高中数学必修第一册质量检测（四）

这是一份高中数学必修第一册质量检测（四），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．若函数y＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(－2,2)上仅有一个实数根，则f(－1)·f(1)的值( )
A．大于0B．小于0
C．无法判断D．等于0
[解析] 由题意不能断定零点在区间(－1,1)内部还是外部．
[答案] C
2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝B．y＝2－x
C．y＝D．y＝eq \f(1,x)
[解析] 易知函数y＝2－x，y＝，y＝eq \f(1,x)在区间(0，＋∞)上单调递减，函数y＝在区间(0，＋∞)上单调递增．故选A.
[答案] A
3．若集合M＝{y|y＝2x}，P＝{x|y＝lg2x－1eq \r(3x－2)}，则M∩P＝( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，＋∞)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))∪(1，＋∞)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1))∪(1，＋∞)
[解析] 集合M表示函数y＝2x的值域，为(0，＋∞)；集合P表示函数y＝lg2x－1eq \r(3x－2)的定义域，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－2>0，,2x－1>0，,2x－1≠1，))解得x>eq \f(2,3)且x≠1，故选D.
[答案] D
4．函数f(x)＝ln(x＋1)－eq \f(2,x)的零点所在的大致区间是( )
A．(1,2)B．(0,1)
C．(2，e)D．(3,4)
[解析] f(1)＝ln2－2＝lneq \f(2,e2)f(2)＝ln3－1＝lneq \f(3,e)>ln1＝0，
所以函数f(x)＝ln(x＋1)－eq \f(2,x)的零点所在的大致区间是(1,2)．
[答案] A
5．已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝lnx，则
feq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e2)))))的值为( )
A.eq \f(1,ln2)B．－eq \f(1,ln2)
C．－ln2D．ln2
[解析] ∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e2)))＝lneq \f(1,e2)＝－2，∴feq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e2)))))＝f(－2)＝－f(2)＝－ln2.
[答案] C
6．函数f(x)＝eq \f(4x＋1,2x)的图象( )
A．关于原点对称B．关于直线y＝x对称
C．关于x轴对称D．关于y轴对称
[解析] 易知f(x)的定义域为R，关于原点对称．
∵f(－x)＝eq \f(4－x＋1,2－x)＝eq \f(1＋4x,2x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称．
[答案] D
7．已知a＝lg27，b＝lg38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为( )
A．cC．b[解析] ∵c＝0.30.2<0.30＝1，a＝lg27>lg24＝2,1[答案] A
8．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(21－x，x≤1，,1－lg2x，x>1，))则满足f(x)≤2的x的取值范围是( )
A．[－1,2]B．[0,2]
C．[1，＋∞)D．[0，＋∞)
[解析] f(x)≤2⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤1，,21－x≤2，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>1，,1－lg2x≤2))⇔0≤x≤1，或x>1，故选D.
[答案] D
9．在同一直角坐标系中，函数y＝eq \f(1,ax)，y＝lgaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))(a>0，且a≠1)的图象可能是( )
[解析] 当01时，函数y＝ax的图象过定点(0,1)且单调递增，则函数y＝eq \f(1,ax)的图象过定点(0,1)且单调递减，函数y＝lgaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))的图象过定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))且单调递增，各选项均不符合，综上，选D.
[答案] D
10．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x≥a,－x，xA．(－∞，0)B．(－∞，1)
C．(1，＋∞)D．(0，＋∞)
[解析] 函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x≥a,－x，x若函数f(x)存在零点，则实数a的取值范围是(0，＋∞)，故选D.
[答案] D
11．函数f(x)＝lg2(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2]B．(－∞，4]
C．[－2,4]D．(－4,4]
[解析] 因为f(x)在[2，＋∞)上是增函数，所以y＝x2－ax＋3a在[2，＋∞)上单调递增且恒为正，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a,2)≤2，,22－2a＋3a>0，))即－4[答案] D
12．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋bx＋c，x≤0，,2，x>0，))若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数是( )
A．1B．2
C．3D．4
[解析] 因为f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(16－4b＋c＝c，,4－2b＋c＝－2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝4，,c＝2，))
所以f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋4x＋2，x≤0，,2，x>0.))
当x>0时，方程为x＝2，此时方程f(x)＝x只有1个解；
当x≤0时，方程为x2＋4x＋2＝x，解得x＝－1或x＝－2，此时方程f(x)＝x有2个解，所以方程f(x)＝x共有3个解．
[答案] C
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x1＝3，则下一个有根区间是________．
[解析] 设f(x)＝x3－2x－5，则f(2)<0，f(3)>0，f(4)>0，有f(2)f(3)<0，则下一个有根区间是(2,3)．
[答案] (2,3)
14．若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围为________．
[解析] 函数f(x)的零点的个数就是函数y＝ax与函数y＝x＋a交点的个数，如下图，由函数的图象可知a>1时两函数图象有两个交点，01.
[答案] (1，＋∞)
15.如右图，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数y＝，y＝，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A的纵坐标为2，则点D的坐标为________．
[解析] 由图象可知，点A(xA,2)在函数y＝的图象上，所以2＝lgeq \f(\r(2),2)xA，xA＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))2＝eq \f(1,2).
点B(xB,2)在函数y＝的图象上，所以2＝，xB＝4.
所以点C(4，yC)在函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))x的图象上，
所以yC＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))4＝eq \f(1,4).
又xD＝xA＝eq \f(1,2)，yD＝yC＝eq \f(1,4)，
所以点D的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,4))).
[答案] eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,4)))
16．设0≤x≤2，则函数y＝－3·2x＋5的最小值是________．
[解析] y＝－3·2x＋5＝eq \f(1,2)(2x)2－3·2x＋5.
令t＝2x，x∈[0,2]，则1≤t≤4，
于是y＝eq \f(1,2)t2－3t＋5＝eq \f(1,2)(t－3)2＋eq \f(1,2)，1≤t≤4.
当t＝3时，ymin＝eq \f(1,2).
[答案] eq \f(1,2)
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)计算下列各式的值：

(2)lg3eq \f(\r(4,27),3)＋lg25＋lg4＋7lg72.
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lgax(a>0，且a≠1)，且函数的图象过点(2,1)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(m2－m)<1成立，求实数m的取值范围．
[解] (1)∵函数f(x)的图象过点(2,1)，
∴f(2)＝1，即lga2＝1，解得a＝2，
因此，f(x)＝lg2x(x>0)．
(2)f(m2－m)＝lg2(m2－m)，
∵f(m2－m)<1且1＝lg22，
∴lg2(m2－m)该不等式等价为：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－m>0，,m2－m<2，))
解得－1∴实数m的取值范围为(－1,0)∪(1,2)．
19．(本小题满分12分)定义在R上的偶函数y＝f(x)在(－∞，0]上递增，函数f(x)的一个零点为－eq \f(1,2)，求满足f()≥0的x的取值集合．
[解] ∵－eq \f(1,2)是函数的一个零点，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝0.
∵y＝f(x)在(－∞，0]上递增，f()≥0＝f(－eq \f(1,2))
∴－eq \f(1,2)≤≤0
解得1≤x≤2
又y＝f(x)为偶函数，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝0，且在[0，＋∞)上单调递减，
又f()≥0＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))
∴0≤≤eq \f(1,2)
解得eq \f(1,2)≤x≤1
综上所述，x的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2)).
20．(本小题满分12分)已知f(x)＝＋4，x∈[2,4]．
21．(本小题满分12分)近几年，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响．经研究，发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：小时)间的关系为P＝P0e－kt(P0，k均为非零常数，e为自然对数的底数)，其中P0为t＝0时的污染物数量．若经过5小时过滤后还剩余90%的污染物．
(1)求常数k的值；
(2)试计算污染物减少到40%至少需要多少时间(精确到1小时，参考数据：ln0.2≈－1.61，ln0.3≈－1.20，ln0.4≈－0.92，ln0.5≈－0.69，ln0.9≈－0.11)
[解] (1)由已知，当t＝0时，P＝P0；
当t＝5时，P＝90%P0.
于是有90%P0＝P0e－5k.
解得k＝－eq \f(1,5)ln0.9(或0.022)．
解得t＝eq \f(ln0.4,\f(1,5)ln0.9)≈eq \f(－0.92,\f(1,5)×－0.11)＝eq \f(4.60,0.11)≈41.82.
故污染物减少到40%至少需要42小时．
22．(本小题满分12分)已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，当x∈(0,1)时，f(x)＝eq \f(2x,4x＋1).
(1)求f(x)在(－1,1)上的解析式；
(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性，并说明理由；
(3)求函数f(x)的值域．
[解] (1)当x∈(－1,0)时，－x∈(0,1)．
∵函数f(x)为奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－eq \f(2－x,4－x＋1)＝－eq \f(2x,1＋4x).
又f(0)＝f(－0)＝－f(0)，
∴2f(0)＝0，f(0)＝0.
故当x∈(－1,1)时，f(x)的解析式为
f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2x,4x＋1)，x∈0，1，,0，x＝0，,－\f(2x,4x＋1)，x∈－1，0.))
(3)由(2)知f(x)＝eq \f(2x,4x＋1)在(0,1)上递减，从而由奇函数的对称性知f(x)在(－1,0)上递减．
∴当0当－1当x＝0时，f(x)＝f(0)＝0.
故函数f(x)在(－1,1)上的值域为
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)，\f(1,2)))∪{0}∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(2,5))).