高考数学一轮复习 第3章 热点探究课2 三角函数与解三角形中的高考热点问题

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要进行五点法作图、图象变换，研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，求三角函数的单调区间、最值等，都应先进行三角恒等变换，将其化为一个角的一种三角函数，求解这类问题，要灵活利用两角和(差)公式、倍角公式、辅助角公式以及同角关系进行三角恒等变换．
(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,4)))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,4)))－sin(x＋π)．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若将f(x)的图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值．
[思路点拨] (1)先逆用倍角公式，再利用诱导公式、辅助角公式将f(x)化为正弦型函数，然后求其周期．
(2)先利用平移变换求出g(x)的解析式，再求其在给定区间上的最值．
[规范解答] (1)f(x)＝2eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,4)))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,4)))－sin(x＋π)3分
＝eq \r(3)cs x＋sin x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))，5分
于是T＝eq \f(2π,1)＝2π.6分
(2)由已知得g(x)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6))).8分
∵x∈[0，π]，∴x＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(7π,6)))，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))，10分
∴g(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))∈[－1,2].11分
故函数g(x)在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.12分
[答题模板] 解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤为：
第一步(化简)：将f(x)化为asin x＋bcs x的形式．
第二步(用辅助角公式)：构造f(x)＝eq \r(a2＋b2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin x·\f(a,\r(a2＋b2))＋cs x·\f(b,\r(a2＋b2)))).
第三步(求性质)：利用f(x)＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)研究三角函数的性质．
第四步(反思)：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．
[温馨提示] 1.在第(1)问的解法中，使用辅助角公式asin α＋bcs α＝eq \r(a2＋b2) sin (α＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tan φ＝\f(b,a)))，在历年高考中使用频率是相当高的，几乎年年使用到、考查到，应特别加以关注.
2．求g(x)的最值一定要重视定义域，可以结合三角函数图象进行求解．
[对点训练1] (2016·石家庄模拟)已知函数f(x)＝Asin ωx＋Bcs ωx(A，B，ω是常数，ω>0)的最小正周期为2，并且当x＝eq \f(1,3)时，f(x)max＝2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)在闭区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(21,4)，\f(23,4)))上是否存在f(x)的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由．
[解] (1)因为f(x)＝eq \r(A2＋B2)sin(ωx＋φ)，由它的最小正周期为2，知eq \f(2π,ω)＝2，ω＝π.2分
又因为当x＝eq \f(1,3)时，f(x)max＝2，知eq \f(1,3)π＋φ＝2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，φ＝2kπ＋eq \f(π,6)(k∈Z)，4分
所以f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(πx＋2kπ＋\f(π,6)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(πx＋\f(π,6)))(k∈Z)．
故f(x)的解析式为f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(πx＋\f(π,6))).5分
(2)当垂直于x轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称轴，令πx＋eq \f(π,6)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，解得x＝k＋eq \f(1,3)(k∈Z).7分
由eq \f(21,4)≤k＋eq \f(1,3)≤eq \f(23,4)，解得eq \f(59,12)≤k≤eq \f(65,12)，9分
又k∈Z，知k＝5，10分
由此可知在闭区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(21,4)，\f(23,4)))上存在f(x)的对称轴，其方程为x＝eq \f(16,3).12分
热点2 解三角形
从近几年全国卷来看，高考命题强化了解三角形的考查力度，着重考查正弦定理、余弦定理的综合应用，求解的关键是实施边角互化，同时结合三角恒等变换进行化简与求值．
(2015·全国卷Ⅱ)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．
(1)求eq \f(sin B,sin C)；
(2)若AD＝1，DC＝eq \f(\r(2),2)，求BD和AC的长．
[解] (1)S△ABD＝eq \f(1,2)AB·ADsin∠BAD，
S△ADC＝eq \f(1,2)AC·ADsin∠CAD.2分
因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC.
由正弦定理，得eq \f(sin B,sin C)＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(1,2).5分
(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝eq \r(2).7分
在△ABD和△ADC中，由余弦定理，知
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcs∠ADB，
AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcs∠ADC.9分
故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6.
由(1)，知AB＝2AC，所以AC＝1.12分
[规律方法] 解三角形问题要关注正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式，要适时、适度进行“角化边”或“边化角”，要抓住能用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则两个定理都有可能用到．
[对点训练2] (2016·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asin 2B＝eq \r(3)bsin A.
(1)求B；
(2)若cs A＝eq \f(1,3)，求sin C的值．
[解] (1)在△ABC中，由eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，
可得asin B＝bsin A．2分
又由asin 2B＝eq \r(3)bsin A，得
2asin Bcs B＝eq \r(3)bsin A＝eq \r(3)asin B，
所以cs B＝eq \f(\r(3),2)，得B＝eq \f(π,6).5分
(2)由cs A＝eq \f(1,3)，可得sin A＝eq \f(2\r(2),3)，则
sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,6)))
＝eq \f(\r(3),2)sin A＋eq \f(1,2)cs A＝eq \f(2\r(6)＋1,6).12分
热点3 三角恒等变换与解三角形的综合问题
以三角形为载体，三角恒等变换与解三角形交汇命题，是近几年高考试题的一大亮点，主要考查和、差、倍角公式以及正、余弦定理的综合应用，求解的关键是根据题目提供的信息，恰当地实施边角互化．
(2017·东北三省四市一联)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知eq \f(cs B－2cs A,2a－b)＝eq \f(cs C,c).
(1)求eq \f(a,b)的值；
(2)若角A是钝角，且c＝3，求b的取值范围．
[解] (1)由题意及正弦定理得sin Ccs B－2sin Ccs A＝2sin Acs C－sin Bcs C，2分
∴sin Ccs B＋sin Bcs C＝2(sin Ccs A＋sin Acs C)．
∴sin(B＋C)＝2sin(A＋C)．
∵A＋B＋C＝π，
∴sin A＝2sin B，∴eq \f(a,b)＝2.5分
(2)由余弦定理得cs A＝eq \f(b2＋9－a2,2b·3)＝eq \f(b2＋9－4b2,6b)＝eq \f(9－3b2,6b)eq \r(3). ①7分
∵b＋c>a，即b＋3>2b，∴b