专题08 新定义问题（1）-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

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专题08  新定义问题（1）【规律总结】※知识精要新定义型问题是学习型阅读理解题，是指题目中首先给出一个新定义（新概念或新公式），通过阅读题目提供的材料，理解新定义，再通过对新定义的理解来解决题目提出的问题。其主要目的是通过对新定义的理解与运用来考查学生的自主学习能力，便于学生养成良好的学习习惯。※要点突破解决此类题的关键是（1）深刻理解“新定义”——明 确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论;（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的做题方法；归纳“举例”提供的分类情况；（3）依据新定义，运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中需要解决的问题。【典例分析】例1．（2020·湖南广益实验中学七年级月考）规定：用表示大于的最小整数，例如，，等；用表示不大于的最大整数，例如，，，如果整数满足关系式：，则的值为（　　　）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，可将2x＋3[x]＝32变形为2x＋2＋3x＝32，解方程后即可得出结论．【详解】解：∵x为整数，∴{x}＝x＋1， [x]＝x，  ∴2{x}＋3[x]＝32可化为：2（x＋1）＋3x＝32去括号，得 2x＋2＋3x＝32，移项合并，得5x＝30，系数化为1，得x＝6．故选：C．【点睛】本题结合新定义主要考查解一元一次方程，比较新颖，注意仔细审题，理解新定义运算的规则是解题的关键．例2．（2021·河南安阳市·八年级期末）对于有理数，，定义：当时，；当时，．若，则的值为______．【答案】36【分析】根据与40的大小，再根据，从而确定m，n的值即可得出的值．【详解】解：∵，∴40≤；∴∴（m+6）2+（n-2）2≤0，
∵（m+6）2+（n-2）20，∴m+6=0，n-2=0，
∴m=-6，n=2，∴故答案为：36．【点睛】本题考查了配方法的应用和非负数的性质．根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键．例3．（2021·北京西城区·八年级期末）给出如下定义：在平面直角坐标系中，已知点，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点的“最佳间距”．例如：如图，点的“最佳间距”是1．（1）点，，的“最佳间距”是__________；（2）已知点，，．①若点O，A，B的“最佳间距”是1，则y的值为__________；②点O，A，B的“最佳间距”的最大值为________；（3）已知直线l与坐标轴分别交于点和，点是线段上的一个动点．当点，，的“最佳间距”取到最大值时，求此时点P的坐标．【答案】（1）2；（2）①±1；②3；（3）P（，）．【分析】（1）根据题意，分别求出点，，任意两点间的距离，比较后即可得出结论；（2）①根据三个点的坐标特点可得AB∥y轴，由此可求出OA、OB均不满足点O，A，B的“最佳间距”是1，则可得AB＝1，从而求出y值的两种情况；② 根据OA＝3，且OA为定值，可得无论y取何值，点O，A，B的“最佳间距”的最大值为3；（3）根据题目中的已知条件，可利用待定系数法求出直线CD的解析式，由，可判断PE⊥x轴，同（2）②则可得出点，，的“最佳间距”取到最大值时的条件为OE＝PE，从而可列出关于m的方程，求解后即可求出点P的坐标．【详解】解：（1）∵点，，，∴，，，∵2＜3＜， ∴点，，的“最佳间距”是2．故答案为：2．（2）①∵点，，，∴AB∥y轴，∴OA＝3，OB＞OA，∵点O，A，B的“最佳间距”是1，∴AB＝1，∴y＝±1．故答案为：±1．②当－3≤y≤3时，点O，A，B的“最佳间距”是＝AB≤3，当y＞3或y＜－3时，AB＞3，点O，A，B的“最佳间距”是OA＝3，∴点O，A，B的“最佳间距”的最大值为3．故答案为：3．（3）如图，设直线CD的解析式为y＝k1x＋b1，将，代入得：解得∴，∵，，∴PE⊥x轴，当且仅当OE＝PE时，点，，的“最佳间距”取到最大值，∵OE＝m，PE＝n＝，∴，解得，∴P（，），当点O，E，P的“最佳间距”取到最大值时，点P的坐标为（，）．【点睛】本题考查了新定义运算的综合应用，弄清新定义的规则，并灵活应用所学知识求解是解题的关键．  【真题演练】一、单选题1．（2020·福建省泉州实验中学八年级月考）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“匀称三角形”．若是“匀称三角形”，且，，则为（    ）A． B． C． D．无法确定2．（2021·上海徐汇区·九年级一模）定义：表示不超过实数的最大整数例如：，，根据你学习函数的经验，下列关于函数的判断中，正确的是（   ）A．函数的定义域是一切整数B．函数的图像是经过原点的一条直线C．点在函数图像上D．函数的函数值随的增大而增大 二、填空题3．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）定义运算“※”：，若的值为整数，则整数x的值为_______．4．（2020·浙江嘉兴市·七年级期末）材料：一般地，n个相同因数a相乘：记为．如，此时3叫做以2为底的8的对数，记为（即）．那么_____，_____．三、解答题6．（2021·北京顺义区·七年级期末）我们规定：若有理数满足，则称互为“等和积数”，其中叫做的“等和积数”，也叫的“等和积数”．例如：因为，，所以，则与互为“等和积数”．请根据上述规定解答下列问题：（1）有理数2的“等和积数”是__________；（2）有理数1_________（填“有”或“没有”）“等和积数”；（3）若的“等和积数”是，的“等和积数”是，求的值．      6．（2021·北京海淀区·北理工附中七年级期末）我们把称为二阶行列式，且．如：．（1）计算：_______；________；（2）小明观察（1）中两个行列式的结构特点及结果，归纳总结，猜想：若行列式中的某一行（列）的所有数都乘以同一个数k，等于用数k乘以此行列式．即，你认为小明的猜想正确吗？若正确请说明理由，若错误请举出反例．（3）若，且，求x的值．