2021高考数学二轮复习专题四跟踪训练1

这是一份2021高考数学二轮复习专题四跟踪训练1，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．(2018·长郡中学摸底)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＋a12－a8＝8，a10－a6＝4，则S23＝( )
A．23 B．96 C．224 D．276
[解析] 设等差数列{an}的公差为d，依题意得a4＋a12－a8＝2a8－a8＝a8＝8，a10－a6＝4d＝4，解得d＝1，所以a8＝a1＋7d＝a1＋7＝8，解得a1＝1，所以S23＝23×1＋eq \f(23×22,2)×1＝276，故选D.
[答案] D
2．已知数列{an}为等比数列，且a1＋1，a3＋4，a5＋7成等差数列，则公差d为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
[解析] 设{an}的公比为q，由题意得2(a3＋4)＝a1＋1＋a5＋7⇒2a3＝a1＋a5⇒2q2＝1＋q4⇒q2＝1，即a1＝a3，d＝a3＋4－(a1＋1)＝4－1＝3，故选B.
[答案] B
3．等比数列{an}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则a9＋a11＋a13＋a15的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．5
[解析] 因为{an}为等比数列，所以a5＋a7是a1＋a3与a9＋a11的等比中项，
所以(a5＋a7)2＝(a1＋a3)(a9＋a11)，
故a9＋a11＝eq \f(a5＋a72,a1＋a3)＝eq \f(42,8)＝2；
同理，a9＋a11是a5＋a7与a13＋a15的等比中项，
所以(a9＋a11)2＝(a5＋a7)(a13＋a15)，故a13＋a15＝eq \f(a9＋a112,a5＋a7)＝eq \f(22,4)＝1.所以a9＋a11＋a13＋a15＝2＋1＝3，故选C.
[答案] C
4．已知等比数列{an}中a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是( )
A．(－∞，－1] B．(－∞，0)∪[1，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
[解析] 因为等比数列{an}中a2＝1，
所以S3＝a1＋a2＋a3＝a2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋q＋\f(1,q)))＝1＋q＋eq \f(1,q).
当公比q>0时，S3＝1＋q＋eq \f(1,q)≥1＋2eq \r(q·\f(1,q))＝3；
当公比q<0时，S3＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－q－\f(1,q)))≤1－2eq \r(－q·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,q))))＝－1，
所以S3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)，故选D.
[答案] D
5．(2018·江西七校联考)等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(38n＋14,2n＋1)(n∈N*)，则eq \f(a6,b7)＝( )
A．16 B.eq \f(242,15) C.eq \f(432,23) D.eq \f(494,27)
[解析] 令Sn＝38n2＋14n，Tn＝2n2＋n，∴a6＝S6－S5＝38×62＋14×6－(38×52＋14×5)＝38×11＋14；b7＝T7－T6＝2×72＋7－(2×62＋6)＝2×13＋1，∴eq \f(a6,b7)＝eq \f(38×11＋14,2×13＋1)＝eq \f(432,27)＝16，故选A.
[答案] A
6．(2018·河南郑州二中期末)已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1＝1，Sn是数列{an}的前n项的和，则eq \f(2Sn＋16,an＋3)(n∈N*)的最小值为( )
A．4 B．3 C．2eq \r(3)－2 D.eq \f(9,2)
[解析] ∵a1＝1，a1、a3、a13成等比数列，
∴(1＋2d)2＝1＋12d.得d＝2或d＝0(舍去)
∴an＝2n－1，
∴Sn＝eq \f(n1＋2n－1,2)＝n2，
∴eq \f(2Sn＋16,an＋3)＝eq \f(2n2＋16,2n＋2).令t＝n＋1，
则eq \f(2Sn＋16,an＋3)＝t＋eq \f(9,t)－2≥6－2＝4当且仅当t＝3，
即n＝2时，∴eq \f(2Sn＋16,an＋3)的最小值为4，故选A.
[答案] A
二、填空题
7．(2018·福建四地六校联考)已知等差数列{an}中，a3＝eq \f(π,4)，则cs(a1＋a2＋a6)＝________.
[解析] ∵在等差数列{an}中，a1＋a2＋a6＝a2＋a3＋a4＝3a3＝eq \f(3,4)π，∴cs(a1＋a2＋a6)＝cseq \f(3,4)π＝－eq \f(\r(2),2).
[答案] －eq \f(\r(2),2)
8．(2018·山西四校联考)若等比数列{an}的前n项和为Sn，且eq \f(S4,S2)＝5，则eq \f(S8,S4)＝________.
[解析] 解法一：设数列{an}的公比为q，由已知得eq \f(S4,S2)＝1＋eq \f(a3＋a4,a1＋a2)＝5，即1＋q2＝5，
所以q2＝4，eq \f(S8,S4)＝1＋eq \f(a5＋a6＋a7＋a8,a1＋a2＋a3＋a4)＝1＋q4＝1＋16＝17.
解法二：由等比数列的性质可知，S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6成等比数列，若设S2＝a，则S4＝5a，
由(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)得S6＝21a，同理得S8＝85a，
所以eq \f(S8,S4)＝eq \f(85a,5a)＝17.
[答案] 17
9．已知数列{xn}各项均为正整数，且满足xn＋1＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(xn,2)，xn为偶数，,xn＋1，xn为奇数，))n∈N*.若x3＋x4＝3，则x1所有可能取值的集合为________．
[解析] 由题意得x3＝1，x4＝2或x3＝2，x4＝1.
当x3＝1时，x2＝2，从而x1＝1或4；
当x3＝2时，x2＝1或4，
因此当x2＝1时，x1＝2，当x2＝4时，x1＝8或3.
综上，x1所有可能取值的集合为{1,2,3,4,8}．
[答案] {1,2,3,4,8}
三、解答题
10．(2018·沈阳市高三第一次质量监测)已知数列{an}是等差数列，满足a1＝2，a4＝8，数列{bn}是等比数列，满足b2＝4，b5＝32.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)求数列{an＋bn}的前n项和Sn.
[解] (1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得d＝eq \f(a4－a1,3)＝2，
所以an＝a1＋(n－1)·d＝2＋(n－1)×2＝2n.
设等比数列{bn}的公比为q，由题意得q3＝eq \f(b5,b2)＝8，解得q＝2.
因为b1＝eq \f(b2,q)＝2，所以bn＝b1·qn－1＝2×2n－1＝2n.
(2)由(1)可得，Sn＝eq \f(n2＋2n,2)＋eq \f(21－2n,1－2)＝n2＋n＋2n＋1－2.
11．(2018·全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并求Sn的最小值．
[解] (1)设{an}的公差为d，由题意得
3a1＋3d＝－15.
由a1＝－7得d＝2.
所以{an}的通项公式为an＝2n－9.
(2)由(1)得Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16.
所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.
12．已知数列{an}和{bn}满足：a1＝λ，an＋1＝eq \f(2,3)an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ为实数，n为正整数．
(1)对任意实数λ，证明数列{an}不是等比数列；
(2)试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论．
[解] (1)证明：假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，则有aeq \\al(2,2)＝a1a3，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)λ－3))2＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,9)λ－4))，故eq \f(4,9)λ2－4λ＋9＝eq \f(4,9)λ2－4λ，即9＝0，这与事实相矛盾．所以对任意实数λ，数列{an}都不是等比数列．
(2)因为bn＋1＝(－1)n＋1[an＋1－3(n＋1)＋21]＝(－1)n＋1·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)an－2n＋14))＝－eq \f(2,3)(－1)n(an－3n＋21)＝－eq \f(2,3)bn，b1＝－(λ＋18)，所以当λ＝－18时，b1＝0(n∈N*)，此时{bn}不是等比数列；
当λ≠－18时，b1＝－(λ＋18)≠0，
则bn≠0，所以eq \f(bn＋1,bn)＝－eq \f(2,3)(n∈N*)．
故当λ≠－18时，数列{bn}是以－(λ＋18)为首项，－eq \f(2,3)为公比的等比数列．