北京三十九中八年级下学期期中数学试卷【解析版】

这是一份北京三十九中八年级下学期期中数学试卷【解析版】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本题共30分，每题3分）
1．▱ABCD中，∠A：∠B=1：2，则∠C的度数为( )
A．30°B．45°C．60°D．120°
2．下列各组数中，能成为直角三角形的三条边长的是( )
A．8、15、17B．10、24、25C．9、15、20D．9、80、81
3．直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，则斜边上的高线的长为( )
A．cmB．13cmC．cmD．cm
4．以下关于一元二次方程的根的说法中，正确的是( )
A．方程x2+x﹣2=0有一根为﹣1
B．方程x2+x=0有一根为1
C．方程x2+3x﹣4=0有两个不相等的实数根
D．方程x2+4=0有两个实数根，并且这两根互为相反数
5．下列条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．∠A=∠C，∠B=∠DB．AB∥CD，AB=CDC．AB=CD，AD∥BCD．AB∥CD，AD∥BC
6．下列说法错误的是( )
A．矩形的对角线互相平分
B．矩形的对角线相等
C．有一个角是直角的四边形是矩形
D．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
7．若平行四边形的一边长为5，则它的两条对角线长可以是( )
A．12和2B．3和4C．4和6D．4和8
8．知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是( )
A．25B．14C．7D．7或25
9．如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，E是AB边的中点，图中与△ADE面积相等的三角形（不包括△ADE）共有( )个．
A．3B．4C．5D．6
10．如图，在直角坐标系中，将矩形OABC沿OB对折，使点A落在A1处，已知OA=，AB=1，则点A1的坐标是( )
A．（）B．（）C．（）D．（）
二、填空题（本题共30分，每题3分）
11．方程x2=5x的根是__________．
12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，则这个菱形的边长为__________．
13．如果平行四边形ABCD的对角线AC=BD，那么四边形ABCD是__________形．
[来源:学&科&网]
14．顺次连接四边形各边中点所得的四边形是__________．
15．若+x﹣3=0是关于x的一元二次方程，则m的值是__________．
16．以不共线三点为三个顶点作平行四边形，共可作平行四边形的个数是__________．
17．在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOD=120°，AB=1，则AC=__________．
18．如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点．若EF=5cm，则AB=__________cm；若BC=9cm，则DE=__________cm；中线AF与DE的关系__________．
19．若关于x的二次三项式x2﹣ax+2a﹣3是一个完全平方式，则a的值是__________．
20．如图，正方形ABCD的边长为8，AE=3，CF=1，点P是对角线AC上一动点，则PE+PF的最小值__________．
三、解答题（共7小题，满分40分）
21．如图，△ABC中，D是BC上的一点，若AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求△ABC的面积．
22．如图所示，▱ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．求证：四边形ENFM是平行四边形．
23．解方程
（1）2x2+3x+1=0
（2）2x2﹣4x﹣1=0（公式法）
24．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．
25．已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，求四边形ABCD的面积．
26．请阅读下列材料：问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图甲，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中的每一个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．
小东同学的做法是：设新正方形的边长为x（x＞0），依题意，割补前后图形的面积相等，有x2=5，解得x=由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长．于是，画出如图乙所示的分割线，拼出如图丙所示的新的正方形．
请你参考小东同学的做法，解决如下问题：
现有10个边长为1的小正方形，排列形式如图丁，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在图丁中画出分割线，并在图戊的正方形网格图（图中的每一个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．
说明：直接画出图形，不要求写分析过程．
27．如图：在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（1，5）、（3，3），一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点M、N，如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则一次函数y=kx+b的关系式为__________．
北京三十九中2017-2018学年八年级下学期期中数学试卷
一、选择题（本题共30分，每题3分）
1．▱ABCD中，∠A：∠B=1：2，则∠C的度数为( )
A．30°B．45°C．60°D．120°
考点：平行四边形的性质．
分析：先根据平行四边形的性质得出∠A+∠B=180°，∠A=∠C，再由∠A：∠B=1：2可求出∠A的度数，进而可得出结论．
解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B=180°，∠A=∠C，
∴∠A：∠B=1：2，
∴∠A=×180°=60°，
∴∠C=60°．
故选C．
点评：本题考查的是平行四边形的性质，熟知平行四边形的对角相等是解答此题的关键．
2．下列各组数中，能成为直角三角形的三条边长的是( )
A．8、15、17B．10、24、25C．9、15、20D．9、80、81
考点：勾股数．
分析：根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形．
解答：解：A、∵82+152=172，∴能构成三角形．故选项正确；
B、∵102+242≠252，∴不能构成直角三角形，故选项错误；
C、∵92+152≠202，∴不能构成直角三角形，故选项错误；
D、∵92+802≠812，∴不能构成直角三角形，故选项错误．
故选A．
点评：本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
3．直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，则斜边上的高线的长为( )
A．cmB．13cmC．cmD．cm
考点：勾股定理．
分析：先利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法求出斜边上的高即可．
解答：解：∵直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，
∴斜边为=13．[来源:学。科。网]
设h为斜边上的高．
∵S△ABC=×5×12=×13h，
∴h=．
故选D．
点评：此题考查了勾股定理，以及三角形面积公式，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
4．以下关于一元二次方程的根的说法中，正确的是( )
A．方程x2+x﹣2=0有一根为﹣1
B．方程x2+x=0有一根为1
C．方程x2+3x﹣4=0有两个不相等的实数根
D．方程x2+4=0有两个实数根，并且这两根互为相反数
考点：根的判别式；一元二次方程的解．
分析：A、把﹣1代入原方程即可得到结果；B、把1代入原方程即可得到结果；C、根据一元二次方程根的判别式即可进行判断；D、根据一元二次方程根的判别式和根与系数的关系即可进行判断．
解答：解：A、把﹣1代入x2+x﹣2=0得，x2+x﹣2≠0，故此选项错误；
B、把1代入x2+x=0得，x2+x≠0，故此选项错误；
C、∵△=32+4×4＞0，∴方程x2+3x﹣4=0有两个不相等的实数根，故此选项正确；
D、∵△=﹣16＜0，∴方程x2+4=0没有实数根，故此选项错误；
故选C．
点评：此题考查了一元二次方程的解，根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
5．下列条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．∠A=∠C，∠B=∠DB．AB∥CD，AB=CDC．AB=CD，AD∥BCD．AB∥CD，AD∥BC
考点：平行四边形的判定．
分析：根据平行四边形的判定（①有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形，⑤有两组对边分别平行的四边形是平行四边形）判断即可．
解答：
解：A、∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误；
B、∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误；
C、根据AB=CD，AD∥BC可能得出四边形是等腰梯形，不一定推出四边形ABCD是平行四边形，错误，故本选项正确；
D、∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误；
故选C．
点评：本题考查了平行四边形的判定的应用，注意：平行四边形的判定定理有：①有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形，⑤有两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
6．下列说法错误的是( )
A．矩形的对角线互相平分
B．矩形的对角线相等
C．有一个角是直角的四边形是矩形
D．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
考点：矩形的性质；矩形的判定．
分析：根据矩形的性质和矩形的判定方法对各选项分析判断利用排除法求解．
解答：解：A、矩形的对角线互相平分正确，故本选项错误；
B、矩形的对角线相等正确，故本选项错误；
C、有一个角是直角的四边形是矩形错误，故本选项正确；
D、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形正确，故本选项错误．
故选C．
点评：本题考查了矩形的性质，矩形的判定方法，是基础题，熟记性质与判定方法是解题的关键．
7．若平行四边形的一边长为5，则它的两条对角线长可以是( )
A．12和2B．3和4C．4和6D．4和8
考点：平行四边形的性质；三角形三边关系．
分析：作辅助线，再根据三角形的三边关系求出两条对角线的长．
解答：解：如图，过点C作CF∥BD，交AB延长线于点F，
∴四边形BFCD为平行四边形，
∴CF=BD，
∴在△AFC中：AC﹣CF＜AF＜AC+CF，即AC﹣BD＜2AB＜AC+BD，
∵AB=5，
∴选项中只有D中的数据能满足此关系：8﹣4=4＜5×2＜8+4=12，
故选D．
点评：本题通过作辅助线，把平行四边形的两条对角线转化在同一三角形中，利用三角形三边关系求解．
8．知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是( )
A．25B．14C．7D．7或25
考点：勾股定理的逆定理．
分析：已知的这两条边可以为直角边，也可以是一条直角边一条斜边，从而分两种情况进行讨论解答．
解答：解：分两种情况：（1）3、4都为直角边，由勾股定理得，斜边为5；
（2）3为直角边，4为斜边，由勾股定理得，直角边为．∴第三边长的平方是25或7，
故选D．
点评：本题利用了分类讨论思想，是数学中常用的一种解题方法．
9．如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，E是AB边的中点，图中与△ADE面积相等的三角形（不包括△ADE）共有( )个．
A．3B．4C．5D．6
考点：平行四边形的性质．
分析：首先利用平行四边形的性质证明△ADB≌△CBD，从而得到△CDB，与△ADB面积相等，再根据DO=BO，AO=CO，利用三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分可得
△DOC、△COB、△AOB、△ADO面积相等，都是△ABD的一半，根据E是AB边的中点可得△ADE、△DEB面积相等，也都是△ABD的一半，从而得到答案．
解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，DC=AB，
在△ADB和△CBD中：，
∴△ADB≌△CBD（SSS），
∴S△ADB=S△CBD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DO=BO，CO=AO，
即：O是DB、AC中点，[来源:学*科*网Z*X*X*K]
∴S△DOC=S△COB=S△DOA=S△AOB=S△ADB，
∵E是AB边的中点，
∴S△ADE=S△DEB=S△ABD，
∴S△DOC=S△COB=S△DOA=S△AOB=S△ADE=S△DEB=S△ADB，
∴不包括△ADE共有5个三角形与△ADE面积相等，
故选：C．
点评：此题主要考查了平行四边形的性质，以及三角形的中线平分三角形面积，解决问题的关键是熟练把握三角形的中线平分三角形面积这一性质．
10．如图，在直角坐标系中，将矩形OABC沿OB对折，使点A落在A1处，已知OA=，AB=1，则点A1的坐标是( )
A．（）B．（）C．（）D．（）
考点：翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质；解直角三角形．
专题：计算题；压轴题．
分析：根据折叠的性质，OA=OA1，∠AOB=∠A1OB，从而求出∠A1OD，利用三角函数求出OD、A1D即可解答．
解答：解：在Rt△AOB中，tan∠AOB=，
∴∠AOB=30°．
而Rt△AOB≌Rt△A1OB，
∴∠A1OB=∠AOB=30°．
作A1D⊥OA，垂足为D，如图所示．
在Rt△A1OD中，OA1=OA=，∠A1OD=60°，
∵sin∠A1OD=，
∴A1D=OA1•sin∠A1OD=．
又cs∠A1OD=，
∴OD=OA1•cs∠A1OD=．
∴点A1的坐标是．
故选A．
点评：此题主要考查图形对折的特征及点的坐标的求法．
二、填空题（本题共30分，每题3分）
11．方程x2=5x的根是x1=0，x2=5．
考点：解一元二次方程-因式分解法．
专题：计算题．
分析：先把方程变形为x2﹣5x=0，把方程左边因式分解得x（x﹣5）=0，则有x=0或x﹣5=0，然后解一元一次方程即可．
解答：解：x2﹣5x=0，
∴x（x﹣5）=0，
∴x=0或x﹣5=0，
∴x1=0，x2=5．
故答案为x1=0，x2=5．
点评：本题考查了利用因式分解法解一元二次方程：先把方程变形为一元二次方程的一般形式，然后把方程左边因式分解，这样就把方程转化为两个一元一次方程，再解一元一次方程即可．
12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，则这个菱形的边长为5．
考点：菱形的性质；勾股定理．
分析：由在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，根据菱形的对角线互相平分且互相垂直，即可得AC⊥BD，OA=AC=3，OB=BD=4，然后在Rt△AOB中，利用勾股定理即可求得这个菱形的边长．
解答：解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，
∴AC⊥BD，OA=AC=3，OB=BD=4，
在Rt△AOB中，AB==5．
即这个菱形的边长为5．
故答案为：5．
点评：此题考查了菱形的性质与勾股定理．此题难度不大，注意掌握菱形的对角线互相平分且互相垂直定理的应用是解此题的关键．
13．如果平行四边形ABCD的对角线AC=BD，那么四边形ABCD是矩形．
考点：矩形的判定．
分析：由矩形的判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形；即可得出结论
解答：解：如果平行四边形ABCD的对角线AC=BD，那么四边形ABCD是矩形；理由如下：
∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），
故答案为：矩．
点评：本题考查了矩形的判定方法；熟练掌握矩形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．
14．顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形．
考点：平行四边形的判定；三角形中位线定理．
分析：连接原四边形的一条对角线，根据中位线定理，可得新四边形的一组对边平行且等于对角线的一半，即一组对边平行且相等．则新四边形是平行四边形．
解答：解：（如图）根据中位线定理可得：GF=BD且GF∥BD，EH=BD且EH∥BD
∴EH=FG，EH∥FG
∴四边形EFGH是平行四边形．
故答案为：平行四边形．
点评：此题主要考查学生对平行四边形的判定的掌握情况，综合利用了中位线定理．
15．若+x﹣3=0是关于x的一元二次方程，则m的值是﹣2．
考点：一元二次方程的定义．
分析：根据一元二次方程的定义得出m﹣2≠0，m2﹣2=2，求出即可．
解答：解：∵+x﹣3=0是关于x的一元二次方程，
∴m﹣2≠0，m2﹣2=2，
解得：m=﹣2，
故答案为：﹣2．
点评：本题考查了对一元二次方程的定义的理解和运用，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）．
16．以不共线三点为三个顶点作平行四边形，共可作平行四边形的个数是3．
考点：平行四边形的判定．
专题：作图题．
分析：根据题意画出图形，根据图形即可求出答案．
解答：解：如图：
连接AB、AC、BC，分别以AB、AC、BC为对角线得出平行四边形CADB、BAFC、ABEC，共3个，
故答案为：3．
点评：本题考查了平行四边形的判定的应用，主要考查学生的观察图形的能力和画图能力，题目比较好，难度适中．
17．在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOD=120°，AB=1，则AC=2．
考点：矩形的性质；等边三角形的判定与性质．
分析：根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA=OD，然后求出∠ADO=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BD的长，从而得解．
解答：解：如图，在矩形ABCD中，OA=OD，
∵∠AOD=120°，
∴∠ADO=（180°﹣120°）=30°，
∵AB=1，
∴BD=2AB=2，
∴AC=BD=2．
故答案为：2．
点评：本题考查了矩形的性质，主要利用了矩形的对角线互相平分且相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，是基础题，作出图形更形象直观．
18．如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点．若EF=5cm，则AB=10cm；若BC=9cm，则DE=4.5cm；中线AF与DE的关系互相平分．
考点：三角形中位线定理；平行四边形的判定与性质．
分析：利用三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．可以求得AB、ED的长度；连接DF，易判定四边形ADFE为平行四边形，则该平行四边形的对角线相互平分．
解答：解：∵在△ABC中，点E、F分别是AC、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴EF∥AB且EF=AB．
又EF=5cm，
∴AB=10cm．
同理，DE=BC=4.5cm．
如图，连接DF，
∵AD=EF，AD∥EF，
∴四边形ADFE为平行四边形，
∴中线AF与DE的关系是 互相平分．
故答案是：10、4.5、互相平分．
点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理．凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
19．若关于x的二次三项式x2﹣ax+2a﹣3是一个完全平方式，则a的值是2或6．
考点：完全平方式．
分析：关于x的二次三项式x2﹣ax+2a﹣3是一个完全平方式，则x2﹣ax+2a﹣3=0的判别式等于0，据此即可求得a的值．
解答：解：根据题意得：a2﹣4（2a﹣3）=0，
解得：a=2或6．
故答案为：2或6．
点评：本题考查了完全平方式的定义，理解判断方法是解题的关键．
20．如图，正方形ABCD的边长为8，AE=3，CF=1，点P是对角线AC上一动点，则PE+PF的最小值4．
考点：轴对称-最短路线问题；正方形的性质．
分析：作E关于直线AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为所求，过F作FG⊥AD于G，在Rt△E′FG中，利用勾股定理即可求出E′F的长．
解答：解：作E关于直线AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为所求，过F作FG⊥AD于G，过F作FG⊥AD于G．
在Rt△E′FG中，GE′=AD﹣AE﹣CF=8﹣3﹣1=4，GF=8，
所以E′F===4．
故答案为：4．
点评：本题考查的是最短线路问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．
三、解答题（共7小题，满分40分）
21．如图，△ABC中，D是BC上的一点，若AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求△ABC的面积．
考点：勾股定理的逆定理；勾股定理．
专题：计算题．
分析：根据AB=10，BD=6，AD=8，利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形，再利用勾股定理求出CD的长，然后利用三角形面积公式即可得出答案．
解答：解：∵BD2+AD2=62+82=102=AB2，
∴△ABD是直角三角形，
∴AD⊥BC，
在Rt△ACD中，，
∴S△ABC=，
因此△ABC的面积为84．
答：△ABC的面积是84．
点评：此题主要考查学生对勾股定理和勾股定理的逆定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用勾股定理的逆定理求证△ABD是直角三角形．
22．如图所示，▱ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．求证：四边形ENFM是平行四边形．
考点：平行四边形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：首先根据平行四边形ABCD的性质得到AB和CD平行且相等，结合已知条件发现DF和BE平行且相等．证明四边形DEBF为平行四边形．得到DE和BF平行且相等，再结合中点的概念，所以四边形MENF为平行四边形．
解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠A=∠C．
又∵AE=CF，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
∴∠AED=∠CFB，DE=BF．
由四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB．
∴∠CFB=∠ABF．
∴∠AED=∠ABF．
∴ME∥FN．
又∵M、N分别是DE、BF的中点，且DE=BF，
∴ME=FN．
∴四边形ENFM是平行四边形．
点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．
23．解方程
（1）2x2+3x+1=0
（2）2x2﹣4x﹣1=0（公式法）
考点：解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法．
专题：计算题．
分析：（1）利用因式分解法解方程；
（2）先计算判别式的值，然后利用求根公式解方程．
解答：解：（1）（2x+1）（x+1）=0，
2x+1=0或x+1=0，
所以x1=﹣，x2=﹣1；
（2）△=（﹣4）2﹣4×2×（﹣1）=24，
x==
所以x1=，x2=．
点评：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了公式法解一元二次方程．
24．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．
考点：矩形的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质；正方形的判定．
专题：证明题；开放型．
分析：（1）根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，已知CE⊥AN，AD⊥BC，所以求证∠DAE=90°，可以证明四边形ADCE为矩形．
（2）根据正方形的判定，我们可以假设当AD=BC，由已知可得，DC=BC，由（1）的结论可知四边形ADCE为矩形，所以证得，四边形ADCE为正方形．
解答：（1）证明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE=∠CAE，
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=180°=90°，
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC=∠CEA=90°，
∴四边形ADCE为矩形．
（2）当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．
理由：∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B=45°，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD=∠ACD=45°，
∴DC=AD，
∵四边形ADCE为矩形，
∴矩形ADCE是正方形．
∴当∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．
点评：本题是以开放型试题，主要考查了对矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，及角平分线的性质等知识点的综合运用．
25．已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，求四边形ABCD的面积．
考点：勾股定理的逆定理；勾股定理．
分析：先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．
解答：解：连接AC．
∵∠ABC=90°，AB=1，BC=2，
∴AC==，
在△ACD中，AC2+CD2=5+4=9=AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S四边形ABCD=AB•BC+AC•CD，
=×1×2+××2，
=1+．
故四边形ABCD的面积为1+．
点评：本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状是解答此题的关键．
26．请阅读下列材料：问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图甲，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中的每一个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．
小东同学的做法是：设新正方形的边长为x（x＞0），依题意，割补前后图形的面积相等，有x2=5，解得x=由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长．于是，画出如图乙所示的分割线，拼出如图丙所示的新的正方形．
请你参考小东同学的做法，解决如下问题：
现有10个边长为1的小正方形，排列形式如图丁，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在图丁中画出分割线，并在图戊的正方形网格图（图中的每一个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．
说明：直接画出图形，不要求写分析过程．
考点：图形的剪拼．
分析：由10个小正方形拼成的一个大正方形面积为10，边长为，由=画分割线．
解答：解：如图所示：
．
点评：本题考查了作图的运用及设计作图．根据作图前后，图形的面积保持不变，根据矩形及正方形的面积计算公式，设计作图方法．
27．如图：在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（1，5）、（3，3），一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点M、N，如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则一次函数y=kx+b的关系式为y=﹣x+2或y=﹣x﹣2或y=﹣2x+8．
考点：一次函数综合题．
专题：综合题．
分析：如图所示，分三种情况考虑：（i）当直线MN与x轴、y轴交于N（2，0）、M（0，2），此时MN=AB=2，且直线MN与直线AB斜率相同，即两直线平行，可得出此时AMNB为平行四边形，满足题意，求出此时直线MN的方程；（ii）当直线与x轴，y轴分别交于N′、M′，此时M′N′=AB=2，且直线M′N′与直线AB斜率相同，即两直线平行，可得出AN′M′B为平行四边形，求出此时直线的方程；（iii）直线与x轴，y轴分别交于N′′、M′′，直线M′′N′′与直线AB交于C点，若C为M′′N′′与AB中点，四边形为平行四边形，求出此时直线方程即可．
解答：解：如图所示：分三种情况考虑：
（i）当直线MN与x轴、y轴交于N（2，0）、M（0，2），此时MN=AB=2，
且直线MN与直线AB斜率相同，都为﹣1，即两直线平行，
∴AMNB为平行四边形，
将M、N两点代入y=kx+b中得：，
解得：k=﹣1，b=2，此时直线MN的方程为y=﹣x+2；
（ii）当直线与x轴，y轴分别交于N′（﹣2，0）、M′（0，﹣2），此时M′N′=AB=2，
且直线M′N′与直线AB斜率相同，都为﹣1，即两直线平行，
∴AN′M′B为平行四边形，
将M′、N′两点坐标代入y=kx+b中得：，
解得：k=﹣1，b=﹣2，此时直线的方程为y=﹣x﹣2；
（iii）直线与x轴，y轴分别交于N′′、M′′，直线M′′N′′与直线AB交于C点，
若C为M′′N′′与AB中点，四边形为平行四边形，此时C坐标为（2，4），M′′（0，8），N′′（4，0），
将M′′、N′′两点坐标代入y=kx+b得：，
解得：k=﹣2，b=8，
此时直线方程为y=﹣2x+8，
综上，一次函数y=kx+b解析式为y=﹣x+2或y=﹣x﹣2或y=﹣2x+8．
故答案为：y=﹣x+2或y=﹣x﹣2或y=﹣2x+8
点评：此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：平行四边形的判定与性质，两点间的距离公式，直线的斜率，平行四边形的判定，待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，利用了数形结合与分类讨论的思想，做题时注意考虑问题要全面，不用漏解．