高三数学一轮复习： 第10章 第3节 二项式定理

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1．二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq \\al(r,n)an－rbr＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N*)；
(2)通项公式：Tr＋1＝Ceq \\al(r,n)an－rbr，它表示第r＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数Ceq \\al(0,n)，Ceq \\al(1,n)，…，Ceq \\al(n,n).
2．二项式系数的性质
3.各二项式系数和
(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n.
(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(4,n)＋…＝Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＋…＝2n－1.
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)Ceq \\al(k,n)an－kbk是(a＋b)n的展开式中的第k项．( )
(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( )
(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．( )
(4)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为128.( )
[解析] (1)错误．应为第k＋1项．
(2)错误．当n为偶数时，为中间一项；n为奇数时，为中间的两项．
(3)正确．二项式系数只与n和项数有关．
(4)错误．令x＝1，可得a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128.
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．(教材改编)二项式(x＋1)n(n∈N*)的展开式中x2的系数为15，则n＝( )
A．7 B.6
C.5 D.4
B [(x＋1)n＝(1＋x)n＝1＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)x2＋…＋Ceq \\al(n,n)xn.依题意，得Ceq \\al(2,n)＝15，解得n＝6(n＝－5舍去)．]
3．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(1,\r(3,x))))n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( )
A．－7 B.7
C.－28 D.28
B [由题意知eq \f(n,2)＋1＝5，解得n＝8，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(1,\r(3,x))))8的展开式的通项Tk＋1＝Ceq \\al(k,8)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)))8－keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,\r(3,x))))k
＝(－1)k2k－8Ceq \\al(k,8)x8－eq \f(4,3)k.
令8－eq \f(4k,3)＝0得k＝6，则展开式中的常数项为(－1)626－8Ceq \\al(6,8)＝7.]
4．(2016·北京高考)在(1－2x)6的展开式中，x2的系数为________．(用数字作答)
60 [依二项式定理，含x2的项为展开式的第3项．
∴展开式中T3＝Ceq \\al(2,6)(－2x)2＝60x2，则x2的系数为60.]
5．(2017·济南模拟)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝________.
－1 [(1＋x)5＝1＋Ceq \\al(1,5)x＋Ceq \\al(2,5)x2＋Ceq \\al(3,5)x3＋Ceq \\al(4,5)x4＋Ceq \\al(5,5)x5.
∴(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的项为(Ceq \\al(2,5)＋Ceq \\al(1,5)a)x2，
依题意得10＋5a＝5，解得a＝－1.]
(1)(2015·全国卷Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( )
A．10 B.20
C.30 D.60
(2)(2016·山东高考)若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax2＋\f(1,\r(x))))5的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝________.
(1)C (2)－2 [(1)法一：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，
含y2的项为T3＝Ceq \\al(2,5)(x2＋x)3·y2.
其中(x2＋x)3中含x5的项为Ceq \\al(1,3)x4·x＝Ceq \\al(1,3)x5.
所以x5y2的系数为Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(1,3)＝30.故选C.
法二：(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(1,1)＝30.故选C.
(2)Tr＋1＝Ceq \\al(r,5)·(ax2)5－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x))))r＝Ceq \\al(r,5)·a5－rx10－eq \f(5,2)r.令10－eq \f(5,2)r＝5，解得r＝2.又展开式中x5的系数为－80，则有Ceq \\al(2,5)·a3＝－80，解得a＝－2.]
[规律方法] 1.二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
2．求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．
[变式训练1] (1)(2017·东北四校联考)若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x6＋\f(1,x\r(x))))n的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值等于( )
A．3 B.4
C.5 D.6
(2)(2016·全国卷Ⅰ)(2x＋eq \r(x))5的展开式中，x3的系数是________．(用数字填写答案)
(1)C (2)10 [(1)二项展开式的通项
若Tr＋1是常数项，则6n－eq \f(15r,2)＝0，即n＝eq \f(5,4)r.
又n∈N*，故n的最小值为5.
(2)(2x＋eq \r(x))5展开式的通项为Tr＋1＝Ceq \\al(r,5)(2x)5－r(eq \r(x))r＝25－r·Ceq \\al(r,5)·
令5－eq \f(r,2)＝3，得r＝4.
故x3的系数为25－4·Ceq \\al(4,5)＝2Ceq \\al(4,5)＝10.]
(1)(2017·武汉调研)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )
【导学号：01772387】
A．212 B.211
C.210 D.29
(2)(2017·福州质检)若(1－2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a1＋a2＋a3＋a4＝________.
(1)D (2)0 [(1)∵(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，
∴Ceq \\al(3,n)＝Ceq \\al(7,n)，解得n＝10.
从而Ceq \\al(0,10)＋Ceq \\al(1,10)＋Ceq \\al(2,10)＋…＋Ceq \\al(10,10)＝210，
∴奇数项的二项式系数和为Ceq \\al(0,10)＋Ceq \\al(2,10)＋…＋Ceq \\al(10,10)＝29.
(2)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(1－2)4＝1.
又令x＝0，得a0＝(1－0)4＝1.
因此a1＋a2＋a3＋a4＝0.]
[迁移探究1] 若本例(2)中条件不变，问题变为“求a0＋a2＋a4的值”，则结果如何？
[解] 在(1－2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中，
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1. ①4分
令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4＝34. ②8分
由①＋②，可得a0＋a2＋a4＝eq \f(1,2)(34＋1)＝41.12分
[迁移探究2] 若将本例(2)变为“若(1－2x)2 016＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 016x2 016(x∈R)，则eq \f(a1,2)＋eq \f(a2,22)＋…＋eq \f(a2 016,22 016)的值为________．”
－1 [令x＝0，得a0＝(1－0)2 016＝1.
令x＝eq \f(1,2)，则a0＋eq \f(a1,2)＋eq \f(a2,22)＋…＋eq \f(a2 016,22 016)＝0，
∴eq \f(a1,2)＋eq \f(a2,22)＋…＋eq \f(a2 016,22 016)＝－1.]
[规律方法] 1.第(1)小题求解的关键在于求n，本题常因把“n的等量关系表示为Ceq \\al(4,n)＝Ceq \\al(8,n)”，错求n＝12；第(2)小题主要是“赋值”求出a0与各项系数的和．
2．求解这类问题要注意：
(1)区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质；
(2)根据题目特征，恰当赋值代换，常见的赋值方法是使得字母因式的值或目标式的值为1，－1.
[变式训练2] (2015·全国卷Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.
3 [设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5.
令x＝1，得(a＋1)×24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.①
令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②
①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝2×32，∴a＝3.]
(1)(2017·豫东名校模拟)设复数x＝eq \f(2i,1－i)(i是虚数单位)，则Ceq \\al(1,2 017)x＋Ceq \\al(2,2 017)x2＋Ceq \\al(3,2 017)x3＋…＋Ceq \\al(2 017,2 017)x2 017＝( )
A．i B.－i
C.－1＋i D.－1－i
(2)设a∈Z，且0≤a