高考数学一轮复习讲义第4章第5节第1课时简单的三角恒等变化

1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式

cos(α－β)＝cosαcosβ＋sin αsin β，(C(α－β))

cos(α＋β)＝cosαcosβ－sin αsin β，(C(α＋β))

sin(α－β)＝sin αcosβ－cosαsin β，(S(α－β))

sin(α＋β)＝sin αcosβ＋cosαsin β，(S(α＋β))

tan(α－β)＝，(T(α－β))

tan(α＋β)＝.(T(α＋β))

2．二倍角公式

sin 2α＝2sin αcosα；

cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

tan 2α＝.

【知识拓展】

1．降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.

2．升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.

3．辅助角公式：asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中sin φ＝，cosφ＝.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　√　)

(2)在锐角△ABC中，sin AsinB和cosAcosB大小不确定．(　×　)

(3)若α＋β＝45°，则tan α＋tan β＝1－tan αtan β.(　√　)

(4)对任意角α都有1＋sin α＝(sin ＋cos)2.(　√　)

(5)y＝3sin x＋4cos x的最大值是7.(　×　)

(6)在非直角三角形中，tan A＋tan B＋tan C＝tan AtanBtanC．(　√　)

1．(教材改编)sin 18°cos 27°＋cos 18°sin 27°的值是(　　)

A. B.

C. D．－

答案　A

解析　sin 18°cos 27°＋cos 18°sin 27°＝sin(18°＋27°)＝sin 45°＝.

2．化简等于(　　)

A．1  B.  C.  D．2

答案　C

解析　原式＝

＝＝＝.

3．若＝，则tan 2α等于(　　)

A．－  B.  C．－  D.

答案　B

解析　由＝，等式左边分子、分母同除cosα，得＝，解得tan α＝－3，

则tan 2α＝＝.

4．tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝.

答案　

解析　∵tan 60°＝tan(20°＋40°)＝，

∴tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)

＝－tan 20°tan 40°，

∴原式＝－tan 20°tan 40°＋tan 20°tan 40°＝.

5．(2016·浙江)已知2cos2x＋sin 2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0)，则A＝，b＝.

答案　　1

解析　∵2cos2x＋sin 2x＝cos 2x＋1＋sin 2x

＝＋1＝sin＋1

＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0)，∴A＝，b＝1.

第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

题型一　和差公式的直接应用

例1　(1)(2016·广州模拟)已知sin α＝，α∈(，π)，则＝.

(2)在△ABC中，若tan AtanB＝tan A＋tan B＋1，则cosC的值为(　　)

A．－ B.

C. D．－

答案　(1)－　(2)B

解析　(1)＝＝cosα－sin α，

∵sin α＝，α∈(，π)，

∴cosα＝－，∴原式＝－.

(2)由tan AtanB＝tan A＋tan B＋1，

可得＝－1，即tan(A＋B)＝－1，

又A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝，

则C＝，cosC＝.

思维升华　(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．

(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．

　(1)(2016·全国丙卷)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α等于(　　)

A.  B.  C．1  D.

(2)计算的值为(　　)

A．－ B.

C. D．－

答案　(1)A　(2)B

解析　(1)tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝

＝＝.

(2)＝

＝＝＝.

题型二　和差公式的综合应用

命题点1　角的变换

例2　(1)设α、β都是锐角，且cosα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ等于(　　)

A. B.

C.或 D.或

(2)已知cos(α－)＋sin α＝，则sin(α＋)的值是．

答案　(1)A　(2)－

解析　(1)依题意得sin α＝＝，

cos(α＋β)＝±＝±.

又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cosα>cos(α＋β)．

因为>>－，所以cos(α＋β)＝－.

于是cosβ＝cos[(α＋β)－α]

＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sin α

＝－×＋×＝.

(2)∵cos(α－)＋sin α＝，

∴cosα＋sin α＝，

(cosα＋sin α)＝，sin(＋α)＝，

∴sin(＋α)＝，

∴sin(α＋)＝－sin(＋α)＝－.

思维升华　(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．

(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝(α＋)－(＋β)等．

命题点2　三角函数式的变形

例3　(1)化简： (0<θ<π)；

(2)求值：－sin 10°(－tan 5°)．

解　(1)由θ∈(0，π)，得0<<，

∴cos>0，

∴＝＝2cos .

又(1＋sin θ＋cosθ)(sin －cos)

＝(2sin cos＋2cos2)(sin －cos)

＝2cos (sin2－cos2)

＝－2cos cosθ.

故原式＝＝－cosθ.

(2)原式＝－sin 10°(－)

＝－sin 10°·

＝－sin 10°·

＝－2cos 10°＝

＝

＝

＝＝.

引申探究

化简： (0<θ<π)．

解　∵0<<，∴＝2sin ，

又1＋sin θ－cosθ＝2sin cos＋2sin2

＝2sin (sin ＋cos)

∴原式＝＝－cosθ.

　(1)(2016·宿州模拟)若sin(＋α)＝，则cos(－2α)等于(　　)

A. B．－

C. D．－

(2)(2016·青岛模拟)化简(tan α＋)·sin 2α－2cos2α等于(　　)

A．cos2α B．sin2α

C．cos 2α D．－cos 2α

(3)计算：sin 50°(1＋tan 10°)＝.

答案　(1)D　(2)D　(3)1

解析　(1)∵sin(＋α)＝，∴cos(－α)＝，

∴cos(－2α)＝cos 2(－α)＝2×－1＝－.

(2)原式＝·sin 2α－2cos2α

＝1－2cos2α＝－cos 2α.

(3)sin 50°(1＋tan 10°)＝sin 50°(1＋)

＝sin 50°×

＝sin 50°×

＝＝＝＝1.

8．利用联系的观点进行角的变换

典例　(1)设α为锐角，若cos(α＋)＝，则sin(2α＋)的值为．

(2)若tan α＝2tan，则等于(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

思想方法指导　三角变换的关键是找出条件中的角与结论中的角的联系，通过适当地拆角、凑角来利用所给条件．常见的变角技巧有＝(α－)－(－β)；α＝(α－β)＋β；α＋＝(α＋)－；15°＝45°－30°等．

解析　(1)∵α为锐角且cos(α＋)＝>0，

∴α＋∈(，)，∴sin(α＋)＝.

∴sin(2α＋)＝sin[2(α＋)－]

＝sin 2(α＋)cos－cos 2(α＋)sin

＝sin(α＋)cos(α＋)－[2cos2(α＋)－1]

＝××－[2×()2－1]

＝－＝.

(2)＝

＝＝

＝

＝

＝＝3，故选C.

答案　(1)　(2)C

1．(2015·课标全国Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于(　　)

A．－  B.  C．－  D.

答案　D

解析　sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝.

2．(2016·全国甲卷)若cos＝，则sin 2α等于(　　)

A.  B.  C．－  D．－

答案　D

解析　因为sin 2α＝cos＝2cos2－1，又因为cos＝，所以sin 2α＝2×－1＝－，故选D.

3．已知sin 2α＝，则cos2等于(　　)

A. B.

C. D.

答案　A

解析　因为cos2＝

＝＝，

所以cos2＝＝＝，故选A.

4．(2016·东北三省三校联考)已知sin α＋cosα＝，则sin2(－α)等于(　　)

A. B.

C. D.

答案　B

解析　由sin α＋cosα＝，两边平方得1＋sin 2α＝，

解得sin 2α＝－，

所以sin2(－α)＝

＝＝＝.

5.的值是(　　)

A. B.

C. D.

答案　C

解析　原式＝

＝

＝＝.

6．(2016·江西九校联考)已知锐角α，β满足sin α－cosα＝，tan α＋tan β＋tan αtan β＝，则α，β的大小关系是(　　)

A．α<<β B．β<<α

C.<α<β D.<β<α

答案　B

解析　∵α为锐角，sin α－cosα＝>0，∴α>.

又tan α＋tan β＋tan αtan β＝，

∴tan(α＋β)＝＝，

∴α＋β＝，又α>，∴β<<α.

7．化简·＝.

答案　

解析　原式＝tan(90°－2α)·

＝··

＝··＝.

8．已知tan(＋θ)＝3，则sin 2θ－2cos2θ的值为．

答案　－

解析　∵tan(＋θ)＝3，

∴＝3，解得tan θ＝.

∵sin 2θ－2cos2θ＝sin 2θ－cos 2θ－1

＝－－1

＝－－1

＝－－1＝－.

9．已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，则sin(β＋)＝.

答案　

解析　依题意可将已知条件变形为

sin[(α－β)－α]＝－sin β＝，sin β＝－.

又β是第三象限角，因此有cosβ＝－.

sin(β＋)＝－sin(β＋)

＝－sin βcos－cosβsin ＝.

*10.(2016·宝鸡模拟)已知cos(＋θ)cos(－θ)＝，则sin4θ＋cos4θ的值为．

答案　

解析　因为cos(＋θ)cos(－θ)

＝(cosθ－sin θ)(cosθ＋sin θ)

＝(cos2θ－sin2θ)＝cos 2θ＝.

所以cos 2θ＝.

故sin4θ＋cos4θ＝()2＋()2

＝＋＝.

11．已知α∈(0，)，tan α＝，求tan 2α和sin(2α＋)的值．

解　∵tan α＝，

∴tan 2α＝＝＝，

且＝，即cosα＝2sin α，

又sin2α＋cos2α＝1，∴5sin2α＝1，

而α∈(0，)，∴sin α＝，cosα＝.

∴sin 2α＝2sin αcosα＝2××＝，

cos 2α＝cos2α－sin2α＝－＝，

∴sin(2α＋)＝sin 2αcos＋cos 2αsin ＝×＋×＝.

12．已知α∈，且sin ＋cos＝.

(1)求cosα的值；

(2)若sin(α－β)＝－，β∈，求cosβ的值．

解　(1)因为sin ＋cos＝，

两边同时平方，得sin α＝.

又<α<π，所以cosα＝－.

(2)因为<α<π，<β<π，

所以－π<－β<－，故－<α－β<.

又sin(α－β)＝－，得cos(α－β)＝.

cosβ＝cos[α－(α－β)]

＝cosαcos(α－β)＋sin αsin(α－β)

＝－×＋×

＝－.

*13.(2017·合肥质检)已知cos(＋α)cos(－α)＝－，α∈(，)．

(1)求sin 2α的值；

(2)求tan α－的值．

解　(1)cos(＋α)·cos(－α)

＝cos(＋α)·sin(＋α)

＝sin(2α＋)＝－，

即sin(2α＋)＝－.

∵α∈(，)，∴2α＋∈(π，)，

∴cos(2α＋)＝－，

∴sin 2α＝sin[(2α＋)－]

＝sin(2α＋)cos－cos(2α＋)sin ＝.

(2)∵α∈(，)，∴2α∈(，π)，

又由(1)知sin 2α＝，∴cos 2α＝－.

∴tan α－＝－＝

＝＝－2×＝2.