017年江苏扬州）若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是（ ）
A．6 B．7 C．11 D．12
5. （2017贵州安顺）三角形三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长等于 ．
6．（2017浙江湖州）已知一个多边形的每一个外角都等于72°，则这个多边形的边数是 ．
7．如图，在△ABC中，∠A=50°，O是△ABC内一点，且∠ABO=20°，∠ACO=30°，求∠BOC的度数．
考点解析
知识点一：三角形的三边关系
【例题】小华要从长度分别为5cm、6cm、11cm、16cm的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根木棒的长度分别是： 6 ， 11 ， 16 （单位：cm）．
【考点】三角形三边关系．
【分析】首先得到每三根组合的情况，再根据三角形的三边关系进行判断．
【解答】解：每三根组合，有5，6，11；5，6，16；11，16，5；11，6，16四种情况．
根据三角形的三边关系，得其中只有11，6，16能组成三角形．
【点评】此题要特别注意看是否符合三角形的三边关系．
【变式】
在下列长度的四根木棒中，能与4cm、9cm长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ）
A．4cm B．5cm C．9cm D．13cm
【考点】三角形三边关系．
【分析】易得第三边的取值范围，看选项中哪个在范围内即可．
【解答】解：设第三边为c，则9+4＞c＞9﹣4，即13＞c＞5．只有9符合要求．
故选C．
【点评】已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
知识点二、三角形的内角和.
【例题】已知△ABC中，∠A=2（∠B+∠C），则∠A的度数为（ ）
A．100° B．120° C．140° D．160°
【考点】三角形内角和定理．
【分析】根据三角形的内角和定理和已知条件即可得到∠A的方程，从而求解．
【解答】解：∵∠A=2（∠B+∠C），∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A+∠A=180°，
∠A=120°．
故选B．
【点评】此题考查了三角形的内角和定理．
【变式】
(2017湖北宜昌)如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【考点】L3：多边形内角与外角．
【分析】根据多边形的内角和定理即可判断．
【解答】解：∵①剪开后的两个图形是四边形，它们的内角和都是360°，③剪开后的两个图形是三角形，它们的内角和都是180°；
∴①③剪开后的两个图形的内角和相等，
故选B．
题型三、三角形主要线段
【例题】下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．
【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是选项D．
故选D．
【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．熟记定义是解题的关键．
【变式】
如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．
【解答】解：为△ABC中BC边上的高的是A选项．
故选A．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．
知识点四、三角形的内角和、外角性质
【例题】（2017湖南株洲）
如图，在△ABC中，∠BAC=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，则∠BAD=（ ）
A．145° B．150° C．155° D．160°
【考点】K7：三角形内角和定理．
【分析】根据三角形内角和定理求出x，再根据三角形的外角的等于不相邻的两个内角的和，即可解决问题．
【解答】解：在△ABC中，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，
∴6x=180，
∴x=30，
∵∠BAD=∠B+∠C=5x=150°，
故选B．
【变式】
（2017江苏徐州）正六边形的每个内角等于 120 °．
【考点】L3：多边形内角与外角．
【分析】根据多边形内角和公式即可求出答案．
【解答】解：六边形的内角和为：（6﹣2）×180°=720°，
∴正六边形的每个内角为： =120°，
故答案为：120°
【典例解析】
【例题1】已知三角形两边长分别为3和9，则此三角形的第三边的长可能是（ ）
A．4 B．5 C．11 D．15
【考点】三角形三边关系．
【分析】已知三角形的两边长分别为3和9，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围．
【解答】解：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得9﹣3＜x＜9+3，即6＜x＜12．
因此，本题的第三边应满足6＜x＜12，把各项代入不等式符合的即为答案．
只有11符合不等式，
故答案为11．
故选C．
【点评】此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
【例题2】若P是△ABC内任一点，则∠BPC与∠A的大小关系是 ∠BPC＞∠A ．
【考点】三角形的外角性质．
【分析】如图，延长BP交AC于D．根据△PDC外角的性质知∠BPC＞PDC；根据△ABD外角的性质知∠PDC＞∠A，所以易证∠BPC＞∠A．
【解答】证明：如图，延长BP交AC于D．
∵∠BPC＞PDC，∠PDC＞∠A，
∴∠BPC＞∠A．
故答案是：∠BPC＞∠A．
【点评】本题考查了三角形的外角的性质．解题时是结合三角形的内角和与外角的关系来证明结论的．
【例题3】一个凸多边形的内角和与外角和相等，它是 四 边形．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】任何多边形的外角和是360度，因而这个多边形的内角和是360度．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【解答】解：根据题意，得
（n﹣2）•180=360，
解得n=4，则它是四边形．
【点评】已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．
【例题4】如图，AB∥CD，∠A=38°，∠C=80°，求∠M．
【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．
【分析】先根据平行线的性质得出∠MEB的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．
【解答】解：∵AB∥CD，∠C=80°，
∴∠MEB=∠C=80°．
又∵∠A=38°，
∴∠M=∠MEB﹣∠A=80°﹣38°=42°．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
中考热点
热点1：如图，已知在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】数形结合．
【分析】根据三角形的内角和定理与∠C=∠ABC=2∠A，即可求得△ABC三个内角的度数，再根据直角三角形的两个锐角互余求得∠DBC的度数．
【解答】解：∵∠C=∠ABC=2∠A，
∴∠C+∠ABC+∠A=5∠A=180°，
∴∠A=36°．
则∠C=∠ABC=2∠A=72°．
又BD是AC边上的高，
则∠DBC=90°﹣∠C=18°．
【点评】此题主要是三角形内角和定理的运用．
三角形的内角和是180°．
热点2：如图，∠B=42°，∠A+10°=∠1，∠ACD=64°，求证：AB∥CD．
【考点】三角形内角和定理；平行线的判定．
【专题】证明题．
【分析】在△ABC中，∠B=42°即已知∠A+∠1=180°﹣42°=138°，又∠A+10°=∠1可以求出∠A的大小，只要能得到∠A=64°，根据内错角相等，两直线平行，就可以证出结论．
【解答】证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠1=180°，∠B=42°，
∴∠A+∠1=138°，
又∵∠A+10°=∠1，
∴∠A+∠A+10°=138°，
解得：∠A=64°．
∴∠A=∠ACD=64°，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
【点评】本题首先利用三角形内角和定理和∠A与∠1的关系求出∠A的度数，然后再利用平行线的判定方法得证．
热点3：如图，△ABC中，分别延长△ABC的边AB、AC到D、E，∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，爱动脑筋的小明在写作业的时发现如下规律：
（1）若∠A=50°，则∠P= 65 °；
（2）若∠A=90°，则∠P= 45 °；
（3）若∠A=100°，则∠P= 40 °；
（4）请你用数学表达式归纳∠A与∠P的关系，并说明理由．
【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【分析】（1）若∠A=50°，则有∠ABC+∠ACB=130°，∠DBC+∠BCE=360°﹣130°=230°，根据角平分线的定义可以求得∠PBC+∠PCB的度数，再利用三角形的内角和定理即可求得∠P的度数．
（2）（3）和（1）的解题步骤相似．
（4）利用角平分线的性质和三角形的外角性质可求出∠BCP=（∠A+∠ABC），∠CBP=（∠A+∠ACB）；再利用三角形内角和定理便可求出∠A与∠P的关系．
【解答】解：（1）∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，∠DBC+∠BCE=360°﹣130°=230°，
又∵∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，
∴，，
∴=115°，
∴∠P=65°．
同理得：（2）45°；
（3）40°
（4）∠P=90°﹣∠A．理由如下：
∵BP平分∠DBC，CP平分∠BCE，
∴∠DBC=2∠CBP，∠BCE=2∠BCP
又∵∠DBC=∠A+∠ACB∠BCE=∠A+∠ABC，
∴2∠CBP=∠A+∠ACB，2∠BCP=∠A+∠ABC，
∴2∠CBP+2∠BCP=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A，
∴∠CBP+∠BCP=90°+∠A
又∵∠CBP+∠BCP+∠P=180°，
∴∠P=90°﹣∠A．
【点评】本题主要考查三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质以及角平分线的定义，熟练掌握性质和定义是解题的关键．
达标测试
一．选择题
1. 下列各组线段的长为边，能组成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，5cm C．2cm，5cm，10cm D．8cm，4cm，4cm
2. 下列图形中具有稳定性的是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
3．在△ABC中，∠A=∠B=∠C，则此三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
4. 如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（ ）
A．59° B．60° C．56° D．22°
5．不能作为正多边形的内角的度数的是（ ）
A．120° B．（128）° C．144° D．145°
6．四边形中，如果有一组对角都是直角，那么另一组对角一定（ ）
A．都是钝角 B．都是锐角
C．是一个锐角、一个钝角 D．互补
二．填空题
7. 若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足+（b﹣2）2=0，则第三边c的取值范围是 ．
8. 从n边形的一个顶点出发可以引 n﹣3 条对角线，这些对角线将这个多边形分成 个三角形．
9. 如图，△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=34°．则∠DAE的大小是 度．
10．如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB等于 度．
三．解答题.
11. 一个多边形的每一个内角都相等，一个内角与一个外角的度数之比为m：n，其中m，n是互质的正整数，求这个多边形的边数（用m，n表示）及n的值．
12 ．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，试问BE∥DF吗？为什么？
13. 如图，有甲、乙、丙、丁四个小岛，甲、乙、丙在同一条直线上，而且乙、丙在甲的正东方，丁岛在丙岛的正北方，甲岛在丁岛的南偏西52°方向，乙岛在丁岛的南偏东40°方向．那么，丁岛分别在甲岛和乙岛的什么方向？
14. 如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数．
15. 已知等腰三角形的周长是16cm．
（1）若其中一边长为4cm，求另外两边的长；
（2）若其中一边长为6cm，求另外两边长；
（3）若三边长都是整数，求三角形各边的长．
答案与解析
【知识归纳】
1、三角形中的主要线段
（1）三角形的角平分线。
（2）三角形的中线。
（3）三角形的高线（简称三角形的高）。
2．三角形的中位线：三角形的第三边，并且等于第三边长的一半．
3.三角形的三边关系定理及推论：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边．
4、三角形的内角和定理及推论
1． 180°．
2．三角形外角的性质：(1)大于；(2)等于．
1．三角形的分类：
(1)按边分：三角形分为不等边三角形和等腰三角形；等腰三角形又分为底和腰不等的三角形及等边三角形.
(2)按角分：三角形直角三角形和斜三角形；斜三角形又分为：锐角三角形和钝角三角形.
【基础检测答案】
1．（2017•宁德）在△ABC中，AB=5，AC=8，则BC长不可能是（ ）
A．4 B．8 C．10 D．13
【考点】K6：三角形三边关系．
【专题】11 ：计算题．
【分析】根据三角形三边的关系得到3＜BC＜13，然后对各选项进行判断．
【解答】解：∵AB=5，AC=8，
∴3＜BC＜13．
故选D．
【点评】本题考查了三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边．
2．（2017广西河池）三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（ ）
A．中线 B．角平分线 C．高 D．中位线
【考点】K3：三角形的面积；K2：三角形的角平分线、中线和高．
【分析】根据等底等高的三角形的面积相等解答．
【解答】解：∵三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形，
∴三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分．
故选A．
3．（2017贵州）如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（ ）
A．120° B．90° C．100° D．30°
【考点】K8：三角形的外角性质．
【分析】根据三角形的外角的性质计算即可．
【解答】解：∠A=∠ACD﹣∠B
=120°﹣20°
=100°，
故选：C．
4．（2017年江苏扬州）若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是（ ）
A．6 B．7 C．11 D．12
【考点】K6：三角形三边关系．
【分析】首先求出三角形第三边的取值范围，进而求出三角形的周长取值范围，据此求出答案．
【解答】解：设第三边的长为x，
∵三角形两边的长分别是2和4，
∴4﹣2＜x＜2+4，即2＜x＜6．
则三角形的周长：8＜C＜12，
C选项11符合题意，
故选C．
5. （2017贵州安顺）三角形三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长等于 2.5 ．
【考点】KS：勾股定理的逆定理；KP：直角三角形斜边上的中线．
【分析】根据勾股定理逆定理判断出三角形是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等于斜边的一半解答即可．
【解答】解：∵32+42=25=52，
∴该三角形是直角三角形，
∴×5=2.5．
故答案为：2.5．
6．（2017浙江湖州）已知一个多边形的每一个外角都等于72°，则这个多边形的边数是 5 ．
【考点】L3：多边形内角与外角．
【分析】用多边形的外角和360°除以72°即可．
【解答】解：边数n=360°÷72°=5．
故答案为：5．
7．如图，在△ABC中，∠A=50°，O是△ABC内一点，且∠ABO=20°，∠ACO=30°，求∠BOC的度数．
【考点】三角形的外角性质．
【分析】延长BO交AC于E，根据三角形内角与外角的性质可得∠1=∠A+∠ABO，∠BOC=∠ACO+∠1，再代入相应数值进行计算即可．
【解答】解：延长BO交AC于E，
∵∠A=50°，∠ABO=20°，
∴∠1=50°+20°=70°，
∵∠ACO=30°，
∴∠BOC=∠1+∠ACO=70°+30°=100°
【点评】此题主要考查了三角形内角与外角的关系，关键是掌握三角形内角与外角的关系定理．
【达标检测答案】
一．选择题
1. 下列各组线段的长为边，能组成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，5cm C．2cm，5cm，10cm D．8cm，4cm，4cm
【考点】三角形三边关系．
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
【解答】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，可知
A、2+3＞4，能组成三角形，故A正确；
B、2+3=5，不能组成三角形，故B错误；
C、2+5＜10，不能够组成三角形，故C错误；
D、4+4=8，不能组成三角形，故D错误；
故选A．
【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条就能够组成三角形．
2. 下列图形中具有稳定性的是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【考点】三角形的稳定性．
【分析】直接根据三角形具有稳定性进行解答即可．
【解答】解：∵三角形具有稳定性，
∴A正确，B、C、D错误．
故选A．
【点评】本题考查的是三角形的稳定性，熟知三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性是解答此题的关键．
3．在△ABC中，∠A=∠B=∠C，则此三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【考点】三角形内角和定理．
【分析】用∠A表示出∠B、∠C，然后利用三角形的内角和等于180°列方程求解即可．
【解答】解：∵∠A=∠B=∠C，
∴∠B=2∠A，∠C=3∠A，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A+2∠A+3∠A=180°，
解得∠A=30°，
所以，∠B=2×30°=60°，
∠C=3×30°=90°，
所以，此三角形是直角三角形．
故选B．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，熟记定理并用∠A列出方程是解题的关键．
4. 如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（ ）
A．59° B．60° C．56° D．22°
【考点】三角形内角和定理．
【分析】根据高线的定义可得∠AEC=90°，然后根据∠C=70°，∠ABC=48°求出∠CAB，再根据角平分线的定义求出∠1，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
【解答】解：∵BE为△ABC的高，
∴∠AEB=90°
∵∠C=70°，∠ABC=48°，
∴∠CAB=62°，
∵AF是角平分线，
∴∠1=∠CAB=31°，
在△AEF中，∠EFA=180°﹣31°﹣90°=59°．
∴∠3=∠EFA=59°，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，高线的定义，熟记概念与定理并准确识图是解题的关键．
5．不能作为正多边形的内角的度数的是（ ）
A．120° B．（128）° C．144° D．145°
【考点】多边形内角与外角．
【分析】根据n边形的内角和（n﹣2）•180°分别建立方程，求出n，由于n≥3的整数即可得到D选项正确．
【解答】解：A、（n﹣2）•180°=120•n，解得n=6，所以A选项错误；
B、（n﹣2）•180°=（128）°•n，解得n=7，所以B选项错误；
C、（n﹣2）•180°=144°•n，解得n=10，所以C选项错误；
D、（n﹣2）•180°=145°•n，解得n=，不为整数，所以D选项正确．
故选D．
【点评】本题考查了多边形的内角和定理：n边形的内角和为（n﹣2）•180°．
6．四边形中，如果有一组对角都是直角，那么另一组对角一定（ ）
A．都是钝角 B．都是锐角
C．是一个锐角、一个钝角 D．互补
【考点】多边形内角与外角．
【分析】由四边形的内角和等于360°，又由有一组对角都是直角，即可得另一组对角一定互补．
【解答】解：如图：
∵四边形ABCD的内角和等于360°，
即∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∵∠A=∠C=90°，
∴∠B+∠D=180°．
∴另一组对角一定互补．
故选D．
【点评】此题考查了四边形的内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意掌握四边形的内角和等于360°．
二．填空题
7. 若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足+（b﹣2）2=0，则第三边c的取值范围是 1＜c＜5 ．
【考点】三角形三边关系；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边只差小于第三边求解即可．
【解答】解：由题意得，a2﹣9=0，b﹣2=0，
解得a=3，b=2，
∵3﹣2=1，3+2=5，
∴1＜c＜5．
故答案为：1＜c＜5．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0；三角形的三边关系．
8. 从n边形的一个顶点出发可以引 n﹣3 条对角线，这些对角线将这个多边形分成 n﹣2 个三角形．
【考点】多边形的对角线．
【分析】根据n边形对角线的定义，可得n边形的对角线，根据对角线的条数，可得对角线分成三角形的个数．
【解答】解从n边形的一个顶点出发可以引n﹣3条对角线，这些对角线将这个多边形分成n﹣2个三角形，
故答案为：n﹣3，n﹣2．
【点评】本题考查了多边形的对角线，由对角线的定义，可画出具体多边形对角线，得出n边形的对角线．
9. 如图，△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=34°．则∠DAE的大小是 18 度．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】计算题．
【分析】根据三角形内角和定理求得∠BAC的度数，再根据角平分线的定义可求得∠BAE的度数，由三角形内角和定理可求得∠BAD的度数，从而不难求得∠DAE的度数．
【解答】解：∵△ABC中，∠B=70°，∠C=34°．
∴∠BAC=180°﹣（70°+34°）=76°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=38°．
∵Rt△ABD中，∠B=70°，
∴∠BAD=20°．
∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=38°﹣20°=18°
【点评】此题主要考查学生对三角形内角和定理的理解及运用能力．
10．如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB等于 85 度．
【考点】方向角．
【分析】先求出∠ABC和∠BAC，再利用三角形内角和求出∠ACB．
【解答】解：∵B处在A处的南偏西45°方向，C处在B处的北偏东80°方向，
∴∠ABC=80°﹣45°=35°，
∵C处在A处的南偏东15°方向，
∴∠BAC=45°+15°=60°，
∴∠ACB=180°﹣35°﹣60°=85°．
故答案为：85．
【点评】本题主要考查了方向角，解题的关键是根据图正确找出各角之间的关系即可计算．
三．解答题.
11. 一个多边形的每一个内角都相等，一个内角与一个外角的度数之比为m：n，其中m，n是互质的正整数，求这个多边形的边数（用m，n表示）及n的值．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】设多边形的边数为a，多边形内角和为（a﹣2）180度，外角和为360度得到m：n=180（a﹣2）：360，从而用m、n表示出a的值．
【解答】解：设多边形的边数为a，多边形内角和为（a﹣2）180度，外角和为360度，
m：n=180（a﹣2）：360
a=，
因为m，n 是互质的正整数，a为整数，
所以n=2，
故答案为：，2．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，解答本题的关键在于熟练掌握多边形内角和与多边形外角和．
12 ．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，试问BE∥DF吗？为什么？
【考点】平行线的判定；多边形内角与外角．
【专题】探究型．
【分析】要证BE∥DF，需证∠FDC=∠BEC，由于已知里给出了两条角平分线，四边形ABCD内角和为360°，∠A=∠C=90°，可得：∠FDC+∠EBC=90°，在△BCE中，∠BEC+∠EBC=90°，等角的余角相等，就可得到∠FDC=∠BEC，即可证．
【解答】解：平行．
∵∠A=∠C=90°，四边形ABCD的内角和为360°，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠FDC+∠EBC=90°．
又∵∠C=90°，
∴∠BEC+∠EBC=90°，
∴∠FDC=∠BEC，
∴BE∥DF．
【点评】本题利用了角平分线性质和判定，四边形的内角和为360°，同角的余角相等．
13. 如图，有甲、乙、丙、丁四个小岛，甲、乙、丙在同一条直线上，而且乙、丙在甲的正东方，丁岛在丙岛的正北方，甲岛在丁岛的南偏西52°方向，乙岛在丁岛的南偏东40°方向．那么，丁岛分别在甲岛和乙岛的什么方向？
【考点】方向角；垂线；平行线的性质．
【专题】应用题．
【分析】根据方向角的定义即可求解．分别作AM∥CD，NB∥CD，根据两直线平行，内错角相等即可求得∠1与∠2的度数．
【解答】解：设甲岛处的位置为A，乙岛处的位置为B，丙岛处的位置为D，丁岛处的位置为C．作AM∥CD，NB∥CD，如图：
∵丁岛在丙岛的正北方，
∴CD⊥AB．
∵甲岛在丁岛的南偏西52°方向，
∴∠ACD=52°．
又∵AM∥CD，
∴∠1=∠ACD=52°．
∴丁岛在甲岛的北偏东52°方向．
∵乙岛在丁岛的南偏东40°方向，
∴∠BCD=40°．
又∵BN∥CD，
∴∠2=∠BCD=40°，
∴丁岛在乙岛的北偏西40°方向．
【点评】本题主要考查了方向角的定义和平行线的性质，是一个基础的内容．
14. 如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数．
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【分析】△ABD中，由三角形的外角性质知∠3=2∠2，因此∠4=2∠2，从而可在△BAC中，根据三角形内角和定理求出∠4的度数，进而可在△DAC中，由三角形内角和定理求出∠DAC的度数．
【解答】解：设∠1=∠2=x，则∠3=∠4=2x．
因为∠BAC=63°，
所以∠2+∠4=117°，即x+2x=117°，
所以x=39°；
所以∠3=∠4=78°，
∠DAC=180°﹣∠3﹣∠4=24°．
【点评】此题主要考查了三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用．
15. 已知等腰三角形的周长是16cm．
（1）若其中一边长为4cm，求另外两边的长；
（2）若其中一边长为6cm，求另外两边长；
（3）若三边长都是整数，求三角形各边的长．
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】（1）（2）由于未说明已知的边是腰还是底，故需分情况讨论，从而求另外两边的长．
（3）根据三边长都是整数，且周长是16cm，还是等腰三角形，所以可用列表法，求出其各边长．
【解答】解：（1）如果腰长为4cm，
则底边长为16﹣4﹣4=8cm．
三边长为4cm，4cm，8cm，
不符合三角形三边关系定理．
所以应该是底边长为4cm．
所以腰长为（16﹣4）÷2=6cm．
三边长为4cm，6cm，6cm，
符合三角形三边关系定理，
所以另外两边长都为6cm；
（2）如果腰长为6cm，
则底边长为16﹣6﹣6=4cm．
三边长为4cm，6cm，6cm，
符合三角形三边关系定理．
所以另外两边长分别为6cm和4cm．
如果底边长为6cm，
则腰长为（16﹣6）÷2=5cm．
三边长为6cm，5cm，5cm，
符合三角形三边关系定理，
所以另外两边长都为5cm；
（3）因为周长为16cm，
且三边都是整数，
所以三角形的最长边小于8cm且是等腰三角形，
我们可用列表法，
求出其各边长如下：
7cm，7cm，2cm；6cm，5cm，5cm；6cm，6cm，4cm，共有这三种情况．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．当题目指代不明时，一定要分情况讨论，把符合条件的保留下来，不符合的舍去．
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