专题03 和角平分线有关的图形-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

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专题03  和角平分线有关的图形【规律总结】模型三“臭脚”模型点P在EF右侧，在AB、 CD外部“臭脚”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD. 模型四“骨折”模型点P在EF左侧，在AB、 CD外部·“骨折”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.【典例分析】例1．（2019·石家庄润德学校八年级期中）如图，O是的，的平分线的交点，交BC于点D，交BC于点E．若，则的周长是（    ）A．16 B．10 C．8 D．以上都不对【答案】A【分析】根据题意判断出和是等腰三角形，再转化的边长即可．【详解】平分，，是等腰三角形，，同理可得：是等腰三角形，，，故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，能够从平行线与角平分线中辨别出等腰三角形是解题的关键．例2．（2020·余干县第六中学八年级月考）如图，中，，与分别是与的平分线，，．则的周长是__________．
 【答案】6【分析】由OB，OC分别是△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线和OD∥AB、OE∥AC可推出BD＝OD，OE＝EC，显然△ODE的周长即为BC的长度．【详解】∵OD∥AB，∴∠ABO＝∠BOD，∵OB平分∠ABC，∴∠ABO＝∠OBD，∴∠ABO＝∠BOD，∴BD＝OD，则同理可得CE＝OE，∴△ODE的周长＝OD＋DE＋OE＝BD＋DE＋EC＝BC＝6．故答案为：6．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．例3．（2019·河南商丘市·八年级期中）（1）如图①，△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作EFBC交AB、AC于E、F．图中有________个等腰三角形．猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．（2）如图②，若AB≠AC，其他条件不变，图中有_____个等腰三角形．它们是_____________．EF与BE、CF间的关系是___________________．（3）如图③，若△ABC中∠ABC的平分线与三角形外角平分线交于O，过O点作OEBC交AB于E，交AC于F．这时图中有_______个等腰三角形．EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．【答案】（1）5，，理由见解析；（2）2，，；（3）2，，理由见解析【分析】（1）根据题意易得∠ABC=∠ACB，由EF∥BC可得∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，由角平分线可得∠ABO=∠OBC，∠OCB=∠ACO，进而可根据等腰三角形的判定可进行求解；（2）由题意易得∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，进而可得∠EOB=∠EBO，则EO=EB，同理可得FO=FC，然后问题可求解；（3）由题意易得∠ABO=∠OBC，∠1=∠2，∠EOB=∠OBC，∠EOC=∠2，进而可得∠EOB=∠EBO，则EO=EB，同理可得FO=FC，然后问题可求解．【详解】解：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠ABO=∠OBC=∠OCB=∠ACO，∴OB=OC，∴△OBC是等腰三角形，∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∴∠AEF=∠AFE，∠EOB=∠EBO，∠FOC=∠FCO，∴AE=AF，EB=EO，FO=FC，∴△AEF、△EBO、△FOC都是等腰三角形，∴，故答案为5；（2）∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∴∠EOB=∠EBO，∴EO=EB，同理可得FO=FC，∴△EBO、△FOC都是等腰三角形，∴，故答案为2，，；（3），理由如下：如图，∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠1=∠2，∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠EOC=∠2，∴∠EOB=∠EBO，∴EO=EB，同理可得FO=FC，∴△EBO、△FOC都是等腰三角形，∴，故答案为2．【点睛】本题主要考查角平分线的定义、等腰三角形的性质与判定，熟练掌握角平分线的定义、等腰三角形的性质与判定是解题的关键，这题属于“双平等腰”的经典模型．  【好题演练】一、单选题1．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）在钝角△ABC中，延长BA到D，AE是∠DAC的平分线，AE//BC，则与∠B相等的角有（      ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】依据角平分线的性质和平行线的性质即可求解．【详解】解析：依据角平分线的性质和平行线的性质，可知∠B =∠DAE=∠CAE=∠C故选C．【点睛】此题主要考查角平分线的性质与平行线的性质，解题的关键是熟知角平分线的性质．2．（2020·河南开封市·九年级二模）如图，已知BM平分∠ABC，且BMAD，若∠ABC＝70°，则∠A的度数是（　　）A．30° B．35° C．40° D．70°【答案】B【分析】先根据角平分线的性质，求出∠ABC的度数，再由平行线的性质得到∠A的度数．【详解】解：∵BM平分∠ABC，∴∠MBA＝∠ABC＝35°．∵BM∥AD，∴∠A＝∠MBA＝35°．故选：B．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键．  二、填空题3．（2020·江苏盐城市·八年级期中）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE=3，CD=4，ED=5，则FG的长为_________．【答案】2【分析】由题意易得BE=EG，DF=DC，然后由线段的数量关系可求解．【详解】解：∵ED∥BC，∴∠EGB=∠GBC，∵BG平分∠ABC，∴∠ABG=∠GBC，∴∠ABG=∠EGB，∴BE=EG，同理可得DF=DC，∵BE=3，ED=5，∴GD=ED-EG=5-3=2，∴FG=FD-DG=4-2=2；故答案为2．【点睛】本题主要考查角平分线的定义、平行线的性质及等腰三角形的性质与判定，数量掌握角平分线的定义、平行线的性质及等腰三角形的性质与判定是解题的关键，这属于典型的“双平等腰”模型．4．（2014·陕西九年级专题练习）如图，AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，EG平分∠BEF，交CD于点G， ∠1=50°，则∠2等于_________【答案】65°【分析】根据平行线和角平分线得到等腰三角形进行解题.【详解】∵AB∥CD，∴∠BEG=∠2，又∵EG平分∠BEF，∴∠BEF=2∠2；又∵AB∥CD，∴∠1+2∠2=180°，∵∠1=50°，∴∠2=65°.故答案为65°. 三、解答题5．（2020·沈阳市第一二七中学七年级期中）如图，已知AM∥BN，∠A＝64°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．（1）①∠ABN的度数是　   　；②∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠　   　；（2）求∠CBD的度数；（3）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律；（4）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC的度数是　   　．【答案】（1）① ②；（2）；（3）不变，，理由见解析；（4）【分析】（1）①由平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补可直接求出；②由平行线的性质，两直线平行，内错角相等可直接写出；（2）由角平分线的定义可以证明∠CBD＝∠ABN，即可求出结果；（3）不变，∠APB：∠ADB＝2：1，证∠APB＝∠PBN，∠PBN＝2∠DBN，即可推出结论；（4）可先证明∠ABC＝∠DBN，由（1）∠ABN＝116°，可推出∠CBD＝58°，所以∠ABC+∠DBN＝58°，则可求出∠ABC的度数．【详解】解：（1）①∵AM//BN，∠A＝64°，∴∠ABN＝180°﹣∠A＝116°，故答案为：116°；②∵AM//BN，∴∠ACB＝∠CBN，故答案为：CBN；（2）∵AM//BN，∴∠ABN+∠A＝180°，∴∠ABN＝180°﹣64°＝116°，∴∠ABP+∠PBN＝116°，∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，∴2∠CBP+2∠DBP＝116°，∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝58°；（3）不变，∠APB：∠ADB＝2：1，∵AM//BN，∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，∵BD平分∠PBN，∴∠PBN＝2∠DBN，∴∠APB：∠ADB＝2：1；（4）∵AM//BN，∴∠ACB＝∠CBN，当∠ACB＝∠ABD时，则有∠CBN＝∠ABD，∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN∴∠ABC＝∠DBN，由（1）∠ABN＝116°，∴∠CBD＝58°，∴∠ABC+∠DBN＝58°，∴∠ABC＝29°，故答案为：29°．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质等，解题关键是能熟练运用平行线的性质并能灵活运用角平分线的定义等．6．（2019·四川资阳市·七年级期末）阅读理解：我们知道“三角形三个内角的和为180°”，在学习平行线的性质之后，可以对这一结论进行推理论证．请阅读下面的推理过程：    如图①，过点A作DEBC∴∠B=∠EAB，∠C=∠DAC又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°∴∠B+∠BAC+∠C=180°即：三角形三个内角的和为180°．阅读反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC、∠B、∠C“凑”在一起，得出角之间的关系．方法运用：如图②，已知ABDE，求∠B+∠BCD+∠D的度数．（提示：过点C作CFAB）深化拓展：如图③，已知ABCD，点C在点D的右侧，∠ADC=70°，点B在点A的左侧，∠ABC=60°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在的直线交于点E，且点E在AB与CD两条平行线之间，求∠BED的度数．【答案】方法运用：360°；深度拓展：65°【分析】方法运用：过C作CF∥AB，根据平行线的性质得到∠D＝∠FCD，∠B＝∠BCF，然后根据已知条件即可得到结论；深化拓展：过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，再利用角平分线的定义和等量代换即可求∠BED的度数．【详解】方法运用：解：过点C作CF∥AB ∴∠B=∠BCF  ∵CF∥AB且AB∥DE∴CF∥DE   ∴∠D=∠DCF∵∠BCD+∠BCF+∠DCF=360°∴∠B+∠BCD+∠D=360° 深化拓展：过点E作EF∥AB ∴ ∠BEF=∠ABE  又∵BE平分∠ABC，∠ABC=60°∴∠BEF=∠ABE=∠ABC=30°∵EF∥AB，AB∥CD∴EF∥CD∴∠DEF=∠EDC   又∵DE平分∠ADC，∠ADC=70°∴∠DEF=∠EDC=∠ADC=35°∴∠BED=∠BEF+∠DEF=30°+35°=65°【点睛】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，能够作出平行线是解题的关键．