2021年高考理科数学实战猜题卷 全国卷版【含答案】

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一、选择题
1.答案：C
解析：因为，所以或，得或.当时，，与互异性矛盾，舍去；当时，集合，满足条件.故选C.
2.答案：B
解析：，所以，因为，所以，故选B.
3.答案：A
解析：是奇函数，，.故选A.
4.答案：A
解析：圆的圆心为，半径等于1，圆的圆心为，半径等于4，所以两圆圆心距为，恰好等于它们的半径之和，所以两个圆外切.故选A.
5.答案：C
解析：由题意，得甲、乙两人买C品牌口罩的概率都是0.3，所以甲、乙两人买相同品牌的口罩的概率为.故选C.
6.答案：B
解析：当时，，当时，
，所以，即，故选B.
7.答案：A
解析：非零向量满足，，由可得，，解得，
，，故选A.
8.答案：C
解析：由题图得，得，最小正周期，，又，，，.又，所以.故选C.
9.答案：C
解析：四个篮球分成三组有种分法，三组篮球进行全排列有种排法，标号1，2的两个篮球分给同一个小朋友有种分法，所以有种分法，故选C.
10.答案：A
解析：在中，，，，所以；同理，，过点作的垂线交于点，连接，因为，故，故平面，且为等腰三角形.因为，故，则的面积为，则三棱锥的体积为.
11.答案：C
解析：由可得，，，，，因为，所以，，，，，求得.故选C.
12.答案：D
解析：，在定义域上单调递增，又，由，得，，令，，则当时，存在的图象在的图象上方的情况.，，又，，实数需满足.故选D.
二、填空题
13.答案：1
解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，由，得，故.作出直线，平移可知，当直线过点时，取得最大值，为1.
14.答案：30
解析：从随机数表第2行第6列的数字开始，从左向右依次选取2个数字，符合题意的前10个编号依次为21，58，37，54，19，23，22，45，55，10，这些数据的中位数为30.
15.答案：16
解析：法一：设等差数列的公差为，则
，，解得，，则.
法二：设等差数列的公差为，，，又，则，得，则.
16.答案：
解析：由题意可知，为等边三角形.如图所示，设外接球的球心为O，等边三角形BCD的中心为，取BD的中点F，连接，由，得，，又，所以平面AFC，且可求得，而，所以，在平面AFC中过点A作CF的垂线，与CF的延长线交于点E，由平面AFC得又，，所以平面BCD，过点O作于点G，则四边形是矩形，又，所以，，，设外接球的半径为，，则由，，得，解得，，故三棱锥外接球的表面积
三、解答题
17.解析：(1)由，得，
，，
，…………………………………………4分
又，，.…………………………………………6分
(2)在中，，，，
，
，…………………………………………9分
在中，由，
得.……………………………………12分
18.解析：(1)因为，为的中点，
所以，且.
连接.因为，所以为等腰直角三角形，
且，.…………………………………………3分
由知.
由，知平面.…………………………………………5分
(2)如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.
由已知得，，，，，.取平面的一个法向量.
设，
则.…………………………………………7分
设平面的法向量为.
由，得
，可取，………………………………………9分
所以.
由已知可得，…………………………………………10分
所以，解得(舍去)，，
所以.
又，所以.
所以与平面所成角的正弦值为.…………………………………………12分
19.解析：(1)
，…………………………………………2分
.…………………………………………4分
(2)由已知可得从全校学生中随机抽取1人，体重在内的概率为0.7.
随机抽取3人，相当于3次独立重复试验，
所以随机变量服从二项分布，………………………………………5分
则，
，
，
，…………………………………………7分
所以的分布列为
数学期望.…………………………………………9分
(3)由题意知近似服从正态分布，
则，
所以可以认为该校学生的体重是正常的. …………………………………………12分
20.解析：(1)当时，，
，.…………………………………………2分
又，曲线在点处的切线方程为，
即.…………………………………………4分
(2)原问题等价于关于的方程有唯一的解时，求的值.
令，则.
令，则，
在上单调递减. …………………………………………6分
又，当时，，即，
在上单调递增；…………………………………………8分
当时，，即，在上单调递减，
的极大值为.…………………………………………10分
当时，；当时，.
又，当关于的方程有唯一的解时，，
即当函数有唯一零点时，的值为1. ……………………………………12分
21.解析：(1)由题意可得，解得，，
故椭圆的标准方程为.…………………………………………3分
(2)显然直线的斜率存在且不为0，设直线，
联立得，得，……………………………5分
则，得，
所以.…………………………………………7分
由，得直线的方程为，
联立得，得，
所以，…………………………………………9分
又，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以面积的最大值为.…………………………………………12分
22.解析：（1）由题意，知，解得，
所以曲线C的极坐标方程为，…………………………………………2分
所以曲线C的直角坐标方程为，即，
所以曲线C的圆心为，其极坐标为.…………………………………………4分
（2）由（1）知直线l的参数方程为，则直线l过点，
即直线l过圆C的圆心，则.
不妨设，，其中，
则，，…………………………………………6分
所以
.………………………………8分
由，知，
所以当，即时，
取得最大值.………………………………………10分
23.解析：（1）函数，……………………………3分
作出的图象如图所示.
…………………………………………5分
（2），即，……………………………7分
又，
当且仅当时取等号，
所以.…………………………………………10分

0
1
2
3
0.027
0.189
0.441
0.343