高三数学一轮复习： 第5章 第4节 课时分层训练31

这是一份高三数学一轮复习： 第5章 第4节 课时分层训练31，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
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一、选择题
1．数列1eq \f(1,2)，3eq \f(1,4)，5eq \f(1,8)，7eq \f(1,16)，…，(2n－1)＋eq \f(1,2n)，…的前n项和Sn的值等于( )
【导学号：01772189】
A．n2＋1－eq \f(1,2n) B.2n2－n＋1－eq \f(1,2n)
C．n2＋1－eq \f(1,2n－1) D.n2－n＋1－eq \f(1,2n)
A [该数列的通项公式为an＝(2n－1)＋eq \f(1,2n)，
则Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋\f(1,22)＋…＋\f(1,2n)))
＝n2＋1－eq \f(1,2n).]
2．(2016·安徽江南十校3月联考)在数列{an}中，an＋1－an＝2，Sn为{an}的前n项和．若S10＝50，则数列{an＋an＋1}的前10项和为( )
A．100 B.110
C．120 D.130
C [{an＋an＋1}的前10项和为a1＋a2＋a2＋a3＋…＋a10＋a11＝2(a1＋a2＋…＋a10)＋a11－a1＝2S10＋10×2＝120.故选C.]
3．(2016·湖北七校2月联考)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )
A．192里 B.96里
C．48里 D.24里
B [由题意，知每天所走路程形成以a1为首项，公比为eq \f(1,2)的等比数列，则eq \f(a1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,26))),1－\f(1,2))＝378，解得a1＝192，则a2＝96，即第二天走了96里．故选B.]
4．(2016·江西高安中学第九校联考)已知数列5,6,1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S16等于( )
A．5 B.6
C．7 D.16
C [根据题意这个数列的前8项分别为5,6,1，－5，－6，－1,5,6，发现从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.
又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S16＝2×0＋7＝7.故选C.]
5．已知函数f(x)＝xa的图象过点(4,2)，令an＝eq \f(1,fn＋1＋fn)，n∈N*，记数列{an}的前n项和为Sn，则S2 017＝( )
【导学号：01772190】
A.eq \r(2 016)－1 B.eq \r(2 017)－1
C.eq \r(2 018)－1 D.eq \r(2 018)＋1
C [由f(4)＝2得4a＝2，解得a＝eq \f(1,2)，则f(x)＝xeq \f(1,2).
∴an＝eq \f(1,fn＋1＋fn)＝eq \f(1,\r(n＋1)＋\r(n))＝eq \r(n＋1)－eq \r(n)，
S2 017＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 017＝(eq \r(2)－eq \r(1))＋(eq \r(3)－eq \r(2))＋(eq \r(4)－eq \r(3))＋…＋(eq \r(2 018)－eq \r(2 017))＝eq \r(2 018)－1.]
二、填空题
6．设数列{an }的前n项和为Sn，且an＝sineq \f(nπ,2)，n∈N*，则S2 016＝__________.
【导学号：01772191】
0 [an＝sineq \f(nπ,2)，n∈N*，显然每连续四项的和为0.
S2 016＝S4×504＝0.]
7．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝__________.
2n ＋1－2 [∵an＋1－an＝2n，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝eq \f(2－2n,1－2)＋2＝2n－2＋2＝2n.
∴Sn＝eq \f(2－2n＋1,1－2)＝2n＋1－2.]
8．(2017·广州综合测试(二))设数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝12，Sn＝kn2－1(n∈N*)，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,Sn)))的前n项和为__________．
eq \f(n,2n＋1) [令n＝1得a1＝S1＝k－1，令n＝2得S2＝4k－1＝a1＋a2＝k－1＋12，解得k＝4，所以Sn＝4n2－1，eq \f(1,Sn)＝eq \f(1,4n2－1)＝eq \f(1,2n＋12n－1)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,Sn)))的前n项和为eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,1)－\f(1,3)))＋eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－\f(1,5)))＋…＋eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2n＋1)))＝eq \f(n,2n＋1).]
三、解答题
9．(2017·成都二诊)已知数列{an}满足a1＝1，(n＋1)an＝(n－1)an－1(n≥2，n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)设数列{an }的前n项和为Sn，证明：Sn