2021高考数学二轮复习专题一第3讲：不等式、线性规划

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考点一 不等式的解法
求解不等式的方法
(1)对于一元二次不等式，应先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．
(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把它们等价转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．
(3)解决含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因，确定好分类标准，有理有据、层次清楚地求解．
[对点训练]
1．(2018·湖南衡阳一模)若a，b，c为实数，且aA．ac2C.eq \f(b,a)>eq \f(a,b) D．a2>ab>b2
[解析] ∵c为实数，∴取c＝0，得ac2＝0，bc2＝0，此时ac2＝bc2，故选项A不正确；eq \f(1,a)－eq \f(1,b)＝eq \f(b－a,ab)，∵a0，ab>0，∴eq \f(b－a,ab)>0，即eq \f(1,a)>eq \f(1,b)，故选项B不正确；∵a0，∴a2>ab，又∵ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2，故选项D正确，故选D.
[答案] D
2．(2018·福建六校联考)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x≤0，,lnx＋1，x>0，))
若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．(－1,2) D．(－2,1)
[解析] 易知f(x)在R上是增函数，∵f(2－x2)>f(x)，∴2－x2>x，解得－2[答案] D
3．(2018·贵阳一模)关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是( )
A．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
B．(1,3)
C．(－1,3)
D．(－∞，1)∪(3，＋∞)
[解析] 关于x的不等式ax－b<0即ax∴不等式(ax＋b)(x－3)>0可化为
(x＋1)(x－3)<0，解得－1∴所求不等式的解集是(－1,3)，故选C.
[答案] C
4．(2018·山西太原一模)当x>1时不等式x＋eq \f(1,x－1)≥a恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，3] B．[3，＋∞)
C．(－∞，2] D．[2，＋∞)
[解析] ∵x>1，∴x＋eq \f(1,x－1)＝x－1＋eq \f(1,x－1)＋1≥2eq \r(x－1×\f(1,x－1))＋1＝3，当且仅当x－1＝eq \f(1,x－1)，即x＝2时等号成立，所以最小值为3，∴a≤3，即实数a的取值范围是(－∞，3]，故选A.
[答案] A
[快速审题] (1)看到有关不等式的命题或结论的判定，想到不等式的性质．
(2)看到解不等式，想到求解不等式的方法步骤．
(1)求解一元二次不等式的3步：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集．
(2)解一元二次不等式恒成立问题的3种方法：①图象法；②分离参数法；③更换主元法．
考点二 基本不等式的应用
1．基本不等式：eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)应用：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．当且仅当a＝b时取等号．
(2)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(3)eq \f(a2＋b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(4)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．
[对点训练]
1．下列结论中正确的是( )
A．lgx＋eq \f(1,lgx)的最小值为2
B.eq \r(x)＋eq \f(1,\r(x))的最小值为2
C.eq \f(sin2x＋4,sin2x)的最小值为4
D．当0[解析] 对于A，lgx可能小于0；对于B，要使函数y＝eq \r(x)＋eq \f(1,\r(x))有意义，则x>0，eq \r(x)＋eq \f(1,\r(x))≥2eq \r(\r(x)·\f(1,\r(x)))＝2，当且仅当eq \r(x)＝eq \f(1,\r(x))，即x＝1时取等号；对于C，当且仅当sin2x＝eq \f(4,sin2x)，即sinx＝2时取等号，但sinx的最大值为1；对于D，x－eq \f(1,x)在(0,2]上为增函数，因此有最大值，故选B.
[答案] B
2．(2018·吉林长春二模)已知x>0，y>0，且x＋y＝2xy，则x＋4y的最小值为( )
A．4 B.eq \f(7,2) C.eq \f(9,2) D．5
[解析] 由x＋y＝2xy得eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝2.由x>0，y>0，x＋4y＝eq \f(1,2)(x＋4y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(1,y)))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋\f(4y,x)＋\f(x,y)))≥eq \f(1,2)(5＋4)＝eq \f(9,2)，当且仅当eq \f(4y,x)＝eq \f(x,y)时等号成立，即x＋4y的最小值为eq \f(9,2)，故选C.
[答案] C
3．(2018·海淀期末)已知正实数a，b满足a＋b＝4，则eq \f(1,a＋1)＋eq \f(1,b＋3)的最小值为________．
[解析] ∵a＋b＝4，∴a＋1＋b＋3＝8，∴eq \f(1,a＋1)＋eq \f(1,b＋3)＝eq \f(1,8)[(a＋1)＋(b＋3)]eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a＋1)＋\f(1,b＋3)))＝eq \f(1,8)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(b＋3,a＋1)＋\f(a＋1,b＋3)))≥eq \f(1,8)(2＋2)＝eq \f(1,2)，当且仅当a＋1＝b＋3，即a＝3，b＝1时取等号，∴eq \f(1,a＋1)＋eq \f(1,b＋3)的最小值为eq \f(1,2).
[答案] eq \f(1,2)
4．(2018·河南洛阳一模)若实数a，b满足eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \r(ab)，则ab的最小值为________．
[解析] 依题意知a>0，b>0，则eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)≥2eq \r(\f(2,ab))＝eq \f(2\r(2),\r(ab))，当且仅当eq \f(1,a)＝eq \f(2,b)，即b＝2a时，“＝”成立．因为eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \r(ab)，所以eq \r(ab)≥eq \f(2\r(2),\r(ab))，即ab≥2eq \r(2)，所以ab的最小值为2eq \r(2).
[答案] 2eq \r(2)
[快速审题] 看到最值问题，想到“积定和最小”，“和定积最大”．
利用基本不等式求函数最值的3个关注点
(1)形式：一般地，分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，特别适合用基本不等式求最值．
(2)条件：利用基本不等式求最值需满足“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．
(3)方法：使用基本不等式时，一般通过“拆、拼、凑”的技巧把求最值的函数或代数式化为ax＋eq \f(b,x)(ab>0)的形式，常用的方法是变量分离法和配凑法．
考点三 线性规划问题
1．线性目标函数z＝ax＋by最值的确定方法
把线性目标函数z＝ax＋by化为y＝－eq \f(a,b)x＋eq \f(z,b)，可知eq \f(z,b)是直线ax＋by＝z在y轴上的截距，要根据b的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值．
2．常见的目标函数类型
(1)截距型：形如z＝ax＋by，可以转化为y＝－eq \f(a,b)x＋eq \f(z,b)，利用直线在y轴上的截距大小确定目标函数的最值；
(2)斜率型：形如z＝eq \f(y－b,x－a)，表示区域内的动点(x，y)与定点(a，b)连线的斜率；
(3)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，表示区域内的动点(x，y)与定点(a，b)的距离的平方；形如z＝|Ax＋By＋C|，表示区域内的动点(x，y)到直线Ax＋By＋C＝0的距离的eq \r(A2＋B2)倍．
[对点训练]
1．(2018·天津卷)设变量x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y≤5，,2x－y≤4，,－x＋y≤1，,y≥0，))则目标函数z＝3x＋5y的最大值为( )
A．6 B．19 C．21 D．45
[解析] 由变量x，y满足的约束条件画出可行域(如图中阴影部分所示)．
作出初始直线l0：3x＋5y＝0，平移直线l0，当直线经过点A(2,3)时，z取最大值，即zmax＝3×2＋5×3＝21，故选C.
[答案] C
2．(2018·广东肇庆二模)已知实数x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y≥0，,y≥x，,y≥－x＋b，))若z＝2x＋y的最小值为3，则实数b＝( )
A.eq \f(9,4) B.eq \f(3,2) C．1 D.eq \f(3,4)
[解析] 作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示．
由z＝2x＋y得y＝－2x＋z，
平移直线y＝－2x，
由图可知当直线y＝－2x＋z经过点A时，直线y＝－2x＋z的纵截距最小，此时z最小，为3，
即2x＋y＝3.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＝3，,y＝2x，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(3,4)，,y＝\f(3,2)，))即Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，\f(3,2)))，
又点A也在直线y＝－x＋b上，即eq \f(3,2)＝－eq \f(3,4)＋b，∴b＝eq \f(9,4)，故选A.
[答案] A
3．(2018·江西九江二模)实数x，y满足线性约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－a≤0，,x＋y－2≥0，,2x－y＋2≥0，))若z＝eq \f(y－1,x＋3)的最大值为1，则z的最小值为( )
A．－eq \f(1,3) B．－eq \f(3,7) C.eq \f(1,3) D．－eq \f(1,5)
[解析] 作出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z＝eq \f(y－1,x＋3)的几何意义是可行域内的点(x，y)与点A(－3,1)两点连线的斜率，当取点B(a,2a＋2)时，z取得最大值1，故eq \f(2a＋2－1,a＋3)＝1，解得a＝2，则C(2,0)．当取点C(2,0)时，z取得最小值，即zmin＝eq \f(0－1,2＋3)＝－eq \f(1,5)，故选D.
[答案] D
4．设x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y≤1，,2x＋y≥－1，,x－y≤0，))则z＝(x＋1)2＋y2的取值范围是________．
[解析]
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＝0，,x＋2y＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,3)，,y＝\f(1,3)，))即Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,3))).
(x＋1)2＋y2的几何意义是区域内的点(x，y)与定点(－1，0)间距离的平方．
由图可知，点(－1,0)到直线AB：2x＋y＋1＝0的距离最
小，为eq \f(|－2＋1|,\r(5))＝eq \f(\r(5),5)，故zmin＝eq \f(1,5)；点(－1,0)到点C的距离最大，故zmax＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)＋1))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2＝eq \f(17,9).所以z＝(x＋1)2＋y2的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,5)，\f(17,9))).
[答案] eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,5)，\f(17,9)))
[快速审题] (1)看到最优解求参数，想到由最值列方程(组)求解．
(2)看到最优解的个数不唯一，想到直线平行；看到形如z＝(x－a)2＋(y－b)2和形如z＝eq \f(y－b,x－a)，想到其几何意义．
(3)看到最优解型的实际应用题，想到线性规划问题，想到确定实际意义．
求目标函数的最值问题的3步骤
(1)画域，根据线性约束条件，画出可行域；
(2)转化，把所求目标函数进行转化，如截距型，即线性目标函数转化为斜截式；如斜率型，即根据两点连线的斜率公式，转化为可行域内的点与某个定点连线的斜率；平方型，即根据两点间距离公式，转化为可行域内的点与某个定点的距离；
(3)求值，结合图形，利用函数的性质，确定最优解，求得目标函数的最值．
1．(2016·全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，－\f(3,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，\f(3,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，3))
[解析] ∵x2－4x＋3<0⇔(x－1)(x－3)<0⇔1∴A＝{x|1∵2x－3>0⇔x>eq \f(3,2)，∴B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x>\f(3,2)))，
∴A∩B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|\f(3,2)[答案] D
2．(2018·北京卷)设集合A＝{(x，y)|x－y≥1，ax＋y>4，x－ay≤2}，则( )
A．对任意实数a，(2,1)∈A
B．对任意实数a，(2,1)∉A
C．当且仅当a<0时，(2,1)∉A
D．当且仅当a≤eq \f(3,2)时，(2,1)∉A
[解析] 若(2,1)∈A，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－1≥1，,2a＋1>4，,2－a≤2，))解得a>eq \f(3,2).结合四个选项，只有D说法正确，故选D.
[答案] D
3．(2018·全国卷Ⅲ)设a＝lg0.20.3，b＝lg20.3，则( )
A．a＋bC．a＋b<0[解析] 解法一：∵a＝lg0.20.3>lg0.21＝0，b＝lg20.3∵0∵eq \f(b,a)＝eq \f(lg20.3,lg0.20.3)＝eq \f(lg0.2,lg2)＝lg20.2，∴b－eq \f(b,a)＝lg20.3－lg20.2＝lg2eq \f(3,2)<1，∴b<1＋eq \f(b,a)⇒ab解法二：易知0∵eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝lg0.30.2＋lg0.32＝lg0.30.4<1，
即eq \f(a＋b,ab)<1，∴a＋b>ab，
∴ab[答案] B
4．(2018·全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y－2≤0，,x－y＋1≥0，,y≤0，))则z＝3x＋2y的最大值为________．
[解析] 由x，y所满足的约束条件画出对应的可行域(如图中阴影部分所示)．
作出初始直线l0：3x＋2y＝0，平移直线l0，当经过点A(2,0)时，z取最大值，即zmax＝3×2＝6.
[答案] 6
5．(2018·天津卷)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋eq \f(1,8b)的最小值为________．
[解析] 由已知，得2a＋eq \f(1,8b)＝2a＋2－3b≥2eq \r(2a·2－3b)＝2eq \r(2a－3b)＝2eq \r(2－6)＝eq \f(1,4)，当且仅当2a＝2－3b时等号成立，
由a＝－3b，a－3b＋6＝0，得a＝－3，b＝1，
故当a＝－3，b＝1时，2a＋eq \f(1,8b)取得最小值eq \f(1,4).
[答案] eq \f(1,4)
1.不等式作为高考命题热点内容之一，多年来命题较稳定，多以选择、填空题的形式进行考查，题目多出现在第5～9或第13～15题的位置上，难度中等，直接考查时主要是简单的线性规划问题，关于不等式性质的应用、不等式的解法以及基本不等式的应用，主要体现在其工具作用上．
2．若不等式与函数、导数、数列等其他知识交汇综合命题，难度较大．
热点课题3 求解不等式中参数范围问题
[感悟体验]
1．(2018·合肥模拟)在区间(1,2)上不等式x2＋mx＋4>0有解，则m的取值范围为( )
A．m>－4 B．m<－4
C．m>－5 D．m<－5
[解析] 记f(x)＝x2＋mx＋4，要使不等式x2＋mx＋4>0在区间(1,2)上有解，需满足f(1)>0或f(2)>0，即m＋5>0或2m＋8>0，解得m>－5，故选C.
[答案] C
2．(2018·海淀模拟)当0A．[－2,0)∪(0,4] B．[－4,0)∪(0,2]
C．[－4,2] D．[－2,4]
[解析] 因为0[答案] D
专题跟踪训练(九)
一、选择题
1．如果aA.eq \f(1,a)C．－ab<－a2 D．－eq \f(1,a)<－eq \f(1,b)
[解析] 解法一(利用不等式性质求解)：由a0，ab>0，故eq \f(1,a)－eq \f(1,b)＝eq \f(b－a,ab)>0，即eq \f(1,a)>eq \f(1,b)，故A项错误；由a0，故ab>b2，故B项错误；由a0，即a2>ab，故－ab>－a2，故C项错误；由a0，故－eq \f(1,a)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,b)))＝eq \f(a－b,ab)<0，即－eq \f(1,a)<－eq \f(1,b)成立，故选D.
解法二(特殊值法)：令a＝－2，b＝－1，则eq \f(1,a)＝－eq \f(1,2)>－1＝eq \f(1,b)，ab＝2>1＝b2，－ab＝－2>－4＝－a2，－eq \f(1,a)＝eq \f(1,2)<1＝－eq \f(1,b).故A，B，C项错误，D正确，故选D.
[答案] D
2．已知a∈R，不等式eq \f(x－3,x＋a)≥1的解集为p，且－2∉p，则a的取值范围为( )
A．(－3，＋∞) B．(－3,2)
C．(－∞，2)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪[2，＋∞)
[解析] ∵－2∉p，∴eq \f(－2－3,－2＋a)<1或－2＋a＝0，解得a≥2或a<－3，故选D.
[答案] D
3．(2018·大连一模)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－4x＋6，x≥0，,x＋6，x<0，))则不等式f(x)>f(1)的解集是( )
A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)
[解析] 由题意得，f(1)＝3，所以f(x)>f(1)＝3，即f(x)>3，
如果x<0，则x＋6>3，可得－3如果x≥0，则x2－4x＋6>3，可得x>3或0≤x<1.
综上，不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)，
故选A.
[答案] A
4．(2018·长春第二次质检)若关于x的不等式ax－b>0的解集是(－∞，－2)，则关于x的不等式eq \f(ax2＋bx,x－1)>0的解集为( )
A．(－2,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，0)∪(1,2)
C．(－∞，－2)∪(0,1) D．(－∞，1)∪(2，＋∞)
[解析] 关于x的不等式ax－b>0的解集是(－∞，－2)，∴a<0，eq \f(b,a)＝－2，∴b＝－2a，∴eq \f(ax2＋bx,x－1)＝eq \f(ax2－2ax,x－1).∵a<0，∴eq \f(x2－2x,x－1)<0，解得x<0或1[答案] B
5．(2018·河南平顶山一模)若对任意x>0，eq \f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，则a的取值范围是( )
A．a≥eq \f(1,5) B．a>eq \f(1,5)
C．a[解析] 因为对任意x>0，eq \f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，
所以对x∈(0，＋∞)，a≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,x2＋3x＋1)))max，
而对x∈(0，＋∞)，eq \f(x,x2＋3x＋1)＝eq \f(1,x＋\f(1,x)＋3)≤eq \f(1,2\r(x·\f(1,x))＋3)＝eq \f(1,5)，
当且仅当x＝eq \f(1,x)时等号成立，∴a≥eq \f(1,5)，故选A.
[答案] A
6．(2018·江西师大附中摸底)若关于x，y的不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤0，,x＋y≥0，,kx－y＋1≥0))表示的平面区域是等腰直角三角形区域，则其表示的区域面积为( )
A.eq \f(1,2)或eq \f(1,4) B.eq \f(1,2)或eq \f(1,8)
C．1或eq \f(1,2) D．1或eq \f(1,4)
[解析] 由不等式组表示的平面区域是等腰直角三角形区域，得k＝0或1，当k＝0时，表示区域的面积为eq \f(1,2)；当k＝1时，表示区域的面积为eq \f(1,4)，故选A.
[答案] A
7．(2018·昆明质检)设变量x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋2≥0，,2x＋3y－6≥0，,3x＋2y－9≤0，))则目标函数z＝2x＋5y的最小值为( )
A．－4 B．6 C．10 D．17
[解析] 解法一(图解法)：已知约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋2≥0，,2x＋3y－6≥0，,3x＋2y－9≤0))所表示的平面区域为下图中的阴影部分(包含边界)，其中A(0,2)，B(3,0)，C(1,3)．根据目标函数的几何意义，可知当直线y＝－eq \f(2,5)x＋eq \f(z,5)过点B(3,0)时，z取得最小值2×3＋5×0＝6，故选B.
解法二(界点定值法)：由题意知，约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋2≥0，,2x＋3y－6≥0，,3x＋2y－9≤0))所表示的平面区域的顶点分别为A(0,2)，B(3,0)，C(1,3)．将A，B，C三点的坐标分别代入z＝2x＋5y，得z＝10,6,17，故z的最小值为6，故选B.
[答案] B
8．(2018·合肥一模)在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含2个整数，则a的取值范围是( )
A．(－3,5) B．(－2,4)
C．[－3,5] D．[－2,4]
[解析] 关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化为(x－1)(x－a)<0.当a＝1时，不等式的解集为∅；当a>1时，不等式的解集为1[答案] D
9．若实数x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋1≤0，,x>0，,y≤2，))则z＝eq \f(2y,2x＋1)的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，4)) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，4))
C．[2,4] D．(2,4]
[解析] 作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分(不包括边界OB)所示，其中A(1,2)，B(0,2)．
z＝eq \f(2y,2x＋1)＝eq \f(y,x＋\f(1,2))＝eq \f(y－0,x－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))))，则z的几何意义是可行域内的点P(x，y)与点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))所连直线的斜率．
可知kMA＝eq \f(2－0,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))))＝eq \f(4,3)，kMB＝eq \f(2－0,0－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))))＝4，结合图形可得eq \f(4,3)≤z<4.
故z＝eq \f(2y,2x＋1)的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，4))，故选B.
[答案] B
10．(2018·四川资阳诊断)已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab，则a＋2b的最小值为( )
A．5＋2eq \r(2) B．8eq \r(2)
C．5 D．9
[解析] 解法一：∵a>0，b>0，且2a＋b＝ab，∴a＝eq \f(b,b－2)>0，解得b>2.
则a＋2b＝eq \f(b,b－2)＋2b＝1＋eq \f(2,b－2)＋2(b－2)＋4≥5＋2eq \r(\f(2,b－2)·2b－2)＝9，当且仅当b＝3，a＝3时等号成立，其最小值为9，故选D.
解法二：∵a>0，b>0，∴ab>0.
∵2a＋b＝ab，∴eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝1，
∴(a＋2b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(2,b)))＝5＋eq \f(2b,a)＋eq \f(2a,b)≥5＋2eq \r(\f(2b,a)·\f(2a,b))
＝5＋4＝9.
当且仅当eq \f(2b,a)＝eq \f(2a,b)时，等号成立，又2a＋b＝ab，即a＝3，b＝3时等号成立，其最小值为9，故选D.
[答案] D
11．(2018·湖南湘东五校联考)已知实数x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y≥0，,x－y≤0，,0≤y≤k，))且z＝x＋y的最大值为6，则(x＋5)2＋y2的最小值为( )
A．5 B．3 C.eq \r(5) D.eq \r(3)
[解析] 如图，作出不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y≥0，,x－y≤0，,0≤y≤k))对应的平面区域，如图阴影部分所示．
由z＝x＋y，得y＝－x＋z，平移直线y＝－x，由图可知当直线y＝－x＋z经过点A时，直线y＝－x＋z在y轴上的截距最大，此时z最大，为6，即x＋y＝6.由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝6，,x－y＝0))得A(3,3)，
∵直线y＝k过点A，∴k＝3.
(x＋5)2＋y2的几何意义是可行域内的点(x，y)与D(－5,0)的距离的平方，由可行域可知，[(x＋5)2＋y2]min等于D(－5,0)到直线x＋2y＝0的距离的平方．
则(x＋5)2＋y2的最小值为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|－5|,\r(12＋22))))2＝5，故选A.
[答案] A
12．(2018·广东清远一中一模)若正数a，b满足：eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1，则eq \f(1,a－1)＋eq \f(9,b－1)的最小值为( )
A．16 B．9 C．6 D．1
[解析] ∵正数a，b满足eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1，∴a＋b＝ab，eq \f(1,a)＝1－eq \f(1,b)>0，eq \f(1,b)＝1－eq \f(1,a)>0，∴b>1，a>1，则eq \f(1,a－1)＋eq \f(9,b－1)≥2eq \r(\f(9,a－1b－1))＝2eq \r(\f(9,ab－a＋b＋1))＝6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(当且仅当a＝\f(4,3)，b＝4时等号成立))，∴eq \f(1,a－1)＋eq \f(9,b－1)的最小值为6，故选C.
[答案] C
二、填空题
[解析] 不等式eq \f(x－2,x－3)<0等价于(x－2)(x－3)<0，
解得2故不等式eq \f(x－2,x－3)<0的解集为(2,3)，即M＝(2,3)．
由lg eq \s\d8(\f(1,2)) (x－2)≥1，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2>0，,x－2≤\f(1,2)，))解得2所以N＝eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(2，\f(5,2))).
故M∩N＝eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(2，\f(5,2))).
[答案] eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(2，\f(5,2)))
14．(2018·全国卷Ⅱ)若x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y－5≥0，,x－2y＋3≥0，,x－5≤0，))则z＝x＋y的最大值为________．
[解析] 由线性约束条件画出可行域(如图中阴影部分所示)．
当直线x＋y－z＝0经过点A(5,4)时，z＝x＋y取得最大值，最大值为9.
[答案] 9
15．(2018·安徽合肥一模)某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在A、B两种设备上加工，生产一件甲产品需用A设备2小时，B设备6小时；生产一件乙产品需用A设备3小时，B设备1小时．A，B两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为________千元．
[解析] 设生产甲产品x件，生产乙产品y件，利润为z千元，则
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3y≤480，,6x＋y≤960，))z＝2x＋y，作出eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥0，y≥0，,2x＋3y≤480，,6x＋y≤960))表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x＋y＝0，平移该直线，当直线z＝2x＋y经过直线2x＋3y＝480与直线6x＋y＝960的交点(150,60)(满足x∈N，y∈N)时，z取得最大值，为360.
[答案] 360
16．(2018·郑州高三检测)若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是________．
[解析] 对于x2＋3xy－1＝0可得y＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－x))，∴x＋y＝eq \f(2x,3)＋eq \f(1,3x)≥2eq \r(\f(2,9))＝eq \f(2\r(2),3)(当且仅当x＝eq \f(\r(2),2)时，等号成立)，故x＋y的最小值是eq \f(2\r(2),3).
[答案] eq \f(2\r(2),3)