2021年江西省景德镇市乐平市四校中考数学一模试卷

这是一份2021年江西省景德镇市乐平市四校中考数学一模试卷，共30页。试卷主要包含了已知，则x﹣y＝　 　等内容，欢迎下载使用。
2021年江西省景德镇市乐平市四校中考数学一模试卷
一．选择题（每题3分，满分18分）
1．（3分）北京与巴黎的时差为﹣7时（负数表示同一时刻北京晚的时数），如果北京时间为1月24日8时，那么巴黎时间为（　　）
A．1月25日1时 B．1月24日1时
C．1月24日15时 D．1月24日3时
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a•a2＝a2 B．a2+a4＝a8 C．（ab）3＝ab3 D．a3÷a＝a2
4．（3分）不等式组的解集是（　　）
A．﹣1＜x≤2 B．﹣2≤x＜1 C．x＜﹣1或x≥2 D．2≤x＜﹣1
5．（3分）如图，下面哪个条件能判断DE∥BC的是（　　）

A．∠1＝∠2 B．∠4＝∠C C．∠1+∠3＝180° D．∠3+∠C＝180°
6．（3分）为了解某小区“全民健身”活动的开展情况，随机对居住在该小区的40名居民一周的体育锻炼时间进行了统计，结果如表：
锻炼时间（时）
3
4
5
6
7
人数（人）
6
13
14
5
2
这40名居民一周体育锻炼时间的众数和中位数是（　　）
A．14，5 B．14，6 C．5，5 D．5，6
二．填空题（满分18分，每小题3分）
7．（3分）目前世界上能制造的芯片最小工艺水平是5纳米，而我国能制造芯片的最小工艺水平是16纳米，已知1纳米＝10﹣9米，用科学记数法将16纳米表示为　 　米．
8．（3分）中国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，奠定了中国圆周率计算在世界上的领先地位．刘微提出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，由此求得圆周率π的近似值．如图，设半径为r的圆内接正n边形的周长为C，圆的直径为d，当n＝6时，π≈＝＝3，则当n＝12时，π≈＝　 　．（结果精确到0.01，参考数据：sin15°＝cos75°≈0.259，sin75°═cos15°≈0.966）

9．（3分）如图，在正△ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，将△ADE折叠，使点A落在BC边上的点F处，则∠BDF+∠CEF＝　 　．

10．（3分）已知，则x﹣y＝　 　．
11．（3分）设m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为　 　．
12．（3分）如图，在⊙O中，AC为直径，过点O作OD⊥AB于点E，交⊙O于点D，连接BC，若AB＝，ED＝，则BC＝　 　．

三．解答题
13．（1）计算（）﹣1﹣（﹣2020）0﹣+|﹣1|；
（2）先化简，再求值（1+）÷，其中x＝2．
14．如图，AD⊥BC，BD＝CD，点C在AE的垂直平分线上，若AB＝5cm，BD＝3cm，求BE的长．

15．一个不透明袋子中有1个红球，1个绿球和n个白球，这些球除颜色外无其他差别，
（1）当n＝1时，从袋中随机摸出1个球，摸到红球和摸到白球的可能性　 　（填“相同”或“不相同”）；
（2）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回，大量重复该实验，发现摸到绿球的频率稳定于，则n的值是　 　；
（3）在（2）的情况下，如果一次摸出两个球，请用树状图或列表法求摸出的两个球颜色不同的概率．
16．请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
（1）如图1，在▱ABCD中，E是边AD上一点，在边BC上画点F，使CF＝AE；
（2）如图2，△ABC内接于⊙O，D是的中点，画△ABC的中线AE；
（3）如图3，在▱ABCD中，E是边AD上一点，且DE＝DC，画∠BAD的平分线AF；
（4）如图4，BC是⊙O的直径，A是⊙O内一点，画△ABC的高AD．

17．如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E为BC的中点，连接AE，过E作EF⊥AE交CD于点F，连接AF，求AF的长．

18．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点A、B在函数y＝（x＞0）的图象上，顶点C、D在函数y＝（x＞0）的图象上，其中0＜m＜n，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P．已知点B的横坐标为4．
（1）当m＝4，n＝20时，
①点B的坐标为　 　，点D的坐标为　 　，BD的长为　 　．
②若点P的纵坐标为2，求四边形ABCD的面积．
③若点P是BD的中点，请说明四边形ABCD是菱形．
（2）当四边形ABCD为正方形时，直接写出m、n之间的数量关系．

19．我区的数学爱好者申请了一项省级课题﹣﹣《中学学科核心素养理念下渗透数学美育的研究》，为了了解学生对数学美的了解情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，按照“理解、了解、不太了解、不知道”四个类型，课题组绘制了如图两幅不完整的统计图，请根据统计图中提供的信息，回答下列问题：

（1）本次调查共抽取了多少名学生？并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，“理解”所占扇形的圆心角是多少度？
（3）我区七年级大约8000名学生，请估计“理解”和“了解”的共有学生多少名？
20．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段OA表示货车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地的距离y（千米）与时间x（时）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题：
（1）轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离；
（2）求线段CD对应的函数表达式；
（3）在轿车行进过程，轿车行驶多少时间，两车相距15千米．

21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D为BC边上的一个动点，以CD为直径的⊙O交AD于点E，过点C作CF∥AB，交⊙O于点F，连接CE、CF、EF．
（1）当∠CFE＝45°时，求CD的长；
（2）求证：∠BAC＝∠CEF；
（3）是否存在点D，使得△CFE是以EF为腰的等腰三角形，若存在，求出此时CD的长；若不存在，试说明理由．

22．如图，在平面直角坐标系中，▱ABOC的顶点A（0，2），点B（﹣4，0），点O为坐标原点，点C在第一象限，若将△AOB沿x轴向右运动得到△EFG（点A、O、B分别与点E、F、G对应），运动速度为每秒2个单位长度，边EF交OC于点P，边EG交OA于点Q，设运动时间为t（0＜t＜2）秒．
（1）在运动过程中，线段AE的长度为　 　（直接用含t的代数式表示）；
（2）若t＝1，求出四边形OPEQ的面积S；
（3）在运动过程中，是否存在四边形OPEQ为菱形？若存在，直接写出此时四边形OPEQ的面积；若不存在，请说明理由．

23．在平面直角坐标系中，我们定义直线y＝ax﹣a为抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y＝ax2+bx+c与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C，tan∠ABO＝，B（1，0），点A横坐标为﹣2，BC＝4．

（1）求抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；
（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点 A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 E、F的坐标；若不存在，请说明理由．

2021年江西省景德镇市乐平市四校中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（每题3分，满分18分）
1．（3分）北京与巴黎的时差为﹣7时（负数表示同一时刻北京晚的时数），如果北京时间为1月24日8时，那么巴黎时间为（　　）
A．1月25日1时 B．1月24日1时
C．1月24日15时 D．1月24日3时
【分析】由于同一时刻北京比巴黎晚的时数为7时，则巴黎的时间＝北京的时间﹣晚的时数．
【解答】解：由题意得，8﹣7＝1．
则巴黎时间为1月24日1时．
故选：B．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a•a2＝a2 B．a2+a4＝a8 C．（ab）3＝ab3 D．a3÷a＝a2
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项的法则，积的乘方以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【解答】解：a•a2＝a3，故选项A不合题意；
a2与a4不是同类项，所以不能合并，故选项B不合题意；
（ab）3＝a3b3，故选项C不合题意；
a3÷a＝a2，正确，故选项D符合题意．
故选：D．
4．（3分）不等式组的解集是（　　）
A．﹣1＜x≤2 B．﹣2≤x＜1 C．x＜﹣1或x≥2 D．2≤x＜﹣1
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集．
【解答】解：，
由①得，x≤2，
由②得，x＞﹣1，
故此不等式组的解集为：﹣1＜x≤2．
故选：A．
5．（3分）如图，下面哪个条件能判断DE∥BC的是（　　）

A．∠1＝∠2 B．∠4＝∠C C．∠1+∠3＝180° D．∠3+∠C＝180°
【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断即可．
【解答】解：当∠1＝∠2时，EF∥AC；
当∠4＝∠C时，EF∥AC；
当∠1+∠3＝180°时，DE∥BC；
当∠3+∠C＝180°时，EF∥AC；
故选：C．
6．（3分）为了解某小区“全民健身”活动的开展情况，随机对居住在该小区的40名居民一周的体育锻炼时间进行了统计，结果如表：
锻炼时间（时）
3
4
5
6
7
人数（人）
6
13
14
5
2
这40名居民一周体育锻炼时间的众数和中位数是（　　）
A．14，5 B．14，6 C．5，5 D．5，6
【分析】根据中位数、众数的意义，分别求出这组数据的中位数、众数后，再进行选择即可．
【解答】解：一周锻炼5小时出现的次数最多，是14人次，因此众数是5小时；
将这40人的锻炼时间从小到大排列后，处在第20、21位的两个数都是5小时，因此中位数是5小时；
故选：C．
二．填空题（满分18分，每小题3分）
7．（3分）目前世界上能制造的芯片最小工艺水平是5纳米，而我国能制造芯片的最小工艺水平是16纳米，已知1纳米＝10﹣9米，用科学记数法将16纳米表示为　1.6×10﹣8　米．
【分析】由1纳米＝10﹣9米，可得出16纳米＝1.6×10﹣8米，此题得解．
【解答】解：∵1纳米＝10﹣9米，
∴16纳米＝1.6×10﹣8米．
故答案为：1.6×10﹣8．
8．（3分）中国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，奠定了中国圆周率计算在世界上的领先地位．刘微提出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，由此求得圆周率π的近似值．如图，设半径为r的圆内接正n边形的周长为C，圆的直径为d，当n＝6时，π≈＝＝3，则当n＝12时，π≈＝　3.11　．（结果精确到0.01，参考数据：sin15°＝cos75°≈0.259，sin75°═cos15°≈0.966）

【分析】圆的内接正十二边形被半径分成顶角为30°的十二个等腰三角形，作辅助线构造直角三角形，根据中心角的度数以及半径的大小，求得l＝24r•sin15°，d＝2r，进而得到答案．
【解答】解：如图，圆的内接正十二边形被半径分成12个如图所示的等腰三角形，其顶角为30°，即∠AOB＝30°，

作OH⊥AB于点H，则∠AOH＝15°，
∵AO＝BO＝r，
∵Rt△AOH中，sin∠AOH＝，即sin15°＝，
∴AH＝r×sin15°，AB＝2AH＝2r×sin15°，
∴l＝12×2r×sin15°＝24r×sin15°，
又∵d＝2r，
∴π≈．
故答案为：3.11．
9．（3分）如图，在正△ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，将△ADE折叠，使点A落在BC边上的点F处，则∠BDF+∠CEF＝　120°　．

【分析】先由正三角形的性质得∠A＝∠B＝∠C＝60°，再由折叠，得∠DFE＝∠A＝60°，再根据三角形内角和及“一线三等角”可得结论．
【解答】解：∵△ABC为正三角形
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°
∵折叠
∴△ADE≌△FDE
∴∠DFE＝∠A＝60°
∵∠B+∠BDF+∠BFD＝180°，∠DFE+∠BFD+∠CFE＝180°
∴∠BDF+∠BFD＝120°，∠BFD+∠CFE＝120°
∴∠BDF＝∠CFE
∵∠CFE+∠CEF+∠C＝180°
∴∠CFE+∠CEF＝120°
∴∠BDF+∠CEF＝120°
故答案为：120°．
10．（3分）已知，则x﹣y＝　1　．
【分析】方程组两个方程左右两边相减即可求出所求．
【解答】解：，
①﹣②得：x﹣y＝1，
故答案为：1
11．（3分）设m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为　1000　．
【分析】由于m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到m+n＝﹣1，并且m2+m﹣1001＝0，然后把m2+2m+n可以变为m2+m+m+n，把前面的值代入即可求出结果
【解答】解：∵m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，
并且m2+m﹣1001＝0，
∴m2+m＝1001，
∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝1001﹣1＝1000．
故答案为：1000．
12．（3分）如图，在⊙O中，AC为直径，过点O作OD⊥AB于点E，交⊙O于点D，连接BC，若AB＝，ED＝，则BC＝　　．

【分析】设OA＝OD＝r，在Rt△AOE中，根据AO2＝OE2+AE2，构建方程求出r，再利用三角形的中位线定理即可解决问题．
【解答】解：∵OD⊥AB，
∴AE＝EB＝AB＝，
设OA＝OD＝r，
在Rt△AOE中，∵AO2＝OE2+AE2，
∴r2＝（）2+（r﹣）2，
∴r＝，
∴OE＝﹣＝，
∵OA＝OC，AE＝EB，
∴BC＝2OE＝，
故答案为．
三．解答题
13．（1）计算（）﹣1﹣（﹣2020）0﹣+|﹣1|；
（2）先化简，再求值（1+）÷，其中x＝2．
【分析】（1）先根据负整数指数幂、零次幂、算术平方根和绝对值的化简法则化简，再按照实数的加减运算计算即可；
（2）先将原式括号内的部分通分、除法变成乘法同时进行因式分解，再约分化简，然后将x＝2代入计算即可得出答案．
【解答】解：（1）（）﹣1﹣（﹣2020）0﹣+|﹣1|
＝4﹣1﹣2+﹣1
＝；
（2）（1+）÷
＝×
＝，
将x＝2代入可得：原式＝＝﹣．
14．如图，AD⊥BC，BD＝CD，点C在AE的垂直平分线上，若AB＝5cm，BD＝3cm，求BE的长．

【分析】因为AD⊥BC，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上，由垂直平分线的性质得AB＝AC＝CE，即可得到结论．
【解答】解：∵AD⊥BC，BD＝DC，
∴AB＝AC；
又∵点C在AE的垂直平分线上，
∴AC＝EC，
∴AB＝AC＝CE＝5；
∵BD＝CD＝3，
∴BE＝BD+CD+CE＝3+3+5＝11cm．
15．一个不透明袋子中有1个红球，1个绿球和n个白球，这些球除颜色外无其他差别，
（1）当n＝1时，从袋中随机摸出1个球，摸到红球和摸到白球的可能性　相同　（填“相同”或“不相同”）；
（2）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回，大量重复该实验，发现摸到绿球的频率稳定于，则n的值是　2　；
（3）在（2）的情况下，如果一次摸出两个球，请用树状图或列表法求摸出的两个球颜色不同的概率．
【分析】（1）n＝1，袋子中有1个红球、1个绿球和1个白球，则从袋中随机摸出1个球，摸到红球与摸到白球的概率都为；
（2）利用频率估计概率得到摸到红球的概率为0.25，则根据概率公式得到＝0.25，然后解方程即可；
（3）画树状图展示所有可能的结果数，找出两次摸出的球颜色不同的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）当n＝1时，从袋中随机摸出1个球，摸到红球和摸到白球的可能性相同；
故答案为：相同；
（2）利用频率估计概率得到摸到绿球的概率为0.25，
则＝0.25，解得n＝2，
经检验，n＝2是分式方程的根．
故答案为2；
（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的球颜色不同的结果共有10 种，
所以两次摸出的球颜色不同的概率＝＝．
16．请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
（1）如图1，在▱ABCD中，E是边AD上一点，在边BC上画点F，使CF＝AE；
（2）如图2，△ABC内接于⊙O，D是的中点，画△ABC的中线AE；
（3）如图3，在▱ABCD中，E是边AD上一点，且DE＝DC，画∠BAD的平分线AF；
（4）如图4，BC是⊙O的直径，A是⊙O内一点，画△ABC的高AD．

【分析】（1）如图1，连接AC，BD交于点O，作直线OE交BC于F，线段CF即为所求作．
（2）如图2，连接OD交BC于点E，连接AE，线段AE即为所求作．
（3）如图3，连接AC，BD交于点O，作直线OE交BC于F，作射线AF即可．
（4）如图4，延长BA交⊙O于E，延长CA交⊙O于F，连接CE，BF，延长CE交BF的延长线于点T，作直线AT交BC于点D，线段AD即为所求作．
【解答】解：（1）如图1中，线段CF即为所求作．
（2）如图2中，线段AE即为所求作．

（3）如图3中，射线AF即为所求作．
（4）如图4中，线段AD即为所求作．

17．如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E为BC的中点，连接AE，过E作EF⊥AE交CD于点F，连接AF，求AF的长．

【分析】证明△ABE∽△ECF，可得＝，由此求出CF，DF，再利用勾股定理求出AF即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝BC＝8，∠D＝∠C＝∠B＝90°，
∵E为BC的中点，
∴BE＝EC＝4，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∵∠AEB+∠FEC＝90°，∠EAB+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF
∴△ABE∽△ECF，
∴＝，
∴＝，
∴CF＝2，
∴DF＝CD﹣CF＝8﹣2＝6，
∴AF＝＝＝10．

18．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点A、B在函数y＝（x＞0）的图象上，顶点C、D在函数y＝（x＞0）的图象上，其中0＜m＜n，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P．已知点B的横坐标为4．
（1）当m＝4，n＝20时，
①点B的坐标为　（4，1）　，点D的坐标为　（4，5）　，BD的长为　4　．
②若点P的纵坐标为2，求四边形ABCD的面积．
③若点P是BD的中点，请说明四边形ABCD是菱形．
（2）当四边形ABCD为正方形时，直接写出m、n之间的数量关系．

【分析】（1）①用待定系数法即可求解；②四边形ABCD的面积＝AC×BD，即可求解；③证明四边形ABCD为平行四边形，而BD⊥AC，即可证明；
（2）当四边形ABCD为正方形时，设PA＝PB＝PC＝PD＝t（t≠0），求出点A、B的坐标，进而求解．
【解答】解：（1）①当x＝4时，y＝＝1，
∴点B的坐标为（4，1）；
当y＝2时，2＝，解得：x＝2，
∴点A的坐标为（2，2）；
当n＝20时，y＝，当x＝4时，y＝5，故点D（4，5），
BD＝5﹣1＝4，
故答案为（4，1）；（4，5）；4；
②∵BD∥y轴，BD⊥AC，点P的纵坐标为2，
∴A（2，2），C（10，2）．
∴AC＝8，
∴四边形ABCD的面积＝AC×BD＝×8×4＝16；
③四边形ABCD为菱形，理由如下：
由①得：点B的坐标为（4，1），点D的坐标为（4，5），
∵点P为线段BD的中点，
∴点P的坐标为（4，3）．
当y＝3时，3＝，解得：x＝，
∴点A的坐标为（，3）；
当y＝3时，3＝，解得：x＝，
∴点C的坐标为（，3）．
∴PA＝4﹣＝，PC＝﹣4＝，
∴PA＝PC．
∵PB＝PD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
又∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD为菱形；

（2）四边形ABCD能成为正方形．
当四边形ABCD为正方形时，设PA＝PB＝PC＝PD＝t（t≠0）．
当x＝4时，y＝＝，
∴点B的坐标为（4，），
∴点A的坐标为（4﹣t，+t）．
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴（4﹣t）（+t）＝m，化简得：t＝4﹣，
∴点D的纵坐标为+2t＝+2（4﹣）＝8﹣，
∴点D的坐标为（4，8﹣），
∴4×（8﹣）＝n，整理，得：m+n＝32．
即四边形ABCD能成为正方形，此时m+n＝32．
19．我区的数学爱好者申请了一项省级课题﹣﹣《中学学科核心素养理念下渗透数学美育的研究》，为了了解学生对数学美的了解情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，按照“理解、了解、不太了解、不知道”四个类型，课题组绘制了如图两幅不完整的统计图，请根据统计图中提供的信息，回答下列问题：

（1）本次调查共抽取了多少名学生？并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，“理解”所占扇形的圆心角是多少度？
（3）我区七年级大约8000名学生，请估计“理解”和“了解”的共有学生多少名？
【分析】（1）根据统计图中的数据可以求得本次抽取的学生数；补全条形统计图即可；
（2）根据统计图中的数据可以求得“理解”所占扇形的圆心角为×360°＝108°；
（3）由8000×（40%+）＝5600（名）即可．
【解答】解：（1）本次调查共抽取学生为：＝400（名），
∴不太了解的学生为：400﹣120﹣160﹣20＝100（名），
补全条形统计图如下：

（2）“理解”所占扇形的圆心角是：×360°＝108°；
（3）8000×（40%+）＝5600（名），
所以“理解”和“了解”的共有学生5600名．
20．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段OA表示货车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地的距离y（千米）与时间x（时）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题：
（1）轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离；
（2）求线段CD对应的函数表达式；
（3）在轿车行进过程，轿车行驶多少时间，两车相距15千米．

【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以得到货车的速度和轿车到达乙地的时间，然后即可计算出轿车到达乙地时，货车与甲地的距离；
（2）根据函数图象中的数据，可以得到线段CD对应的函数表达式；
（3）根据题意和函数图象中的数据，可以计算出在轿车行进过程，轿车行驶多少时间，两车相距15千米．
【解答】解：（1）由图象可得，
货车的速度为300÷5＝60（千米/小时），
则轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是60×4.5＝270（千米），
即轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是270千米；
（2）设线段CD对应的函数表达式是y＝kx+b，
∵点C（2.5，80），点D（4.5，300），
∴，
解得，
即线段CD对应的函数表达式是y＝110x﹣195（2.5≤x≤4.5）；
（3）当x＝2.5时，两车之间的距离为：60×2.5﹣80＝70，
∵70＞15，
∴在轿车行进过程，两车相距15千米时间是在2.5～4.5之间，
由图象可得，线段OA对应的函数解析式为y＝60x，
则|60x﹣（110x﹣195）|＝15，
解得x1＝3.6，x2＝4.2，
∵轿车比货车晚出发1.5小时，3.6﹣1.5＝2.1（小时），4.2﹣1.5＝2.7（小时），
∴在轿车行进过程，轿车行驶2.1小时或2.7小时，两车相距15千米，
答：在轿车行进过程，轿车行驶2.1小时或2.7小时，两车相距15千米．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D为BC边上的一个动点，以CD为直径的⊙O交AD于点E，过点C作CF∥AB，交⊙O于点F，连接CE、CF、EF．
（1）当∠CFE＝45°时，求CD的长；
（2）求证：∠BAC＝∠CEF；
（3）是否存在点D，使得△CFE是以EF为腰的等腰三角形，若存在，求出此时CD的长；若不存在，试说明理由．

【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠DAC＝∠ADC，则可得出AC＝CD＝6；
（2）由平行线的性质得出∠B＝∠FCB，由圆周角定理可得出答案；
（3）分两种情况：①当EF＝CE时，②当EF＝CF时，由全等三角形的性质及勾股定理可得出答案．
【解答】解：（1）∵∠CFE＝45°，∠CFE＝∠CDE，
∴∠CDE＝45°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DAC＝45°，
∴∠DAC＝∠ADC，
∴AC＝CD＝6；
（2）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠B＝90°，
∵CF∥AB，
∴∠B＝∠FCB，
又∵∠FCB＝∠DEF，
∴∠BAC+∠DEF＝90°，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠CED＝90°，
∴∠DEF+∠CEF＝90°，
∴∠BAC＝∠CEF；
（3）①如图1，当EF＝CE时，则∠EFC＝∠ECF，

∵四边形CEDF为圆内接四边形，
∴∠ADG＝∠ECF，
又∵∠CDE＝∠CFE，
∴∠ADG＝∠CDE，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DFC＝90°，
∵FC∥AB，
∴∠FGA＝90°，
∴∠FGA＝∠ACD，
∵AD＝AD，
∴△AGD≌△ACD（AAS），
∴DG＝CD，
在Rt△BDG中，设CD＝x，
∵BG2+DG2＝BD2，
∴42+x2＝（8﹣x）2，
∴x＝3，
即CD＝3；
②如图2，当EF＝CF时，则∠CEF＝∠ECF，

∵四边形CEDF为圆内接四边形，
∴∠ADG＝∠ECF，
又∵∠CEF＝∠CDF＝∠BDG，
∴∠ADG＝∠BDG，
∵FC∥AB，∠DFC＝90°，
∴∠FGA＝90°，
∴∠FGA＝∠ACD，
∵GD＝GD，
∴△BGD≌△AGD（ASA），
∴BD＝AD，
在Rt△ACD中，设CD＝x，
∵CD2+AC2＝AD2，
∴x2+62＝（8﹣x）2，
∴x＝，
即CD＝；
综合以上可得CD的长为3或．
22．如图，在平面直角坐标系中，▱ABOC的顶点A（0，2），点B（﹣4，0），点O为坐标原点，点C在第一象限，若将△AOB沿x轴向右运动得到△EFG（点A、O、B分别与点E、F、G对应），运动速度为每秒2个单位长度，边EF交OC于点P，边EG交OA于点Q，设运动时间为t（0＜t＜2）秒．
（1）在运动过程中，线段AE的长度为　2t　（直接用含t的代数式表示）；
（2）若t＝1，求出四边形OPEQ的面积S；
（3）在运动过程中，是否存在四边形OPEQ为菱形？若存在，直接写出此时四边形OPEQ的面积；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据题意即可得到结论；
（2）根据平移的性质得到AB∥EG，OA∥EF，推出四边形OPEQ是平行四边形，得到AE＝BG＝2，根据全等三角形的性质得到AQ＝OQ＝OA＝1，于是得到结论；
（3）根据菱形的性质得到EQ＝OQ，根据相似三角形的性质得到AQ＝t，求得OQ＝2﹣t，列方程得到t＝，于是得到结论．
【解答】解：（1）在运动过程中，线段AE的长度为2t，
故答案为：2t；
（2）∵将△AOB沿x轴向右运动得到△EFG，
∴AB∥EG，OA∥EF，
∵四边形ABOC是平行四边形，
∴AB∥OC，
∴EG∥OC，
∵OQ∥PE，
∴四边形OPEQ是平行四边形，
∵A（0，2），点B（﹣4，0），
∴OA＝2，OB＝4，
∵t＝1，
∴AE＝BG＝2，
∴OG＝2，
∵AE＝OG，
∵AC∥OB，
∴∠AEQ＝∠OGQ，∠EAQ＝∠GOQ，
∴△AEQ≌△OGQ（ASA），
∴AQ＝OQ＝OA＝1，
∴四边形OPEQ的面积S＝1×2＝2；
（3）存在，
由（2）知四边形OPEQ是平行四边形，
若四边形OPEQ是菱形，
则EQ＝OQ，
∵AE∥OB，AB∥EG，
∴∠AEQ＝∠ABO＝∠EGO，
∠EAQ＝∠AOB，
∴△QEA∽△ABO，
∴，
∵AE＝2t，
∴＝，
∴AQ＝t，
∴OQ＝2﹣t，
∵QE＝OQ，
∴AE2+AQ2＝OQ2，
∴（2t）2+t2＝（2﹣t）2，
解得：t＝，
∴AE＝﹣1，OQ＝，
∴当t＝时，四边形OPEQ为菱形，
∴四边形OPEQ的面积＝AE•OQ＝3﹣5．

23．在平面直角坐标系中，我们定义直线y＝ax﹣a为抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y＝ax2+bx+c与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C，tan∠ABO＝，B（1，0），点A横坐标为﹣2，BC＝4．

（1）求抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；
（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点 A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 E、F的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由“梦想直线”的定义，用待定系数法即可求解；
（2）当N点在y轴上时，过A作AD⊥y轴于点D，则可知AN＝AC，结合A点坐标，则可求得ON的长，可求得N点坐标；当M点在y轴上即，M点在原点时，过N作NP⊥x轴于点P，由条件可求得∠NMP＝60°，在Rt△NMP中，可求得MP和NP的长，则可求得N点坐标；
（3）当AC为平行四边形的一边时，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，可证△EFH≌△ACK，可求得DF的长，则可求得F点的横坐标，从而可求得F点坐标，由HE的长可求得E点坐标；当AC为平行四边形的对角线时，设E（﹣1，t），由A、C的坐标可表示出AC中点，从而可表示出F点的坐标，代入直线AB的解析式可求得t的值，可求得E、F的坐标．
【解答】解：（1）∵tan∠ABO＝，由直线的表达式知，a＝﹣，
故一次函数的表达式为y＝﹣x+；
当x＝﹣2时，y＝﹣x+＝2，故点A（﹣2，2），
∵点B（1，0），BC＝4，则点C（﹣3，0），则c＝﹣3，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+bx+c
将点A、B的坐标代入上式得，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣x+2；
抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，故抛物线的顶点坐标为：（﹣1，）；

（2）当点N在y轴上时，△AMN为梦想三角形，
如图1，过A作AD⊥y轴于点D，则AD＝2，

由点A、C的坐标知，AC＝＝，
由翻折的性质可知AN＝AC＝，
在Rt△AND中，由勾股定理可得DN＝＝＝3，
由抛物线的表达式知，点D的坐标为（0，2），故OD＝2，
∴ON＝2﹣3或ON＝2+3，
当ON＝2+3时，则MN＞OD＞CM，与MN＝CM矛盾，不合题意，
∴N点坐标为（0，2﹣3）；
当M点在y轴上时，则M与O重合，过N作NP⊥x轴于点P，如图2，

在Rt△AMD中，AD＝2，OD＝2，
∴tan∠DAM＝＝，
∴∠DAM＝60°，
∵AD∥x轴，
∴∠AMC＝∠DAO＝60°，
又由折叠可知∠NMA＝∠AMC＝60°，
∴∠NMP＝60°，且MN＝CM＝3，
∴MP＝MN＝，NP＝MN＝，
∴此时N点坐标为（，）；
综上可知N点坐标为（0，2﹣3）或（，）；

（3）①当AC为平行四边形的边时，如图3，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，

则有AC∥EF且AC＝EF，
∴∠ACK＝∠EFH，
在△ACK和△EFH中，
，
∴△ACK≌△EFH（AAS），
∴FH＝CK＝1，HE＝AK＝2，
∵抛物线对称轴为x＝﹣1，
∴F点的横坐标为0或﹣2，
∵点F在直线AB上，
∴当F点横坐标为0时，则F（0，），此时点E在直线AB下方，
∴E到x轴的距离为EH﹣OF＝2﹣＝，即E点纵坐标为﹣，
∴E（﹣1，﹣）；
当F点的横坐标为﹣2时，则F与A重合，不合题意，舍去；
②当AC为平行四边形的对角线时，
∵C（﹣3，0），且A（﹣2，2），
∴线段AC的中点坐标为（﹣2.5，），
设E（﹣1，t），F（x，y），
则x﹣1＝2×（﹣2.5），y+t＝2，
∴x＝﹣4，y＝2﹣t，
代入直线AB解析式可得2﹣t＝﹣×（﹣4）+，解得t＝﹣，
∴E（﹣1，﹣），F（﹣4，）；
综上可知存在满足条件的点F，此时E（﹣1，﹣）、F（0，）或E（﹣1，﹣）、F（﹣4，）．