2021年山东省济宁市中考数学三模试卷

这是一份2021年山东省济宁市中考数学三模试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年山东省济宁市中考数学三模试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．（3分）下列运算结果是a4的是（　　）
A．﹣2a6÷（﹣2a2） B．a2+a2
C．（﹣2a）2 D．﹣（a2）2
2．（3分）2020年1～7月份安徽实现进出口392.5亿美元，将392.5亿用科学记数法表示为（　　）
A．3.925×108 B．3.925×109 C．3.925×1010 D．39.25×1010
3．（3分）有一组数据2，5，3，7，2，6，3，则下列结论错误的是（　　）
A．平均数为4 B．中位数为3 C．极差为5 D．众数为2
4．（3分）已知二元一次方程组，则m+n的值是（　　）
A．1 B．0 C．﹣2 D．﹣1
5．（3分）如图，直线l∥m，等腰Rt△ABC，直角顶点C在直线l上，另一个顶点B在直线m上，若∠1＝28°，则∠2＝（　　）

A．17° B．62° C．73° D．75°
6．（3分）根据如图所示的计算程序计算函数y的值，若输入m＝﹣1，n＝2时，则输出y的值是3，若输入m＝4，n＝3时，则输出y的值是（　　）

A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．13
7．（3分）小宏用直角三角板检查某些工件的弧形凹面是否是半圆，下列工件的弧形凹面一定是半圆的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
9．（3分）如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝的图象上，第二象限内的点B在反比例函数y＝的图象上，且OA⊥OB，cosA＝，则k的值为（　　）

A．﹣3 B．﹣4 C．﹣ D．﹣2
10．（3分）欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程x2+ax＝b2的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程x2+x﹣1＝0的一个正根．如图，一张边长为1的正方形的纸片ABCD，先折出AD、BC的中点G、H，再折出线段AN，然后通过沿线段AN折叠使AD落在线段AH上，得到点D的新位置P，并连接NP、NH，此时，在下列四个选项中，有一条线段的长度恰好是方程x2+x﹣1＝0的一个正根，则这条线段是（　　）

A．线段BH B．线段DN C．线段CN D．线段NH
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（3分）把多项式16m3﹣mn2分解因式的结果是　 　．
12．（3分）如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置，AB＝2，AD＝4，则阴影部分的面积为　 　．

13．（3分）若关于x的方程+＝2的解为正数，则m的取值范围是　 　．
14．（3分）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ABC＝　 　．

15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点E处，连接DE交AB于点F，连接BE，当△DEB是直角三角形时，DE的长为　 　．

三、解答题：本大题共7小题，共55分．
16．（6分）计算：﹣14﹣|﹣1|+（﹣1.414）0+2sin60°﹣（﹣）﹣1
17．（6分）某校七年级有学生400人，为了解这个年级普及安全教育的情况，随机抽取了20名学生，进行安全教育考试，测试成绩（百分制）如下：
71，94，87，92，55，94，98，78，86，94
62，99，94，51，88，97，94，98，85，91
（1）请补全七年级20名学生安全教育测试成绩频数分布直方图；
（说明；成绩90分及以上为优秀，80～89为良好，80分以下为不合格）
（2）样本数据的平均数、中位数、众数、优秀率如表所示，请补充完整：
年级
平均数
中位数
众数
优秀率
七年级
85.4
　 　
　 　
55%
（3）估计七年级成绩优秀的学生人数约为　 　人．
（4）学校有安全教育老师男女各2名，现从这4名老师中随机挑选2名参加“安全教育”宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．

18．（7分）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点A出发，沿A→D→C→B的路径运动．设点P运动的路程为x，△PAB的面积为y．图2反映的是点P在A→D→C运动过程中，y与x的函数关系．请根据图象回答以下问题：
（1）矩形ABCD的边AD＝　 　，AB＝　 　；
（2）写出点P在C→B运动过程中y与x的函数关系式，并在图2中补全函数图象．

19．（8分）如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD、小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，然后沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度i＝1：，（斜坡的铅直高度与水平宽度的比），经过测量AB＝10米，AE＝15米，
（1）求点B到地面的距离；
（2）求这块宣传牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果保留根号）

20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，点D作DH⊥AC于点H．
（1）判断DH与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）当cosC＝，BC＝10时，求的值．

21．（9分）[问题引入]（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD两边上的点，且AE⊥BF，垂足为点P．求证：AE＝BF；
[类比探究]（2）如图2，把（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，且AD＝2AB，其余条件不变，请你推断AE、BF满足怎样的数量关系，并说明你的理由；
[实践应用]（3）如图3，Rt△ABC中，∠BAC＝30°，把△ABC沿斜边AC对折得到Rt△ADC，E、F分别为CD、AD边上的点，连接AE、BF，恰好使得AE⊥BF，垂足为点P．请求出的值．

22．（11分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0）、B两点，与y轴交于点C，AB＝4，点D为抛物线顶点．
（1）求抛物线解析式；
（2）点E在此抛物线的对称轴上，当|BE﹣CE|最大时，求E点的坐标和此时△AEC的面积．
（3）证明：∠BAD＝∠ACB．


2021年山东省济宁市中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．（3分）下列运算结果是a4的是（　　）
A．﹣2a6÷（﹣2a2） B．a2+a2
C．（﹣2a）2 D．﹣（a2）2
【分析】分别根据同底数幂的除法法则，合并同类项法则，积的乘方运算法则以及幂的乘方运算法则逐一判断即可．
【解答】解：A、﹣2a6÷（﹣2a2）＝a4，故本选项符合题意；
B、a2+a2＝2a2，故本选项不符合题意；
C、（﹣2a）2＝4a2，故本选项不符合题意；
D、﹣（a2）2＝﹣a4，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．（3分）2020年1～7月份安徽实现进出口392.5亿美元，将392.5亿用科学记数法表示为（　　）
A．3.925×108 B．3.925×109 C．3.925×1010 D．39.25×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：392.5亿＝39250000000＝3.925×109．
故选：B．
3．（3分）有一组数据2，5，3，7，2，6，3，则下列结论错误的是（　　）
A．平均数为4 B．中位数为3 C．极差为5 D．众数为2
【分析】利用算术平均数的计算公式求得平均数，排序后找到中间位置的数是中位数，最大值与最小值的差为极差，出现次数最多的数为众数分别求得答案后即可．
【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，2，3，3，5，6，7，
则中位数为：3，
众数为：2和3，
平均数为：＝4，
极差为：7﹣2＝5．
故选：D．
4．（3分）已知二元一次方程组，则m+n的值是（　　）
A．1 B．0 C．﹣2 D．﹣1
【分析】此题求的是m+n的值，根据方程组可以解出m，n的值，进一步求得m+n的值或两个方程相减整体求得m+n的值．
【解答】解：由，
两个方程相减，得
﹣m﹣n＝1，
∴m+n＝﹣1．
故选：D．
5．（3分）如图，直线l∥m，等腰Rt△ABC，直角顶点C在直线l上，另一个顶点B在直线m上，若∠1＝28°，则∠2＝（　　）

A．17° B．62° C．73° D．75°
【分析】根据等腰直角三角形的性质以及平行线的性质求解即可．
【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∴∠EBC＝∠A+∠ABC＝73°，
∵l∥m，
∴∠2＝∠EBC＝73°，
故选：C．

6．（3分）根据如图所示的计算程序计算函数y的值，若输入m＝﹣1，n＝2时，则输出y的值是3，若输入m＝4，n＝3时，则输出y的值是（　　）

A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．13
【分析】将m＝﹣1，n＝2，y＝3代入y＝中求出b＝7，再将m＝4，n＝3代入y＝2n﹣b中即可求解．
【解答】解：∵输入m＝﹣1，n＝2时，输出y的值是3，
∴＝3，
解得b＝7，
∵m＝4，n＝3，
∴y＝2n﹣b＝2×3﹣7＝﹣1．
故选：B．
7．（3分）小宏用直角三角板检查某些工件的弧形凹面是否是半圆，下列工件的弧形凹面一定是半圆的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据90°的圆周角所对的弧是半圆，从而得到答案．
【解答】解：根据90°的圆周角所对的弧是半圆，显然A正确，
故选：A．
8．（3分）如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据三角形的中位线定理推出DE∥BC，利用平行线分线段成比例定理即可一一判断．
【解答】解：∵AD＝DB，AE＝EC，
∴DE∥BC，DE：BC＝1：2，
∴＝＝，故①③正确，
设S△DOE＝S，则S△EOC＝2S，S△BOC＝4s，
∴＝，故②错误，
∵DE∥BC，
∴＝1，故④错误，
故选：B．

9．（3分）如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝的图象上，第二象限内的点B在反比例函数y＝的图象上，且OA⊥OB，cosA＝，则k的值为（　　）

A．﹣3 B．﹣4 C．﹣ D．﹣2
【分析】过A作AE⊥x轴，过B作BF⊥x轴，由OA与OB垂直，再利用邻补角定义得到一对角互余，再由直角三角形BOF中的两锐角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，又一对直角相等，利用两对对应角相等的三角形相似得到三角形BOF与三角形OEA相似，在直角三角形AOB中，由锐角三角函数定义，根据cos∠BAO的值，设出AB与OA，利用勾股定理表示出OB，求出OB与OA的比值，即为相似比，根据面积之比等于相似比的平方，求出两三角形面积之比，由A在反比例函数y＝上，利用反比例函数比例系数的几何意义求出三角形AOE的面积，进而确定出BOF的面积，再利用k的集合意义即可求出k的值．
【解答】解：过A作AE⊥x轴，过B作BF⊥x轴，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∴∠BOF+∠EOA＝90°，
∵∠BOF+∠FBO＝90°，
∴∠EOA＝∠FBO，
∵∠BFO＝∠OEA＝90°，
∴△BFO∽△OEA，
在Rt△AOB中，cos∠BAO＝＝，
设AB＝，则OA＝1，根据勾股定理得：BO＝，
∴OB：OA＝：1，
∴S△BFO：S△OEA＝2：1，
∵A在反比例函数y＝上，
∴S△OEA＝1，
∴S△BFO＝2，
则k＝﹣4．
故选：B．

10．（3分）欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程x2+ax＝b2的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程x2+x﹣1＝0的一个正根．如图，一张边长为1的正方形的纸片ABCD，先折出AD、BC的中点G、H，再折出线段AN，然后通过沿线段AN折叠使AD落在线段AH上，得到点D的新位置P，并连接NP、NH，此时，在下列四个选项中，有一条线段的长度恰好是方程x2+x﹣1＝0的一个正根，则这条线段是（　　）

A．线段BH B．线段DN C．线段CN D．线段NH
【分析】首先根据方程x2+x﹣1＝0解出正根为，再判断这个数值和题目中的哪条线段接近．线段BH＝0.5排除，其余三条线段可以通过设未知数找到等量关系．利用正方形的面积等于图中各个三角形的面积和，列等量关系．设DN＝m，则NC＝1﹣m，从而可以用m表示等式．
【解答】解：设DN＝m，则NC＝1﹣m．
由题意可知：△ADN≌△APN，H是BC的中点，
∴DN＝NP＝m，CH＝0.5．
∵S正方形＝S△ABH+S△ADN+S△CHN+SANH，
∴1×1＝×1×+×1×m+××（1﹣m）+×1×m，
∴m＝．
∵x2+x﹣1＝0的解为x1，2＝﹣±，
∴取正值为x＝．
∴这条线段是线段DN．
故选：B．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（3分）把多项式16m3﹣mn2分解因式的结果是　m（4m+n）（4m﹣n）　．
【分析】先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可．
【解答】解：原式＝m（16m2﹣n2）
＝m（4m+n）（4m﹣n）．
故答案为：m（4m+n）（4m﹣n）．
12．（3分）如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置，AB＝2，AD＝4，则阴影部分的面积为　π﹣2　．

【分析】先求出CE＝2CD，求出∠DEC＝30°，求出∠DCE＝60°，DE＝2，分别求出扇形CEB′和三角形CDE的面积，即可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝4，CD＝AB＝2，∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴CE＝BC＝4，
∴CE＝2CD，
∴∠DEC＝30°，
∴∠DCE＝60°，
由勾股定理得：DE＝2，
∴阴影部分的面积是S＝S扇形CEB′﹣S△CDE＝﹣×2×2＝，
故答案为：．
13．（3分）若关于x的方程+＝2的解为正数，则m的取值范围是　m＜6且m≠0　．
【分析】首先解方程求得方程的解，根据方程的解是正数，即可得到一个关于m的不等式，从而求得m的范围．
【解答】解：∵关于x的方程+＝2有解，
∴x﹣2≠0，
∴x≠2，
去分母得：2﹣x﹣m＝2（x﹣﹣2），
即x＝2﹣，
根据题意得：2﹣＞0且2﹣≠2，
解得：m＜6且m≠0．
故答案是：m＜6且m≠0．
14．（3分）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ABC＝　　．

【分析】根据正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA，利用网格计算即可．
【解答】解：tan∠ABC＝＝，
故答案为：．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点E处，连接DE交AB于点F，连接BE，当△DEB是直角三角形时，DE的长为　或3　．

【分析】点E与点F重合时．在Rt△ABC中，由勾股定理可求得BC＝4，由翻折的性质可知：AE＝AC＝3、DC＝DE．则EB＝2．设DC＝ED＝x，则BD＝4﹣x．在Rt△DBE中，依据勾股定理列方程求解即可；当∠EDB＝90°时．由翻折的性质可知：AC＝AE，∠C＝∠AED＝90°，然后证明四边形ACDE为正方形，从而求得DE＝3．
【解答】解：如图1所示；点E与点F重合时．

在Rt△ABC中，BC＝＝4．
由翻折的性质可知；AE＝AC＝3、DC＝DE．则EB＝2．
设DC＝ED＝x，则BD＝4﹣x．
在Rt△DBE中，DE2+BE2＝DB2，即x2+22＝（4﹣x）2．
解得：x＝．
∴DE＝．
如图2所示：∠EDB＝90°时．

由翻折的性质可知：AC＝AE，∠C＝∠AED＝90°．
∵∠C＝∠AED＝∠CDE＝90°，
∴四边形ACDE为矩形．
又∵AC＝AE，
∴四边形ACDE为正方形．
∴DE＝3．
点D在CB上运动，∠DBE＜90°，（假设∠DBE≥90°，则AE≥BD，这个显然不可能，故∠DBE＜90°），
故∠DBE不可能为直角．
故答案为：或3．
三、解答题：本大题共7小题，共55分．
16．（6分）计算：﹣14﹣|﹣1|+（﹣1.414）0+2sin60°﹣（﹣）﹣1
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质和特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1﹣（﹣1）+1+2×+2
＝﹣1﹣+1+1++2
＝3．
17．（6分）某校七年级有学生400人，为了解这个年级普及安全教育的情况，随机抽取了20名学生，进行安全教育考试，测试成绩（百分制）如下：
71，94，87，92，55，94，98，78，86，94
62，99，94，51，88，97，94，98，85，91
（1）请补全七年级20名学生安全教育测试成绩频数分布直方图；
（说明；成绩90分及以上为优秀，80～89为良好，80分以下为不合格）
（2）样本数据的平均数、中位数、众数、优秀率如表所示，请补充完整：
年级
平均数
中位数
众数
优秀率
七年级
85.4
　91.5　
　94　
55%
（3）估计七年级成绩优秀的学生人数约为　220　人．
（4）学校有安全教育老师男女各2名，现从这4名老师中随机挑选2名参加“安全教育”宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．

【分析】（1）将题干所提供的数据从小到大重新排列，再确定各组人数，从而补全图形；
（2）结合以上所整理的数据，根据中位数和众数的定义求解即可；
（3）用总人数乘以样本的优秀率即可；
（4）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）将这组数据重新排列为：
51，55，62，71，78，85，86，87，88，91，
92，94，94，94，94，94，97，98，98，99，
∴59.5～69.5的人数为1，79.5～89.5的人数为4人，89.5～100的人数为11人，
补全图形如下：

（2）这组数据的中位数为＝91.5（分），众数为94分，
故答案为：91.5，94；
（3）估计七年级成绩优秀的学生人数约为400×55%＝220（人），
故答案为：220；
（4）列表如下：

男
男
女
女
男

（男，男）
（女，男）
（女，男）
男
（男，男）

（女，男）
（女，男）
女
（男，女）
（男，女）

（女，女）
女
（男，女）
（男，女）
（女，女）

得到所有等可能的情况有12种，其中恰好抽中一男一女的情况有8种，
所以恰好选中“1男1女”的概率为＝．
18．（7分）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点A出发，沿A→D→C→B的路径运动．设点P运动的路程为x，△PAB的面积为y．图2反映的是点P在A→D→C运动过程中，y与x的函数关系．请根据图象回答以下问题：
（1）矩形ABCD的边AD＝　2　，AB＝　4　；
（2）写出点P在C→B运动过程中y与x的函数关系式，并在图2中补全函数图象．

【分析】（1）根据题意，结合图形确定出矩形ABCD的边AD与AB即可；
（2）根据题意表示出PB的长，由AB为底，PB为高，表示出三角形APB面积，确定出y与x的函数关系式，作出相应的图象，如图2所示．
【解答】解：（1）根据题意得：矩形ABCD的边AD＝2，AB＝4；
故答案为：2；4；
（2）当点P在C→B运动过程中，PB＝8﹣x，
∴y＝S△APB＝×4×（8﹣x），即y＝﹣2x+16（6≤x≤8），
正确作出图象，如图所示：

19．（8分）如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD、小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，然后沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度i＝1：，（斜坡的铅直高度与水平宽度的比），经过测量AB＝10米，AE＝15米，
（1）求点B到地面的距离；
（2）求这块宣传牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果保留根号）

【分析】（1）过B分别作AE、DE的垂线，设垂足为F、G．分别在Rt△ABF和Rt△ADE中，通过解直角三角形求出BF、AF、DE的长；
（2）可求出EF即BG的长；在Rt△CBG中，∠CBG＝45°，则CG＝BG，由此可求出CG的长；根据CD＝CG+GE﹣DE即可求出宣传牌的高度．
【解答】解：（1）过B作BF⊥AE，交EA的延长线于F，作BG⊥DE于G．
Rt△ABF中，i＝tan∠BAF＝＝，
∴∠BAF＝30°，
∴BF＝AB＝5m，AF＝5m，
答：点B到地面的距离为5m；

（2）由（1）得：BG＝AF+AE＝（5+15）m．
Rt△BGC中，∠CBG＝45°，
∴CG＝BG＝（5+15）m，
Rt△ADE中，∠DAE＝60°，AE＝15m，
∴DE＝AE＝15m，
∴CD＝CG+GE﹣DE＝5+15+5﹣15＝（20﹣10）m．
答：宣传牌CD高为（20﹣10）米．

20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，点D作DH⊥AC于点H．
（1）判断DH与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）当cosC＝，BC＝10时，求的值．

【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质证得∠ODB＝∠C，由平行线的判定得到OD∥AC，再由平行线的性质得到∠ODH＝∠DHC＝90°，根据切线的判定定理可判断DH为⊙O的切线；
（2）连接BE，AD，由圆周角定理得到∠AEB＝90°，在Rt△BEC中，根据三角函数的定义求出CE＝2，由圆周角定理结合等腰三角形的性质求出DC＝5，在Rt△ADC中，根据三角函数的定义求出AC＝AB＝5，进而求出AE＝3，把数值代入即可求出结果．
【解答】解：（1）DH与⊙O相切，理由如下：
连接OD．
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠ABD＝∠C，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
又∵DH⊥AC，
∴∠DHC＝90°，
∴∠ODH＝∠DHC＝90°，
∴OD⊥DH，
又∵OD是⊙O的半径，
∴DH与⊙O相切；

（2）连接BE，AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BEC＝180°﹣∠AEB＝90°，
在Rt△BEC中，cos∠C＝＝，
又∵BC＝10，
∴CE＝2，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
又∵AB＝AC，
∴DC＝BC＝5（三线合一），
在Rt△ADC中，
∵cos∠C＝＝，
∴AC＝5，
∴AB＝5，
∴AE＝AC﹣CE＝3，
∴＝＝．

21．（9分）[问题引入]（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD两边上的点，且AE⊥BF，垂足为点P．求证：AE＝BF；
[类比探究]（2）如图2，把（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，且AD＝2AB，其余条件不变，请你推断AE、BF满足怎样的数量关系，并说明你的理由；
[实践应用]（3）如图3，Rt△ABC中，∠BAC＝30°，把△ABC沿斜边AC对折得到Rt△ADC，E、F分别为CD、AD边上的点，连接AE、BF，恰好使得AE⊥BF，垂足为点P．请求出的值．

【分析】[问题引入]（1）由“ASA”可证△ABE≌△BCF，可得AE＝BF；
[类比探究]（2）通过证明△ABE∽△BCF，可得＝2，可得BF＝2AE；
[实践应用]（3）过点B作BH⊥AD于H，连接BD，可证△ABD是等边三角形，可得，通过证明△ADE∽△BHF，可得＝＝．
【解答】证明：[问题引入]（1）∵正方形ABCD，
∴∠ABC＝∠C，AB＝BC，
∵AE⊥BF，
∴∠APB＝∠BAP+∠ABP＝90°，
∵∠ABP+∠CBF＝90°，
∴∠BAP＝∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴AE＝BF；
（2）BF＝2AE，
理由如下：∵矩形ABCD，
∴∠ABC＝∠C，AD＝BC＝2AB，
∵AE⊥BF，
∴∠APB＝∠BAP+∠ABP＝90°，
∵∠ABP+∠CBF＝90°，
∴∠BAP＝∠CBF，且∠ABE＝∠BCF＝90°，
∴△ABE∽△BCF，
∴＝2，
∴BF＝2AE；
（3）如图3，过点B作BH⊥AD于H，连接BD，

∵把△ABC沿斜边AC对折得到Rt△ADC，
∴AD＝AB，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DAC＝∠BAC＝30°，
∴∠DAB＝60°，
∴△ABD是等边三角形，且BH⊥AD，
∴AD＝AB＝2AH，BH＝AH，
∴，
∵∠ADC+∠EPF+∠DEA+∠DFB＝360°，
∴∠DEA+∠DFB＝180°，且∠DFB+∠BFA＝180°，
∴∠DEA＝∠BFH，
∵∠BHF＝∠ADE＝90°，
∴△ADE∽△BHF，
∴＝＝
22．（11分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0）、B两点，与y轴交于点C，AB＝4，点D为抛物线顶点．
（1）求抛物线解析式；
（2）点E在此抛物线的对称轴上，当|BE﹣CE|最大时，求E点的坐标和此时△AEC的面积．
（3）证明：∠BAD＝∠ACB．

【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）当|BE﹣CE|最大时，B、C、E在同一直线上，根据抛物线的解析式求得点C的坐标，用待定系数法求得直线BC的解析式，再求得点E的坐标，利用S△AEC＝S△ABE﹣S△ABC可求得△AEC的面积．
（3）设对称轴与x轴交于点M，过点A作AN⊥BC于N，根据点A、B、C、M的坐标，求得线段AM、AO、OC、BO及DM的长，再按照锐角三角函数的定义计算出tan∠ADM＝2，tan∠ACN＝2，则可得结论．
【解答】解：（1）∵y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）、B两点，且AB＝4，
∴对称轴为直线x＝﹣1，点B（1，0），
则，解得，
∴抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）当|BE﹣CE|最大时，B、C、E在同一直线上，

由（1）知，抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3，
抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，B（1，0），
设E（﹣1，m），令x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
设直线BC的解析式为y＝kx﹣3，
∴0＝k﹣3，则k＝3，
∴直线BC的解析式为y＝3x﹣3，
当x＝﹣1时，y＝﹣3﹣3＝﹣6，
∴点E的坐标为（﹣1，﹣6），
∴．
故答案为：（﹣1，﹣6），6．
（3）抛物线y＝x2+2x﹣3的顶点坐标为D（﹣1，﹣4），
设对称轴与x轴交于点M，过点A作AN⊥BC于N，如图：

∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3），M（﹣1，0），
∴AM＝2，AO＝OC＝3，BO＝1，DM＝4，
∴，，
∴tan∠ADM＝＝＝2，
∵，
∴，
在Rt△ANC中，，
∴，
∴∠BAD＝∠ACB．