【讲义】五年级 奥数《举一反三》 选讲3 分数的拆分

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单位分数: 分子为1、分母为自然数的分数叫单位分数。
分数的分拆：把一个分数分拆成几个分数相加的和，叫做分数的分拆
2．解题方法与技巧。
（1）把单位分数拆分成单位分数相加的和
方法一：先扩分：同剩以分母的约数的和
再拆分：拆分成约数作分子的分数。
后约分：约分成最简分数
方法二：分子、分母同剩以大于分母，小于分母两倍的自然树
（2）把真分数分拆成单位分数相加的和。
把一个真分数拆成两个单位分数相加的和，先给要分拆的分数分子和分母同剩以分母除以分子的整数商加1的和，再给分子加上分母，要使分数大小不变，同时应减去这个数，然后再分拆并约分。
（3）把假分数分拆成单位分数相加的和
方法：先把这个假分数分拆成真分数，再按真分数的分拆方法去分。
例题一
在 QUOTE \* MERGEFORMAT 的括号里填入适当的自然数，使等式成立。
分析一： 从式子的左边往右边看，是分数的分拆；才有便往左边看，则是分数的加法，可见分数的分析与分数的加法过程刚好相反。分数加法主要步骤是通分、合并、约分，因此分数的分拆可按先扩分，再拆分，最后约分的步骤来做。
分析二：根据把单位分数分拆成单位分数相加的和的方法二：分子、分母同剩以大于分母8，小于分母8的2倍（16）的自然数分别求解。
解析一：8的约数有1、2、4、8。
= 1 \* GB3 ① QUOTE \* MERGEFORMAT
= 2 \* GB3 ② QUOTE \* MERGEFORMAT
= 3 \* GB3 ③ QUOTE \* MERGEFORMAT
= 4 \* GB3 ④ QUOTE \* MERGEFORMAT
= 5 \* GB3 ⑤ QUOTE \* MERGEFORMAT
= 6 \* GB3 ⑥ QUOTE \* MERGEFORMAT
以上六种分析方法，其中 = 1 \* GB3 ①、 = 4 \* GB3 ④、 = 6 \* GB3 ⑥相同， = 2 \* GB3 ②和 = 5 \* GB3 ⑤相同。
如果两个约数相同时，可以得到 QUOTE \* MERGEFORMAT ，共有四组解。
解法二： QUOTE \* MERGEFORMAT (像解法二这样的拆分方法不止一种．同学们，你们愿意研究吗？)
练习一
将下列各分数写成两个单位分数：
1. QUOTE \* MERGEFORMAT 2. QUOTE \* MERGEFORMAT
3. QUOTE \* MERGEFORMAT 4. QUOTE \* MERGEFORMAT
5. QUOTE \* MERGEFORMAT 6. QUOTE \* MERGEFORMAT
例题二:
将 QUOTE \* MERGEFORMAT 分拆成三个单位分数之和(任求一解)。
思路导航
分析一：可以先把 QUOTE \* MERGEFORMAT 拆成两个单位分数之和，再拆成三个单位分数之和。
分析二：任取分母10的三个约数之和进行扩分。
解法一：10的约数有1、2、5、10，任取两个约数之和进行扩分，就能得到一种拆分
又 QUOTE \* MERGEFORMAT
所以 QUOTE \* MERGEFORMAT
方法二：任取10的三个约数1、2、5。
练习二： 将下列各分数分拆成三个单位分数之和。
1. QUOTE \* MERGEFORMAT 2. QUOTE \* MERGEFORMAT
3. QUOTE \* MERGEFORMAT 4. QUOTE \* MERGEFORMAT
5. QUOTE \* MERGEFORMAT 6. QUOTE \* MERGEFORMAT
例题三
在下面的括号里面填上适当的数字。
思路导航
根据题意，已知该题是要把 QUOTE \* MERGEFORMAT 分拆成四个单位分数之和。可以先把 QUOTE \* MERGEFORMAT 分拆成两个单位分数之和，再把这两个单位分数分拆成四个单位分数之和；或者可以取8的四个公约数1、2、4、8之和扩分解答。
解: QUOTE \* MERGEFORMAT
又 QUOTE \* MERGEFORMAT
同时 QUOTE \* MERGEFORMAT
所以 QUOTE \* MERGEFORMAT
练习三
在下列等式中的括号填上适当的各不相同的自然数，使等式成立。
QUOTE \* MERGEFORMAT
QUOTE \* MERGEFORMAT
QUOTE \* MERGEFORMAT
QUOTE \* MERGEFORMAT
例题四：
若A，B是自然数，求符合条件 QUOTE \* MERGEFORMAT 的A和B的值（求出两组即可）
思路导航：
分母10的约数1、2、5、10。
解： QUOTE \* MERGEFORMAT
QUOTE \* MERGEFORMAT
练习四
将下列各分数写成两个单位分数之差。
(1) QUOTE \* MERGEFORMAT (2) QUOTE \* MERGEFORMAT
(3) QUOTE \* MERGEFORMAT (4) QUOTE \* MERGEFORMAT
2. 已知a、b都是自然数，且 QUOTE \* MERGEFORMAT ，求a和b的和。
3．已知A、B、C是三个自然数，且 QUOTE \* MERGEFORMAT ，求A、B、C三个数的和。



例题五
计算： QUOTE \* MERGEFORMAT
思路导航
由 QUOTE \* MERGEFORMAT ,知 QUOTE \* MERGEFORMAT
解：原式= QUOTE \* MERGEFORMAT
= QUOTE \* MERGEFORMAT
= QUOTE \* MERGEFORMAT
练习五
计算： QUOTE \* MERGEFORMAT
2、计算： QUOTE \* MERGEFORMAT
3、计算： QUOTE \* MERGEFORMAT