高三数学一轮复习： 第1章 第3节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

这是一份高三数学一轮复习： 第1章 第3节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词，共7页。

1．简单的逻辑联结词
(1)命题中的“或”“且”“非”叫做逻辑联结词．
(2)命题p∧q，p∨q，¬p的真假判断
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．
(2)全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题．
全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”简记为∀x∈M，p(x)．
(3)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．
(4)特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题．特称命题“存在M中的一个元素x0，使p(x0)成立”，简记为∃x0∈M，p(x0)．
3．含有一个量词的命题的否定
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)命题“5＞6或5＞2”是假命题．( )
(2)命题¬(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是假命题．( )
(3)“长方形的对角线相等”是特称命题．( )
(4)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．( )
[解析] (1)错误．命题p∨q中，p，q有一真则真．
(2)错误．p∧q是真命题，则p，q都是真命题．
(3)错误．命题“长方形的对角线相等”可叙述为“所有长方形的对角线相等”，是全称命题．
(4)错误．“对顶角相等”是全称命题，其否定为“有些对顶角不相等”．
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．(教材改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题¬p，¬q，p∨q，p∧q中真命题的个数为( )
A．1 B.2
C.3 D.4
B [p和q显然都是真命题，所以¬p，¬q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．]
3．(2015·全国卷Ⅰ)设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则¬p为( )
A．∀n∈N，n2＞2n B.∃n∈N，n2≤2n
C．∀n∈N，n2≤2n D.∃n∈N，n2＝2n
C [因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，¬p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”．故选C.]
4．(2017·西安模拟)下列命题中的假命题是( )
【导学号：01772011】
A．∃x0∈R，lg x0＝0 B.∃x0∈R，tan x0＝1
C．∀x∈R，x3>0 D.∀x∈R,2x>0
C [对于A，当x0＝1时，lg x0＝0，正确；对于B，当x0＝eq \f(π,4)时，tan x0＝1，正确；对于C，当xn
B．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>n
C．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)>n0
D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0
D [写全称命题的否定时，要把量词∀改为∃，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．]
☞角度2 全称命题、特称命题的真假判断
(2014·全国卷Ⅰ)不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y≥1，,x－2y≤4))的解集记为D，有下面四个命题：
p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2；
p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2；
p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3；
p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.
其中的真命题是( )
A．p2，p3 B.p1，p4
C．p1，p2 D.p1，p3
C [作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝1，,x－2y＝4，))
得交点A(2，－1)．
目标函数的斜率k＝－eq \f(1,2)>－1，
观察直线x＋y＝1与直线x＋2y＝0的倾斜程度，可知u＝x＋2y过点A时取得最小值0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＝－\f(x,2)＋\f(u,2)，\f(u,2)表示纵截距)).结合题意知p1，p2正确．]
[规律方法] 1.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论．
2．要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．
3．要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立．只要找到一个反例，则该命题为假命题.
(1)已知命题“∃x0∈R，使2xeq \\al(2,0)＋(a－1)x0＋eq \f(1,2)≤0”是假命题，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B.(－1,3)
C．(－3，＋∞) D.(－3,1)
(2)已知p：∃x0∈R，mxeq \\al(2,0)＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为( )
A．m≥2 B.m≤－2
C．m≤－2或m≥2 D.－2≤m≤2
(1)B (2)A [(1)原命题的否定为∀x∈R,2x2＋(a－1)x＋eq \f(1,2)＞0，由题意知，为真命题，
则Δ＝(a－1)2－4×2×eq \f(1,2)＜0，
则－2＜a－1＜2，则－1＜a＜3.
(2)依题意知，p，q均为假命题．当p是假命题时，∀x∈R，mx2＋1＞0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，则有Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2.
因此，由p，q均为假命题得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≥0，,m≤－2或m≥2，))即m≥2.]
[规律方法] 1.根据含逻辑联结词命题的真假求参数的方法步骤：
(1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)．
(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围．
(3)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．
2．全称命题可转化为恒成立问题．
[变式训练2] (2017·济南调研)若“∀x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________.
【导学号：01772013】
1 [∵0≤x≤eq \f(π,4)，∴0≤tan x≤1，
由“∀x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，tan x≤m”是真命题，得m≥1.
故实数m的最小值为1.]
[思想与方法]
1．把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”“且”“非”字眼，要结合语句的含义理解．
2．含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与¬p→真假相反．
3．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写，否定的规律是“改量词，否结论”．
[易错与防范]
1．正确区别命题的否定与否命题
“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“¬p”，只否定命题p的结论．命题的否定与原命题的真假相反，即两者中有且只有一个为真．
2．几点注意
(1)注意命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题的否定的前提；
(2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定；
(3)由逻辑联结词构成的新命题的否定．
①¬(p∧q)⇔(¬p)∨(¬q)；②¬(p∨q)⇔(¬p)∧(¬p)．
p
q
p∧q
p∨q
¬p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
命题
命题的否定
∀x∈M，p(x)
∃x0∈M，¬p(x0)
∃x0∈M，p(x0)
∀x∈M，¬p(x)
全称命题、特称命题
由命题的真假求参数的取值范围